1

1.- Con la gráfica y una tabla de valores

¿Qué le sucede a f(x) = x2 + 3 cuando x se acerca a 3?

Solución: La figura 2.18 corresponde a la gráfica de esta función. En ella podemos ver que entre más cerca se encuentren de 3 los valores de x, entonces los valores de f(x) se encuentran más cercanos a 12. La tabla 2.1 de valores refuerza esa percepción gráfica

2

Tabla 2.1

Hacia 3 por la izquierda 3 Hacia 3 por la derecha

x 2,5 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1 3,5

f(x) 9,5 11,41 11,9401 11,994001 12,006001 12,0601 12,61 15,25

Hacia 12 por la izquierda 12 Hacia 12 por la derecha

Podemos ver que a medida que tomamos valores de x más próximos a 3, tanto para valores mayores que tres como para valores menores que 3, los valores de f(x) se aproximan a 12.

2.- Con la gráfica y una tabla de valores

Si f(x) = ¿a qué valor se aproxima f(x) si x se aproxima a 2?

Solución: Aquí tenemos la gráfica de esa función.

3

Podemos ver que, aún cuando la gráfica presenta una ruptura (hueco) en el punto (2,4), las imágenes de valores de x muy cercanos a 2 son muy cercanas a 4. También una tabla de valores utilizando valores de x próximos a 2 tanto por la izquierda (menores que 2) como por la derecha (mayores que 2), nos convence de esa situación.

Tabla 2.2

Hacia 2 por la izquierda 2 Hacia 2 por la derecha

x 1,5 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,5

f(x) 3,5 3,9 3,99 3,999 4,001 4,01 4,1 4,5

Hacia 4 por la izquierda 4 Hacia 4 por la derecha

Así, de la tabla 2.2 deducimos que los valores de f(x) se aproximan a 4 cuando los valores de x se aproximan a 2.

3.-Por la derecha y por la izquierda.

4

Consideremos ahora la función g(x) = .

En su gráfica vemos que por la derecha de 0 las imágenes son 1, mientras que por la izquierda de 0 las imágenes son -1, la gráfica presenta un "salto" y entonces las imágenes no se acercan a un mismo valor. Podemos ver que el límite no existe. Hagamos una tabla como las de los ejemplos anteriores para verlo de otra manera.

Tabla 2.3

Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha

x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 0,5

g(x) -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

Hacia -1 por la izquierda 1|-1 Hacia 1 por la derecha

Este caso difiere de los anteriores porque si tomamos valores de x por la izquierda de 0 entonces g(x) se hace -1, pero al tomar valores por la derecha de 0 entonces g(x) se hace 1. Esto es: la tendencia difiere según el lado en que tomemos los valores.

Ejemplo 5. Crecimiento limitado

5

Ahora hagamos lo mismo para f(x) = , para valores de x cercanos a 0. En la figura 2.21 vemos que a medida que nos acercamos a 0 por la derecha, la gráfica de la función "sube ilimitadamente" sin aproximarse a ningún valor en particular. Si vamos por la izquierda de 0, la gráfica de la función "baja ilimitadamente'' y tampoco se aproxima a ningún valor en particular. La tabla también indica esa tendencia.

Tabla 2.4

Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha

x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 0,5

g(x) -2 -10 -100 -1000 1000 100 10 2

Hacia ? por la izquierda ? Hacia ? por la derecha

Viendo la tabla 2.4 y pensando en valores de x aún más próximos a 0 es fácil convencerse que si vamos por el lado derecho los valores de f(x) crecen ilimitadamente (se dice que crecen sin cota) y si vamos por el lado izquierdo los valores decrecen ilimitadamente (decrecen sin cota).

Comentario sobre los ejemplos anteriores

Estos cuatro ejemplos tienen cosas en común y cosas en las cuales difieren:

• En primer lugar, tienen en común el hecho de que tenemos un valor dado de x (es decir un valor de x previamente fijado) digamos x = c y, luego, consideramos valores de x cada vez más próximos a c, tanto valores mayores que c (por la derecha) como valores menores que c (por la izquierda). Esta situación se expresa diciendo que x tiende a c y simbólicamente se indica por

En el ejemplo 2, x tiende a 3; en el ejemplo 3, x tiende a 2; en los ejemplos 4 y 5, x tiende a 0.

• En segundo lugar, en los ejemplos 2 y 3, a medida que nos aproximamos al valor dado de x, no importa si lo hacemos por la izquierda o por la derecha,

6

los valores de f(x) se van aproximando a un valor fijo L. Decimos en este caso que f(x) tiende a L y escribimos

La situación completa se expresa así:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L"

Simbólicamente se escribe

Se tiene entonces que

En el ejemplo 4 tenemos una situación diferente. En este caso, cuando x tiende a 0 por tiende por la derecha entonces g(x) tiende a 1, pero cuando x tiende a 0 por la izquierda se tiene que g(x) tiende a -1. En estas circunstancias se dice que el límite de g(x) cuando x tiende a 0 no existe. Es decir: no existe.

Finalmente, en el cuarto ejemplo tampoco existe el límite de f(x) cuando x tiende a 0, porque la tabla no presenta tendencia hacia ningún valor fijo sino que las imágenes crecen o decrecen sin límite a medida que aproximamos x a 0. Esto es: no existe.

De acuerdo con lo anterior damos la siguiente definición intuitiva de límite.

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Definición 2.1. El límite

Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se

acerca a c, ya sea por la derecha como por la izquierda, los valores de f(x) se

aproximan a L. Esto se escribe :

La situación anterior también se puede escribir como

Esto se puede ver gráficamente en la figuras 2.22 y 2.23.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

Las propiedades de los límites de funciones son análogas a las propiedades de los límites de sucesiones numéricas:

1ª.- Si una función tiene límite en un punto, este límite es único

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2ª.- Si los límites laterales de una función en un punto son distintos, la función no tiene límite en el citado punto.

Si los límites laterales son iguales la función tiene límite

Ahora vamos a ver algunos ejemplos prácticos: 1.- Calcular: Ahora sustituimos x por su valor ( x= 1)

2.- Calcular: Ahora sustituimos x por su valor ( x= 1)

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Observando la indeterminación,¿cómo podemos deshacerla? Simplemente factorizando numerador y denominador:

Ahora ya estamos en condiciones de calcular el límite de la función: Para ello sustituimos el valor de x por 1 y nos queda: lim f(x) = x2+1 = 1+1 = 2 3.- Calcular: Ahora sustituimos x por su valor ( x= 1 )

Observando la indeterminación,¿cómo podemos deshacerla? Tomando límites laterales x 1- y x 1+

Por tanto la función no tiene límite en el punto x = 1 ya que los límites laterales son distintos. Aprovecharemos para recordar: Una función tiene límite en un punto, siempre y cuando los límites laterales coincidan. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES.

10

Cuando nos encontremos con los casos que a continuación detallamos, se dice que el cálculo del límite no está determinado o es indeterminado. En realidad no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación directa de los teoremas tal y como están enunciados es imposible aplicar. Los casos de indeterminación los recogemos en la siguiente tabla:

Racionales Exponenciales

Casos 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º

Símbolo k/0 ∞/∞ 0.∞ ∞―∞ 1∞ ∞0 00

Cuando calculemos un límite y se presente alguno de estos casos, conviene transformar la expresión de la función en otra equivalente. Esta otra función equivalente es necesario que tome los mismo valores en un entorno de x=a, a la que a partir de ese momento podemos aplicar la teoría de los límites. Como regla general, la descomposición de la función en términos más sencillos facilita el cálculo del límite deseado. a) Indeterminación: Para resolverla, tendremos que calcular los límites laterales: a).- Si son iguales estos límites la función tiene límite b).- Si son diferentes la función, no tiene límite 4.- Calcular

Indeterminado

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Lo primero que haremos es tomar límites laterales:

Conclusión: los límites son diferentes, por tanto la función no tiene límite en el punto x=1, ya que los límites laterales son distintos

b) Indeterminación Esta indeterminación, la haremos desaparecer descomponiendo en factores el numerador y denominador, y posteriormente simplificando el resultado obtenido. 5.- Calcular

Vamos a descomponer en factores la función

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Sustituimos el valor de x por 1, y ya podemos obtener el límite pedido:

c) Indeterminación Este tipo de indeterminaciones la haremos desaparecer dividiendo el numerador y el denominador de la fracción entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador. 6.- Calcular

Ahora vamos a dividir el numerador y el denominador de la fracción entre la potencia máxima de “ x “ que hay en el denominador (en este caso es x2)

13

El límite de la función es 4 LÍMITES DE FUNCIONES IRRACIONALES. Vamos a estudiar los siguientes casos de indeterminación: Estas indeterminaciones las hacemos desaparecer multiplicando y dividiendo la función dada por la expresión radical conjugada.

7.- Calcular:

14

Ahora vamos a multiplicar y dividir la función por la expresión radical conjugada:

Por tanto el límite de la función en el punto x = 0 es 2. Ahora vamos a estudiar el tipo de indeterminación ∞/∞. La indeterminación de este tipo la haremos desaparecer dividiendo el numerador y denominador entre la potencia máxima de x que haya en el denominador.

8.- Calcular:

15

Para deshacer esta indeterminación, dividimos el numerador y el denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador, en este caso tenemos: En el denominador la potencia máxima es: x

Tenemos que acordarnos que:

tiende a 0 Por tanto el límite de la función en el punto x = ∞ es 1 ASÍNTOTAS HORIZONTALES. Vamos a calcular las asíntotas horizontales de varias funciones y a continuación definirlas y decir sus propiedades.

16

8.- Calcular:

Vamos a calcular los límites laterales de la función dada:

Tiende a 0

9.- Calcular:

17

Esta indeterminación, la haremos desaparecer dividiendo numerador y denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador. Vamos a calcular los límites laterales de la función dada:

Tienden a 0

10.- Calcular:

18

Para deshacer esta indeterminación dividimos numerador y denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador.

Las asíntotas, son por tanto, líneas rectas, ya que tienen la expresión y = k siendo k un número real.

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La recta y = k es una asíntota horizontal de una función f, si existe alguno de los siguientes límites:

- Se calculan tomando los límites en + ∞ o bien en - ∞. - Si el límite es finito e igual a k, la asíntota de la función y = k - Una función como máximo tienes 2 asíntotas horizontales, correspondientes a

cada uno de los límites en + ∞ y en - ∞ La gráfica de una función puede cortar a la asíntota horizontal en uno o varios puntos. En la mayoría de las funciones elementales, la gráfica permanece por encima o por debajo. ASÍNTOTAS VERTICALES. Vamos a calcular las asíntotas horizontales de varias funciones y a continuación definirlas y decir sus propiedades.

10.- Calcular: Observamos que cuando x se aproxima a 0, el valor de y tiende a + ∞ Por tanto la recta x = 0 es una asíntota vertical

20

11.- Calcular: Al aproximarse x a 0+ la variable “ y “ tiende a + ∞

Al aproximarse x a 0- la variable “ y ” tiende a - ∞ La recta x = 0 es una asíntota vertical.

21

Lo primero que haremos será calcular los puntos donde se anula el denominador.

Ahora vamos a calcular los límites laterales de la función en ± 3 lim x +3+ lim x +3- lim x -3+ Lo vemos con más detalles en el ejercio 60

lim x -3-

Las asíntotas, como ya hemos definido, son líneas rectas, ya que la función que definen es y = R, siendo R un número real cualquiera.

22

Una función puede tener infinitas (∞ ) asíntotas verticales. Ejemplo la función tangente. En las funciones racionales, las asíntotas verticales se calculan tomando los valores de “ x” que anulan al denominador y no al numerador. Las asíntotas verticales son rectas, a las cuales se aproximan algunas funciones cuando “ x ” tiende hacia un valor real a, ya sea a+ o bien a-. Las asíntotas verticales de una función se calculan hallando los valores de x,a, a+ o a-; que hacen tender la variable “ y “ hacia + ∞ o - ∞. Si esto se verifica la asíntota es x = a

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1.- Calcular el límite de:

Al ser una función racional, para deshacer la indeterminación, dividiremos el numerador y el denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador.

Tienden a 0

Por tanto x es una asíntota horizontal y = 2 2.- Calcular el límite de:

24

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por la expresión radical conjugada.

Por tanto la asíntota horizontal es x= ½

3.- Calcular el límite de:

25

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por la expresión radical conjugada.

Tiende a 0 Por tanto el límite de la función es 1. 4.- Calcular las asíntotas horizontales y verticales la siguiente función:

26

a) Horizontales: Tenemos que comprobar que la función tiene límite en el intervalo comprendido entre + ∞ y - ∞, y que además cumpla la condición de que sea finito.

Al ser una función racional, para deshacer la indeterminación, dividiremos el numerador y el denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador.

Como podemos observar, los límites cumplen las condiciones establecidas: 1º.- Tienen límite en el intervalo - ∞ a + ∞ 2º.- El límite es un número finito. Por tanto la recta x = 1 es la asíntota horizontal. b) Verticales: Se calculan en los valores de x que anulan al denominador y nunca al numerador.

27

Por tanto las asíntotas verticales son 1 y -1 y = ± 1. Son las rectas y = 1 e y = -1 5.-Calcular el límite de:

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por la expresión radical conjugada.

Ahora dividimos entre:

28

Por tanto:

6.-Calcular el límite de:

1º Paso: Para deshacer esta indeterminación multiplicamos y dividimos la expresión por el conjugado del numerador de la función dada:

2º Paso: Volvemos a multiplicar el numerador y denominador por el conjugado del denominador:

29

Por tanto 7.-Calcular el límite de:

30

1º Paso: Para deshacer esta indeterminación multiplicamos y dividimos la expresión por el conjugado del numerador de la función dada:

Ahora es el momento de sustituir x por su valor, x = 0

Por tanto

31

8.-Calcular el límite de:

1º Paso: Para deshacer esta indeterminación multiplicamos y dividimos la expresión por el conjugado del numerador de la función dada:

32

Por tanto

9.-Calcular el límite de:

1º Paso: Para deshacer esta indeterminación multiplicamos y dividimos la expresión por el conjugado del numerador de la función dada:

33

2º Paso: Volvemos a multiplicar el numerador y denominador por el conjugado del denominador:

A continuación, hacemos operaciones en el numerador y en el denominador:

Por tanto 10.-Calcular el límite de:

34

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por la expresión radical conjugada.

A continuación, procedemos a efectuar operaciones en el numerador y en el denominador:

Sustituimos x por su valor x= ∞

Por tanto 11.-Calcular el límite de la siguiente expresión:

35

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por la expresión radical conjugada.

A continuación, procedemos a efectuar operaciones en el numerador y en el denominador: Sustituimos x por su valor x= ∞

Por tanto 12.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por la expresión radical conjugada.

36

A continuación, procedemos a efectuar operaciones en el numerador y en el denominador:

Ahora dividimos entre Tiende a 0

Por tanto 13.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por la expresión radical conjugada.

37

A continuación, procedemos a efectuar operaciones en el numerador y en el denominador:

Ahora, ya sustituimos x por su valor x = ∞

Por tanto

14.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por la expresión radical conjugada.

Ahora sustituimos x por su valor x = + ∞

38

Por tanto

14.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por la expresión radical conjugada.

Para deshacer la indeterminación, dividiremos el numerador y el denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador.

39

Por tanto 15.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer esta indeterminación de cociente de polinomios, descomponemos en factores, tanto el numerador como el denominador, para poder simplificar: Para ello aplicamos el método de Ruffini. 1 -6 +8 2 +2 -8 1 -4 0

40

Por tanto las raíces del numerador son: 2 y – 4 El numerador queda transformado en: (x-2) (x-4) A continuación sustituimos en el denominador de la función y obtenemos:

Ahora sustituimos x por su valor: x = 4

Por tanto: En realidad lo que hemos hecho ha sido calcular el verdadero valor de la función. 15.-Calcular el límite de la siguiente función:

15.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer esta indeterminación de cociente de polinomios, descomponemos en factores, tanto el numerador como el denominador, para poder simplificar:

Ahora sustituimos x por su valor: x = 0

Por tanto: En realidad lo que hemos hecho ha sido calcular el verdadero valor de la función.

41

16.-Calcular el límite de la siguiente función:

El denominador se anula en x = 3

Para deshacer esta indeterminación, tenemos que calcular los límites laterales:

La función NO tiene límites en x = 3, ya que los límites laterales no coinciden. 17.-Calcular el límite de la siguiente función:

42

Para deshacer esta indeterminación de cociente de polinomios, descomponemos en factores, tanto el numerador como el denominador, para poder simplificar: Numerador 1 -1 -2 -1 -1 +2 1 -2 Por tanto las raíces del numerador son: -1 y – 2 El numerador queda transformado en: (x+1) (x-2) Denominador 1 -4 +4 +2 +2 -4 1 -2 Por tanto las raíces del denominador son: +2 y – 2 El numerador queda transformado en: (x-2) (x-2) A continuación sustituimos en el denominador de la función y obtenemos:

Para deshacer esta indeterminación, tenemos que calcular los límites laterales: Por la izquierda Por la derecha

43

La función NO tiene límites en x = 2, ya que los límites laterales no coinciden. 17.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer esta indeterminación de cociente de polinomios, descomponemos en factores, tanto el numerador como el denominador, para poder simplificar: Numerador 1 +2 +1 -1 -1 -1 1 +1 Por tanto las raíces del numerador son: -1 y +1 El numerador queda transformado en: (x+1) (x+1) Denominador Denominador 1 +3 +3 1 -1 -1 -2 -1 1 +2 +1 0

44

raíz = x +1 Seguimos descomponiendo el denominador: Denominador 1 +2 +1 -1 -1 -1 1 +1 0 Por tanto las raíces del denominador son: -1 y +1 El numerador queda transformado en: (x+1) (x+1) y en (x+1) A continuación sustituimos en el denominador de la función y obtenemos:

Para deshacer esta indeterminación, tenemos que calcular los límites laterales: Por la izquierda Por la derecha

La función NO tiene límites en x = -1, ya que los límites laterales no coinciden. 18.-Calcular el límite de la siguiente función:

45

Para deshacer esta indeterminación de cociente de polinomios, descomponemos en factores, tanto el numerador como el denominador, para poder simplificar: El numerador ya lo tenemos factorizado: x-4 Denominador 1 -1 -12 -3 -3 +12 1 -4 0 Por tanto las raíces del denominador son: -3 y -4 El numerador queda transformado en: (x+3) (x-4) A continuación sustituimos en el denominador de la función y obtenemos:

46

Por tanto:

18.-Calcular el límite de la siguiente función: 1º En este límite no hay dos variables como pudiera parecer. 2º En realidad, solo hay una y es “ h “ , puesto que es la variable que aparece en al expresión del límite. 3º La “ x “ que aparece hay que considerarla como un número concreto.

Ahora sustituimos h por su valor en la función: h = 0

Por tanto: 19.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador.

47

Ahora sustituimos x por su valor en la función: x = 2

Por tanto: 20.-Calcular el límite de la siguiente función:

Al ser una función racional, para deshacer la indeterminación, dividiremos el numerador y el denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador.

48

Tienden a 0

Por tanto: 21.-Calcular el límite de la siguiente función:

Al ser una función racional, para deshacer la indeterminación, dividiremos el numerador y el denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador.

Tiende a 0

49

Ahora sustituimos x por su valor en la función: x = + ∞

Por tanto: 22.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por la expresión radical conjugada.

50

Ahora dividimos entre

Tienden a 0

Por tanto: 22.-Calcular el límite de la siguiente función:

51

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por el denominador.

Ahora sustituimos x por su valor en la función: x = +2

Por tanto: 23.-Calcular el límite de la siguiente función:

52

Para deshacer esta indeterminación de cociente de polinomios, descomponemos en factores, tanto el numerador como el denominador, para poder simplificar:

Numerador 1 +3 +2 -1 -1 -2 1 +2 0 Por tanto las raíces del numerador son: -1 y +2 El numerador queda transformado en: (x+1) (x+2)

53

Denominador 1 +4 +3 -3 -3 -3 1 +1 0 Por tanto las raíces del numerador son: -3 y +1 El numerador queda transformado en: (x+3) (x+1) A continuación sustituimos estos valores en la función y obtenemos:

Por tanto:

24.-Calcular el límite de la siguiente función:

Estamos ante una expresión que no es indeterminada. Conviene que antes de ponerse a resolver un límite, nos cercioremos de que estamos realmente ante una expresión indeterminada. 24.-Calcular el límite de la siguiente función:

Estamos ante una expresión que no es indeterminada.

54

Conviene que antes de ponerse a resolver un límite, nos cercioremos de que estamos realmente ante una expresión indeterminada. Conviene recordar que cualquier potencia elevada a 0 es igual a 1. 25.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del numerador.

Ahora sustituimos x por su valor en la función: x = 0

Por tanto: 26.-Calcular el límite de la siguiente función:

55

Ahora sustituimos x por su valor en la función: x =+5

Por tanto:

27.-Calcular el límite de la siguiente función: Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del numerador.

56

Por tanto:

27.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del numerador.

57

Ahora sustituimos x por su valor en la función: x =+1

Por tanto: 27.-Calcular el límite de la siguiente función:

28.-Calcular el límite de la siguiente función:

Por tanto: ya que el coeficiente del término de mayor grado es negativo.

58

29.-Calcular el límite de la siguiente función:

Ya que el coeficiente del término de mayor grado es positivo. Por tanto: 30.-Calcular el límite de la siguiente función:

Por tanto: 30.-Calcular el límite de la siguiente función: Para deshacer esta indeterminación de cociente de polinomios, descomponemos en factores, tanto el numerador como el denominador, para poder simplificar. Aplicamos la regla de Ruffini.

59

Numerador 1 -2 -6 -12 2 +2 0 -12 1 0 -6 0 Por tanto las raíces del numerador son: +2 El numerador queda transformado en: (x-2) y en Por tanto el numerador nos queda de la siguiente forma: (x-2) ( )

60

Denominador 1 +3 -10 +2 +2 +10 1 +5 0 Por tanto las raíces del numerador son: +2 y +5 El numerador queda transformado en: (x-2) (x+5) A continuación sustituimos estos valores en la función y obtenemos:

Por tanto: 31.-Calcular el límite de la siguiente función:

A continuación, para poder simplificar, basta con sacar factor común en el numerador:

Por tanto: 32.-Calcular el límite de la siguiente función:

61

Al ser una función racional, para deshacer la indeterminación, dividiremos el numerador y el denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador.

En este caso el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, por tanto el límite será + ∞ Por tanto: 33.-Calcular el límite de la siguiente función:

62

El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, pero los términos de mayor grado tienen signos distintos. Al ser una función racional, para deshacer la indeterminación, dividiremos el numerador y el denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador.

Ahora sustituimos x por su valor en la función: x =- ∞

Por tanto:

34.-Calcular el límite de la siguiente función:

63

Al ser una función racional, para deshacer la indeterminación, dividiremos el numerador y el denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador.

Tienden a 0 El grado del numerador es el mismo que el denominador.

64

Por tanto: 35.-Calcular el límite de la siguiente función:

Al ser una función racional, para deshacer la indeterminación, dividiremos el numerador y el denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador.

Tienden a 0 Observamos que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador.

65

Por tanto: 36.-Calcular el límite de la siguiente función:

37.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer la indeterminación, dividiremos el numerador y el denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador.

66

Recordar que: Por tanto:

38.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer la indeterminación, dividiremos el numerador y el denominador entre la potencia máxima de “ x “ que haya en el denominador.

67

Recordar: Tienden a 0 Por tanto:

39.-Calcular el límite de la siguiente función:

Para deshacer esta indeterminación multiplicamos numerador y denominador por la expresión radical conjugada.

Ahora vamos a efectuar operaciones en el numerador y el denominador, dividiendo el numerador y denominador entre la potencia de mayor grado del denominador; Recordar que

Tienden a 0

68

Por tanto: 40.-Calcular las asíntotas verticales de la siguiente función: Las asíntotas, como ya hemos definido, son líneas rectas, ya que la función que definen es y = R, siendo R un número real cualquiera. En las funciones racionales, las asíntotas verticales se calculan tomando los valores de “ x” que anulan al denominador y no al numerador. Las asíntotas verticales son rectas, a las cuales se aproximan algunas funciones cuando “ x ” tiende hacia un valor real a, ya sea a+ o bien a-. Las asíntotas verticales de una función se calculan hallando los valores de x a, a+ o a-; que hacen tender la variable “ y “ hacia + ∞ o - ∞.

Si esto se verifica la asíntota es x = a Nuestra pretensión llegados a este punto, es buscarnos una técnica personal para de una forma clara calcular los límites de la función y poder definir hacia que signo tiende ∞ No todos somos tan listos como los profesores ni como los catedráticos. 1º Paso: Vamos a calcular los valores en los cuales el denominador de la función se anule. En este caso el denominador de la función, es: x2 = 9 Por tanto x = ± 3 Es decir que la función se anula si x= 3 o bien si x = - 3 2º Paso: Vamos a construir una tabla de valores, con el objeto de ver cual es el comportamiento de la función, conforme vamos dando valores a la misma en determinados puntos: +++333--- +++333+++ ---333--- ---333+++ Valores +3 por la izquierda Valores+3 por la derecha Valores -3 izquierda Valores-3 por la derecha x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) 2.5 - 0,3636 3.1 1.6393 -2.5 -0,3636 -3.1 1.6393 2.6 - 0.4464 3.2 0.8065 -2.6 -0.4464 -3.2 0.8065 2.7 - 0.5848 3.3 0.5291 -2.7 -0.5848 -3.3 0.5291 2.8 - 0.8621 3.4 0.3906 -2.8 -0.8621 -3.4 0.3906

69

2.9 - 1.6949 3.5 0.3077 -2.9 -1.6949 -3.5 0.3077

111ººº 222ººº 333ººº 444ººº

¿¿¿QQQuuuééé ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss eeennn eeelll 111ººº cccaaasssooo??? EEEsss dddeeeccciiirrr cccuuuaaannndddooo xxx tttiiieeennndddeee aaa +++333--- (((pppooorrr lllaaa iiizzzqqquuuiiieeerrrdddaaa)))

Que conforme vamos incrementando el valor de x, los valores de la función f(x) son siempre negativos. Vamos a llamar a estos incrementos h: Damos valores a x desde 2.5 hasta 2.9 y siempre se cumple la tendencia: que el incremento es negativo. Por tanto si al incremento le llamamos h, se cumple siempre: h ‹ 0 Esto sabemos que significa que h es menor que 0 x f(x) 2.5 - 0,3636 2.6 - 0.4464 2.7 - 0.5848 h = incremento de la función 2.8 - 0.8621 2.9 - 1.6949 Se cumple h ‹ 0 1º Caso 111ººº

AAAhhhooorrraaa vvvaaammmooosss aaa tttooommmaaarrr lllaaa fffuuunnnccciiióóónnn dddaaadddaaa yyy eeemmmpppeeezzzaaarrr aaa tttrrraaabbbaaajjjaaarrr cccooonnn lllaaa ppprrriiimmmeeerrraaa ttteeennndddeeennnccciiiaaa eeesss dddeeeccciiirrr +++333---

Cuando lim h 0 h‹ 0 siendo h el incremento que aplicamos, resulta:

Como h ‹ 0 Por tanto Vamos a explicar todos los pasos dados: numerador positivo y denominador negativo 1º h es el incremento que sufre la función en un punto determinado. 2º Sustituimos x por el valor que viene dado en la función. 3º Cualquier cantidad que multipliquemos por h alrededor del entorno del límite siempre será negativo. x f(x) 2º Caso 3.1 1,6393 3.2 0.8065 3.3 0.8291 h = incremento de la función

70

3.4 0.3906 3.5 0.3077 Se cumple h ›0

222ººº

AAAhhhooorrraaa vvvaaammmooosss aaa tttrrraaabbbaaajjjaaarrr cccooonnn lllaaa 222ººº ttteeennndddeeennnccciiiaaa,,, eeesss dddeeeccciiirrr cccuuuaaannndddooo tttooommmaaa eeelll vvvaaalllooorrr +++333+++

Cuando lim h 0 h› 0 siendo h el incremento que aplicamos, resulta:

Como h › 0 Por tanto Vamos a explicar todos los pasos dados: numerador positivo y denominador positivo 1º h es el incremento que sufre la función en un punto determinado. 2º Sustituimos x por el valor que viene dado en la función. 3º Cualquier cantidad que multipliquemos por h alrededor del entorno del límite siempre será positivo.

AAAhhhooorrraaa vvvaaammmooosss aaa tttrrraaabbbaaajjjaaarrr cccooonnn lllaaa 333ªªª ttteeennndddeeennnccciiiaaa,,, eeesss dddeeeccciiirrr cccuuuaaannndddooo tttooommmaaa eeelll vvvaaalllooorrr ---333---

333ººº CCCaaasssooo

x f(x) -2.5 - 0,3636 -2.6 - 0.4464 -2.7 - 0.5848 h = incremento de la función -2.8 - 0.8621 -2.9 - 1.6949 Se cumple h ‹ 0 333ººº

Cuando lim h 0 h‹ 0 siendo h el incremento que aplicamos, resulta:

Como h ‹ 0 PPPooorrr tttaaannntttooo:::

Vamos a explicar todos los pasos dados: numerador positivo y denominador positivo 1º h es el incremento que sufre la función en un punto determinado.

71

2º Sustituimos x por el valor que viene dado en la función. 3º Cualquier cantidad que multipliquemos por h alrededor del entorno del límite siempre será positivo.

AAAhhhooorrraaa vvvaaammmooosss aaa tttrrraaabbbaaajjjaaarrr cccooonnn lllaaa 444ªªª ttteeennndddeeennnccciiiaaa,,, eeesss dddeeeccciiirrr cccuuuaaannndddooo tttooommmaaa eeelll vvvaaalllooorrr ---333+++

444ººº CCCaaasssooo

x f(x) -3.1 1,6393 -3.2 0.8065 -3.3 0.8291 h = incremento de la función -3.4 0.3906 -3.5 0.3077 Se cumple h ›0

444ººº

Cuando lim h 0 h‹ 0 siendo h el incremento que aplicamos, resulta:

Como h ‹ 0 PPPooorrr tttaaannntttooo:::

Vamos a explicar todos los pasos dados: numerador positivo y denominador negativo 1º h es el incremento que sufre la función en un punto determinado. 2º Sustituimos x por el valor que viene dado en la función. 3º Cualquier cantidad que multipliquemos por h alrededor del entorno del límite siempre será negativo.

41.-Calcular las asíntotas verticales de la siguiente función:

1º Paso: Vamos a calcular los valores en los cuales el denominador de la función se anule. En este caso el denominador de la función, es: (x-3)2

22 Por tanto x = + 3 Es decir que la función se anula si x= 3 2º Paso: Vamos a construir una tabla de valores, con el objeto de ver cual es el comportamiento de la función, conforme vamos dando valores a la misma en determinados puntos:

72

+++333--- +++333+++ Valores +3 por la izquierda Valores+3 por la derecha

x f(x) x f(x) 2.5 0,25 3.1 0.01 2.6 0.16 3.2 0.04 2.7 0.09 3.3 0.09 2.8 0.04 3.4 0.16 2.9 0.01 3.5 0.01

111ººº 222ººº

¿¿¿QQQuuuééé ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss eeennn eeelll 111ººº cccaaasssooo??? EEEsss dddeeeccciiirrr cccuuuaaannndddooo xxx tttiiieeennndddeee aaa +++333--- (((pppooorrr lllaaa iiizzzqqquuuiiieeerrrdddaaa)))

Que conforme vamos incrementando el valor de x, los valores de la función f(x) son siempre positivos. Vamos a llamar a estos incrementos h: Damos valores a x desde 2.5 hasta 2.9 y siempre se cumple la tendencia: que el incremento es positivo. Por tanto si al incremento le llamamos h, se cumple siempre: h › 0 Esto sabemos que significa que h es mayor que 0 +++333--- Valores +3 por la izquierda

x f(x) 2.5 0,25 2.6 0.16 h = incremento de la función 2.7 0.09 2.8 0.04 h › 0 2.9 0.01

Cuando lim h 0 h› 0 siendo h el incremento que aplicamos, resulta:

73

Como h › 0 Por tanto:

Vamos a explicar todos los pasos dados: numerador positivo y denominador positivo 1º h es el incremento que sufre la función en un punto determinado. 2º Sustituimos x por el valor que viene dado en la función. 3º Cualquier cantidad que multipliquemos por h alrededor del entorno del límite siempre será positivo.

¿¿¿QQQuuuééé ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss eeennn eeelll 222ººº cccaaasssooo??? EEEsss dddeeeccciiirrr cccuuuaaannndddooo xxx tttiiieeennndddeee aaa +++333+++ (((pppooorrr lllaaa dddeeerrreeeccchhhaaa)))

+++333+++ Valores+3 por la derecha

x f(x) 3.1 0.01 3.2 0.04 h = incremento de la función 3.3 0.09 3.4 0.16 h › 0 3.5 0.01

Cuando lim h 0 h› 0 siendo h el incremento que aplicamos, resulta:

Como h › 0 Por tanto: Además podemos afirmar que la función tiene límite en x =3, ya que los límites laterales coinciden. Vamos a explicar todos los pasos dados: numerador positivo y denominador positivo 1º h es el incremento que sufre la función en un punto determinado. 2º Sustituimos x por el valor que viene dado en la función. 3º Cualquier cantidad que multipliquemos por h alrededor del entorno del límite siempre será positivo. 41.- Calcular las límites laterales de la siguiente función:

74

1º Paso: Vamos a calcular los valores en los cuales el denominador de la función se anule. En este caso el denominador de la función, es: (x-1) Por tanto x = + 1 Es decir que la función se anula si x= 1 2º Paso: Vamos a construir una tabla de valores, con el objeto de ver cual es el comportamiento de la función, conforme vamos dando valores a la misma en determinados puntos: +++111--- +++111+++ Valores +1 por la izquierda Valores+1 por la derecha

x f(x) x f(x) 0.5 - 2,00 1.1 10 0.6 - 2.50 1.2 5 0.7 - 3.33 1.3 3,3 0.8 - 5,00 1.4 2.5 0.9 - 1,00 1.5 2

111ººº 222ººº

¿¿¿QQQuuuééé ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss eeennn eeelll 111ººº cccaaasssooo??? EEEsss dddeeeccciiirrr cccuuuaaannndddooo xxx tttiiieeennndddeee aaa +++111--- (((pppooorrr lllaaa iiizzzqqquuuiiieeerrrdddaaa)))

Que conforme vamos incrementando el valor de x, los valores de la función f(x) son siempre negativos. Vamos a llamar a estos incrementos h: Damos valores a x desde 0.5 hasta 0.9 y siempre se cumple la tendencia: que el incremento es negativo. Por tanto si al incremento le llamamos h, se cumple siempre: h ‹ 0 Esto sabemos que significa que h es menor que 0 +++111--- Valores +1 por la izquierda

x f(x) 0.5 - 2 0.6 - 2.5 h = incremento de la función 0.7 - 3.33 0.8 - 5 h ‹ 0 0.9 - 10

75

Cuando lim h 0 h› 0 siendo h el incremento que aplicamos, resulta:

Como h ‹ 0 Por tanto: Vamos a explicar todos los pasos dados: numerador positivo y denominador negativo 1º h es el incremento que sufre la función en un punto determinado. 2º Sustituimos x por el valor que viene dado en la función. 3º Cualquier cantidad que multipliquemos por h alrededor del entorno del límite siempre será negativo. ¿¿¿QQQuuuééé ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss eeennn eeelll 222ººº cccaaasssooo??? EEEsss dddeeeccciiirrr cccuuuaaannndddooo xxx tttiiieeennndddeee aaa +++111+++ (((pppooorrr lllaaa dddeeerrreeeccchhhaaa)))

Que conforme vamos incrementando el valor de x, los valores de la función f(x) son siempre positivos. Vamos a llamar a estos incrementos h: Damos valores a x desde1.1 hasta 1.9 y siempre se cumple la tendencia: que el incremento es positivo. Por tanto si al incremento le llamamos h, se cumple siempre: h › 0 Esto sabemos que significa que h es mayor que 0 +++111+++ Valores+1 por la derecha

x f(x) 1.1 10 1.2 5 h = incremento de la función 1.3 3,33 1.4 2,50 h › 0 1.5 2,00 Cuando lim h 0 h› 0 siendo h el incremento que aplicamos, resulta:

Como h › 0 Por tanto: Vamos a explicar todos los pasos dados: numerador positivo y denominador positivo

76

1º h es el incremento que sufre la función en un punto determinado. 2º Sustituimos x por el valor que viene dado en la función. 3º Cualquier cantidad que multipliquemos por h alrededor del entorno del límite siempre será positivo. 41.- Calcular las límites laterales de la siguiente función: 1º Paso: Vamos a calcular los valores en los cuales el denominador de la función se anule. En este caso el denominador de la función, es: x222-1 Por tanto x = ± 1 Es decir que la función se anula si x= ± 1 2º Paso: Vamos a construir una tabla de valores, con el objeto de ver cual es el comportamiento de la función, conforme vamos dando valores a la misma en determinados puntos: +++111--- +++111+++ ---111--- ---111+++ Valores +1 por la izquierda Valores+1 por la derecha Valores -1 izquierda Valores-1 por la derecha x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) 0.5 - 1,6667 1.1 10.523 -0.5 -1,6667 -1.1 10.523 0.6 - 2.1250 1.2 5.5455 -0.6 -2.1250 -1.2 5.5455 0.7 - 2.9216 1.3 3.8986 -0.7 -2.9216 -1.3 3.8986 0.8 - 4.5556 1.4 3.0833 -0.8 -4.5556 -1.4 3.0833 0.9 - 9.5263 1.5 2.6000 -0.9 -9.5263 -1.5 2.6000

111ººº 222ººº 333ººº 444ººº

¿¿¿QQQuuuééé ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss eeennn eeelll 111ººº cccaaasssooo??? EEEsss dddeeeccciiirrr cccuuuaaannndddooo xxx tttiiieeennndddeee aaa +++111--- (((pppooorrr lllaaa iiizzzqqquuuiiieeerrrdddaaa)))

Que conforme vamos incrementando el valor de x, los valores de la función f(x) son siempre negativos. Vamos a llamar a estos incrementos h: Damos valores a x desde 0.5 hasta 0.9 y siempre se cumple la tendencia: que el incremento es negativo. Por tanto si al incremento le llamamos h, se cumple siempre: h ‹ 0 Esto sabemos que significa que h es menor que 0 +++111--- Valores +1 por la izquierda

x f(x) 0.5 - 1.667

77

0.6 - 2.1250 h = incremento de la función 0.7 - 2.9216 0.8 - 4.5556 h ‹ 0 0.9 - 9.5263 Cuando lim h 0 h ‹0 siendo h el incremento que aplicamos, resulta:

Como h ‹ 0:

En el numerador: h222+2h+2 Tenemos que h2

22+2h es menor que 0 Por tanto -0+2 = 2

Esto quiere decir que el numerador siempre es positivo.

En el denominador Tenemos que h222+2h es menor que 0 Por tanto siempre negativo

Por tanto:

¿¿¿QQQuuuééé ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss eeennn eeelll 222ººº cccaaasssooo??? EEEsss dddeeeccciiirrr cccuuuaaannndddooo xxx tttiiieeennndddeee aaa +++111+++ (((pppooorrr lllaaa dddeeerrreeeccchhhaaa)))

Que conforme vamos incrementando el valor de x, los valores de la función f(x) son siempre positivos. Vamos a llamar a estos incrementos h: Damos valores a x desde 1.1 hasta 1.5 y siempre se cumple la tendencia: que el incremento es positivo. Por tanto si al incremento le llamamos h, se cumple siempre: h › 0 Esto sabemos que significa que h es mayor que 0. +++111+++ Valores +1 por la derecha

x f(x) 1.1 10.523 1.2 5.5455 h = incremento de la función 1.3 3.8986 1.4 3.0833 h › 0 1.5 2.6000 Cuando lim h 0 h› 0 siendo h el incremento que aplicamos, resulta:

78

Como h › 0:

En el numerador: h222+2h+2 Tenemos que h2

22+2h es mayor que 0 Por tanto 0+2 =+2

Esto quiere decir que el numerador siempre es positivo.

En el denominador Tenemos que h222+2h es mayor que 0 Por tanto siempre positivo

Por tanto:

¿¿¿QQQuuuééé ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss eeennn eeelll 333ººº cccaaasssooo??? EEEsss dddeeeccciiirrr cccuuuaaannndddooo xxx tttiiieeennndddeee aaa ---111--- (((pppooorrr lllaaa iiizzzqqquuuiiieeerrrdddaaa)))

Que conforme vamos incrementando el valor de x, los valores de la función f(x) son siempre negativos. Vamos a llamar a estos incrementos h: Damos valores a x desde -0.5 hasta -0.9 y siempre se cumple la tendencia: que el incremento es negativo. Por tanto si al incremento le llamamos h, se cumple siempre: h ‹ 0 Esto sabemos que significa que h es menor que 0 -111--- Valores -1 por la izquierda

x f(x) -0.5 -1.6667 -0.6 -2.1250 h = incremento de la función -0.7 -2.9216 -0.8 - 4.5556 h ‹ 0 -0.9 - 9.5263 Cuando lim h 0 h ‹0 siendo h el incremento que aplicamos, resulta:

Como h ‹ 0:

En el numerador: h222 -2h+2 Tenemos que h2

22-2h es menor que 0 Por tanto -0+2 = 2 Esto quiere decir que el numerador siempre es positivo.

79

En el denominador Tenemos que h222-2h es mayor que 0 Por tanto siempre positivo

h222 siempre positivo -2h (cualquier valor negativo al multiplicar) siempre positivo Por tanto: ¿¿¿QQQuuuééé ooobbbssseeerrrvvvaaammmooosss eeennn eeelll 444ººº cccaaasssooo??? EEEsss dddeeeccciiirrr cccuuuaaannndddooo xxx tttiiieeennndddeee aaa ---111+++ (((pppooorrr lllaaa dddeeerrreeeccchhhaaa)))

Que conforme vamos incrementando el valor de x, los valores de la función f(x) son siempre positivos. Vamos a llamar a estos incrementos h: Damos valores a x desde -1.1 hasta -1.5 y siempre se cumple la tendencia: que el incremento es positivo. Por tanto si al incremento le llamamos h, se cumple siempre: h › 0 Esto sabemos que significa que h es mayor que 0 -111+++ Valores -1 por la derecha

x f(x) -1.1 10.523 -1.2 5.5455 h = incremento de la función -1.3 3.8986 -1.4 3.0833 h › 0 -1.5 2.6000 Cuando lim h 0 h› 0 siendo h el incremento que aplicamos, resulta:

Como h ‹ 0:

En el numerador: h222 -2h+2 Tenemos que h2

22-2h es mayor que 0 Por tanto 0+2 =+2 Esto quiere decir que el numerador siempre es positivo.

En el denominador Tenemos que h222-2h es menor que 0 Por tanto siempre negativo

80

h222 siempre positivo -2h (cualquier valor positivo al multiplicar) siempre negativo Por tanto: