DECIDIBILIDAD DE LA LOGICA DE PREDICADOS MONADICOS ...

DECIDIBILIDAD DE LA LOGICADE PREDICADOS MONADICOS

POR EL IvlÉTODO DE LA RECUSACION:I(:

Magí Cadevall Soleru niversidad Autónoma de Barcelona

l. DEClDmILIDAD y RECUSACIÓN

1.1. EL PROBLEMA DE LA DECISIÓN

EL OBJETODE ESTE ARTÍCULOes la presentación de un cálculo

de recusación para la lógica de predicados monádicos (de1.0 y 2.0 orden), seguido de la demostración resumida de sucorrección y completitud semánticas. En los cálculos lógi-cos, al disponer de una definición recursiva de fórmulas,sabemos que el conjunto de las fórmulas de un cálculo esdecidible. La axiomatización de un cálculo lógico, si escorrecta y completa, debe permitir obtener todas y solaslas fórmulas de un lenguaje formal que sean verdades lógi-cas. El conjunto de teoremas de dicho cálculo es generable,pero no necesariamente decidible, ya que no está fijado elorden en que deben aplicarse las reglas para deducir unteorema determinado. De forma análoga un cálculo de re-cusación debe permitir obtener todas y solas las fórmulasde un lenguaje forinal que no sean verdades lógicas. Constade un conjunto de fórmulas no válidas elegidas como pun-to de partida (contraaxiomas o axiomas de recusación) y unconjunto de reglas de derivación que preserven la no vali-

o Este artículo es un resumen de la Tesis Doctoral del autordirigida por el Dr. Jesús Mosterín y leída el 26 de septiembre de1975 en la Universidad de Barcelona, ante el tribunal presidido porel Dr. Francisco Gomá, figurando como vocales los profesores Dr. Mi-guel Siguán, Dr. Manuel Garrido, Dr. Ramón ValIs.

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456 Decidibilidad de la lc)gwll dt IJf, rlÍlud,1\

dez. La demostración de la corrección y completilud de uncálculo de recusación para una parcela de la lógica, consti~tuye la demostración de la decidibilidad de dicha parcela.

La recusación es un enfoque nuevo de un viejo tema.Conocida es la decibilidad del cálculo de predicadosmonádicos que engloba la mayor parte de la lógica tradi~ciona!. El primero en establecerla fue Lowenheim en 1915,1Y precisamente en su forma más fuerte: el cálculo de pre~dicados monádicos de segundo orden con identidad esdecidible. Aunque en algunos puntos no es posible fijar sinlugar a dudas el razonamiento del autor, la demostraciónde Lowenheim adolece de graves defectos, principalmenteinvolucrar el desarrollo booleano de una expresión de lon~gitud posiblemente infinita. A pesar de los defectos, Lowen~heim no sólo acertó el resultado, sino que señaló una líneade demostración que será seguida por Skolem y por Beh~mann, que consiste demostrar para toda fórmula la posi~bilidad de hallar una cierta fórmula normal prenexa equi-valente y practicar la decisión sobre la correspondientefórmula normalizada. Skolem 2 mejoró la demostración deLowenheim. Demuestra en primer lugar la decidibilidad deun cálculo de clases de segundo orden (con posibilidadde ligar mediante cuantificadores las variables de clase)cuyos enunciados primitivos son los enunciados numéricos.Entiende Skolem por enunciados numéricos los de la forma'a > n', donde ea' es un símbolo de clase y en' es un númeroconcreto. A continuación establece la posibilidad de tradu-cir las fórmulas del cálculo de predicados monádicos conidentidad a fórmulas equivalentes del cálculo de clases. Lademostración de Behmann 3 es más enojosa por conteneruna traducción repetida del cálculo de predicados al cálcu-,

1 Loewenheim, L.: "Ueber Moglichkeiten im Relativkalkül".Math. Annalen, 76, 1915, pp: 447-470. Traducido en: van Heijenoort,From Frege to Godel, 1967.

2 Skolem, T.: "Untersuchungen über di Axiome des Klassenkal.küls...". Skrifter, Videnskabakademiet i Kristiania, 3, 1919. Reed. en:Skolem, Selected works in logic, 1970, pp. 67-101.

3 Behmann, H.H: "Beitrage zur AIgebra der Logik, insbesonderezum Entscheidungspobrlem". Math. Annalen, 86, 1922, pp. 163-229.

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lo de clases, realizando los distintos pasos de la demostra-ción alternativamente en uno u otro lenguaje.

Finalmente Ackermann 4 traza una demostración pare-cida, ya que demuestra que todo enunciado de la lógica depredicados monádicos con identidad (sin variables libres)se puede reducir a una fórmula equivalente de la lógica depura identidad (cuyas fórmulas atómicas son todas del tipoCx = y') y a su vez demuestra la decidibilidad de las fórmu-las de la lógica de identidad mediante su reducción a formanormal prenexa, sin llegar a un resultado tan fuerte comoel de Skolem, ya sugerido por Lowenheim, de que todafórmula de la lógica de predicados monádicos con identidadpuede ser reducida a un enunciado numérico equivalente.

La decidibilidad de la lógica de predicados monádicosde primer orden con identidad puede ser reducida a la dela de segundo orden, considerando las fórmulas de primerorden como fórmulas de segundo orden con variables depredicado libres, que serán válidas si lo es la correspon-diente clausura universal.

Pero para la lógica de predicados monádicos de primerorden sin identidad aparecen métodos de decisión y demos-traciones más simples a partir de Bemays-Schonfinkel19285 Y de Hilbert-Ackermann.6 Otros métodos, basadosen la forma normal completa o perfecta, son presentadoscon diversas variantes por Herbrand, Quine, von Wright.

La demostración de la decidibilidad de la lógica de pre-dicados monádicos no es más que el principio de la bús-queda de resultados positivos de decisión en la lógica depredicados o en algunas de sus partes. En 1928 Bemays-Schonfinkel demuestran la decidibilidad respecto a la vali-dez de la clase de fórmulas normales prenexas en que los

4 Ackennan, W.: Solvable cases 01 the decision problem. Ams-terdam, North-Holland P. Co., 1954. Reed. 1968, pp. 24 Y ss.

5 Bemays, P. y Shoenfinkel, M.: uZum Entscheidungsproblemder mathematischen Logik". Math Annalen, 99, 1928, pp. 342-372.

6 Hilbert, D. y Ackennann, W.: Grundzüge der theoretischenLogik. Berlin, Springer, 1928, pp. 77-79.

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cuantificado res universales preceden a cualquier cuantifica-dor particular. Pero en 1936 Church 7 solucionó negativa-mente el problema global de la decidibilidad de la lógicade predicados, con lo que automáticamente resultaban inde-cidibles las clases de reducción ya conocidas. A partir deeste momento se ha tratado de demostrar la decidibilidad

de clases lo más extensas posibles de fórmulas lo más com-plejas posibles y paralelamente establecer la indecidibilidadde clases lo más reducidas posibles de fórmulas lo mássimples posible. La demarcación entre clases de fórmulasdecidibles e indecidibles ha sido trazada con precisión porlo que se refiere al grado de los predicados y también res-pecto a la forma del prefijo en las fórmulas normales pre-nexas.

2.2. OTROS ENFOQUES DE LA DECISIÓN: LA RECUSACIÓN

Pero la existencia de métodos de decisión que podemosllamar clásicos, no ha hecho desaparecer el interés por otrosenfoques del problema en aquellas partes de la lógica enque la decidibilidad está ya establecida. Además del mé-todo de la recusación usado en este artículo, también lastablas semánticas (Beth, Smullyan) 8 constituyen un nuevoenfoque del problema de la decisión, en tanto se puedademostrar que para ciertas parcelas de la lógica no se re-quieren tablas infinitas. Lo mismo se puede decir de losestudios sobre la prueba automática de teoremas del calculode enunciados por métodos algorítmicos (Hao Wang). 9

La idea de los cálculos de recusación es original deLukasiewicz. En su obra "Aristotle's Syllogistic", expone laidea de derivar todos los modos silogísticos no válidos a

7 Church, A.: "A note on the Entscheidungsproblem". ]our. ofSymb. Logic, 1, 1936, pp. 40-41. Reed. en: Davis, The Undecidable,Howlett, Raven Press, 1965, pp. 110-115.

8 Garrido, M.: Lógica simbólica, Madrid, Tecnos, 1974, pp. 264Y 273.

9-De Torres, A. M.: "Los primeros intentos de prueba automá-tica de teoremas en el cálculo de enunciados". En Teorema IV, 4,1974.

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partir de dos modos no válidos (AAI y EEI de la segundafigura), mediante dos reglas de recusación (regla recusativade separación y de sustitución). Los cálculos de recusaciónpueden parecer a primera vista un pleonasmo axiomático.En realidad deben considerarse una nueva forma alterna-tiva de enfocar la decidibilidad de una teoría. Es conve-

niente presentar el planteamiento del problema en unvocabulario más preciso que el usado por Lukasiewicz. Lateoría de las funciones recursivas permite una formulaciónmatemática precisa del problema de la decisión.

Sea FLM2 el conjunto de fórmulas de la lógica de pre-dicados monádicos de 2.° orden con identidad, TLM2, elconjunto de sus teoremas y VLM2 el conjunto de sus fórmu-las válidas. Sea CDem(r, a)', donde r es una secuencia defilas de signos y a E FLM2, la abreviatura de cr es unademostración de a'. Podemos formular los fundamentos delmétodo de la recusación, mediante las proposiciones si-guientes:

1) FLM2 es un conjunto recursivo.2) cDem' es una relación recursiva.3) TLM2 es un conjunto recursivamente enumerable,

ya quea E TLM2 si Y sólo si existe un r tal que Dem(r, a) don-

de a la relación recursiva cDem' se le ha prefijado un cuan-tificador.

4) VLM2 es un conjunto recursivamente enumerable.Puesto que si el conjunto de reglas que generan TLM2 escorrecto y completo, coinciden los conjuntos TLM2 y VLM2.La definición precisa de decidibilidad puede ser

5) Un cálculo es decidible si y sólo si el conjunto desus tesis (enfoque sintáctico) o el conjunto de sus fórmulasválidas (enfoque semántico) es recursivo.

Ya que la lógica de predicados monádicos es decidible,sabemos que es posible construir para ella un cálculo derecusación. Al mismo tiempo la demostración de la correc-ción y completitud de dicho cálculo constituye una pruebade la decidibilidad de la lógica de predicados monádicos,ya que

--- - - -- - -

!

: I

I I

1

". :1

Ir1

\1I

I11

'11


6) Si VLM2 y FLM2 "'"'VLM2 son recursivamente enu-merables y además FLM2 es recursivo, entonces los conjun-tos VLM2y FLM2"'"' VLM2 son recursivos.

Una cuestión que puede presentarse es la de la simpli-cidad y elegancia del cálculo de recusación propuesto. Sim-plicidad y elegancia son términos escurridizos. Hay unaoposición entre brevedad del bagaje axiomático y brevedaden el desarrollo de las derivaciones. En la práctica no siem-pre se adopta el sistema que puede considerarse más simplepara los estudios teóricos: tal es el caso del método axio-mático tradicional frente a la deducción natural de Gentzen.El cálculo de recusación que presenta Lukasiewicz para suformalización de la silogística debe ser considerado simple:consta de dos axiomas y dos leyes de inferencia. lQ Pero encambio no puede pensarse que aporte otra cosa que ele-gancia al problema de la decisión. Pues constando el for-malismo de un número finito de fórmulas (256 modos silo-gísticos) y 24 tesis (24 modos válidos), la silogística es unateoría trivialmente decidible. Pero, dado que de la baseaxiomática asertiva de Lukasiewicz pueden derivarse unnúmero infinito de expresiones (que podemos llamar arista-télicas por ser funciones de verdad de juicios categóricos)además de los modos silogísticos, Lukasiewicz planteó dosproblemas: 1.0 ¿'Es infinito el número de expresiones aristo-télicas no válidas, independientes de la base axiomáticarecusativa de Lukasiewicz? 2.° Caso de ser infinito su nú-

mero ¿puede crearse un cálculo de recusación más potentepara tales expresiones? La respuesta para ambos problemasno fue hallada por Lukasiewicz, sino propuesta por su dis-cípulo Slupecki. El primer problema lo resuelve mediantela construcción de modelos (diagramas de círculos). El se-gundo mediante la regla de Slupecki:

~ex.~'Y~~~'Y

If- ex.~' (~ ~ 'Y)

10 Lukasiewicz, J.: Aristotle's syllogistic. Oxford,.Clarendon Press,1951. Reed. 1967, p. 96.


La elegancia de la regla de Slupecki es discutible, ya queno se aplica a fórmulas cualesquiera, sino sólo a ciertasclases de fórmulas: rJ.y ~ deben ser expresiones simplesnegativas (del tipo Eab y Oab), y debe ser una expresiónelemental del tipo

donde cada rJ.¡es una fórmula simple negativa. 11 Siendorelativa la elegancia y simplicidad de un cálculo, y no dis-poniendo de otras fuentes, he tomado como criterio desimplicidad, que ninguna regla supere en complejidad laregla de Slupecki. Criterio que me parece aceptable, ya quese trata de un cálculo más potente.

1.3. NOTAS A LA EXPOSICIÓN DE LUKASIEWICZ

Finalmente hay que advertir que el prolongar la líneaemprendida por Lukasiewicz no significa en modo algunocompartir todos sus planteamientos y motivaciones. Tresson principalmente las ideas sobre el tema que no puedocompartir: 1.0) Excesiva valoración de la recusación. 2.°)Desvaloración del método de los contraejemplos en Aristó-teles, o tal vez de la interpretación en general. 3.°) La ideade que la existencia de fórmulas que no son verdaderas nifalsas depende únicamente de la presencia de variableslibres, siendo inútil la recusación en la lógica de 2.° orden.Me ocuparé únicamente del último punto por ser cen-tral. «Sólo las proposiciones verdaderas pueden ser aseve-radas, pues sería un error aseverar una proposición que noes verdadera. Una propiedad análoga no puede sostenersede la recusación: no son sólo las proposiciones falsas quedeben ser recusadas. Es verdad por supuesto que toda pro-posición es verdadera o falsa, pero existen expresiones pro-posicionales que no son verdaderas ni falsas. De tal claseson las llamadas funciones proposicionales, esto es, expre-

11 Lukasiewicz, J.: Op. cit., p. 104.

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siones que contienen variables libres y resultan verdaderaspara algunos de sus valores y falsas para otros." 12 Es evi-dente la asimetría señalada: sólo hay que aseverar lasfórmulas válidas o lógicamente verdaderas, mientras quehay que rechazar tanto las fórmulas lógicamente falsas comolas meramente satisfacibles. Lo que no es acertado es seña-lar como única causa de tal asimetría la presencia de va-riables libres. Ello supondría la inutilidad de la recusaciónen la lógica de segundo orden, donde todo enunciado seríaverdadero o falso. Pero el que una fórmula de segundo or-den sea satisfecha o no por una interpretación depende nosólo de la asignación de valores a las variables libres, sinotambién de la cardinalidad del dominio elegido. Si nos limi-tamos a un dominio dado D, sí que podemos afirmar queuna fórmula de segundo orden sin variables libres es válidaen D o bien no puede ser satisfecha en tal dominio D. Peroes evidente que existen enunciados de segundo orden me-ramente satisfacibles. Por ejemplo:

VFVxVY(IFx A Fy)

es una fórmula meramente satisfacible, que no puede sersatisfecha en los dominios de un solo ~lemento y que re-sulta válida para cualquier D, tal que 1J > 1.

El no tener en cuenta el papel que juega la elección deldominio lleva a Lukasiewicz a afirmar que la introducciónde cuantificadores en su formalización de la silogística haríainnecesaria la recusación: "Introduciendo cuantificadoresdentro del sistema podemos prescindir de la recusación. Enlugar de recusar la forma

(i) Abc A Eab ~ Iac

podemos aseverar la tesis

(k) VavbVc i(Abc A Eab ~ Iac)

12 Lukasiewicz, J.: Op. cit., p. 94.

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Esto significa: existen términos a, b y c que verifican lanegación de (i). La fórmula (i), pues, no es verdadera paratodo a, b y c,y no puede ser un silogismoválido". 13 Para fa-cilitar la discusión podemos traducirlo al lenguaje del cálcu-lo de predicados. Con ello no nos oponemos a la opiniónde Lukasiewicz acerca del carácter especial de la silogísticaaristotélica, ya que este. carácter especial vendría dado porlos axiomas. Tampoco es necesario adoptar como campo deinterpretación conjuntos de círculos a la manera de Lukasie-wicz, ya que podemos establecer una biyección entre círcu-los y conjuntos. A su vez el número de conjuntos distintosdeterminables depende del número n de individuos del do-minio. Por ejemplo para determinar dos conjuntos (o círcu-los) no vacuos precisamos un dominio de al menos 2 indi-viduos, puesto que con un solo individuo el número desubconjuntos no vacuos del dominio es 21- l. Traducire-mos las relaciones entre términos aristotélicos cAab~,cEab~,clab~, cOab~,respectivamentes por CAx(Fx-+ Gx)', CAx(Fx -+¡Gx!, CVx(FxA Gx!, CVx(FxA ¡Gx!. Las traducciones de(i) y (k) serán respectivamente

(i~) Ax(Gx -+ Hx) A Ax(Fx -+ ¡Gx) -+ Vx(Fx A Hx)

(k~) VFVGVH¡(Ax(Gx -+ Hx) A Ax(Fx -+ IGX)-+ Vx(Fx A Hx)

El que en este caso la fórmula (k') resulte válida 14 no de-muestra el principio general de que la clausura existencialde la negación de una fórmula no válida resulta válida. Esfácil señalar contraejemplos como el modo inválido OOAde la primera figura. La fórmula a recusar sería:

Vx(Gx A IHx) A Vx(Fx A ¡Gx) -+ Ax(Fx -+ Hx)

y la clausura existencial de su negación:

13 Lukasiewicz, J.: Op. cit.~ p. 95.14 En el sistema de Lukasiewicz no es válida por quedar los

términos vacuos excluidos por los axiomas.

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VFVGVHi(Vx(GxA iHx) A Vx(Fx A tGx)~ Ax(Fx ~ Hx))

que es equivalente a:

VFVGVH(Vx(Gx A IHx) A Vx(Fx A IGX)A Vx(Fx I Hx))

Pero esta última fórmula no es universalmente válida, sinoque es falsa en los dominios de un solo elemento.

Frente al excesivo entusiasmo de Lukasiewicz por elmétodo de la recusación, me parece que hay que limitarsea afirmar:

a) La recusación axiomática es otro método de deci-sión. Es un enfoque digno de ser estudiado, pero no es unenfoque obligado.

b) La recusación axiomática tiene los límites de todométodo de decisión.

c) La recusación axiomática no es un método de deci-sión puramente sintáctico. Para que un cálculo de recusa-ción pueda considerarse una prueba de decidibilidad, debedemostrarse su completitud, además de su corrección. Y laprueba de completitud debe realizarse por medios semán-ticos. Además presupone la completitud semántica del calcu-lo asertivo.

2. GRAMÁTICA, SINTAXIS Y SEMÁNTICA DE LA LÓGICA,DE PREDICADOS MONADICOS

2.1. TABLA DE SÍMBOLOS

Constantes Lógicas:

Conectivas: 1, A, V, ~, +~

Igualador: =.Cuantincadores: V, A.

- -- -


Variables de predicado: F, G, H, 1, ], K, con o sin subín-dices.

Variables individuales: x, y, z, u, W, con o sin subíndices.

2.2. FÓRMULAS

l. Una variable de predicado seguida de una variableindividual es una fórmula.

11. Para cualesquiera variables individuales x, y, x = yes una fórmula.

111. Si a es una fórmula, entonces la es una fórmula.

IV. Si a. y ~ son fórmulas, entonces (a A ~), (a v ~),(a. -4 ~), (a +-~ ~), son fórmulas.

V. Si a es una fórmula, entonces para cualquier variableindividual x, Axa. y Vxa son fórmulas. Diremos que a es elalcance del cuantwcador. AXI ... xna es abreviatura deAXI ... Axna. VXI... xna es abreviatura de VXl... Vxna..

VI. Si a es una fórmula, entonces para cualquier varia-ble de predicados F, AFa y VFa son fórmulas. a es el alcan-ce del cuantWcador.

Si y se ha formado por aplicación iterada de las reglasIII y IV a partir de las fórmulas al, Q.2,..., an, diremos quey es una función veritativa de al, a.2, ..., ano

Podemos considerar que las fórmulas de la lógica de pre-dicados monádicos de l.er orden sin identidad son un sub-conjunto de las fórmulas de 2.0 orden, las formadas deacuerdo con las reglas 1, 111, IV, V.

A fin de evitar un excesivo número de paréntesis se usa-rán las convenciones habituales: supresión del paréntesisexterior, supresión de paréntesis en las series de conjuncioneso disyunciones, condicionador y bicondicionador separanmás que coyuntor y disyuntor. Ejemplo de la última con-vención: a A ~-4 Y es abreviatura de (a A ~) -4 y.

2.3. TERMINOLOGÍASINTÁCI'ICAADICIONAL

Para abreviar las referencias a clases de fórmulas, esconveniente introducir las expresiones siguientes:

- - --- - - ---- - - - -


a) Fórmula elemental: fórmula atómica en que no ocu-rre el igualador. Son fórmulas atómicas las formadas deacuerdo con las reglas I y 11.Ejemplos de fórmula elemental:Fx, G1z.

b) Expresión literal: es una fórmula elemental o nega-ción de una fórmula elemental. Ejemplos: Fx, IG1z, Gz.

c) Fórmula básica. Fórmula básica afirmativa: particu-larización (cuantificación existencial) de una conjunción deexpresiones literales, con ocurrencia únicamente de la varia-ble ligada por el cuantificador. Ejemplo: Vx(Fx A ¡Gx A Hx).Fórmula básica negativa: negación de una fórmula del tipoanterior. Ejemplo: jVx(Hx A IHx).

d) P-componente. Una fórmula a es un P-componentede la fórmula ~ (siguiendo la nomenclatura de Church), sicumple las condiciones: i) a es una parte de ~; ii) a no ocurreen el alcance de un cuantificador de ~; iii) a no tiene nin-guna de las formas I y, 'YA O, y v o, y -+ O, y ~* o. Ejemplo:'Fx', 'Gx', 'Vy(Gy v IHy)' son los P-componentes de

(1) (Fx v IGX) A (iFx ~ Vy(Gy v iHy))

Cualquier P-componente es una fórmula atómica o unacuantificación.

e) P-fórmula o enunciado del CE asociado a una fórmu-la. Un enunciado ~ del CE (cálculo de enunciados) es unaP-fórmula de a si y sólo si ~ puede obtenerse de a susti-tuyendo uniformemente las ocurrencias de cada P-compo-nente en a por una letra enunciativa (P, Q, R, P1, ...), yademás a puede obtenerse de ~ sustituyendo uniformementecada letra enunciativa por una fórmula atómica o cuantmca-ción. La sustitución uniforme se define: supongamos que a'sustituye a a, y W sustituye a ~, la sustitución es uniformecuando si a == ~, entoncesal = W.Ejemplo:la P-fórmulade (1) es

(P v IQ) A(jp -+ R)

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f) Clausura. Una expresión es una serie de cuantmcado-res si y sólo si es un cuantificador seguido de una variable,o bien es el resultado de anteponer un cuantificador seguidode una variable a una serie más corta. a es una clausurauniversal de ~ si y sólo si a es un enunciado y además obien a = ~ o bien a es el resultado de anteponer a ~una serie de cuantmcadores universales. Ejemplo: tantoCAyA(Fx v IGy)' como CAxAy(Fxv IGy)" son clausurasuniversales de CFxv ley'. Análoga definición puede tomar-se para clausura particular.

2.4. SUSTITUCIÓN DE VARIABLESy FÓRMULAS

Algunas reglas, como la de especificación universal, per-miten la sustitución de una variable por otra o por un tér-mino. La sustitución es una aplicación que a cada secuenciaformada por una variable, un término y una expresión, atri-buye unívocamente una expresión. Usaré el signo S para la

operación de sustitución, escribiendo S ~ o. en vez deS (x, 8, (J.).Para una definición recursiva de dicho operador,adaptándola a la lógica de 2.0 orden, nos podemos remitir ala exposición de J. Mosterín.15

Al formular las reglas de recusación se usará la operaciónde sustitución de una fórmula (que es parte de otra) por unafórmula, en la lógica de l.er orden. Definición de S parafórmulas elementales: sean F, G, letras de predicado cuales-quiera, sean x, y, variables individuales cualesquiera, sea O.una fórmula abierta con ocurrencia solamente de la varia-ble x.

SFZ Gy

SFZ y = z == y = zSFz I ~ == -, SF:r ~

.15 Mosterin, J.: Lógica de primer orden. Barcelona, Ariel, 1970,

pp. 41-43.

9

{

a, si F == G, x == Y

Gy, si F == G o bien x = y

¡[,J

i

I1,1"¡i

I1I

j.111

1Ii

11"

II1"

1II1I.

2.5. SINTAXIS DE LA LÓGICA DE PREDICADOS MONÁDICOS

il' Siguiendo la idea de Lukasiewicz, adoptaremos entreotras la regla recusativa de separación, que permite recusaruna fórmula a partir de una tesis y de una fórmula previa-mente recusada. Por ello resulta necesario proponer uncálculo deductivo de aserción. Puede ser cualquier axiomati-zación correcta y completa. Para concretar he adoptado elsistema presentado por Rogers, 16 con las simplificacionesoportunas al no tener en cuenta predicados poliádicos, func-tores ni constantes.

,(

'''11

2.6. SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PREDICADOS MONÁDICOS

11I1

Al presentar un método de decisión para el cálculo depredicados monádicos, la mayoría de los autores lo formulanprimariamente para los enunciados, ya que para ellos sedefinen primariamente verdad y validez. Siempre se puedehallar derivativamente la validez de fórmulas abiertas: las

fórmulas con variables libres se llaman válidas si y sólo sisu clausura universal es válida.

En cambio en un cálculo de recusación parece mejorplantear la recusación directamente de fórmulas con varia-bles libres. Igual que el cálculo de aserción permite deducirfórmulas abiertas, el cálculo de recusación debe permitirderivar fórmulas insatisfacibles como 'Fx A ,Fx' o inclusofórmulas abiertas meramente satisfacibles como 'Fx A '"lGx'.Tomaremos como punto de partida la definición de interpre-

1111:

iilid'

1111

16 Rogers, R.: Mathematical logic and formalized theories. Ams-terdam, North-Holand P. Co., 1971, pp. 43-45 Y 87-89.

1!lli

- - - - - - -


S ( A y) = S1r A SaJ y

S1r ( V y) == S 47 V S Ir Y

SFIr ( . y) == S1r S1r y

S1r ( y) == SF47 S Fa! y

SFIr Az = Az S 47

SF47 Vz = VZ SFz.


tación (simbolizada por 1) y de satisfacción que figura enla obra citada de J. Mosterín,17 modificando la definiciónde verdad para la lógica de 1.er orden: una fórmula a. esverdadera bajo la interpretación 1, si y sólo si toda inter-pretación que coincide enteramente con!, con la posibleexcepción de la asignación de individuos de D a las varia-bles, satisface a.. Para la lógica de 2.0 orden la definición deverdad queda: una fórmula a. es verdadera en D o válida enD, si y sólo si toda interpretación sobre D satisface a.. Parala semántica de la lógica de predicados de 2.0 orden se hatenido especialmente en cuenta la exposición de Rogers. 18

3. DEClDmn..IDAD DE LA LÓGICA DE PREDICADOS MONÁDICOS,

DE PRIMER ORDEN SIN IDENTIDAD MEDIANTE LA RECUSACION

Se proponen los siguientes axiomas y reglas para hallartodas y solas las fórmulas no válidas de la lógica de predi-cados monádicos de 1.er orden.

3.1. AxIOMA

ARl ~ Fx

3.2. REGLAS

.RRl (regla recusativa de separación)

!-fa.

RR2 (regla recusativa de sustitución)

bL SI3 a. donde F es una letra de predicadoFx cualquiera y ~ es una fórmula abier-

ta con ocurrencia de la sola varia-ble x.

17 Mosterin, J.: Op. cit., pp. 107 Y ss.18 Rogers, R.: Op. cit., pp. 90 Y ss.

r'11

III

1111'I

1111

- - - --


RR3 (regla recusativa de particularización)

~a. donde a. es una fórmula abierta en laque sólo ocurre la variable x.~ Vxa.

RR4 (regla recusativa de adición)

donde aI, a2 son fórmulasbásicas afirmativas, y f1 esuna fórmula básica o dis-yunción de fórmulas básicas.

RR5 (regla recusativa de especificación)

bt- Axa

~a.

3.3. PRUEBA DE RECUSACIÓN

Una prueba de recusación o simplemente recusación esuna secuencia finita de líneas, cada una de las cuales es:a) una tesis del cálculo asertivo; b) un axioma de recusación;o bien c) una fórmula que se obtiene de las anteriores poraplicación de las reglas de recusación RRI-RR5. Las fórmu-las de los grupos b) y c) van precedidas del signo de recu-sación '~', las del tipo a) van precedidas del signo' r-'.

3.4. JUSTIFICACIÓNDE LAS RESTRICCIONES

Es frecuente .que las reglas que versan acerca de cuanti-ficadores tengan restricciones. Pero pueden parecer excesiva-mente complicadas las restricciones impuestas a RR4. Seexige que al y a2 sean fórmulas básicas afirmativas, comopor ejemplo 'Vx(Fx A jCx A I Hx)'. El motivo de tal res-tricción no es dar una regla lo más débil posible, sino que aldisminuir las restricciones se vuelve incorrecta. Ampliemosal grado inmediatamente superior de complejidad la clasede fórmulas a la que pueden pertenecer al y tX.2.Esto es,permitamos que al y a2 sean fórmulas básicas negativas.

-- -


Hagamos: al = IVx(Fx A Gx), a2 = -'Vx(Fx A I Gx),~ = Vx(iFx A Gx) v VX(IFx A I Gx). Vamos a probar:

1.o no es válida I al v ~2.o no es válida I a.2v ~3.o es en cambio válida I t1.2v I al v ~

1.o La fórmula I al v ~, esto es

IIVx(Fx A Gx) v VX(IFx A Gx) v Vx(l Fx A IGx)

equivale a

Vx(Fx A Gx) v Vx(-'Fx A Gx) v Vx(-'Fx A -'Gx)

que por ser una disyunción de fórmulas básicas afirmativasserá válida si y sólo si es válida la disyunción de matrices

(Fx A Gx) v (IFx A Gx) v (-'Fx A ¡Gx)

que por ser el desarro1lo incompleto en forma normal per-fecta no es válido.

2.o Se procede análogamente.

3.o Si ampiáramos RR4 a fórmulas básicas negativas,como son en este caso al y a2, la regla sería incorrecta pues,partiendo de fórmulas no válidas, permitiría 1legar a lafórmula válida J al v I a2 v ~, que equivale a

Vx(Fx A Gx) v Vx(Fx A IGx) v Vx(-'Fx A Gx)v Vx(-'Fx A-'Gx)

que es válida por ser el desarrollo completo en forma normalperfecta. 19

Las restricciones impuestas a RR2 son fácilmente com-prensibles por corresponder a idénticas restricciones en la

19 Herbrand, J.: Écrits logiques. Paris, P. U. F., 1968, pp. 82-84Y 196.

- - - -

IIII

¡¡:

11

'11

I

11

-- - --


regla inversa para el cálculo asertivo, usada por Quine comoregla derivada. 20

Tampoco la formulación de RR3 puede ser tan fuerte.que permita la ocurrencia en a de otras variables libres,además de x, sin volverse incorrecta. Evidentemente no esválida la fórmula ~Gxv IGy', que no es válida en dominiostales que D > 2. Pero ampliando RR2 podríamos pasar a larecusación de ~vx(Gx v I Gy)' a pesar de tratarse de unafórmula válida: para cualquier interpretación l existirá unaED tal que I~sat Gx v IGy. Basta hacer a = ! (y).

3.5. PRUEBA DE COMPLETITUD DEL CÁLCULO DE RECUSACIÓN EN,

LA LOGICA DE PRIMER ORDEN

La prueba de completitud sigue la línea siguiente: todafórmula a tiene al menos una fórmula normal equivalentea'. Por ser equivalentes la recusación de al lleva aparejadala recusación de a por RR1 y el teorema asertivo a ~ a'. Elsegundo paso consiste en demostrar que todas las fórmulasnormales no válidas pueden ser recusadas.

3.5.1. FÓRMULASNORMALES

Una fórmula está en forma normal si y sólo si cumplesimultáneamente l,as cuatro condiciones siguientes: 1) Noocurren las constantes lógicas ~~',~ ~', 'A'. 2) La negaciónsólo afecta a fórmulas elementales o a particularizaciones.3) El cuantmcador sólo afecta a expresiones literales o aconjunciones de expresiones literales. 4) La disyunción noafecta a la conjunción. Atendiendo a los límites de esta ex-posición se omite la prueba por inducción semiótica de quea cada fórmula corresponde al menos una fórmula normalequivalente. 21

20 Quine, W. Methods of logic. Nueva York, Holt, Rinehart andWinston. Reed. 1963, p. 99.

21 Tal normalización procede de Behmann y es usada con lasdiferencias adecuadas por Hilbert-Ackermann para el cálculo de cla-ses y por Quine para el análisis de satisfacibilidad.

-- - --


Aplicando la definición de fórmula normal, podemos or.denar por niveles los enunciados normales. Ya que por defi.nición en los enunciados normales ocurre una sola variab]e

en el alcance de cada cuantificador, es posible reinscribir lasvariables usando solamente la variable x. Los niveles en quepodemos estratificar los enunciados normales son:

EN!. Fórmula básica afirmativa. Ejemplo:

Vx(Fx A Gx A IHx)

EN2. Fórmula básica negativa. Ejemplo:

IVx(Fx A Gx A IHx)

EN3. Disyunción de fórmulas básicas afirmativas. Ejem-plo:

Vx(F1x A F2x A ... A 1Fnx) v Vx(Gx A IHx) v VxGx

EN4. Disyunción de fórmulas básicas negativas. Ejem-plo:

IVx(Fx A Hx) v IVx(IFx A Gx A IHx)v... v IVx(Fx A IGX)

EN5. Disyunción de una fórmula básica negativa conotra u otras fórmulas básicas afirmativas. Ejemplo:

Vx(Fx AGx) v VXIFx v ... v Vx(Gx A Hx)v IVx(IFx A Hx)

EN6. Disyunción de n fórmulas básicas negativas conm fórmulas básicas afirmativas (para n > 2 Y m > 1). Ejem-plo:

Vx(Fx A Hx) v VX(IFx A IGX) v I Vx(Fx A IGX)v IVxHx

EN7. Conjunción de enunciados de las formas EN1-EN6. El caso más complejo es una conjunción de disyuncio-nes de fórmulas básicas. Ejemplo:

-- - - - -- - - - -

ct...

..

I

'.

t.

\11I i¡l' l.

!! Ií'i I

I

474 Decidibaidad de la lógica de predicados...

(Vx(Fx A Gx) v Vx-,Gx v -'Vx(Fx A Hx))A (VxGx v Vx(Fx A -'Hx))

3.5.2. . VALIDEZ DE FÓRMULAS

Se resumen sin demostración las proposiciones acerca dela validez de fórmulas, necesarias para fundamentar la com-pletitud y corrección. 1) Ninguna fórmula básica afirmativaes válida. 2) Una fórmula básica negativa es válida si y sólosi contiene una fórmula elemental y su negación. 3) La dis-yunción de fórmulas básicas afirmativas es válida si y sólosi el resultado de borrar los cuantincadores es válido verita-

tivo-funcionalmente. 4) La disyunción de fórmulas básicasnegativas es válida si y sólo si al menos uno de los disyuntoses válido. 5) La disyunción de una fórmula básica negativacon otra u otras fórmulas básicas afirmativas es válida, si ysólo si el resultado de borrar los cuantincadores es tautoló-

gico. 6) Una expresión de la forma

-, VX~l V .oo v -, Vx~n V VXY1 V .oo v VxYn

es válida si y sólo si por lo menos es válida alguna de lasexpresiones siguientes

(1) -, VX~l v VXYl V ... V VXYn

(2) -, Vxfk V VXYl V .oo V VXYn

(n) -'Vx~n V VXYl V oo. V VXYn

7) Una conjunción de fórmulas es válida si y sólo si todoslos conyuntos son válidos.

3.5.3. TEOREMAS DE COMPLETITUD

Teorema 1. Si el cálculo de recusación permite obtenertodos los enunciados no válidos, entonces permite obtener to-das las fórmulas no válidas. Considérese cualquier fórmulaabierta no válida a. Su clausura universal al no es válida.

Por hipótesis del teorema al será recusable, por ser enuncia-I

'111

----


do. Por. aplicación iterada de RR5 a ~lse llega a la recusa-ción de ~.

Teorema 2. Si el cálculo de recusación permite recusartodos los enunciados en forma normal que no son válidos,entonces permite recusar todos los enunciados no válidos.Sea ~ un enunciado cualquiera no válido y sea ~' su formanormal. ~ puede ser recusado mediante r-~ ~ ~' Y aplica-ción de RRl.

Estos dos teoremas permiten centrar el problema en losenunciados en forma normal.

Teorema 3. El cálculo de recusación permite recusartodas las fórmulas básicas afirmativas. Si contiene al menos

una fórmula atómica no negada, se propone el siguiente es-quema de recusación (sea cada q>¡una expresión literal):

(1) r- VX(q>lA ... A F¡x A ... A q>n)~ VxF¡x(2)~ Fx(3)~ Fix(4)~ VxF¡x(5)~ VX(q>lA ... A F¡x A ...A q>n)

Teorema asertivoAR1

(2) RR2 F¡xf Fx

(3) RR3(1), (4) RR1

Si contiene al menos una fórmula atómica negada, el es- .

quema es análogo partiendo de lf VXIF¡x.

(2) rf(3)~(4)I-f(5)t-f

VxF iX

VXI IF¡x ~ VxF¡xVXI "lF¡xVx"l F¡x

recusado arriba

teorema asertivo

(2), (3) RRl(4) RR2 Fixf "lFix

Teorema 4. El cálculo de recusación permite recusartodas las fórmulas básicas negativas no válidas (que nQ con-tengan una fórmula elemental y su negación). Esquemapropuesto:

(1)~ Fx(2)r- "1"1Fx ~ Fx(3)~ "I,Fx(4)l-f "lFx

ARlteorema asertivo

(1), (2) RRl(3) RR2 Fx/ ,Fx

-- - - -

¡ 11¡

1I

1

11

1I

I

476 Decidibilidad de la. lógica de predicados...

(5) ~ I(Fx A...A Fx A IIFx.A ... A IIFx) ~ -,Fxteorema asertivo

(6) ~ I(Fx A ... A Fx A I IFx A ... A IIFx)(4), (5)RR1

(7) ~ I(F1x A... A FnXA ,G1x A ... A IGmX)(6)RR2 F¡xfFx, G¡xf I Fx

(8) ~ Ax(J.,~ S~ (J.,. teorema asertivo

(9) ~ AXI(F1x A ... A Fnx A ,Gtx A ... A ,Gmx)(7), (8) RR1

(10) ~ 1 VX(J.,~ AXI(J., teorema asertivo

(11) b' IVx(F1x A... A Fnx A ,G1x A... A 1 Gmx)(9), (10) RR1

. Teorema 5. El cálculo de recusación permite recusar ladisyunción de fórmulas básicas afirmativas si no es válida(si el resultado de borrar los cuantmcadores no es una tau-tología).

Sea (J.,la disyunción de fórmulas y ~ el resultado de bo-rrar los cuantificadores. Por hipótesis ~ no es válido y estáen forma normal disyuntiva. Se transforma ~ en su equiva-lente (3' en forma normal conyuntiva. Por no ser válidotendrá al menos un conyunto que no contendrá la mismafórmula elemental afirmada y negada. Dicho conyunto ten-drá la forma

el esquema de recusación puede ser:

(1) Ir Fx AR1(2) r Fx v ... v Fx v ,'"l Fx v ... v 11 Fx ~ Fx

teorema asertivo(3) ~ Fx v...vFxv IIFx v ...v IIFx

(1), (2) RR1(4) Ir F1x v... v Fnx v IG1X V... V ,Gnx

(3)RR2 F¡xfFx, G¡xf IFx(5) r W~ F1x v ... v Fnx v IG1X v... v,Gnx

teorema asertivo(6)~ W (4), (5) RR1

-- -

Sabemos que ~ es una disyunción de fórmulas básicas quepodemos representar por ~1 v ... v ~p' La línea (9) tiene laestructura

(9) b' VX(~lv... V ~p)(10) r- VX~lv... VVx~p~ VX(~lv... V ~p)

teorema asertivo

(9), (10) RR1

Pero la línea (11) es exactamente la fórmula a recusar rJ...

Teorema 6. La disyunción de fórmulas básicas negati-vas es recusable si no es válida (si ninguno de los disyuntoses válido). Sea cada -,VxrJ..¡uno de los disyuntos. Por hipó-tesis no son válidos y recusables por el teorema 4. Sea ~la fórmula insatisfacible 'Vx(Fx A IFx)', entonces la fórmulaI VxrJ..¡V ~ -', I VxrJ..¡es un teorema asertivo. Por RR1 pode-mos recusar cada I VxrJ..¡v ~. Por aplicaciones sucesivas deRR4 tenemos

r- I VxrJ..'2v I VX(J.lV ~r- I VXrJ..g v -, VXrJ..2 V -, VXrJ..l V ~

.

r- I VXrJ..nV ... v IXrJ..2 V I VXrJ..lV ~

finalmente como y ~ y V ~es un teorema asertivo, por RR1tenemos

r- IVXrJ..nv... V IXtX.2 V I VXrJ..l

Teorema 7. Todas las expresiones de la forma

(donde cada rJ..¡es una conjunción de expresiones literales)son recusables si no son válidas (si el resultado ~ de borrar

- - - - - --


(7) r- W teorema asertivo(8) bl (6), (7) RR1(9) bl Vx (8) RR3

478 Decidibi.lidad de la lógica de predicados...

los cuantificadores no es tautológico). La demostración esanáloga a la del teoren1a 5. Para completada, el teorema

r-I Vxal v Vxa'2 v ... V Vxan ~ Vx I alv VX2a2 v ... v Vxan

junto con RRl nos permite llegar al resultado esperado

Teoren1a 8. Una expresión de la forma

(siendo ~¡, Y¡ conjunciones de expresiones literales) es recu-sable si no es válida; esto es, si no es válida ninguna de lasexpresiones:

(1) IVX~l V VXYl v.,. V VXYrn

(2) I Vx(3.~v VXYl V .., V VXYrn..

(n) I VX~n V VXYl V ... V VXYrn

Al no ser válidas por hipótesis, las expresiones (1), (2), .. " (11)son recusables por el teorema 7. Por RR4 es recusable

-, VX~l V .., v -, VX~nV VXYlV ... V VXYrn

Teorema 9. Una conjunción de disyunciones de fórmu-las básicas es recusable si no es una fórmula válida (sialguno de los conyuntos no es válido). Si alguno de los con-yuntas ai no es válido, será recusable en virtud de los teo-remas anteriores. Los últimos pasos pueden ser:

r- al V .., V ai V ... V an ~ ai

Ir ai

I-f al V ... V ai V... V an

teorema asertivo

ya recusadoRR1

- -- -- --

D"cidibilidad de la lógica de predicados... 479

3.6. LA CORRECCIÓN DEL CÁLCULO DE RECUSACIÓN PARA LAI I

LOGICA DE PREDICADOS MONADICOS DE PRIMER ORDEN

El único axioma de recusación es trivialmente no válido.

Se puede demostrar que las reglas de recusación preservanla no validez. Para RRI, RR2, RR5 la demostración y partede la corrección de una regla inversa en el cálculo aserti-vo. 22 Si las fórmulas recusadas fuesen válidas, lo seríancontra la hipótesis respectivamente ~, S~ a, Axa.

Para demostrar la corrección de RR3 tengamos en cuentalas restricciones. Si a es una fórmula abierta con ocurrencia

solamente de la variable x (por tanto no contiene ningúncuantificador) y además es una fórmula no válida, entoncessu P-fórmula no es tautológica y existirá una interpretación11 que no la satisface. Entonces podrá construirse unainterpretación! tal que 1 no sato Vxa. Los conjuntos asig-nados a una letra predicativa cualquiera serán

!(F) = D siI(F) = ~

I1(F) = Tsi 11(F) = .L

Es evidente que 1 no sato Vxa pues no existe ningún aEDtal que 1~ sato a~ .

En el caso de RR4 las restricciones estipulan que ~ esuna fórmula básica o disyunción de fórmulas básicas. Porlo tanto pertenece a una de las siguientes clases de fórmulas:i) Fórmula básica afirmativa. ii) Fórmula básica negativa.iii) Disyunción de fórmulas básicas afirmativas. iv) Disyun-ción de fórmulas básicas negativas. v) Disyunción de unafórmula básica negativa con fórmulas básicas afirmativas.vi) Disyunción de fórmulas básicas afirmativas y negativas.Demostrando la corrección de RR4 para cada uno de estoscasos habremos demostrado la corrección de RR4 en general.A título de ejemplo daremos la demostración para el primercaso. Sean al y a2 fórmulas básicas afirmativas lo mismoque ~. Por hipótesis no son válidas

22 Para RR2 ver Quine, W.: Methods of logic, 1963, p. 99.


(1) 1a.1 v ~(2) lat2 v ~

tenemos que demostrar que bajo esta hipótesis no es válida

Según los teoremas de validez existirá una interpretaciónveritativo funcional 11 que no satisface la fórmula resul-tante de (1) al borrar los cuantificadores. Igualmente existiráuna interpretación ~2 que no satisface la fórmula que re-sulta de borrar los cuantificadores en (2). Puede construirse

una interpretación ! que no satisface (3). La interpretaciónserá: D = {1, 2}, sea Fj cualquiera de los relatores queocurren en (3) y sea i cualquiera de los elementos del domi-nio D. Entonces

1 E (F) si y s.s. IlFj) = T

4. DECIDIBILIDAD DE LA LÓGICA DE PREDICADOS MONÁDICOS

DE 2.0 ORDEN CON IDENTIDAD MEDIANTE LA RECUSACIÓN

4.1. ENUNCIADOS BÁSICOS DE IDENTIDAD

Llamaremos enunciados básicos de identidad a los quetengan una de las dos formas siguientes:

donde ocurren todas las fórmulas de la forma Xi ;é Xj, tales

que i < j. Su sentido intuitivo es que existen al menos mindividuos en el universo: D > m.

en la matriz ocurren todas las fórmulas je la forma Xi = Xj

tales que i < j. Su sentido intuitivo es D < n - 1.

--- --- - -- -- --


Adaptando las abreviaturas de Hilbert-Bernays 23 a lasfórmulas de identidad, vamos a convenir que para m > 2,n > 2, la expresión cym(x ~ x')' es una abreviatura de (1) yla expresión CAn(x = x')' es una abreviatura de (2).

4.2. AxIOMAS24

Se proponen los siguientes esquemas axiomáticos. Seanx, y, variables individuales cualesquiera, sean m, n, númerosnaturales, m > 2 Yn > 2

AR21 1+ YxYyx ~ yAR22 1+ ym(x ~ x') v An(x = x') SI n < m

4.3. REGLAS

RR21 (Regla recusativa de separación)

RR22 (Regla recusativa de especificación universal)

sea e cualquier variable.

r- (J.

4.4. CORRECCIÓN DEL CÁLCULO DE RECUSACIÓN PARA LA LÓGICAI

DE PREDICADOS MONADICOS DE SEGUNDO ORDEN

Los axiomas de recusación son fórmulas no válidas. Bas~ta considerar cualquier interpretación con D = 1, para com-probar la no validez de AR21. El axioma AR22 tampoco esválido. Resultará falso para toda interpretación que cumpla. I

su negaclon

23 Hilbert-Bernays. Grundlagen der Mathematik. Vol. 1, Berlín,J. Springer, 1934, p. 174.

24 El axioma AR21 puede derivarse de AR22.

- --- - -- ---


iym(x ~ x') v An(x = x')) siendo n < m

que equivale a

-,ym(x ~ x') A iAn(x = X')Am(x = X') A yn(x = X')

siendo n < msiendo n < m

pero_la última fórmula es claramente satisfacible, basta ha-cer D = n = ID - 1, ya que la fórmula

significa que existen exactamente n objetos en

Las reglas de recusación preservan la nocorrección se basa en la de la regla inversaasertivo.

el universo.

validez. Sudel cálculo

4.5. COMPLETlTUD DEL CÁLCULO DE RECUSACIÓNPARA LA LÓGI-,

CA DE PREDICADOS MONADICOS CON IDENTIDAD DE SEGUN-

DO ORDEN

Podemos partir de la normalización de Skolem 25 y Beh-mann. 20 A partir de los teoremas

-,yn(x ~ x~) ~ An(x = x')iAn(x = x') +--+ yn(x ~ x')yn+k(x ~ x') ~ yn(x ~ x')An(x = x') ~ An+k(x = x')

para k > Opara k > O

se demuestra que un enunciado normal de Skolem, que nose reduce previamente a una fórmula válida o insatisfacible,se puede reducir a una fórmula en forma normal conyunti-va, cuyos conyuntos tienen una de las tres formas siguientes:1) yn(x ~ x~) 11) An(x = x') 111) ym(x ~ x') v An(x = x').Podemos plantear los siguientes casos para una fórmula:

25 Skolem, Th.: Selected works in logic, 1970, p. 97.26 Behmann, H.: «Beitrage zur Algebra der Logik, insbesondere

zum entscheidungsproblem". Math Annalen, 86, 1922, p. 225.


Caso 1. Se reduce a una fórmula válida y no debe serrecusada.

Caso 2. La fórmula a se reduce a una fónnula insatis-

facible. Su negación "1a es un teorema. El esquema de re-cusación puede ser

(1) ~(2) ~(3) bl-(4) ~

por hipótesisteorema asertivoAR21(2), (3) RR21

la.a ~ YxYyx ~ yYxYyx ~ ya

Caso 3. Si a se reduce a un enunciado del tipo 1, elesquema de recusación puede ser

(1) 1- ym(x ~ x') ~ YxYyx ~ y(2) bl YxYyx ~ y(3) I-f-ym(x ~ x')(4) 1- a ~ ym(x ~ x')(5) ¡,t a

AR21(1), (2) RR21normalización(3), (4) RR21

Caso 4. Si se reduce a un enunciado del tipo 11, el es-quema de recusación puede ser

(1) If.- yn+l(x ~ x') v An(x = x')(2) ~ An(x = x') ~ yn+l((x ~ x')

v An(x = x'))(3) bl An(x = x')

teorema asertivo(1), (2), RR21

... ... ... ... ... ... ... ...

I

I

I

t

Caso 5. Se reduce a un enunciadG del tipo 111. Talenunciado no será válido si n < m. En este caso es fácil-mente recusable por el esquema axiomático AR22.

Caso 6. a se reduce a a', que es una conjunción de enun-ciados de los tipos 1-111.Hagamos a' == ~1 A fk A ... A ~n'Si al no es válido existirá !talmenos un conyunto que no esválido, por ejemplo ~i' El esquema de recusación puede ser

(1) I-f ~i(2) 1- ~1 A ~2 A ... A ~n ~ ~i(3) 1-1 ~1 A ~2 A ... A ~n

por los casos 3-5teorema asertivo(1), (2), RR21

10

I!

i!\!!i,

1

1

:1

1'

: .11II


(4) 1- a ~ a'(5) I-f a

normalización(3), (4) RR21

Finalmente una fórmula abierta es válida si y sólo si suclausura universal es válida. Si dicha clausura no es válida

será recusable por los casos 2-6. A partir de aquí, la fórmulaabierta será recusable por RR22.

- -

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