1.Límite de una función en un punto. Límites laterales. 2.Continuidad de funciones 3.Límites en...

1. Límite de una función en un punto. Límites laterales.

2. Continuidad de funciones

3. Límites en el infinito. Asíntotas.

4. Cálculo de límites en un punto.

5. Cálculo de límites en el infinito.

6. Límites trigonométricos.

Límites y continuidad de funciones.

Límite de una función en un punto. Límites laterales.

Decimos que la función f tiene límite L en x = a, cuando al aproximar x hacia

a, f(x) se aproxima hacia L. Simbólicamente se escribe:

Ejemplo.-

limx a

f x L

2

2

4Si lim 4

2 x

xf x f x

x

Los límites por la izquierda y por la derecha se denomina límites laterales y

se representan simbólicamente por: lim limx a x a

f x y f x

Ejemplo.-

1

1

1Si

2 1

lim 1

lim 2x

x

x si xf x

si x

f x

f x

El límite limx af(x) = L existe si existen a su vez los límites laterales y éstos

son iguales, o sea: lim limx a x a

f x f x L

Continuidad de funciones.

La función f es continua en x = a, si existe el límite de f cuando x tiende

hacia a y su valor coincide con f(a). Es decir:

limx a

f x f a

Ejemplo.-

0

0

0 0

lim 11 0Si

1 0 lim 1

Como lim lim 0 1

x

x

x x

f xx si xf x

si x f x

f x f x f

Como Limx 0f(x) = f(0) la función f es continua en x =0

Discontinuidades de funciones.

Ejemplo.-

1

1

1 1

lim 1 1Si

2 1 lim 1

Como lim lim 1

x

x

x x

f xx si xf x

x si x f x

f x f x

Como, no existe f(1), f no es continua en x = 1. Sin embargo, dado que

bastaría añadir este punto para que fuera continua x = 1, decimos que f tiene

en x = 1 una discontinuidad evitable


Ejemplo.-

0

0

1 1

lim 11 0Si

1 0 lim 1

Como 0 1 lim lim 1

x

x

x x

f xsi xf x

si x f x

f f x f x

f no es continua en x = 0. Y decimos que f tiene en x = 0 una discontinuidad

inevitable de salto finito.


Ejemplo.-

0

0

1 1

1 lim 0Si

lim0 0

Como 0 0 lim lim

x

x

x x

f xsi xf x x

f xsi x

f f x f x

f no es continua en x = 0. Y decimos que f tiene en x = 0 una discontinuidad

inevitable de salto infinito.

Funciones continuas.

Una función f es continua en un intervalo, cuando lo es en todo punto de

dicho intervalo. Y es continua, cuando los es en todo su dominio si es un

intervalo real.

Algunas funciones continuas son: los polinomios, la funciones de sen x y

cos x, las funciones exponenciales y logarítmicas, …

Algunas funciones discontinuas son: la función tangente, la función 1/x, …

Además, la suma, producto y composición de funciones continuas son

funciones continuas, y el cociente de funciones continuas es una función

continua si la función del denominador es distinta de cero para cualquier

valor de x.

Límites en el infinito. Asíntotas.

Si

Decimos que f(x) tiene una asíntota horizontal y = k (recta a la que se

aproxima la función en el infinito, pero nunca llega a cortarla)

lim o limx x

f x k f x k

Ejemplo.- Si como

Si

Decimos que f(x) tiene una asíntota vertical x = a (recta vertical a la que se

aproxima la función, pero nunca llega a cortarla)

lim o limx a x a

f x f x

12

1f x

x

1 1

lim 2 lim ; lim ; limx x x x

f x f x f x f x

La función f, tiene una asíntota horizontal y = 2 y una asíntota vertical x = 1

Cálculo de límites en un punto.

Limite de funciones continuas.- Para calcular el límite de f basta con

sustituir en la función f(x)

Ejemplo.-2 2

3 33

2 3 2.3 15 3lim

2 3 2 25 5x

x x

x

Limite del tipo k/0 (k0).- Se calculan los límites laterales, que serán - y

+, resultado una asíntota vertical en dicho punto

Ejemplo.-3

3

3

2lim

32 5lim ;

3 0 2lim

3

x

x

x

x

xx

x x

x

Cálculo de límites en un punto.

Indeterminación del tipo 0/0 de una función racional .- Hay que estudiar

cada caso en particular (en ocasiones simplificando)

Ejemplo.-

22

22 2 2

24 4 2 0lim lim lim 0

2 8 2 4 4 6x x x

xx x x

x x x x x

Indeterminación del tipo 0/0 de una función irracional .- Hay que estudiar

cada caso en particular (en ocasiones se multiplica por el conjugado)

Ejemplo.-

5 5 5

5

1 2 1 21 2 5lim lim lim

5 5 1 2 5 1 2

1 1 1lim

41 2 5 1 2

x x x

x

x xx x

x x x x x

x

Cálculo de límites en el infinito.

Limites no indeterminados.- Algunos límites se pueden calcular de manera

inmediata

Ejemplos.- ya que en el

primer caso es evidente, en el segundo caso, cuando x tiende a infinito -

3x+2 es despreciable frente a –x3, y en el tercer caso, conforme crece x en

valor absoluto, 1/x es mas pequeño.

3 1lim ; lim 3 2 ; lim 0;x x xx x x

x

Limite del tipo / en funciones racionales.- Se divide el numerador y el

denominador por x elevado a la máxima potencia del denominador y se

calcula el límite en cada uno de los términos del numerados y

denominador.

Ejemplo.-3 2 3

3 2

3

3 413 4 1 0 1

lim lim4 62 4 6 2 0 0 22

x x

x x x xx x

x x


Indeterminación del tipo -.- En ocasiones se intentar convertirla a /.

Ejemplo.-

2 2 32 3

2 2

4 3 2 2 3

3 2

2 3

3 2 5 4 1 3 5 13 3 5 1lim lim

1 2 5 4 1 2 5 4

5 9 1122 5 9 11 2 0 0 0

lim lim7 9 42 7 9 4 2 0 02

x x

x x

x x x x x xx x x

x x x x x x

xx x x x x x xx x x

x x x

0


Indeterminación del tipo - con radicales.- En ocasiones se multiplica y

divide por la expresión conjugada

Ejemplo.-

1 1 1 1lim 1 1 lim

1 1

2lim 0

1 1

x x

x

x x x xx x

x x

x x

Límites trigonométricos

Veamos algunos ejemplos de límites de funciones trigonométricas

Ejemplos.-

0 0

Teniendo en cuenta:

sen tg 11

sen sen sen cos1

lim lim 1sen cosx x

x x x

x x x xx

x x

2

22 2

2 2

2

20 0

Teniendo en cuenta que:

cos 1 cos 1cos 1 cos 1

cos 1 cos 1

1

cos 1 cos 1 cos 1

cos 1 1 1lim lim 0 1 02cos 1x x

x xx x

x x x x x

x sen xsen x sen xx

x x x x x x

x sen xx

x x x

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

En la siguiente diapósitiva


Matemática de GAUSS del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)



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Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/m

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