Introducción a Límites de Funciones Definición heurística de los límites finitos de una...

Introducción a Límites de Funciones

Definición heurística de los límites finitos de una funciónEjemplos de cálculo de límitesLímites infinitos y asíntotasResumen

Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de

Funciones.

Límites de FuncionesDefiniciónDefinición

EjemploEjemplo

NotaciónNotación

Una función f tiene el límite finito L en el punto x0 si los valores f(x) se acercan al número finito L cuando la x se acerca a x0 pero no es x0.

Observar que el valor de f en x0 no importa para calcular el valor del límite (puede no existir). El límite puede existir incluso si la función no está definida para x =x0.

La función

Tiene límite 0 cuando x 0 a pesar de que f(0) = 1.

1s n , 0

f

1, 0

x e xx x

x

0

lim fx x

x L

Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

Primeros Pasos para Calcular Límites

Para calcular el límite de f para x0, lo primero que hay que hacer es evaluar la función en x = x0. Si el valor de la función es un número definido, entonces, en la mayoría de los casos, este es el límite.

EjemploEjemplo Calcular el límite

2

1

1lim .

1x

xx

SoluciónSolución Evaluando para x = 1, obtenemos el valor 0. 2 1

1xx

Concluimos que 2

1

1lim 0.

1x

xx

Esto es correcto, como puede verse reescribiendo la expresión:

2

1

1 111 0.

1 1 x

x xxx

x x


Primeros Pasos para Calcular LímitesSustituir el límite no siempre nos lleva a resultados correctos incluso si el valor de la función en el límite está bien definido por la sustitución.

Como ejemplo para una situación así, introduce la función “floor” x definida como x = el mayor entero ≤ x. Tenemos 0.1=0, −0.1= −1, 2.0=2.

El valor −1 para el límite sale de que 0 < x < 1, x = 0, y −x= −1. Por tanto f(x) = −1 para todo x, 0 < x < 1.

Como f(−x) = f(x), f(x) = −1 también para todo x, −1 < x < 0.

Por lo tanto, como la función toma siempre el valor -1 para todo x satisfaciendo que 0 < |x − 0| < 1, el límite de la función f en 0 es −1.

EjemploEjemplo

0

limf 1 f 0 .x

x

Sea f(x) = x + −x. Claramente f(0) = 0, pero


Averiguar Límites con Cálculos en Puntos Cercanos

Valor de x

1.1 2.1

1.001 2.001

1.00001 2.000

Valor de x

0.9 1.9

0.999 1.999

0.999999 2.000

En general, podemos encontrar el límite simplemente calculando los valores de la función cerca del punto límite.

EjemploEjemplo Encontrar el valor del límite

Calculando valores de cerca de x = 1.

2

1

1lim

1x

xx

2 11

xx

SoluciónSolución

2 11

xx

2 11

xx

Se concluye que el límite es aparentemente 2. Este es el resultado correcto, como demostraremos más adelante con otros métodos.


Averiguar Límites con Cálculos en Puntos Cercanos

Valor de x

0.1 0.4999

0.01 0.5000

0.001 0.0000

No nos podemos fiar siempre de las calculadoras.

EjemploEjemplo Averiguar el valor del límite calculando valores de próximos a x = 0.

4

40

1 1limx

xx

4

4

1 1xx

SoluciónSolución

El límite parece ser 0.

Este resultado es incorrecto.

4

4

1 1xx

Para valores positivos de x menores que 0.001, una calculadora da el valor 0 como resultado.

Estos problemas surgen por los errores de redondeo

Calculando por el método de reescribir, observamos que:

4

40

1 1 1lim .

2x

xx


Errores de RedondeoLas siguientes gráficas de la función muestran los errores de redondeo en el cálculo de valores de la función.

4

4

1 1f

xx

x

-0.001 < x < 0.001-1 < x < 1

Estas gráficas, obtenidas por un programa informático, muestran el error del redondeo. La gráfica de la izquierda muestra correctamente el comportamiento de la función f cerca de x = 0. Al aproximarnos al origen, observamos que se ha cometido un error por el redondeo.


Límites InfinitosDefiniciónDefinición

NotaciónNotación

Una función f tiene límite +∞ en el punto x0 si los valores f(x) se hacen muy grandes al aproximarse x al punto x0.

0

lim fx x

x

EjemploEjemplo 20

1limx x

Debido a que, cuanto más se aproxima x a 0, 1/x2 se hace mayor.

Por ejemplo, si x = 0.01, 22

1 110000.

0.01x

Que significa que la gráfica de dicha

función tiene una asíntota vertical en x = 0.

20

1limx x


Límites InfinitosDefiniciónDefinición

NotaciónNotación

Una función f tiene límite −∞ en el punto x0 si los valores f(x) se hacen muy grandes y negativos al aproximarse x a x0.

0

lim fx x

x

EjemploEjemplo 20

1limx

xx

Debido a que cuanto más se aproxima x a 0, (x−1)/x2 es un número negativo muy grande.

Por ejemplo, si x = 0.01, 22

1 0.1 19000.

0.01

xx

También en este caso, que sea significa que la gráfica de la función

tiene una asíntota vertical en x = 0.

20

1limx

xx

2

1xx


Límites en el InfinitoDefiniciónDefinición

NotaciónNotación

Una función tiene límite L cuando x se aproxima a +∞ o − ∞, si los valores de f(x) se aproximan al valor L cuando x se hace suficientemente grande (positiva o negativa).

lim fx

x L

EjemploEjemplo 2

1lim 0x x

Debido a que cuando x crece, 1/x2 se aproxima a 0.

Por ejemplo, si x = 1000, 22

1 10.000001.

1000x

Que significa que la gráfica de la

función tiene la asíntota horizontal y = 0.

2

1lim 0x x

y lim f .x

x L


Cálculo de Límites en el InfinitoPara calcular límites en el infinito, se

pueden seguir los siguientes pasos:

1. ∞ (nº >0) = ∞

2. ∞ (nº <0) = −∞

3. ∞ + (cualquier nº finito) = ∞

4. (cualquier nº)/∞ = 0

¡CUIDADO! Estas son indeterminaciones:

∞ − ∞, ∞ 0

∞0, ∞ /∞

EjemploEjemplo2

2

1lim 1

1x

x xx

ya que

2 2

2

2

1 111

111 1

x

x x x xx

x

Porque tanto 1/x como 1/x2 tienden a 0 cuando x es muy grande.


ResumenEl límite de una función cuando x tiende a x0 es el número al que se aproximan los valores de f cuando x x0.

Aproximar quiere decir que los valores de f se acercan al límite cuando x se acerca lo suficiente a x0.

CUIDADOCUIDADO El valor de la función en x = x0 no afecta para nada al límite.

x0

Lεε

δ δ

Acercarse al valor límite significa acercarse más que cualquier distancia positiva dada ε por pequeña que sea.

Acercarse a x0 se expresa como la existencia de un número positivo δ como en la imagen.


Cálculo en una variableAutor: Mika Seppälä

Traducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa

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