U.T.S Antonio jose de Sucre

Calculo de Predicados

E Inferencias Logicas

Santaella Ricardo

08/03/2015

Contenido

Función Proposicional

Cuantificador Universal

Cuantificador Existencial

Cuantificador Existencial de unicidad

Reglas de negación de Cuantificadores

Inferencias lógicas

Principios lógicos clásicos

Implicación lógica

Reglas de la lógica proposicional

Determinar la validez mediante el metodo abreviado

Determinar la validez mediante las principales reglas lógicas 9

Determinar la validez mediante la tabla de verdad 10

Determinar la validez mediante la derivación lógica 11

Función Proposicional

Consideramos una función proposicional (A, P(x)) con dominio un conjunto A. Al reemplazar la variable x de p(x) por elementos de A obtenemos proposiciones verdaderas o falsas. Nos preguntamos ¿para cuántos elementos de A, P(x) es verdadera?. Como posible respuestas tenemos:

Para todos los elementos de A.

Para algunos elementos de A.

Para ningún elemento de A.

Los términos todos, algunos, un solo y ninguno, por indicar cantidad, son llamados cuantificadores. De estos, los fundamentales son todos, algunos y, como caso particular de este último, un único.

Así, podemos decir que una función proposicional está constituida por los siguientes elementos:

P(x): que es una proposición abierta que contiene la variable x.

A : que es un conjunto llamado dominio o universo del discurso.

Denotaremos a una función proposicional con dominio A y proposición abierta P(x) como (A, P(x)). Los elementos de A que hacen a P(x) verdadera forman el conjunto llamado dominio de verdad de la función proposicional.

Cuantificador Universal

El cuantificador todo se llama cuantificador universal y se le denota con el símbolo ", que es una A invertida (de "all" palabra inglesa para "todos").

Al cuantificar a la función proposicional P(x) mediante el cuantificador universal obtenemos la proposición:

Para todo elemento x de A, P(x), que se simboliza del modo siguiente:

(" xÎA) ( P(x) )....................................................... (1)

A las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones universales.

Otras maneras de leer la proposición (1), son las siguientes:

a. Para cada x en A, P(x)

b. Cualquiera que sea x en A, p(x)

c. P(x), para cada x en A

d. P(x), para todo x en A

Con mucha frecuencia, cuando el dominio A de P(x) está sobreentendido, la proposición (1) la escribimos simplemente así: (" x) ( p(x) )

La proposición (" x Î A) ( P(x) ) es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera para todo elemento x de A; esto es, si y sólo si el dominio de verdad P(x) coincide con A.

Ejemplo

Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:

a. Todo hombre es mortal.

b. Cada número natural es menor que.

Solución

Considerar la siguiente función proposicional:

M(x) : x es mortal.

Con dominio el conjunto S formado todos los seres humanos.

La proposición a se escribe simbólicamente así:

("x S) (M(x)).

Esta proposición es verdadera.

a. La proposición b se escribe simbólicamente así:

(" n Î N) (n > 1)

Esta proposición es falsa, ya que para el número natural n=1 no es cierto que 1>1.

Cuantificador Existencial

El Cuantificador: Existe al menos uno, se llama cuantificador existencial, y se le denota con el símbolo , que es un E al revés.

A la Proposición: Existe al menos un x de A tal que P(x)

La escribiremos simbólicamente del modo siguiente:

( xÎ A) ( P(x)) (2)

las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones existenciales.

Otras maneras de leer la proposición (2) son:

a. Para algún x en A, P(x)

b. Existe un x en A tal que p(x)

c. P(x), para algún x en A

Si el dominio de la función proposicional está sobreentendido, a la proposición (2) la escribiremos simplemente así:

($ x) ( P(x))

La proposición ($ x Î A) (P(x)) es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera al menos para un x de A. Esto es, si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es no vacío.

Ejemplo

Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:

a. Algunos hombres son genios.

b. Existe un número natural mayor que 1.

c. Existe un número real cuyo cuadrado es negativo.

Solución

Considerar la función proposicional:

a. G(x): x es un genio.

Con dominio el conjunto S formado por todos los seres humanos.

La proposición a, se simboliza así:

($ x Î S) ( G(x))

Esta proposición es verdadera.

b. La proposición b, se simboliza así:

($ n Î N) (n > 1)

y es verdadera.

c. La proposición c, se simboliza así:

($ x Î R) (x2 < 0)

Esta proposición es falsa, ya que el cuadrado de todo número real es no negativo.

Cuantificador Existencial de unicidad

Como un caso particular del cuantificador existencial "existe al menos uno" tenemos el cuantificador existe un único o existe sólo uno, que lo llamaremos cuantificador existencial de unicidad y lo simbolizaremos por $ !. Así la expresión:

($ ! x Î A) ( P(x))....................................... (3)

Se leerá de cualquiera de las siguientes formas:

a. Existe un único x en A tal que P(x)

b. Existe un sólo x en A tal que P(x)

c. Existe uno y sólo un x en A tal que P(x)

d. P(x), para un único x en A

La proposición (3) es verdadera si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es un conjunto unitario, esto es, si y sólo si P(x) es verdadero para un único x de A.

Ejemplo

Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:

a. Existe un único número natural que sumado con 3 da 10 .

b. Existe sólo un número real tal que su cuadrado es 16.

c. Existe un único número real tal que su cuadrado es - 4.

Solución

a. $ ! x Î N) ( 3 + x = 10 )

Verdadero: Sólo el número 7 cumple con 7 + 3 = 10

b. ($ ! x Î R) (x2 = 16 )

Falsa: x= -4 y x= 4 cumplen con x2 = 16

c. ($ ! x Î R) (x2 =- 4)

Falsa: no existe ningún número real cuyo cuadrado sea - 4.

Reglas de negación de Cuantificadores

Negación de Cuantificadores

Las dos leyes de De Morgan nos proporcionan las relaciones entre la negación, la conjunción y la disyunción. Como las proposiciones universales y existenciales son generalizaciones de la conjunción y disyunción, respectivamente, es de esperar que las leyes de De Morgan también tengan sus respectivas generalizaciones. Efectivamente así sucede con de De Morgan o reglas de la negación de cuantificadores. Estas dicen lo siguiente:

1. ~ ((" x Î A) (P(x))) º ($ x Î A) (~ P(x))

2. ~ (($ x Î A) ( P(x))) º (" x Î A) (~ P(x))

Estas reglas nos dicen que para negar una proposición con cuantificadores se cambia el cuantificador, de universal a existencial o viceversa, y se niega la proposición cuantificada.

Ejemplo

Usando las reglas de la negación de cuantificadores hallar la negación de las siguientes proposiciones:

a. ($ n Î N) (n2 = n)

b. (" x Î R) (x > 2 ® x2 > 3)

Solución

a. ~ [($ n Î N) (n2 = n )] º (" n Î N) ~ ( n2 = n) (Negación de cuantificadores)

º (" n Î N) ( n2 ¹ n) (Negación de la función proposicional)

b. ~ [(" x Î R) (x > 2 ® x2 > 3)] º ($ x Î R) ~ (x > 2 ® x2 > 3)

º ($ x Î R) ~ (~ (x > 2) Ú (x2 >3) (L. del condicional)

º ($ x Î R) (x > 2) Ù (x2 £ 3) (L.de De Morgan)

Proposiciones con dos Cuantificadores

Podemos considerar funciones proposicionales de varias variables de la forma (A,B,C,P(x,y,z)), pero en nuestro caso trabajaremos con funciones proposicionales de dos variables, las cuales denotaremos por (A,B,P(x)) con dominio de x el conjunto A y dominio de y el conjunto B. Así podemos obtener las siguientes proposiciones:

(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))º (" yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))

1. ($ xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y)) º ($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))

2. (" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))

3. (" yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))

4. ($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))

5. ($ yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))

Proposiciones como las anteriores son llamadas funciones proposicionales de dos variables. De dichas proposiciones obtenemos el valor lógico, analizando el dominio de sus variables y los cuantificadores que contiene.

Ejemplo

Determinar el valor lógico de las siguientes proposiciones:

1. (" xÎ N)($ yÎ N) (y> x)

2. ($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)

3. (" xÎ R)($ yÎ R)(x+y = 0)

Solución

VL[(" xÎ N)($ yÎ N)(y> x)] = 1, ya que para cualquier x en N existe y = x+1 tal que y> x.

VL[($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)] = 0, no existe ningún número real que sumado con todo número real sea igual a cero.

VL[(" xÎ R)($ yÎ R)(x+y = 0)] = 0, ya que dado un número real x existe y = -x tal que x+y=0.

Veamos ahora como podemos negar proposiciones con dos cuantificadores…

Negación de Proposiciones con dos Cuantificadores

~ [(" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)(" yÎ B)(~ P(x,y))

~ [(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))

~ [($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º (" xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))

~ [($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))] º (" yÎ B)(" xÎ A)(~ P(x,y))

Ejemplo

Negar la proposición ($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)

Solución

~ [($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)] º (" xÎ R)($ yÎ R)(~ (x+y = 0))

º (" xÎ R)($ yÎ R)(x+y ¹ 0))

Inferencia lógica

* La inferencia lógica es un mecanismo de derivación sintáctica que a partir de un conjunto dado de fórmulas permite derivar nuevas fórmulas, utilizando operaciones que se denominan reglas de inferencia. Mediante la inferencia lógica, es posible demostrar fórmulas sin necesidad de considerar interpretación alguna. Una prueba será una derivación en el sistema formal, y la utilidad de la misma surgirá de ciertas propiedades de las reglas de inferencia, llamadas de completitud.

* Una de las reglas de inferencia más conocida, y que forma parte de numerosos sistemas formales es la denominada modus ponens. Ella se basa en el conector de implicaciónlógica « → ».

Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva:

Inductiva:

Aquí por ejemplo si durante la primera semana el trabajador llega 10 minutos tarde, podemos concluir que todo el mes va a llegar tarde. Esta conclusión no necesariamente es válida porque puede ser que el maestro algún día llegue temprano. En general una inferencia inductiva es la que se desprende de una o varias observaciones y en general no podemos estar seguros de que será verdadero lo que concluimos.

Deductiva:

Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por ejemplo se sabe que siempre que llueve hay nubes, concluimos que el día de hoy que está lloviendo hay nubes. También se conoce como inferencia deductiva cuando tenemos un caso que analiza todos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas sólo hay una posible

situación, en este caso decimos que la situación única es la conclusión. Es este caso estamos seguros de que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también lo es.

Transductiva:

Con el mismo caso del trabajador que llega tarde durante los primeros días y concluimos que todo el tiempo también llegará tarde. O del amigo que varias veces nos ha mentido y concluimos que lo que nos dice es ese momento es mentira. Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar seguros de que la conclusión es verdadera.

Abductiva:

Es semejante a la deductiva, también utiliza la estrategia de analizar todas las posibilidades, pero en este caso hay varioscasos que se pueden presentar, como por ejemplo si se sabe que siempre que llueve hay nubes y se sabe que hay nubes se puede concluir que llueve, pero no se tiene la certeza, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma válida de obtener conclusiones en matemáticas o en lógica y es necesario conocer más información para poder verificar la validez.

PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS

Son los fundamentos que determinan ciertas reglas a seguir, para lograr la coherencia y sistematicidad de los pensamientos en las formas y contenidos. En otras palabras, los principios lógicos son las leyes del pensamiento que nos aseguran su validez. Son cuatro principios, los tres primeros enunciados por Aristóteles y el cuarto agregado por Leibniz:

Principio de identidad:

Se enuncia expresando que todo objeto es igual a sí mismo. Este principio se representa mediante la fórmula P=P. Pero cobra importancia para nuestro entendimiento en la medida que el predicado exprese notas complementarias al sujeto. Si dentro del principio de identidad no es sustituido por nuevas notas, el principio no posee valor para nuestro conocimiento. Ejemplo:

Bolívar es Bolívar (no posee valor).

Bolívar es el libertador de la Nueva Granada (si posee valor).

Principio de contradicción:

Este principio afirma la imposibilidad de concebir dos juicios contrarios y verdaderos con relación a un mismo objeto. Ya que es imposible que ambos juicios sean verdaderos a la vez, en el mismo tiempo y circunstancias. Ejemplo:

Los metales sonduros, los metales no son duros. (Ambos no pueden ser verdaderos)

Principio del tercero excluido:

Este principio está estrechamente vinculado con el de no contradicción ya que el de tercero excluido expresa que dos proposiciones contradictorias no pueden ambas ser falsas. Debido a que entre la verdad o la falsedad, no existe una tercera posibilidad. Ejemplos:

(P es Q); (Q no es P) ambos no pueden ser falsos.

Se excluye la posibilidad de un tercer juicio con los mismos elementos A y B.

Principio de razón suficiente:

Este principio plantea la necesidad de justificar los conocimientos de una forma razonada, es decir, ordenada y lógica. Sólo es verdadero aquello que se puede probar suficientemente, basándose en otros conocimientos o razones ya demostradas. Por ejemplo:

Cuando se dice que “el todo es mayor que las partes”, esta afirmación es un conocimiento verdadero, puesto que se ha comprobado que una parte es menor que el todo, ya sea por la experiencia o por pura intuición.

IMPLICACIÓN LÓGICA

Etimológicamente proviene del latín “in-plicare”, significa el hecho de algo que está plegado o doblado en el interior de algo que oculta lo que hay en su interior, por tanto, aunque está, no es visible o perceptible.

Su contraposición se manifiesta en el término latino “ex-plicare”. La explicación es el hecho de desplegar lo que está plegado; sacar al exterior, hacer visible, o comprensible, aquello que está “implicado” en el interior de algo que lo hacía oculto o no comprensible.

*"Si llueve el suelo está mojado"

* "Cuando llueve el suelo está mojado"

* "Siempre que llueve el suelo está mojado"

* "Llueve, luego el suelo está mojado"

* "Llueve, por tanto, el suelo está mojado" etc.

Que de forma general vienen a decir que:

* "El suelo está mojado porque llueve"

* "La lluvia causa que el suelo esté mojado"

* "El suelo está mojado a consecuencia de la lluvia"

* "Todas las lluvias mojan el suelo"

En el cálculo lógico de deducción natural de este tipo de expresiones se formalizan simbólicamente como:

P→Q

Que se interpretan; siendo P causa o conjunto de causas y Q efecto o conjunto de efectos.

Implicación y Condicional:

Se simboliza | Se lee | Ejemplo |

P→Q | Si P entonces Q | "Si hoy es Martes entonces mañana es Miércoles". |

P→Q | P implica Q | "Hoy es Martes", por tanto "mañana es Miércoles". |

"Si P entonces Q" es una y única proposición y como tal una única afirmación; por tanto, su interpretación lógica tiene dos valores posibles de verdad, es decir, puede ser verdadera o falsa. Su tabla de valores de verdad nos indica que solamente es falsa en el caso en que “A” sea verdadera y “B” sea falsa; en los demás casos posibles es verdadera. Pero a falta de información complementaria no podemos afirmar ni su verdad ni su falsedad.

En "P implica Q" hay dos proposiciones y, por tanto, dos afirmaciones. Pero el valor de cada una es diferente. De modo que afirmando "A", como sentencia verdadera en su contenido semántico, se exige la afirmación de "B" comosentencia verdadera en su contenido semántico. Dicho de otra manera, la afirmación de la segunda depende de la validez de la primera.

A debería tomarse como afirmación sobre "A"; y B como afirmación sobre "B".

CONDICIONAL | "Si llueve el suelo está mojado" | Afirmación formal e hipotética, que no habla del mundo |

IMPLICACIÓN | "Llueve, por tanto el suelo está mojado" | Afirmación con contenido de verdad y habla del mundo.Equivale materialmente a la afirmación doble: "Llueve" y "el suelo está mojado" |

REGLAS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

También llamadas leyes implicativas. Son esquemas condicionales tautológicos por lo que representan inferencias validas. En consecuencia, la(s) premisa(s) podemos derivar inmediatamente su respectiva conclusión:

1. Modus Ponendo Ponens (MPP): Si se afirma el antecedente de una premisa condicional se concluye del consecuente de dicha premisa.

Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus ponens podría ser:

Si está soleado, entonces es de día.

Está soleado.

Por lo tanto, es de día.

MPP con condicional:

P→Q

A

B

MPP con notación cálculo de secuencia:

p⟶q,p⊢q

2. Modus Tollendo Tollens (MTT): Si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye la negación del antecedente de dicha premisa. Su forma es la siguiente: si A entonces B, No B; Por lo tanto, no A.

Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus tollens podría ser:

Si llovió, entonces el suelo está mojado.

El suelo noestá mojado. Por lo tanto, no llovió.

Es importante evitar caer en el razonamiento incorrecto de:

Sólo si es mayor de edad entonces tiene permiso de conducir

No tiene permiso de conducir

Por lo tanto, no es mayor de edad.

Es incorrecto puesto que podría ser mayor de edad y no tener permiso de conducir, de ahí la importancia de no confundir la implicación (si p, entonces q) con el condicional (p si y solo si q), es decir, p es condición para que se pueda dar q, pero p no implica necesariamente q (ser mayor de edad es condición necesaria, pero no suficiente para tener permiso de conducir).

En lógica proposicional su representación sería la siguiente:

p⟶q⋀~q⟶~q

3. Silogismo Hipotético Puro (SHP): Regla de inferencia que en su expresión plantea un caso hipotético, por lo cual puede tener términos válidos o no. En la lógica proposicional un silogismo hipotético puede expresar una regla de inferencia

El silogismo hipotético es un argumento válido si sigue la siguiente forma argumental:

P→Q

Q→R

Entonces:

P→Q

Q→R

P→R

Con operadores lógicos, esto se expresa:

P→Q

Q→R,

⊢Q→R

Un ejemplo de silogismo hipotético es el siguiente:

Si no me despierto, no puedo ir a la fiesta.

Si no voy a la fiesta, no me divertiré.

Entonces, si no me despierto no me divertiré.

4. Adjunción y Simplificación:

Adjunción (A): Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la adjunción, podemos unirlos en una sola premisautilizando el operador Λ (conjunción).

p “Juan es cocinero”

q “Pedro es policía”

p Λ q “Juan es cocinero y Pedro es policía”

Simplificación (S): obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado.

p Λ q “Tengo una manzana y tengo una pera”

p “Tengo una manzana”

q “Tengo una pera”

5. Doble Negación (DN): El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así:

~~p↔p

~~p “No ocurre que Ana no es una estudiante”

p “Ana es una estudiante”

La regla ‘doble negación’, simplemente establece que si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado.

6. Ley de Adición: Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción) acompañado por cualquier otro enunciado.

p “He comprado manzanas”

p V q “He comprado manzanas o he comprado peras”

DETERMINAR LA VALIDEZ MEDIANTE EL METODO ABREVIADO

a) Suponemos que la inferencia es falsa. Es decir, consideramos el único caso en el que el condicional es falso: “Que la premisa sea verdadera y la conclusión sea falsa”.

b)Con esta consideración, suponemos valores para la mayoría de las expresiones lógicas atómicas.

c) Procesando esta información, completamos los valores de las expresiones que aún no lo tienen.

d) Si en algún paso aparece alguna contradicción, la inferencia original es válida. Si por el contrario, no aparece ninguna contradicción, y se completa la suposición a), sin ningún problema, la inferencia original es inválida.

EJEMPLO:

Verificar la validez de la siguiente inferencia: “Juan aprueba el curso si estudia. No es el caso que Juan aprueba el curso y sea promovido. Por lo tanto, Juan no estudia o no es promovido”.

Traducimos la inferencia en lenguaje normal, al lenguaje simbólico o formalizado:

(p → q) â‹€ ~(q â‹€ r) → ~ p â‹ ~r�

a) Al suponer que la inferencia es falsa, asumiríamos que la matriz principal del antecedente, encerrado en el corchete (conjunción) es verdadera. Y la matriz del consecuente, que es una disyunción débil, es falsa:

(p → q) â‹€ ~(q â‹€ r) → ~ p â‹ ~r�

(V) (F)

b) (p → q) â‹€ ~(q â‹€ r) → ~ p â‹ ~r�

V (V) V F (F) F

c) (p → q) â‹€ ~(q â‹€ r) → ~ p â‹ ~r�

V V V (V) V F F V F (F) F

Como al completar, en c), todos los valores, se produce una contradicción en la expresión atómica “q”, que aparece como verdadera y falsa a la vez; concluimos que la inferencia original, es válida, porque al negarla se produce el conflicto descrito.

DETERMINAR LA VALIDEZ MEDIANTE LAS PRINCIPALES REGLAS LÓGICAS

Para poder hallar la validez mediante lasprincipales reglas lógicas, las cuales están conformadas en 10 grupos diferentes, para no hacerlo tan difícil estas reglas se pueden usar en el método de simplificación para poder hallar su validez.

[(p → q) ⊥ (q → r)] → (p → r)

Solución

~[(~p q) ⊦ ⊥ (~q r)] (~p r) (Equivalencias)⊦ ⊦ ⊦

[(p ⊥ ~q) (q ~r)] (~p r) (Morgan)⊦ ⊦ ⊦ ⊦

(p ⊥ ~q) (q ~r) (~p r) (Asociativa)⊦ ⊦ ⊦ ⊦

~p (p ⊦ ⊥ ~q) (q ⊦ ⊥ ~r) r (Conmutativa)⊦

~p ~q q r (Identidad)⊦ ⊦ ⊦

~p T r (Identidad) ⊦ ⊦

T r⊦

T

DETERMINAR LA VALIDEZ MEDIANTE LA TABLA DE VERDAD

Técnica tabla de verdad: Para aplicar la técnica de la tabla de verdad, se debe transformar el razonamiento en una proposición condicional, en donde la conjunción de las premisas forman el antecedente y la conclusión forma el consecuente. Si al realizar la tabla de verdad de un razonamiento da como resultado una tautología, se considera un razonamiento válido o argumento, en cualquier otro caso será un razonamiento inválido. Todo razonamiento es válido si al ser transformado en una proposición condicional esta da como resultado una tautología.

Por ejemplo: Dados los siguientes razonamientos determinar su validez a través de la técnica de la tabla de verdad:

* Si la tierra es un planeta, entonces no posee luz propia. La tierra es un planeta. Por lo tanto no posee luz propia.

1.1 Se procede a simbolizar el siguiente razonamiento

La tierra es un planeta: p

La tierra posee luz propia: q

1.2 Se simbolizan las proposiciones compuestas identificando premisas y conclusión. La conclusiónse identifica a través de los términos “por lo tanto”, “Por consiguiente”. La

conclusión se separa de las premisas a través del símbolo “∴” que significa “Luego o por lo tanto”, “En conclusión”:

Si la tierra es un planeta, entonces no posee luz propia

p→~q

La tierra es un planeta

p

La tierra no posee luz propia

~q

1.3 Se estructura la proposición condicional, cuyo antecedente es la conjunción de las premisas y el consecuente es la conclusión:

[(p⟶~q)⋀p] ⟶~q

1.4 Se elabora la tabla de verdad del razonamiento:

p | q | ~q | p⟶~q | (p⟶~q)⋀p | [(p⟶~q)⋀p] ⟶~q |

V | V | F | F | F | V |

V | F | V | V | V | V |

F | V | F | V | F | V |

F | F | V | V | F | V |

Conclusión: Es un razonamiento válido porque la tabla de verdad resultó ser una proposición tautológica, por lo tanto es un argumento.

DETERMINAR LA VALIDEZ MEDIANTE LA DERIVACIÓN LÓGICA

Son demostraciones formalizadas, estos sistemas de derivaciones tienen unas características en común:

* Existe una lista de argumentos lógicos admisibles, llamados Reglas de Inferencia.

* Es una lista de expresiones lógicas que originalmente se encuentra vacía, se le pueden ir añadiendo expresiones si constituyen una premisa o si pueden obtenerse a partir de expresiones previas aplicando alguna regla de inferencia. Este proceso se continúa hasta que se alcanza la conclusión.

* Las reglas de inferencia deben ser elegidas de forma tal que solo se deriven resultados válidos.

Un sistema para hacer derivaciones no solo debe ser válido sino completo.