2 Límites de Funciones Ok

7/25/2019 2 Lmites de Funciones Ok

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LMITES DE FUNCIONES Y

SUS PROPIEDADES

Ing. Carlos JosSandoval Reyes


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Para el clculo de los lmites de una funcin

se pueden aplicar tres estrategias:

1. Procedimiento numrico (aproximado):

Elaborar una Tabla de valores

2. Procedimiento grfico (aproximado):

ibu!ar una Grfica

". Procedimiento analtico (exacto):

#tili$ar el lgebra o el Clculo.

LMITE DE FUNCIONEEl concepto de lmite es fundamental en el estudio del %lculo. &a descripcin de dos

problemas clsicos del %lculo: el problema de la recta tangente ' el problema del

rea ilustran la forma en ue inter*ienen los lmites en el %lculo.



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EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE

Se tiene una funcin f y un punto P de su grfica y se

trata de encontrar la ecuacin de la recta tangente a

la grfica en el punto P.

Excepto cuando la recta tangente es *ertical el

problema de +allar la recta tangente en el punto P

eui*ale a determinar la pendiente de la recta tangente

en P.

,e puede calcular aproximadamente esta pendiente

tra$ando una recta ue pase por el punto de tangencia '

por otro punto. -al recta se llama rectasecante.



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medida ue el punto / se aproxima al

punto P la pendiente de la recta secante

se aproxima a la de la recta tangente.

%uando existe tal 0posicin lmite se dice

ue la pendiente de la recta tangente es el

lmite de la pendiente de la recta secante



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Determinar el rea de una regin plana

delimitada por grficas de funciones.

Este problema tambin se puede resol*er

mediante un proceso del lmite. En este caso

el proceso del lmite se aplica al rea de un

rectngulo con el fin de encontrar el rea de

una regin en general.

EL !"O#LEM$ DEL "E$



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%onsiderar la $ona acotada por la grfica de la funcin el e!ex' las rectas *erticales .,e puede estimar su rea usando *arios rectngulos. l aumentar el nmero de

rectngulos la aproximacin me!ora cada *e$ ms 'a ue reduce el rea ue se pierde.

El ob!eti*o consiste en determinar el lmite de la suma de las reas de los rectngulos

cuando su nmero crece sin fin.



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CLCULO DE LMITE DE M$NE"$ G"FIC$ % NUM&"IC$INTRODUCCIN A LOS LMITES

Suponer que se pide dibujar la grfca de la uncin dada por:

En , la uncin es indeterminada. Para obtener una idea del comportamiento de la

grfca de cerca de , se pueden usar dos conjuntos de valores dex, uno que seaproime a! por la i"quierda # otro que lo $aga por la derec$a.

ESTIMACIN NUMRICA DE UN LMITE



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Esto se lee: %el l&mite de cuandox se aproima a ! es '(.

Si se acerca a un n)mero cuandoxtiendea cpor cualquiera de los dos lados, se

tiene:

ESTIMACIN GRFICA DE UN LMITE



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ocente + -ng. *arlos Sandoval /e#es

EJEMPLO 1: ESTIMACIN NUMRICA DE UN LMITEEvaluar la uncin en varios puntos cercanos a # usar el resultado para

estimar el l&mite:



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EJEMPLO 2: CLCULO DE UN LMITE

Encontrar el l&mite de f(x) cuandoxse aproima a 1, donde f se defne

como

Solucin:

Puesto que para todos los x distintos de, se

puede concluir que el l&mite es !.

Por tanto, se puede escribir

El $ec$o de que no in2u#e en la eistencia ni

en el valor del l&mite cuando se aproima a 1.

Por ejemplo, si se $ubiera defnido la uncin

como

,el lmite sera el

mismo.

!



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LMITE 'UE NO E(ITEN EJEMPLO 3: COMPORTAMIENTO DIFERENTE POR LA DERECHA E

IZQUIERDA

emostrar que el siguiente l&mite no eiste:

Solucin:

*onsiderar la grfca de la uncin .En la fgura apreciamos que para los

valores positivos de .

ientras que para los valores negativos

Esto signifca que, independientemente de cunto se aproimexa 3, eistirn

tanto valores positivos como negativos de que darn .

El lmite no existe.



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EJEMPLO : COMPORTAMIENTO NO ACOTADO

4nali"ar la eistencia del l&mite

Solucin:

Sea

Se puede observar que a medida que x se

aproima a 3 tanto por la derec$a como por

la i"quierda, crece sin l&mite.

Esto quiere decir que, eligiendo un valor de

x cercano a 3, solo se logra que tenga un

valor mu# grande.

El lmite no existe.



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EJEMPLO !: COMPORTAMIENTO OSCILANTE

4nali"ar la eistencia del l&mite sen



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Eisten muc$as otras unciones interesantes que presentan

comportamientos inusuales. 5na de las que se cita con ma#or recuencia

es la funcin de iric!let:

Esta uncin carece de lmite en cualquier n)mero real c.

No existe lmite



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DEFINICI)N "IGU"O$ DEL LMITE*$gus+,- Louis Cauc/0

Seaf una uncin defnida en un intervalo abierto

que contiene a c6salvo posiblemente en c7 # Lun

n)mero real, entonces:

Estamos afrmando que el l&mite eiste # es igual

a ".

4lgunas unciones carecen de l&mite cuandoxc,

pero "#$%&&"' #$% &( )('%%* *( )$%+%*

,%*%- +(' &./0,%' +0%-%*,%' $"*+(xc.

Es decir,

S0 %& &./0,% +% $*" $*0* %40',%5 %*,(*%'%' 6*0(7



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CLCULO $N$LTICO DE LMITE PROPIEDADES DE LOS LMITES

El l&mite de cuando x se aproima a c no

depende del valor de f en .

Sin embargo, puede darse el caso de que este

l&mite sea

En esta situacin, se puede evaluar el l&mite por

'$',0,$0* +0-%,". Esto es:

, sustituir cporx

8as unciones con este #uen com$ortamiento son(*,0*$"' %* c.



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E8ALUACIN DE LMITES BSICOS

Se lee:%l lmite de cuando x se a$roxima a c es

&&&.

LMITES BSICOS



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LMITES DE FUNCIONES



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CLCULO $LGE#"$ICO DEL LMITE DE UN$ FUNCI)N

E8ALUACIN DEL LMITE DE UN POLINOMIO

"a $ro$iedad de sustitucin directa es vlida para todas las unciones

polinmicas # para todas las unciones racionales con denominador no

nulo.



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LMITE DE UNA FUNCIN RACIONAL

Encontrar el l&mite:

Solucin:Puesto que el denominador no es 3 cuando, se puede aplicar el teorema

anterior para obtener



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LMITE DE UNA FUNCIN COMPUESTA



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LMITES DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS


Ejemplos:


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CLCULO DEL LMITE DE UNA FUNCIN



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Solucin:Sea f6x7 9 6x'+ !76x '!7. 4l actori"ar # cancelar actores, f se puede

escribir como

e tal modo, para todos los valores de xdistintos de , las unciones coinciden,como se muestra en la fgura. Puesto que el eiste, se puede aplicar el teoremaanterior # concluir que tienen el mismo l&mite en .



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/ecuerda que algunas unciones no tienen l&mite 6cuando xtiendea c7. Por ejemplo, el siguiente l&mite no eiste



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TCNICA DE CANCELACIN


En el ejemplo, la sustitucin directa

produce la orma raccionaria 99, quecarece de signifcado. ;al epresin se

dice que es una (-/" 0*+%,%-/0*"+"

porque no es posible 6a partir slo de esa

orma7 determinar el l&mite.

Si al intentar evaluar un l&mite se llega a

esta orma, debe reescribirse la

fraccin de modo que el nuevo

denominador no tenga 0 como lmite.



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TCNICA DE RACIONALIZACIN


Solucin:

4l utili"ar la sustitucin directa, se obtiene la

orma indeterminada 33.



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Gracias

!


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