1.9. Logica de predicados 21

1.9 Logica de predicados

Problema 1.9.1 ¿Creeis que la logica de proposiciones es capaz de formalizar cualquier tipode razonamiento? Intentad encontrar los lımites de la logica de proposiciones. Para estimularla cuestion anterior, formalizad y determinad si el siguiente razonamiento es correcto o no.

Todos los hombres son mortales; por otro lado, Socrates es un hombre. Enconclusion, Socrates es mortal.

En vista del problema anterior se hace evidente que hay que ampliar la logica deproposiciones para que pueda reflejar funcionalmente el razonamiento humano. La extensionque vamos a llevar a cabo ahora es la logica de predicados. La logica de proposicionesestaba definida a partir de una sintaxis —que determinaba que formulas eran validas—, unasemantica —que trataba de la veracidad de dichas formulas— y por ultimo las estructurasdeductivas —identificar cuales son correctas y cuales falacias—. Un proceso similar se llevaraa cabo para construir la logica de predicados. Esta construccion esta basada en la logica deproposiciones y contiene a esta ultima.

1.9.1 Sintaxis de la logica de predicados

Esta primera definicion amplia el proceso de formalizacion del lenguaje natural de la logica deproposiciones.

Definicion 1.9.2 Formalizacion en logica de predicados. La formalizacion en logica depredicados requiere de los siguientes elementos:

(1) Dominio. Es un conjunto no vacıo, fijo, al que se refieren las proposiciones en cuestion.Se designa por la letra D. Cuando el dominio no se especifica, se supone que se trata delconjunto mas grande para el que tienen sentido los enunciados. En este caso hablamosdel dominio universal.

(2) Enunciados atomicos y moleculares junto con los conectivos de la logica deproposiciones.

(3) Constantes, tambien llamadas nombre de individuos. Son elementos particulares deldominio universal. Se suelen designar por las letras minusculas del principio del alfabeto,a, b, c . . .

(4) Variables. Son subconjuntos no determinados de elementos del dominio universal. Sesuelen designar por las letras minusculas del final del alfabeto, x, y, z . . .

(5) Predicados. Son relaciones o propiedades que se establecen entre los elementos deldominio universal. Se designa por letras mayusculas. Por ejemplo, P (x) es una propiedaddel conjunto de elementos de D representado por x. Los predicados pueden tenercualquier numero de argumentos, desde cero, y entonces son las variables de la logicade proposiciones; uno, como en P (x); dos, como en P (x, y); tres, como en P (x, y, z); yası sucesivamente.

22 Logica

(6) Cuantificadores. Los cuantificadores son afirmaciones sobre predicados que determinanel rango en que dichos predicados son ciertos en el dominio D. Los hay de dos tipos: losuniversales y los existenciales. El cuantificador universal, de sımbolo es 8, como enla expresion 8xP (x), significa que siempre se cumple el predicado P en el dominio D. Elsegundo tipo es el existencial, denotado por 9, como en 9xP (x), y significa que existeal menos un elemento de D, x tal que P (x) es cierta.

Ejercicio 1.9.3 Volved a hacer formalizar el razonamiento del problema 1.9.1, esta vez conlogica de predicados.

Ejercicio 1.9.4 Formalizad los siguientes enunciados en logica de predicados tomando comodominio D = {actores de cine} y como predicados: P (x) =“x es muy popular”, R(x) = “x esrico” y N(x, y) =“x hace regalo a y en Navidad”.

(1) Hay un actor de cine que es muy popular.

(2) Hay actores de cine que no son ricos.

(3) Todos los actores de cine populares son ricos.

(4) No todos los actores de cine son ricos.

(5) Sharon Stone es rica y popular.

(6) Hay actores que son ricos y hacen regalos en Navidad a Brad Pitt.

(7) Hay un actor que hace regalos en Navidad a todos los actores.

(8) Hay un actor al que todos los actores le hacen un regalo en Navidad.

(9) Todo actor de cine hace regalo en Navidad a algun actor.

Ejercicio 1.9.5 En el ejercicio anterior se considera el dominio D0 = {personas}. Anadid a lospredicados ya definidos los que sean necesarios para formalizar los cuatro primeros enunciados.

Ejercicio 1.9.6 Se considera el enunciado Todo numero real distinto de 0 tiene un inversomultiplicativo. Formalizad con un dominio universal y con el dominio de los numeros reales.Comparad ambas formalizaciones.

Problema 1.9.7 Comparad el proceso de formalizacion en logica de predicados con el de lalogica de proposiciones.

Definicion 1.9.8 El alfabeto de la logica de predicados A⌃ consta de los siguienteselementos:

• Conjunto de constantes: C = {a, b, c, . . .}.

• Conjunto de variables: V = {x, y, z, . . .}.

• Conjunto de predicados: P = {P,Q,R, . . .}.

• Las constantes logicas: {>,?}.

1.9. Logica de predicados 23

• Los cuantificadores: {8, 9}.

• El conjunto de conectivos, {¬,^,_,�!,$}.

• Los sımbolos auxiliares, que son los parentesis ( y ).

Definicion 1.9.9 Se llama termino o bien a una constante o a una variable del alfabeto delogica de predicados.

Ejercicio 1.9.10 En el dominio de los numeros enteros, se consideran las constantes y lospredicados siguientes:

a = 0, b = 1 Q(x) = “x es primo”

P (x) = “x es par” M(x, y) = “x es mayor o igual que y”

R(x, y, z) = “z es el producto de x e y” S(x, y) = “x es inverso de y”

Expresad en lenguaje natural las siguientes formulas:

(1) P (a) ^ ¬Q(b)

(2) S(b, b)

(3) M(a, b)

(4) 8xP (x)

(5) 9xP (x)

(6) 8x�P (x)_ Q(x)

�

(7) 9x�P (x)^ Q(x)

�

(8) 8x9yM(x, y)

(9) 8x9yM(y, x)

(10) 9x8yM(x, y)

(11) 9x8yM(y, x)

(12) 8x 8y�R(x, y, b) �! S(x, y)

�

(13) 8x 8y�R(x, y, a) �! M(x, a)_ M(y, a)

�

(14) 8z�9x 9y R(x, y, z) �! ¬Q(z)

�

Definicion 1.9.11 Reglas de formacion. Las reglas de formacion de la logica de predicadosson:

• Sea P un predicado n-ario (que toma n argumentos) y t1, . . . , tn n terminos del alfabeto.Entonces el sımbolo P (t1, . . . , tn) es una formula. Las constantes logicas {>,?} sonformulas. Todas estas formulas constituyen las formulas atomicas de la logica depredicados.

• Si F es una formula, entonces ¬F es formula.

• Si F y G son formulas, entonces (F � G) es una formula.

• Si F es formula y x una variable de F que no esta cuantificada, entonces 8xF y 9xF sonformulas.

El conjunto de formulas de la logica de predicados se designa por L⌃.

Ejercicio 1.9.12 Determinad si las siguientes formulas son correctas en logica de predicados.

(1) P (a)

(2) P (a, )

(3) Q(x, a)

(4) 8y Q(x, a)

(5) (R _ P (b))

(6) (8x (P (x) _ Q(x))

(7) 8x�¬P (x) ^ 9yQ(x, y)

�

(8) 8x9yM(x, y)

24 Logica

Definicion 1.9.13 Si una variable aparece sin cuantificar, bien por 8 o por 9, entonces se diceque es una variable libre. En caso contrario, se dice que la variable esta ligada.

Definicion 1.9.14 Una formula se dice que esta cerrada si no tiene variables libres.

Ejercicio 1.9.15 Dad ejemplos de formulas donde haya variables libres y ligadas. Dad tambienejemplos de formulas cerradas.

Con respecto al conectivo principal, las formulas de logica de predicados pueden no tenerlo.La definicion siguiente aclara la situacion.

Definicion 1.9.16 Sea F una formula no atomica en L⌃. Se dice que F tiene conectivoprincipal si cae en uno de los dos casos siguientes:

• ¬ es el conectivo principal de F si F = ¬G para alguna formula G.

• � es el conectivo principal de F si F = G � H para ciertas formulas G,H.

Si F es de la forma F = 8xG, F = 9xG o F es una variable proposicional, entonces F notiene conectivo principal.

Ejercicio 1.9.17 Determinad si las siguientes formulas tienen conectivo principal o no ycuando lo tengan senalarlo.

(1) Q(a)

(2) (8xP (x) _ 9yQ(y, x))

(3) 8xQ(x, a)

(4) ¬(8 xP (x) �! 9yQ(y, x))

(5) (8x (P (x) �! R(x)) ^ 9yQ(y, x))

(6) 8x(P (x) �! R(x)).

Definicion 1.9.18 El convenio de precedencia para la logica de predicados se formula comosigue. Primero, la jerarquıa entre conectivos se amplıa como sigue:

• ¬, 8, 9 tienen jerarquıa 1;

• ^,_ tienen jerarquıa 2;

• y �!,$ tienen jerarquıa 3.

Los criterios de simplificacion de parentesis son:

(1) Los parentesis exteriores de una formula se pueden quitar.

(2) En caso de que haya dos o mas conectivos que puedan ser el conectivo principal se tomael de mayor jerarquıa. Si hay mas de dos conectivos con la misma jerarquıa, entonces eluso de parentesis es obligatorio.

(3) En el caso de que todos los conectivos de mayor nivel tengan la misma jerarquıa y seano bien ^ o _, se tomara el ultimo de ellos como conectivo principal.

Ejercicio 1.9.19 Decir si las siguientes expresiones son formulas en logica de predicados,aceptando el uso del criterio de eliminacion de parentesis:

1.9. Logica de predicados 25

(1) 8P (x)

(2) (8xP (x) �! T (x)) $ 8yS(y)

(3) 9xP (x) �! 9yS(y)9zS(z)

(4) 8x9y(P (x, y) �! R(x, y) _ ¬S(x))

(5) 9xS(x) �! P (x, y) ^ ¬S(y)

(6) 9xP (x) �! 9y9zS(a, z)

Para las que sean formulas, indicar si tienen conectivo principal (y cual es) y si son cerradaso abiertas, senalando en estas la aparicion de variables libres.

1.9.2 Semantica de la logica de predicados

La semantica en Logica de Predicados es tambien bivalorada, es decir, los enunciados atomicospueden tomar solo dos valores de verdad. Es posible usar otros tipos de logica, trivaloradas,por ejemplo, o en general logicas multivalores, donde cada enunciado de verdad puede tomarmas de dos valores de verdad. En el caso de la logica trivalorada, un enunciado toma el valorverdad, incierto o falso, que se suelen asociar a los valores +1, 0 y �1, respectivamente. Comocuriosidad, abajo tenemos los valores veritativos de ¬ y ^ para esta logica (V es cierto, I esincierto y F es falso).

A ¬AV F

I I

F V

A V V V I I I F F F

B V I F V I F V I F

A ^ B V I F I I F F F

Definicion 1.9.20 Una interpretacion de una formula la logica de predicados consta de lossiguientes elementos:

(1) Un conjunto D, distinto del vacıo, que es el dominio;

(2) Una asignacion de cada constante a, b, c, . . . que aparece en la formula de un elemento deD, donde los elementos asignados se denotaran por a, b, c, . . .;

(3) Asignar a cada predicado 0-ario (variables proposicionales) un valor de verdad 0 o 1.

(4) Una asignacion de cada predicado n-ario que aparece en la formula, P,Q,R, . . . de unafuncion booleana que va del producto cartesiano D ⇥ . . . ⇥ D al conjunto {0, 1}. Cadauna de esas funciones se designara respectivamente por P , Q, R, . . .

Notese que el termino valoracion de la logica de proposiciones se ha convertido en el terminointerpretacion en la logica de predicados. La funcion booleana de que habla la definicionanterior aparece formulada con frecuencia como una propiedad que aparece en el proceso deformalizacion. Por ejemplo, en el enunciado Todo numero real tiene un opuesto se formalizacon un dominio universal como 8x(R(x) �! 9yO(x, y)), donde R(x) es el predicado x es unnumero real y O(x, y) y es el opuesto de x. La aplicacion booleana asociada a R(x) da 1 si xes un numero real y 0 en otro caso. Para O(x, y), se tiene que es cierta cuando x + y = 0 (elopuesto).

Definicion 1.9.21 Sea F una formula en logica de predicados e I una interpretacion para F .El valor veritativo o valor de verdad de F , designado por VI(F ), es una funcion booleanaque se calcula a partir de las siguientes reglas:

26 Logica

(1) Si F = P (a1, . . . , an), donde ai son constantes, n � 1, y P es un sımbolo de un predicado,entonces VI(F ) toma el valor P (a1, . . . , an), donde ai son elementos concretos del dominioD determinados por la interpretacion I.

(2) A los predicados 0-arios (las variables proposicionales) se les asigna los valores de verdadcomo en logica de proposiciones.

(3) Las constantes logicas tienen valores fijos: > es 1 y ? es 0. Si A,B son formulas, entonces¬A y A � B tienen valores veritativos dados por la logica de proposiciones.

(4) La formula F = 8xA toma el valor 1 si VI(A) = 1 al sustituir cualquier x del dominio enB se tiene que VI(B) = 1.

(5) La formula F = 9xA toma el valor 1 si VI(A) = 1 si existe al menos un x del dominio enB de modo que VI(B) = 1.

Como ocurrıa en logica de proposiciones, se definen las interpretaciones significativasde una formula F como aquellas interpretaciones asociadas a las variables y constantes queaparecen en F . Solo se consideraran estas interpretaciones en lo sucesivo y las llamaremossencillamente interpretaciones.

Ejercicio 1.9.22 Dada la interpretacion I:D = Z, a = 1, b = 2 y la funcion booleana P (x) = “x es igual a x2”,

calculad el valor veritativo de las siguientes formulas cerradas:

(1) P (a) (2) P (b) (3) 9xP (x) (4) 8xP (x)

Probad que la interpretacion I1:

D = {d1, d2} P : D ⇥ D �! {0, 1} tal que P (d1, d1) = 1;P (d1, d2) = 0;

P (d2, d1) = 0;P (d2, d2) = 1

es modelo de la formula F = 8x 9y ¬P (x, y).

Completad una interpretacion I2 con el dominio D = {d1, d2} para que I sea modelo de laformula F = 8x 9y

�P (x) �! R(x, y)

�y no modelo de G = 9x 8y

�P (x) �! R(x, y)

�.

Problema 1.9.23 Calculad el valor de verdad de las formulas

8x(P (x) ^ Q(x, a)), 9x(P (x) ^ Q(x, a))

para la interpretacion dada por: D = {d1, d2}, a = d2 con las funciones booleanas P , Q asociadasa los predicados

P : D �! {0, 1} Q : D ⇥ D �! {0, 1}d1 7! 1 (d1, d1) 7! 1

d2 7! 1 (d1, d2) 7! 0

(d2, d1) 7! 0

(d2, d2) 7! 1

1.9. Logica de predicados 27

Problema 1.9.24 Sea D un dominio; consideremos la siguiente afirmacion:

Los dos predicados

(1) 9x(P (x) ^ Q(x))

(2) 9xP (x) ^ 9xQ(x)

tiene el mismo valor de verdad.

¿Cual de las siguientes afirmaciones es cierta?

(1) La afirmacion de arriba es falsa. El contraejemplo es D = N y P (x) =“x is divisible por6” y Q(x) =“x is divisible por 3”.

(2) La afirmacion es cierta. La prueba se sigue de las leyes distributivas de ^.

(3) La afirmacion de arriba es falsa. El contraejemplo es D = Z y P (x) =“x < 0” yQ(x) =“x 0”.

(4) La afirmacion es cierta. Para ver el porque, pongamos D = N y P (x) =“x is divisible por6” y Q(x) =“x is divisible por 3”. Si x = 6, entonces x es divisible por 3 y 6 a la vez, dedonde sigue que ambas afirmaciones tienen el mismo valor de verdad para este x.

(5) La afirmacion de arriba es falsa. El contraejemplo es D = Z y P (x) =“x es un cuadradoperfecto” y Q(x) =“x es impar”.

Definicion 1.9.25 Una interpretacion se dice que es modelo de una formula si el valorveritativo de la formula bajo dicha interpretacion es 1.

Definicion 1.9.26 Una formula se dice que es satisfactible si tiene algun modelo. Si no tieneningun modelo, entonces se dice que es insatisfactible.

Definicion 1.9.27 Una formula para que todas las interpretaciones son modelos se llamatautologıa. Si una formula no tiene modelos, se dice que es contradiccion. Cuando unaformula tiene modelos y no modelos se le llama formula contingente.

Ejercicio 1.9.28 Determinar cuales de las siguientes formulas son tautologıas, contradiccioneso contingentes:

(1) 8x�P (x) _ ¬P (x)

�

(2) 9x�P (x) ^ ¬P (x)

�

(3) 8xP (x) _ 8x¬P (x)

(4) 9xP (x) _ 9x¬P (x)

(5) 8xP (x) ^ 8x¬P (x)

(6) 9xP (x) ^ 9x¬P (x)

(7) 8xP (x) ^ 9x¬P (x)

(8) 8xP (x) �! 9xP (x)

Definicion 1.9.29 En logica de predicados, dos formulas se dicen equivalentes si tienen losmismos modelos.

Definicion 1.9.30 Las siguientes formulas son equivalencias importantes en logica depredicados.

28 Logica

• Renombrar variables:8xP (x) ⌘ 8yP (y)

9xP (x) ⌘ 9yP (y)

• Negacion de cuantificadores:

¬8xP (x) ⌘ 9x¬P (x)

¬9xP (x) ⌘ 8x¬P (x)

• Cuantificador universal con la conjuncion:

8xP (x) ^ 8xQ(x) ⌘ 8x(P (x) ^ xQ(x))

• Cuantificador existencial con la disyuncion:

9xP (x) _ 9xQ(x) ⌘ 9x(P (x) _ Q(x))

Ejercicio 1.9.31 Mostrar que las siguientes parejas de formulas no son equivalentes:

(1) F = 8xP (x) _ 8xQ(x) y G = 8x�P (x) _ Q(x)

�

(2) F = 9xP (x) ^ 9xQ(x) y G = 9x�P (x) ^ Q(x)

�

(3) F = 9y 8xR(x, y) y G = 8x 9y R(x, y)

Problema 1.9.32 Inspirandoos en las definiciones de la seccion 1.5, dad definiciones demodelos de conjuntos de formulas, y conjuntos de formulas satisfactibles einsatisfactibles.

1.10 Tableaux semanticos en Logica de

Predicados

Problema 1.10.1 Discutid como se podrıa generalizar un tableau semantico de logica deproposiciones a uno de logica de predicados.

El tableau semantico de la logica de predicados tiene mas complejidad que el de logica deproposiciones. Esta complejidad es debida a dos factores: uno es la presencia del dominio y otroes la presencia de los cuantificadores universales. De hecho, cuando hay un dominio infinito, esposible que el tableau no se pueda completar.

En la figura 1.4 teneis el algoritmo de construccion del tableau semantico para la logicade predicados. Estudiaos en este punto dicho algoritmo antes de seguir leyendo. En particular,poned especial atencion a la ultima regla, la que habla del uso de multiples particularizacionesde los cuantificadores universales.

La estrategia correcta de desarrollo del tableau es la siguiente:

1.10. Tableaux semanticos en Logica de Predicados 29

• Usar el menor numero posible de reglas.

• Empezar aplicando la regla R1, la de las formulas simplificables, exhaustivamente.

• A continuacion, aplicar la regla R4 para eliminar todos los cuantificadores.

• Cerrar todas las ramas lo antes posible.

• Usar reglas conjuntivas antes que las disyuntivas.

• Si es necesario, particularizar varias veces los cuantificadores universales para conseguirramas cerradas. Es aconsejable tomar variables ya usadas para que las ramas cerradassean mas evidentes.

Ejercicio 1.10.2 Construir los tableau semanticos de las siguientes formulas:

(a) 8xP (x) ^ 9x¬P (x) (b) {8(x(H(x) �! M(x)), H(a),¬9M(x)}

En la figura 1.5 tenemos un ejemplo de tableau semantico desarrollado paso a paso. Es eltableau del conjunto de formulas � = {9xP (x) ^ 9xQ(x),¬9x(P (x) ^ Q(x))}. Debajo de lafigura viene una explicacion completa de la construccion del arbol.

Refiriendonos a la figura, el tableau se ha desarrollado en los siguientes pasos (hemosnumerado las formulas a la izquierda para mejor seguimiento del proceso y a la derecha hemospuesto las reglas aplicadas):

(1) Se ponen las formulas de � una debajo de la otra, como en un conectivo de tipo conjuntivo(formulas (1) a (2) en la figura).

(2) A continuacion se aplica la equivalencia de negacion de cuantificadores (formula (3) en lafigura).

(3) El siguiente paso es simplificar la disjuncion en (1), que da lugar a las formulas (4) y (5).

(4) Ahora las dos formulas anteriores, (4) y (5), se particularizan. Como son doscuantificadores existenciales, se usan dos constantes distintas (formulas (6) y (7) de lafigura).

(5) A continuacion se particulariza la formula 3. Se puede elegir cualquier constante, perotomamos las que estan ya usadas, en este caso x = a (formula (8)). La formula no semarca como cerrada, ya que es un cuantificador universal.

(6) A la formula anterior se le aplica la regla disyuntiva, la cual da una ramificacion del arbol,como se ve en la formula (9). Una de las ramas, la izquierda es cerrada, por contradiccionentre P (a) y ¬P (a).

(7) En este punto podrıa parecer que el arbol esta terminado, pero no es ası. Particularizandode nuevo la formula (3), que es un cuantificador universal, es posible generar otra ramacerrada. Esta hecho en la formula (10), que esta recuadrada. La particularizacion se haceen x = b para forzar ramas cerradas.

(8) Desarrollamos la formula anterior, que es disyuntiva, y obtenemos una rama cerrada, concontradiccion entre Q(b) y ¬Q(b). La otra rama permanece abierta.

30 Logica

Algoritmo de construccion del tableau semantico de logica de predicados:Sea � = {F1, . . . , Fn} un conjunto de formulas de logica de predicados. El tableausemantico de �, T (�), se construye de acuerdo al siguiente algoritmo:

(1) Inicializar T (�) escribiendo todas las formulas de � en un arbol de una rama.

F1

F2

...

Fn

(2) Mientras el tableau no este cerrado y existan formulas desarrollables en T (�),se aplican repetidamente los siguientes pasos:

(1) Elegir una formula F en una rama abierta.

(2) Desarrollar F segun las reglas de abajo:

• R1: Reglas simplificables: son las de las proposiciones mas dosreglas relativas a los cuantificadores

¬8xP (x)

9x¬P (x)

¬9xP (x)

8x¬P (x)

• R2: Reglas de tipo conjuntivo: las reglas vistas en logica deproposiciones.

• R3: Reglas de tipo disyuntivo: las reglas vistas en logica deproposiciones.

• R4: Reglas de los cuantificadores: Hay dos reglas, la de laeliminacion del existencial y la de la particularizacion deluniversal.

9xP (x)

P (a)

8xP (x)

P (a)

Con a un

nombre nuevo

Con a un nombre

cualquiera (usado o no)

• Marcar F como desarrollada, salvo que sea un cuantificadoruniversal.

• Comprobar si el desarrollo de F en el arbol genera ramas cerradas.Marcarlas cuando sea ası.

• Usar multiples particularizaciones de los cuantificadoresuniversales para forzar, cuando sea posible, ramas cerradas.

Figura 1.4: Algoritmo de construccion del tableau semantico de la logica de predicados

1.10. Tableaux semanticos en Logica de Predicados 31

(1) 9xP (x) ^ 9xQ(x) X(2)??y(2) ¬9x(P (x) ^ Q(x)) X(1)??y(3) 8x¬(P (x) ^ Q(x)) Equivalencia en (2)??y(4) 9xP (x) X(3) Simplificacion en (1)??y(5) 9xQ(x) X(4) Simplificacion en (1)??y(6) P (a) Eliminacion de 9 en (4) con x = a??y(7) Q(b) Eliminacion de 9 en (5) con x = b??y(8) ¬(P (a) ^ Q(a)) X(5) Particularizacion x = a en (3)

. &(9) ¬P (a) ¬Q(a) Regla disyuntiva en (8)

+??y

(10) ¬(P (b) ^ Q(b)) X(6) Particularizacion x = b en (3)

. &(11) ¬P (b) ¬Q(b) Regla disyuntiva en (10)

� +

Figura 1.5: Ejemplo de tableau semantico para la logica de predicados

32 Logica

Los modelos que obtenemos de la rama abierta son:

V (P (a)) = V (Q(b)) = 1, V (P (b)) = V (Q(a)) = 0

Dado que no se ha especificado el dominio, se supone que estamos operando con un dominiouniversal. Sin embargo, a partir del modelo anterior se puede definir un dominio concreto (porejemplo, uno finito) en que se pueda materializar ese modelo. Supongamos que D = {a, b} yque las funciones booleanas asociadas a los predicados P y Q son:

P : D �! {0, 1} Q : D �! {0, 1}a 7! 1 a 7! 0

b 7! 0 b 7! 1

Se pueden dar otras interpretaciones con dominios infinitos. Por ejemplo, hagamos D = Ry definamos P (x) como x es entero y Q(x) como x es un numero irracional. La formula9xP (x) ^ 9xQ(x) afirma que existe un numero entero y un numero irracional al menos (perono implica que tenga que ser el mismo). En cambio, la formula 9x(P (x) ^ Q(x)) afirma queexiste un numero que es a la vez entero e irracional, lo cual no es cierto.

Insistimos una vez mas en que los cuantificadores universales no se marcan comodesarrollados ya que es posible que en el futuro tengamos que particularizarlos mas de unavez. En el ejemplo de la figura 1.5, de no haber particularizado una segunda vez, los modelosobtenidos habrıan sido erroneos.

1.11 Estructuras deductivas en Logica de

Predicados

A continuacion tenemos dos teoremas que relacionan el tableau semantico de logica depredicados con la busqueda de modelos y la correccion de formula. Estos teoremas son la versiongeneralizada a logica de predicados de los correspondientes teoremas de logica de proposiciones.

Teorema 1.11.1 Sea � un conjunto de formulas de logica de predicados y T (�) su tableausemantico.

• � es insatisfactible si y solo si T (�) es cerrado.

• Cada rama abierta proporciona uno o varios modelos de �. Estos se obtienen dando 1 acada predicado y 0 a cada predicado negado cuando se recorre la rama hasta la raız.

• Cada modelo de � aparece al menos en una rama abierta del tableau.

Teorema 1.11.2 Sean F,A,B formulas de logica de predicados.

• F es una contradiccion si y solo si su tableau es cerrado.

1.11. Estructuras deductivas en Logica de Predicados 33

• F es una tautologıa si y solo si el tableau de ¬F es cerrado.

• A ⌘ B si y solo si el tableau de ¬(A $ B) es cerrado.

Problema 1.11.3 Usando las definiciones de deduccion, estructura deductiva correcta, falaciay contraejemplo dadas en la logica de proposiciones, dad definiciones de esos terminos peropara la logica de predicados.

Problema 1.11.4 Usando el metodo del tableau, demostrad que el siguiente conjunto deformulas es insatisfactible:

n8xQ(x), 9xP (x), 8x 9y

�P (x) _ Q(y) �! R(x, y)

�, 8x 8y ¬R(x, y)

o

Decir si es correcta o no la estructura deductiva siguiente usando lo anterior.

8xQ(x), 8x 9y�P (x) _ Q(y) �! R(x, y)

�, 8x 8y ¬R(x, y) �! 8x¬P (x)

Definicion 1.11.5 Las siguientes estructuras son estructuras deductivas correctas de lalogica de predicados.

(1) Estructuras deductivas elementales:

• Instanciacion universal: 8xP (x) =) P (a), para todo a 2 D.

• Eliminacion del cuantificador existencial: 9xP (x) =) P (a), para todo a 2 D.

• Introduccion del cuantificador existencial: P (a) =) 9xP (x), para todo a 2 D.

(2) Modus ponens: 8x(P (x) �! Q(x)), P (a) =) Q(a)

(3) Modus tollens: 8x(P (x) �! Q(x)),¬Q(a) =) ¬P (a)

(4) Silogismo tollens: 8x(P (x) �! Q(x)), Q(a) �! R(a) =) P (a) �! R(a)

(5) Simplificacion:

• 8x(P (x) ^ Q(x)) =) 8xP (x)

• 9x(P (x) ^ Q(x)) =) 9xP (x)

(6) Adicion:

• 8xP (x) =) 8x(P (x) _ Q(x))

• 9xP (x) =) 9x(P (x) _ Q(x))

(7) Regla de sustitucion: Si en una estructura deductiva se sustituye una premisa o laconclusion por una formula equivalente, entonces la validez o invalidez de dicha estructurano varıa.

(8) Regla de la cadena: Sean P1, . . . , Pn =) Q1 y P1, . . . , Pn, Q1 =) Q2 dos estructurasdeductivas correctas. Entonces, la estructura deductiva P1, . . . , Pn =) Q2 es correcta.

Problema 1.11.6 Demostrad que las siguientes deducciones son correctas, utilizando reglasde inferencia:

34 Logica

(1) 8x¬R(x)

P (a)

8x�P (x) �! R(x) _ Q(x)

�

9xQ(x)

(2) 9x�S(x) �! R(x) ^ Q(x)

�

8x�R(x) �! ¬Q(x)

�

8x�P (x) �! S(x)

�

9x¬P (x)

Problema 1.11.7 Demostrad por reduccion al absurdo y con reglas de inferencia que laestructura deductiva siguiente es correcta.

8x(P (x) �! Q(x) _ 8y(R(y))

8x(R(x) �! T (x))

8x(T (x) _ P (x))

T (a) _ Q(a)

Problema 1.11.8 Estudiar si la siguientes deducciones son correctas, utilizando las reglas deltableau. En caso de que sean incorrectas, dar un contraejemplo:

(a) 8x 8y�P (x, y) �! Q(x, y)

�

8x 9y ¬Q(x, y)

8x 9y ¬P (x, y)

(b) 9xP (x) �! 8xQ(x)

9x¬Q(x)

9x¬P (x)

(c) 9x�P (x) �! Q(x)

�

9xP (x)

9xQ(x)

(d) 9x 8y�P (x, y) �! R(x) ^ Q(x, y)

�

8x 9y ¬Q(x, y)

9x 9y ¬P (x, y)

Problema 1.11.9 Sean P (x), Q(x) y R(x) los predicados “x es una explicacion clara”, “x essatisfactoria”, “x es una excusa”, respectivamente. Si el dominio para x es el conjunto de todaslas frases en castellano, formalizad los siguientes enunciados

(a) Todas las explicaciones claras son satisfactorias.

(b) Algunas excusas no son satisfactorias.

(c) Algunas excusas no son explicaciones claras.

¿Es la ultima frase consecuencia logica de las dos primeras2?

Problema 1.11.10 Analizad la correccion de la siguiente argumentacion en logica depredicados.

2Tomado del libro Matematica Discreta de Kenneth Rossen.

1.11. Estructuras deductivas en Logica de Predicados 35

(a) Ningun ecologista esta a favor del uso de plaguicidas en el campo. Todos los que no son

ecologistas ven alguna corrida de toros de vez en cuando. Ası pues, todos los que estan a

favor del uso de plaguicidas en el campo ven alguna corrida de toros.

(b) Todos los artistas son unos bohemios. A algunos bohemios no les gusta la absenta.

Antonio Lopez es un artista. Por tanto, a Antonio Lopez no le gusta la absenta.

(c) Aquel que piensa es libre. Los que leen, piensan. Los que oyen pero no escuchan, no son

libres. Hay gente que oye pero no escucha. En cambio, Emilio Lledo es un filosofo que

oye y lee. Luego Emilio escucha y es libre.

Problema 1.11.11 Haced el mapa conceptual del tema de logica de predicados.