1. Cálculo de límites para funciones de dos...

1. Cálculo de límites para funciones de dos

variables

Los límites de funciones de dos variables exigen, en general, un proceso de cálculo difícil.

En el presente apartado se hará un análisis sobre los siguientes aspectos:

1.-Límites según subconjuntos.

2.-Límites reiterados.

3.-Desarrollo de estrategias a partir de las gráficas para la determinación de la existencia o no, del límite.

4.- Aproximaciones numéricas.

5.- Cálculo de límites pasando a coordenadas polares.

Se acaba el apartado haciendo ejercicios en los que se utilizan todos los métodos explicados en los distintos subapartados.

ü 1.1. Límites según subconjuntos

A continuación se desarrolla un procedimiento para hallar límites según subconjuntos, de forma muy general.

La idea es encontrar un algoritmo que calcule lim f Hx, yLy->fHxL

x->a

para curvas y= f(x) generales y que pasen por el punto (a,f(a)).

Es decir, si se trabaja en el punto (a,b) debe cumplirse que f(a)= b.

En el caso en que los subconjuntos sean rectas, los límites se denominan límites direccionales. En este caso:

y =f(x) = b + m (x - a)

El límite de la función f (x,y) en el punto (a,b) según el subconjunto elegido se puede calcular a través de la siguiente

instrucción, que utiliza el comando de Mathematica Limit, y que será de utilidad en todo este epígrafe:

lim@a_, φ_D := Limit@f@x, yD ê. 8y −> φ@xD<, x −> aD

NOTA: La función f[x] que describe el conjunto elegido debe ser declarada previamente.

NOTA: La función f[x,y] debe siempre denotarse con la letra f para que el procedimiento funcione.

La no existencia del límite doble puede demostrarse encontrando dos subconjuntos para los cuales el límite según esos

subconjuntos sea distinto.

Ejemplo 1.1.1 .-

Hallar los límites direccionales en el origen de coordenadas de la función f Hx, yL = x y

x2+y2 .

Solución.

Para resolver el problema se define la función

f@x_, y_D :=x y

x2 + y2

Luego se introduce la familia de subconjuntos, que en este caso es la familia de rectas y = m x.

φ@x_D := m x

Se ejecuta entonces la instrucción que proporciona el límite según dichos subconjuntos en a = 0.

g@m_D = lim@0, φDm

1 + m2

Así, por ejemplo, si m = 2 y m = 5, se obtiene:

g@2D

2

5

g@5D

5

26

Como el límite depende de la pendiente m, los límites direccionales son distintos. NO existe límite de la función en el

origen de coordenadas.

Ejemplo 1.1.2 .-

Hallar el límite de la función f (x,y) = x2 y

x4+y2 en el punto (0,0), mediante rectas y parábolas cuyo eje es el eje OY y que

pasen por el origen de coordenadas.

Solución.

Se procede como antes. Se introduce la función

f@x_, y_D :=x2 y

x4 + y2

Se introduce la familia de rectas y = m x que pasan por el origen:

φ@x_D := m x

Ahora ejecutamos la instrucción general para calcular el límite direccional:

lim@a, φDa m

a2 + m2

Se evalúa en a= 0:

lim@0, φD

0

Observamos entonces que los límites direccionales son todos iguales, pues el límite no depende de m. Este hecho, sin

embargo, no permite afirmar nada sobre la existencia del límite doble.

NOTA: El límite direccional según la dirección del eje OY cuya ecuación es x =0, corresponde al valor m = ¶. Mathemat-

ica no tiene en cuenta esta peculiaridad aunque, en sentido estricto se debería calcular para hallar dicho límite direccional.

Limit@f@x, yD ê. 8x → 0<, y → 0D

0

Se introduce ahora la familia de parábolas cuyo eje es el eje OY, que pasan por el origen de coordenadas, cuya ecuación

es y = m x2

φ@x_D := m x2

2 Untitled-1

Se evalúa el límite, para a = 0, según estos subconjuntos, que será, en general, una función de m.

g@m_D = lim@0, φDm

1 + m2

Si m=1 se obtiene:

g@1D

1

2

Y si m=2

g@2D

2

5

Como el límite depende de m no todos los límites son iguales. Por tanto, podemos afirmar que el límite doble en el origen

de coordenadas NO existe.

ü 1.2. Límites reiterados.

Los límites reiterados, iterados o sucesivos de la función f Hx, yL en el punto (a,b) se definen como:

limx->a(limy->b f Hx, yL ) y limy->b(limx->a f Hx, yL ) . Si ambos límites son distintos, dado que el límite, si existe, debe ser

único, se concluye que no existe el límite doble (véase página 44 ).

A continuación se desarrollará un algoritmo para calcular los límites reiterados de cualquier función f Hx, yL en el punto

(a,b).

Un límite reiterado es, de acuerdo con la definición:

limre1@a_, b_D := Limit@Limit@f@x, yD, x −> aD, y −> bD

El otro límite reiterado se obtiene cambiando el orden de las variables.

limre2@a_, b_D := Limit@Limit@f@x, yD, y −> bD, x −> aD

Y ahora no habrá más que comparar los dos límites anteriores en cualquier punto.

NOTA: La función siempre deberá ser definida previamente como f [x_,y_].

Ejemplo 1.2.1 .-

Hallar los límites reiterados de la función f(x,y)=x y

x2+y2 en el origen de coordenadas.(Es la función del ejemplo 1.1.1)

Solución.

Se define la función:

f@x_, y_D :=x y

x2 + y2

Untitled-1 3

Se calcula un límite reiterado en el origen.

limre1@0, 0D

0

El otro límite reiterado será:

limre2@0, 0D

0

Los límites reiterados son iguales. Sin embargo, este hecho no basta para afirmar la existencia del límite doble. De hecho,

dicho límite no existe como se ha visto en el ejemplo 1.1.1 anterior.

Ejemplo 1.2.2 .-

Calcular los límites reiterados de la función f(x,y)=x y -x + y

x + y en el origen de coordenadas .

Solución.

Se declara la función

f@x_, y_D :=x y − x + y

x + y

Se calcula un límite reiterado en el origen.

limre1@0, 0D

1

El otro límite será:

limre2@0, 0D

−1

Como los límites reiterados son distintos, podemos afirmar que no existe el límite doble.

Ejemplo 1.2.3 .-

Calcular los límites reiterados de la función f(x,y)=e2 x y -x - y-1

x + y-2 en el punto (1,1).

Solución.


f@x_, y_D :=�2 x y−x−y − 1

x + y − 2

Se calcula un límite reiterado en el punto pedido (1,1).

limre1@1, 1D

1


limre2@1, 1D

1

A pesar de que los límites reiterados son iguales, no se puede garantizar la existencia de límite doble.

4 Untitled-1

Ejemplo 1.2.4 .-

Estudiar la existencia de límite de la funciones:

a) f(x,y)=x2-y2

x2+y2 en el origen de coordenadas

b) g(x,y)=x2 y2

x2+y2 en el origen de coordenadas

c) f(x,y) = eIxy-x+yM

x yen el punto (1,-1).

Solución.

Apartado a):

f@x_, y_D :=x^2 − y^2

x^2 + y^2


limre1@0, 0D

−1


limre2@0, 0D

1

Como son distintos, se puede garantizar la NO existencia de límite doble.

Apartado b):

f@x_, y_D :=x^2 y^2

x^2 + y^2

Llamamos a la función f, aunque en el enunciado aparezca como g, para posibilitar la aplicación de nuestro algoritmo.


limre1@0, 0D

0


limre2@0, 0D

0

La igualdad de los límites reiterados no permite afirmar nada sobre la existencia del límite doble. Hay que seguir apli-

cando otras técnicas. No es difícil, sin embargo, comprobar, utilizando la técnica del paso a coordenadas polares, que

dicho límite existe y vale 0 (véase el ejemplo 1.5.2)

Apartado c):

f@x_, y_D :=Exp@x y − x + yD

x y

Se calcula un límite reiterado en el punto pedido (1,-1).

Untitled-1 5

limre1@1, −1D

−1

�3


limre2@1, −1D

−1

�3

La igualdad de los límites reiterados no permite afirmar nada sobre la existencia del límite doble. Pero es fácil comprobar

que el límite doble existe y coincide con este valor común, porque la función no tiene ninguna indeterminación en dicho

punto.

Ejemplo 1.2.5 .-

Estudiar la existencia de límite y de los límites reiterados de la función f(x,y)=x sen(1

xy) en el origen de coordenadas

Solución.


f@x_, y_D := x SinB1

x yF

Se calcula un límite reiterado en el origen

limre1@0, 0D

LimitBLimitBx SinB1

x yF, x → 0F, y → 0F


limre2@0, 0D

LimitBLimitBx SinB1

x yF, y → 0F, x → 0F

En ambos casos Mathematica devuelve resultados extraños. No sabe hacer esos límites.

Probamos mediante subconjuntos, como en el apartado anterior, utilizando el procedimiento lim sobre las rectas que pasan

por el origen de coordenadas

φ@x_D := m x

lim@0, φD

LimitBx SinB1

m x2F, x → 0F

Y Mathematica tampoco lo sabe resolver.

Sin embargo, es fácil ver que limre1[0,0] es 0 y el otro no existe. Como alguno de los límites laterales no existe no se

puede garantizar la existecia de límite doble. Sin embargo, podemos decidir sobre la existencia de límite utilizando el

siguiente argumento:

Como »sen(1

xy)» § 1, es decir, está acotado, la función f(x,y)=x sen(

1

xy) verifica que -x§f(x,y)§x , y, por tanto, el límite

pedido es cero, lo que corroboran las siguiente gráficas, en las que se representa la función en cuadrados de lados cada vez

menores :

6 Untitled-1

Plot3DBx SinB1

x yF, 8x, −.5, .5<, 8y, −.5, .5<F;

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Plot3DBx SinB1

x yF, 8x, −.1, .1<, 8y, −.1, .1<F;

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-0.1

-0.05

0

0.05

ü 1.3. Desarrollando estrategias a partir de las gráficas

Las gráficas asociadas a una función de dos variables, ya sea de la propia función o de sus curvas de nivel pueden ser de

gran utilidad para analizar su comportamiento en un punto.

Una posibilidad es analizar el comportamiento de la función "cerca" del punto, representándola en un rectángulo de lados

cada vez menores, que contengan al punto. Es como analizar el comportamiento de la función a través de un zoom.

Otra posibilidad es representar las curvas de nivel de la función, ya que su forma, discontinuidades, intensidad, etc. puede

permitir deducir características de la función.

Ejemplo 1.3.1 .-

"Comprobar gráficamente" que la función f(x,y)=x y

x2+y2 no tiene límite en el origen. Para ello representar la función y

hallar sus curvas de nivel en dos cuadrados de lados 1 y 0.1 respectivamente.(Es la función del ejemplo 1.1.1.)

Untitled-1 7

Solución.

La representación de la función, utilizando el comando Plot3D, en dos cuadrados de lados 1 y 0.1 es:

En el cuadrado de lado 1:

Plot3DBx y

x2 + y2, 8x, −0.5, 0.5<, 8y, −0.5, 0.5<F;

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

En el cuadrado de lado 0.1:

Plot3DBx y

x2 + y2, 8x, −.05, .05<, 8y, −0.05, 0.05<F;

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

La salida es "aparentemente" la misma aunque la segunda gráfica corresponde a un cuadrado de lado menor. La función

"oscila" entre -0.5 y 0.5, lo cual "corrobora" la no existencia de límite.

Se representan ahora sus curvas de nivel mediante el comando ContourPlot.


8 Untitled-1

ContourPlotBx y

x2 + y2, 8x, −0.5, 0.5<, 8y, −0.5, 0.5<F;

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4


ContourPlotBx y

x2 + y2, 8x, −.05, .05<, 8y, −.05, .05<F;

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

De nuevo la gráfica es la misma, lo cual no es sorprendente ya que la función es constante a lo largo de rectas.

Es posible representar ambas gráficas en una sola celda de modo que se facilite el estudio de la gráfica. Una posibilidad es

usar el comando GraphicsArray empleado de la siguiente forma:

Primero se define la función y el origen de coordenadas:

z@x_, y_D =x y

x2 + y2; xo = 0; yo = 0;

Las siguientes instrucciones permitirán representar la función en el cuadrado de lados [xo- e, xo+e] x [yo-e,yo+e] , así como

sus curvas de nivel.

Untitled-1 9

graf@ε_D :=

Plot3D@z@x, yD, 8x, xo − ε, xo + ε<, 8y, yo − ε, yo + ε<, DisplayFunction → IdentityD;cniv@ε_D := ContourPlot@z@x, yD, 8x, xo − ε, xo + ε<, 8y, yo − ε, yo + ε<,

ColorFunction → Hue, Contours → 7, DisplayFunction → IdentityD;

Y ahora se pueden representar juntas usando el comando Show.

Show@GraphicsArray@[email protected], [email protected]<DD;

-0.200.2

-0.2

0

0.2-0.5

-0.250

0.250.5

-0.200.2

-0.3-0.2-0.10 0.10.20.3-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Se varía el marco de representación, pero se observa que el resultado es el mismo:


-0.0200.02

-0.02

0

0.02-0.5

-0.250

0.250.5

-0.0200.02

-0.03-0.02-0.0100.010.020.03-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03


-0.00200.002

-0.002

00.002-0.5-0.250

0.250.5

-0.00200.002

-0.003-0.002-0.00100.0010.0020.003-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

0.003

Ejemplo 1.3.2 .-

"Comprobar gráficamente" si la función f(x,y)=x sen(1

xy) tiene límite en el origen. Para ello representar la función y

hallar sus curvas de nivel en dos cuadrados de lados 1 y 0.1 respectivamente.(Es la función del ejemplo 1.2.5.)

Solución.

Representamos la función, utilizando el comando Plot3D, en dos cuadrados de lados 1 y 0.1 igual que en el ejemplo

anterior:

f@x_, y_D := x SinB1

x yF


10 Untitled-1

Plot3D@f@x, yD, 8x, −0.5, 0.5<, 8y, −0.5, 0.5<D;

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4


Plot3D@f@x, yD, 8x, −.05, .05<, 8y, −0.05, 0.05<D;

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Y se observa gráficamente en ambos casos que el límite es 0.

Se representan ahora sus curvas de nivel mediante el comando ContourPlot.


Untitled-1 11

ContourPlot@f@x, yD, 8x, −0.5, 0.5<, 8y, −0.5, 0.5<D;

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4


ContourPlot@f@x, yD, 8x, −0.05, 0.05<, 8y, −0.05, 0.05<D;

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Y de nuevo se observa que el límite existe y vale 0.

Representamos ambas curvas en una sola celda de modo que se facilite el estudio de la gráfica, siguiendo el procedimiento

del ejemplo anterior, representándolas juntas usando el comando Show.

z@x_, y_D := x SinB1

x yF; xo = 0; yo = 0;

NOTA: Obsérvese que, tal y como se han definido los procedimientos a utilizar, la función ha de ser z[x_,y_].

12 Untitled-1


-0.200.2

-0.2

0

0.2-0.20

0.2

-0.200.2

-0.3-0.2-0.10 0.10.20.3-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3



-0.0200.02

-0.02

0

0.02-0.020

0.02

-0.0200.02

-0.03-0.02-0.0100.010.020.03-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03


-0.00200.002

-0.002

00.002-0.002

00.002

-0.00200.002

-0.003-0.002-0.00100.0010.0020.003-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

0.003

ü 1.4. Evaluación numérica

Otra posible forma de obtener información útil de una función en las proximidades de un punto es mediante evaluaciones

numéricas.

Consiste en definir una tabla de valores en torno al punto donde se calcula al límite y observar los resultados.

Ejemplo 1.4.1 .-

Calcular el límite en el origen de coordenadas de la función f (x,y)=xy

Ix2+y2M utilizando una evaluación numérica.

Solución.

Clear@fD


f@x_, y_D :=x y

x2 + y2

Se declaran los valores de a,b,n y h, que se corresponden con las coordenadas del punto donde se calcula el límite (a,b), el

número de puntos por eje que tomamos n y la longitud de paso entre los citados puntos h. En este caso, estos valores se

Untitled-1 13

eligen teniendo en cuenta que a=b=0, ya que evaluamos el límite en el origen, mientras que el valor de n y de h es por

elección.

a = 0; b = 0; n = 5; h = 0.1;

Con el comando Table se genera una tabla de valores en torno al origen.

Table@f@a + j h, b + k hD, 8j, 1, n<, 8k, 1, n<D

880.5, 0.4, 0.3, 0.235294, 0.192308<, 80.4, 0.5, 0.461538, 0.4, 0.344828<,80.3, 0.461538, 0.5, 0.48, 0.441176<, 80.235294, 0.4, 0.48, 0.5, 0.487805<,80.192308, 0.344828, 0.441176, 0.487805, 0.5<<

Con el comando TableForm colocamos los valores en columnas.

TableForm@Table@f@a + j h, b + k hD, 8j, 1, n<, 8k, 1, n<DD

0.5 0.4 0.3 0.235294 0.192308

0.4 0.5 0.461538 0.4 0.344828

0.3 0.461538 0.5 0.48 0.441176

0.235294 0.4 0.48 0.5 0.487805

0.192308 0.344828 0.441176 0.487805 0.5

Dado que los valores no se "agrupan" en torno a un valor fijo, pensamos inicialmente que no existe el límite doble.

Probamos de nuevo modificando los valores de n y h. Al aumentar n y disminuir h, el número de resultados es mayor y la

información más precisa.

a = 0; b = 0; n = 10; h = 0.0001;

TableForm@Table@f@a + j h, b + k hD, 8j, 1, n<, 8k, 1, n<DD

0.5 0.4 0.3 0.235294 0.192308 0.162162 0.14 0.123077

0.4 0.5 0.461538 0.4 0.344828 0.3 0.264151 0.235294

0.3 0.461538 0.5 0.48 0.441176 0.4 0.362069 0.328767

0.235294 0.4 0.48 0.5 0.487805 0.461538 0.430769 0.4

0.192308 0.344828 0.441176 0.487805 0.5 0.491803 0.472973 0.449438

0.162162 0.3 0.4 0.461538 0.491803 0.5 0.494118 0.48

0.14 0.264151 0.362069 0.430769 0.472973 0.494118 0.5 0.495575

0.123077 0.235294 0.328767 0.4 0.449438 0.48 0.495575 0.5

0.109756 0.211765 0.3 0.371134 0.424528 0.461538 0.484615 0.496552

0.0990099 0.192308 0.275229 0.344828 0.4 0.441176 0.469799 0.487805

Observamos de nuevo la no existencia del límite, dado que los valores no se "agrupan" en torno a un valor fijo.

Si se quiere saber a qué valor de la función corresponde cada uno de los resultados hay que utilizar el comando ToString.

NOTA:La utilización de dicho comando para generar una tabla de valores de la función en forma "clásica" no es evidente

sino que requiere conocimientos avanzados de Mathematica.

TableForm@Table@"f@" > ToString@a + j hD > "," >

ToString@b + k hD > "D = " > ToString@f@a + j h, b + k hDD, 8j, 1, n<, 8k, 1, n<[email protected],0.0001D = 0.5 [email protected],0.0002D = 0.4 [email protected],0.0003D = 0.3

[email protected],0.0001D = 0.4 [email protected],0.0002D = 0.5 [email protected],0.0003D = 0.461538









14 Untitled-1

Se utiliza el comando Flatten para que aparezcan los resultados en una única columna, ya que dado el número de puntos

elegido no se ven bien todos los valores en la misma pantalla:

TableForm@Flatten@Table@"f@" > ToString@a + j hD > "," >

ToString@b + k hD > "D = " > ToString@f@a + j h, b + k hDD, 8j, 1, n<, 8k, 1, n<[email protected],0.0001D = 0.5

[email protected],0.0002D = 0.4


















































Untitled-1 15


















































Como los valores oscilan en torno al origen, NO existe límite.

Ejemplo 1.4.2 .-

Conseguir el valor del límite en el origen de coordenadas de la función f (x,y)=senHx yL

x y utilizando una evaluación numérica.

16 Untitled-1

Solución.

Clear@fD


f@x_, y_D :=Sin@x yD

x y

Se declaran los valores de a,b,n y h con el mismo significado que antes. Estos valores se eligen teniendo en cuenta que

a=b=0, ya que evaluamos el límite en el origen, mientras que el valor de n y de h es por elección.

a = 0; b = 0; n = 5; h = 0.1;

Con el comando Table se genera una tabla de valores entorno al origen.


880.999983, 0.999933, 0.99985, 0.999733, 0.999583<,80.999933, 0.999733, 0.9994, 0.998934, 0.998334<,80.99985, 0.9994, 0.998651, 0.997602, 0.996254<,80.999733, 0.998934, 0.997602, 0.995739, 0.993347<,80.999583, 0.998334, 0.996254, 0.993347, 0.989616<<

A la vista de los resultados, el límite parece valer 1. Probamos modificando los valores de n y h.

n = 10; h = 0.01;


881., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.<,81., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 0.999999, 0.999999<,81., 1., 1., 1., 1., 0.999999, 0.999999, 0.999999, 0.999999, 0.999999<,81., 1., 1., 1., 0.999999, 0.999999, 0.999999, 0.999998, 0.999998, 0.999997<,81., 1., 1., 0.999999, 0.999999, 0.999999, 0.999998, 0.999997, 0.999997, 0.999996<,81., 1., 0.999999, 0.999999, 0.999999, 0.999998, 0.999997, 0.999996, 0.999995, 0.999994<,81., 1., 0.999999, 0.999999, 0.999998, 0.999997, 0.999996, 0.999995, 0.999993, 0.999992<,81., 1., 0.999999, 0.999998, 0.999997, 0.999996, 0.999995, 0.999993, 0.999991, 0.999989<,81., 0.999999, 0.999999, 0.999998, 0.999997, 0.999995, 0.999993,

0.999991, 0.999989, 0.999987<, 81., 0.999999, 0.999999, 0.999997,

0.999996, 0.999994, 0.999992, 0.999989, 0.999987, 0.999983<<

Si se quieren representar los datos de un modo más claro:


ToString@b + k hD > "D = " > ToString@f@a + j h, b + k hDD, 8j, 1, n<, 8k, 1, n<[email protected],0.01D = 1.

[email protected],0.02D = 1.















Untitled-1 17

























































18 Untitled-1





























Lo cual nos permite decir que el límite es 1.

Ejemplo 1.4.3 .-

Calcular el límite en el punto (0,-2) de la función f (x,y)=x3 senIy2-4M

Hy+2L senx utilizando una evaluación numérica.

Solución.

Clear@fD


f@x_, y_D :=x3 SinAy2 − 4EHy + 2L Sin@xD

Se define el punto (a,b) donde se calcula el límite, la longitud de paso, por ejemplo, h=0.1 y el número de puntos en cada eje,

n=5.

NOTA: Tanto la longitud de paso como el número de puntos en cada eje, de nuevo, es una elección.

a = 0; b = −2; n = 5; h = 0.1;

Se genera una tabla con los valores de la función en torno al punto (0,-2).


88−0.0380823, −0.0345035, −0.0299064, −0.0248278, −0.0197126<,8−0.153094, −0.138707, −0.120226, −0.0998099, −0.0792461<,8−0.347357, −0.314714, −0.272783, −0.22646, −0.179802<,8−0.624831, −0.566113, −0.490687, −0.40736, −0.323432<,8−0.99126, −0.898108, −0.778448, −0.646254, −0.513107<<

Untitled-1 19

Se observa que los valores oscilan en un entorno del 0, luego no estamos seguros si existe el límite. Se varían los valores

iniciales.

a = 0; b = −2; n = 5; h = 0.01;


88−0.000398901, −0.000397586, −0.000396069, −0.000394353, −0.000392444<,8−0.00159568, −0.00159043, −0.00158435, −0.00157749, −0.00156985<,8−0.00359059, −0.00357876, −0.00356509, −0.00354965, −0.00353246<,8−0.00638401, −0.00636297, −0.00633868, −0.00631122, −0.00628067<,8−0.00997651, −0.00994364, −0.00990568, −0.00986276, −0.00981502<<

Ahora los valores están muy próximos al 0; podemos decir que el límite existe y su valor es 0.

Si se quieren representar los datos de un modo más claro:


ToString@b + k hD > "D = " > ToString@f@a + j h, b + k hDD, 8j, 1, n<, 8k, 1, n<[email protected],−1.99D = −0.000398901

[email protected],−1.98D = −0.000397586
























Representamos, la función y sus curvas de nivel para "corroborar" gráficamente lo deducido, siguiendo el proceso descrito

en el ejemplo 1.3.1:

f@x_, y_D :=x3 SinAy2 − 4EHy + 2L Sin@xD

; xo = 0; yo = −2;

graf@ε_D :=

Plot3D@f@x, yD, 8x, xo − ε, xo + ε<, 8y, yo − ε, yo + ε<, DisplayFunction → IdentityD;cniv@ε_D := ContourPlot@f@x, yD, 8x, xo − ε, xo + ε<, 8y, yo − ε, yo + ε<,

ColorFunction → Hue, Contours → 7, DisplayFunction → IdentityD;

20 Untitled-1


-0.200.2

-2.2

-2

-1.8-0.3-0.2-0.1

0

-0.200.2

-0.3-0.2-0.10 0.10.20.3-2.3

-2.2

-2.1

-2

-1.9

-1.8

-1.7

ü 1.5. Pasando a coordenadas polares

Uno de los métodos "positivos" para el cálculo de límites dobles consiste en pasar a coordenadas polares con origen en el

punto (a,b) (véase la NOTA 3 de la página 45 del libro). Dicho cambio de coordenadas está dado por las ecuaciones: x= a

+ rcos(q), y= b + rsen(q).

En esas condiciones, y con la notación del libro, se tiene que lim f Hx, yLHx,yL→Ha,bL

=lim F Hr, θLr→0

, siempre que el segundo

límite exista y sea independiente de la r. La situación más común que garantiza la existencia de límite es que podamos

escribir F(r,q) =g(r) h(r,q) con g(r) tendiendo a cero y h(r,q) acotada.

Se puede expresar la función en coordenadas polares mediante la instrucción:

Cpolares@f_, a_, b_D := Simplify@f@x, yD ê. 8x −> a + r Cos@θD, y −> b + r Sin@θD<D

Obsérvese la útil presencia del comando Simplify, pues dada la naturaleza del cambio a coordenadas polares, es conveniente

utilizar expresiones trigonométricas lo más sencillas posibles.

Veamos cómo nos ayuda Mathematica en este cálculo.

Ejemplo 1.5.1 .-

Calcular el límite en el origen de coordenadas de la función f (x,y)=x2 y2

Ix2+y2M3

2

Solución.

Se define entonces la función:

f@x_, y_D :=x2 y2

Ix2 + y2M3

2

Se le aplica la "función de cambio", que la transforma en coordenadas polares:

Cpolares@f, 0, 0D

r2 Cos@θD2 Sin@θD2

De acuerdo con la estrategia teórica, véase NOTA 3 página 45 del libro, la función g(r) = r2 tiende a cero, mientras que

la función h(r,q)=cosHqL2 senHqL2 se mantiene acotada (véase la gráfica en un intervalo de longitud 2p)

Untitled-1 21

PlotACos@θD2 Sin@θD2, 8θ, 0, 2 π<E;

1 2 3 4 5 6

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

por lo que se puede concluir que el límite doble es cero, resultado que viene confirmado ejecutando la instrucción

Limit@Cpolares@f, 0, 0D, r → 0D

0

Ejemplo 1.5.2 .-

Calcular el límite de la función f(x,y)=x2 y2

x2+y2 en el origen de coordenadas.

Solución.


f@x_, y_D :=x^2 y^2

x^2 + y^2

Se repiten las instrucciones del ejemplo anterior

Cpolares@f, 0, 0D

r2 Cos@θD2 Sin@θD2

De acuerdo con la estrategia teórica, dado que la función g(r) = r2 tiende a cero, mientras que la función

h(r,q)=cosHqL2 senHqL2 se mantiene acotada (véase la gráfica en un intervalo de longitud 2p del ejemplo anterior).Se puede

concluir que el límite doble es cero, resultado que viene confirmado ejecutando la instrucción


0

Ejemplo 1.5.3 .-

Calcular el límite de la función f(x,y)=xy-x-y+1

Hx-1L2+Hy-1L2 en el punto (1,1).

Solución.


f@x_, y_D :=x y − x − y + 1

Hx − 1L^2 + Hy − 1L^2

Se repiten, de nuevo, las instrucciones de ejemplos anteriores:

22 Untitled-1

Cpolares@f, 1, 1D

Cos@θD Sin@θD


Cos@θD Sin@θD

En este caso el límite depende del ángulo q. Podemos afirmar, por tanto, que el límite doble no existe.

Ejemplo 1.5.4 .-

Usar el cambio a polares para demostrar que no existe límite en el origen de coordenadas de la función f(x,y)=x4-y4+x8 y8

x4+y4

.

Solución.


Clear@fD

f@x_, y_D :=x^4 − y^4 + x^8 y^8

x^4 + y^4

Se repiten, de nuevo, las instrucciones de ejemplos anteriores:

Cpolares@f, 0, 0D

Cos@θD4 − Sin@θD4 + r12 Cos@θD8 Sin@θD8

Cos@θD4 + Sin@θD4


4 Cos@2 θD3 + Cos@4 θD

En este caso el límite depende del ángulo. Podemos afirmar entonces que el límite doble no existe.

Lo comprobamos mediante los límites reiterados, usando limre1 y limre2 :

limre1@0, 0D

−1

limre2@0, 0D

1

Lo cual demuestra que el límite doble no existe.

ü 1.6. Un recorrido por los diferentes métodos

Los ejercicios siguientes pretenden mostrar la variedad de los métodos expuestos en los apartados anteriores.

Ejemplo 1.6.1 .-

Estudiar la existencia de límite en el origen de coordenadas de la función f(x,y)= x4-y4+x8 y8

x4+y4(Es el ejemplo 1.5.4)

Untitled-1 23

Solución.


Clear@fD

f@x_, y_D :=x4 − y4 + x8 y8

x4 + y4

Se puede expresar la función en coordenadas polares mediante la instrucción Cpolares:


4 Cos@2 θD3 + Cos@4 θD

Como este límite depende de q, no existe el límite doble.

Se hallan los límites direccionales en el origen, utilizando la función lim definida en el primer apartado. Se define la

familia de rectas

φ@x_D := m x

Se halla el límite

lim@0, φD

1 − m4

1 + m4

Como el límite depende de m, el límite doble no existe.

Se hallan los límites reiterados utilizando las funciones definidas en el segundo apartado, limre1 y limre2.

limre2@0, 0D

1

limre1@0, 0D

−1

Como son distintos no existe límite doble.

También se pueden representar conjuntamente la función y sus curvas de nivel, utilizando los comandos Plot3D, Graphics-

Array,ContourPlot y las funciones definidas en el apartado 1.3, para comprobar gráficamente la no existencia de límite.

Primero se definen la función y el punto considerado:

z@x_, y_D =x4 − y4 + x8 y8

x4 + y4; xo = 0; yo = 0;

Las siguientes instrucciones, ya definidas en el apartado 1.3, permitirán representar la función en el cuadrado de lados [xo- e,

xo+e] x [yo-e,yo+e] , así como sus curvas de nivel.

graf@ε_D :=

Plot3D@z@x, yD, 8x, xo − ε, xo + ε<, 8y, yo − ε, yo + ε<, DisplayFunction → IdentityD;

cniv@ε_D := ContourPlot@z@x, yD, 8x, xo − ε, xo + ε<, 8y, yo − ε, yo + ε<,ColorFunction → Hue, Contours → 7, DisplayFunction → IdentityD;

Y ahora se pueden representar juntas usando el comando Show.

24 Untitled-1


-0.200.2

-0.2

0

0.2-1

-0.50

0.51

-0.200.2

-0.3-0.2-0.10 0.10.20.3-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3



-0.0200.02

-0.02

0

0.02-1

-0.50

0.51

-0.0200.02

-0.03-0.02-0.0100.010.020.03-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Ejemplo 1.6.2 .-

Estudiar la existencia de límite en el punto (1,1) de la función f(x,y)= 3 x-3 x2+x3-4 y+6 y2-4 y3+y4

-2+3 x-3 x2+x3+4 y-6 y2+4 y3-y4.

Solución.

Igual que en ejemplo anterior vamos a utilizar los distintos métodos vistos hasta ahora.


Clear@fD

f@x_, y_D :=3 x − 3 x2 + x3 − 4 y + 6 y2 − 4 y3 + y4

−2 + 3 x − 3 x2 + x3 + 4 y − 6 y2 + 4 y3 − y4

Se puede expresar la función en coordenadas polares mediante la instrucción:

Cpolares@f, 1, 1D

Cos@θD3 + r Sin@θD4

Cos@θD3 − r Sin@θD4


1

"Aparentemente" el límite NO depende de q. Por lo tanto podríamos pensar que existe límite doble y vale 1.

Pero si observamos la expresión resultante del cambio a coordenadas polares vemos que el límite sí depende de q. Si nos

acercamos al origen de coordenadas por el eje OY, es decir con cos(q)=0, según esa dirección el límite vale -1

Esto quedará corroborado cuando chequeemos el procedimiento de los límites reiterados.

Se hallan los límites direccionales en el punto, utilizando la función definida en el apartado 1.1. Se define la familia de

rectas que pasan por el punto (1,1), de la forma y =f(x) = b + m (x - a):

φ@x_D := 1 + m Hx − 1L

Se halla el límite

Untitled-1 25

lim@1, φD

1

El límite vuelve a ser 1.

Se hallan los límites reiterados utilizando la función definida en el apartado 1.2.

limre1@1, 1D

−1

limre2@1, 1D

1

Como los límites son distintos no existe límite doble, resultado que ya habíamos anticipado en el método del paso a polares.

También podemos utilizar las técnicas gráficas como hemos hecho en el ejemplo anterior.

Primero se definen la función y el punto:

z@x_, y_D =3 x − 3 x2 + x3 − 4 y + 6 y2 − 4 y3 + y4

−2 + 3 x − 3 x2 + x3 + 4 y − 6 y2 + 4 y3 − y4; xo = 1; yo = 1;

Y ahora se representan juntas, mediante los procedimientos usuales, usando el comando Show.


0.81

1.20.8

1

1.2-4-2024

0.81

1.20.70.80.9 1 1.11.21.3

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

Obsérvese la utilidad de los paquetes de cálculo simbólico para tratar problemas "no preparados". Es disuasorio hacer esto "a

mano".

Ejemplo 1.6.3 .-

Calcular el límite de la función f(x,y)=e2 x y -x - y-1

x + y-2 en el punto (1,1). (Es el ejemplo 1.2.3.)

Solución.


f@x_, y_D :=�2 x y−x−y − 1

x + y − 2

Se repiten las instrucciones del ejemplo anterior

Cpolares@f, 1, 1D

−1 + �r HCos@θD+Sin@θD+r Sin@2 θDL

r HCos@θD + Sin@θDL

Dado el resultado obtenido, no somos capaces de determinar si la función tiene límite o no, mediante el paso a polares, ya

que no es evidente obtener una función del tipo g(r) h(r,q). Probamos, no obstante a calcular el límite de la expresión anterior

cuando rØ0.

26 Untitled-1


1

Intentamos comprobar este resultado por otros métodos. Probamos con los límites reiterados, mediante las expresiones

limre1 y limre2 (esto ya se hizo en el ejemplo 1.2.3).

limre1@1, 1D

1

limre2@1, 1D

1

Ambos límites son iguales.

Probamos con límites según subconjuntos (concretamente según la familia de rectas que pasan por el punto (1,1)), mediante

el procedimiento lim :

φ@x_D := 1 + m Hx − 1L

lim@1, φD êê Simplify

1

También podemos utilizar las técnicas gráficas como hemos hecho en los ejemplos anteriores.

Primero se definen la función y el punto:

z@x_, y_D =�2 x y−x−y − 1

x + y − 2; xo = 1; yo = 1;

Y ahora se representan juntas, mediante los procedimientos usuales, usando el comando Show.


0.950.975

11.025

1.050.95

0.97511.0251.05

0.81

1.2

0.950.975

11.025

1.05

0.960.98 1 1.021.04

0.96

0.98

1

1.02

1.04

Las gráficas nos hacen pensar que no existe el límite, ya que existe una ruptura en las curvas de nivel.

Esto se corrobora ya que encontramos un subconjunto en el que el límite vale distinto de lo que valía anteriormente (antes

nos había dado como valor del límite 1):

φ1@x_D := 2 − x − Hx − 1L^2

lim@1, φ1D êê Simplify

3

Untitled-1 27

1. Cálculo de límites para funciones de dos...

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