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Lógica de predicados

Cálculo de predicados

Hay ciertos argumentos que parecen ser perfectamente

lógicos y que no pueden ser especificados usando cálculo

proposicional.

Ejemplos:

Todos los gatos tienen cola

Tomás es un gato

De estas dos oraciones, uno podría concluir que

Tomás tiene cola

Para mostrar que este argumento es valido, debemos

identificar individuos como Tomás, junto con sus propiedades

y predicados.

Este es el objetivo del cálculo de predicados.


Generalmente los predicados son usados para describir ciertas propiedades o relaciones entre individuos u objetos.

Ejemplo:

◦ “María y Ana son hermanas”,

◦ las frase “son hermanas” es un predicado.

◦ Las entidades conectadas en esta forma, María y Ana, se llaman términos.

◦ Además de los términos y predicados, se usa también cuantificadores.

◦ Los cuantificadores indican qué tan frecuentemente una cierta afirmación es verdadera.

Específicamente, el cuantificador universal se usa para indicar que una afirmación es siempre verdadera, mientras que el cuantificador existencial indica que una afirmación es algunas veces verdadera.


El cálculo de predicados es una generalización delcálculo proposicional.

Además de los términos, predicados y cuantificadores,el cálculo de predicados contiene proposiciones yconectivos como parte del lenguaje.

El predicado “Juana es la madre de Pablo” puede sóloser valorada dentro de un cierto contexto. Hay muchagente llamada Juana y Pablo, y sin más información laoración en cuestión puede referirse a mucha gentediferente, lo cual hace esto ambiguo.


El universo de discurso o dominio es la colección depersonas, ideas, símbolos, estructuras de datos, etc., queafecta el argumento lógico bajo consideración. Los elementosdel universo de discurso se llaman individuos.

La veracidad de una afirmación puede depender del dominioseleccionado. “Hay un número que es el más pequeño” esverdadera en el dominio de los números naturales, pero falsaen el dominio de los enteros.

Para evitar casos triviales, se estipula que cada universo dediscurso debe contener al menos un individuo. Para referirsea un individuo en particular u objeto, se usan identificadores.Estos identificadores se llaman constantes individuales.


Ejemplos de universo de discurso

◦ Personas, las constantes individuales pueden ser sus nombres.

◦ En los números naturales, las constantes individuales son losdígitos que representan a los números.

◦ Cada constante individual debe identificar a un individuo enparticular. Por ejemplo, si el universo de discurso consta depersonas, no debe haber dos personas con el mismo nombre.

Generalmente, los predicados hacen afirmaciones sobreindividuos.

◦ María y Pablo son hermanos

◦ Juana es la madre de María

◦ Tomás es un gato

◦ La suma de 2 y 3 es 5


En cada una de estas afirmaciones, hay una lista deindividuos, los cuales vienen dados por la lista deargumentos, junto con las frases que describen ciertasrelaciones o propiedades entre los individuos de la lista deargumentos. Estas propiedades o relaciones son llamadaspredicados.

En la afirmación “María y Pablo son hermanos”

◦ la lista de argumentos está dada por María y Pablo, mientras queel predicado se describe por la frase “son hermanos”.

Los elementos de la lista de argumentos se llamanargumentos. Los argumentos pueden ser variables oconstantes individuales.


En el cálculo de predicados, a cada predicado se le da un nombre,el cual es seguido por la lista de argumentos.

La lista de argumentos se encierra en paréntesis. Por ejemplo paraexpresar que “Juana es la mamá de María”, uno podría escoger unidentificador, digamos “madre”, para expresar el predicado “esmamá de” y uno escribiría

madre(Juana, María)

Muchos usan sólo una letra como nombres de predicados yconstantes. Así el predicado se escribiría como M(j, m).

Note que el orden de los argumentos es importante. Claramente, lasafirmaciones madre(Juana, María) y madre(María, Juana), tienen unsignificado diferente.

Cálculo de predicados El número de elementos en la lista de predicados se llama la aridad del

predicado.

Ejemplo

◦ madre(Juana, María) tiene una aridad de 2.

La aridad de un predicado es fija. Un predicado no puede tener 2argumentos en un caso y 3 en otro.

Un predicado con aridad n se llama un predicado de n-plazas. Unpredicado de una plaza se llama una propiedad.

El predicado “es un gato”, es un predicado de una plaza, o una propiedad.El predicado “es mamá de” es un predicado de dos plazas.

Un nombre de un predicado, seguido por una lista de argumentos entreparéntesis, se llama una fórmula atómica.

Cálculo de Predicados

Ejemplo: Juana es madre de María,

fórmula atómica

madre(Juana, María)

afirmación compuesta,

madre(Juana, María) → madre(María, Juana)

Ejemplo:

gato(Tomás)

tienecola(Tomás) fórmulas atómicas,

podemos formar

gato(Tomás) → tienecola(Tomás)

Si todos los argumentos de un predicado son constantesindividuales, entonces la fórmula atómica resultante debe serverdadera o falsa. Esto es parte de la definición de un predicado.


Si el universo de discurso consiste de Juana, Diego, María y Pablo,debemos conocer para cada par ordenado de individuos si elpredicado “es mamá de ” es verdadero. Esto se puede hacer enforma de tabla.

Cualquier método que asigne valores de verdad a todas las posiblescombinaciones de individuos de un predicado se llama asignacióndel predicado. Por ejemplo la tabla anterior es una asignación delpredicado “madre”.

Diego Juana María Pablo

Diego F F F F

Juana F F V V

María F F F F

Pablo F F F F

Ejemplos: madre(x, y)

madre(Juana, Pablo) = V

Dominio: 1,2,3,4

Predicado: “mayor” es verdadero si el primer argumento

es mayor que el segundo

renglón

primer argumento

columna

segundo argumento

1 2 3 4

1 F F F F

2 V F F F

3 V V F F

4 V V V F


En un universo de discurso finito, uno puederepresentar la asignación de predicados conarreglos de dimensión n por n.

Note que los símbolos matemáticos y sonpredicados. Sin embargo, estos predicadosson usados normalmente en notación infija.Por esta razón son colocados entre losargumentos. Por ejemplo para expresar que 2es mayor que 1, escribimos 2 1, en lugar de

(2, 1).


Ejemplos de expresiones que contienen

variables

gato(x) tienecola(x)

perro(y) café(y)

grado(x) (x 0) (x 100)

Cuantificadores

Cuantificador universal

Considere las siguiente afirmaciones:

1. Todos los gatos tienen cola

2. Todos conseguimos un descanso de vez en cuando

Todas estas afirmaciones indican qué tan frecuentemente ciertascosas son verdaderas.

Sea A una expresión, y sea x una variable. Si queremos indicar queA es verdadera para todos los valores posibles de x, escribimos xA.

Aquí x es llamado el cuantificador universal, y A se llama elámbito o alcance del cuantificador. La variable x se dice que estáligada al cuantificador. El símbolo se pronuncia “para todo”.

Cuantificadores

Universal

Oraciones que contienen palabras como:

◦ cada, cada uno, y todos usualmente indican cuantificaciónuniversal.

◦ “para cada x”, lo cual se traduce como x.

Ejemplo:

“Todos conseguimos un descanso de vez en cuando”

Definimos B =“conseguir un descanso de vez en cuando”.

B(x) = x consigue un descanso de vez en cuando.

La palabra “Todos” indica que esto es verdadero para toda x.Esto lleva a x B(x).

Cuantificadores

Ejemplo:

“Todos los gatos tienen cola” en cálculo de predicados.

Primero encontramos el alcance del cuantificador universal, el cual es “Si x es un gato entonces x tiene cola”. Después de escoger los símbolos de predicado descriptivos, expresamos esto por la siguiente fórmula compuesta:

gato(x) → tienecola(x)

Esta expresión debe ser cuantificada universalmente para hallar la solución requerida.

x (gato(x) → tienecola(x))

Otra forma de expresar esta afirmación es

y (gato(y) → tienecola(y))

Aquí, la variable ligada es y en lugar de x, generalmente el nombre de la variable usada para la cuantificación es indistinto

Cuantificadores

Si A representa una expresión, y x representa a una variable. Siqueremos indicar que A es verdadero para al menos un valor de x,escribimos x A. Esto se pronuncia “Existe una x tal que A”.

Aquí x es llamado el cuantificador existencial, y A se llama elalcance o ámbito del cuantificador existencial. La variable x se diceque está ligada al cuantificador.

Afirmaciones que contienen frases como “algunos”, “al menos uno”sugieren cuantificación existencial. Y deben ser reescritos como“Hay un x tal que”, lo cual se traduce en x.

Sea P la propiedad “le gusta la carne cruda”. Entonces x P(x) sepuede traducir como “Hay personas a las que les gusta la carnecruda” o “A algunas personas les gusta la carne cruda”.

Cuantificadores

Si A representa una expresión, y x representa a una variable. Siqueremos indicar que A es verdadero para al menos un valor de x,escribimos x A (Existe una x tal que A).

Aquí x es llamado el cuantificador existencial, y A se llama elalcance o ámbito del cuantificador existencial. La variable x se diceque está ligada al cuantificador.

Afirmaciones que contienen frases como “algunos”, “al menos uno”sugieren cuantificación existencial. Y deben ser reescritos como“Hay un x tal que”, lo cual se traduce en x.

Sea P la propiedad “le gusta la carne cruda”. Entonces x P(x) sepuede traducir como “Hay personas a las que les gusta la carnecruda” o “A algunas personas les gusta la carne cruda”.

Cuantificadores

Ejemplos:

“Hay alguien que conoce a todos”

x(x conoce a todos). Aquí “x conoce a

todos” está todavía en español y significa

que para todo y es verdad que x conoce a y.

Por tanto x conoce a todos = y C(x, y).

Finalmente se añade el cuantificador

existencial y obtenemos x y C(x, y).

Ejemplo

“Cualquiera tiene alguien quien es su madre”

Definimos M como el predicado “madre”;esto es, M(x, y) significa que “x es la madrede y”.

La oración “Alguien es la madre de y” setraduce como x M(x, y).

Para expresar que esto debe ser verdad paratoda y, agregamos el cuantificador universal,lo cual queda como y x M(x, y)

Cuantificadores

Ejemplo: “Nadie es perfecto”

Incluye un cuantificador, “Nadie”, el cual es la ausencia de unindividuo con una cierta propiedad.

En cálculo de predicados el hecho de que nadie tenga unapropiedad P, no puede ser expresada directamente. Paraexpresar el hecho de que no hay x para la cual una expresiónA es verdadera, uno puede usar x A o x P(x), indica quenadie es perfecto.

En el primer caso, decimos, en traducción verbal, “No se dael caso de que exista alguien quien sea perfecto”, mientrasque en el segundo caso decimos “Para cualquiera, no se da elcaso de que sea perfecto”. Los dos métodos para expresar quenadie es A deben por supuesto ser lógicamente equivalentes;esto es,

x A x P(x).

Variables ligadas y libres

Las variables que aparecen en el

cuantificador es una variable ligada.

Ejemplo: x (P(x) → Q(x)),

◦ x aparece tres veces, y cada vez x es una

variable ligada.

Cualquier variable que no está ligada a un

cuantificador se llama variable libre.

x (P(x,y) → Q(x))

Ejercicio

Encontrar las variables libres y ligadas en

z (P(z) Q(x)) y Q(y)

z (P(z,x) xQ(x)) y Q(y,z)

x y (P(x,y) → Q(x,z)) z Q(y,z)

Formalización

Los animales forman el universo de discurso.

Formaliza: “Todos los animales son mamíferos”

Considere primero las oraciones

◦ “Todos los perros son mamíferos”. Ya que el cuantificador sedebe restringir a los perros, uno re-escribe la afirmación como“Si x es perro, entonces x es un mamífero”. Esto da lugar a

x(Perro(x) → Mamífero(x))

Generalmente, la oración

x(P(x) → Q(x))

puede ser traducida como “Todos los individuos conpropiedad P además tienen la propiedad Q”.

FormalizaciónEjemplo:

“Algunos perros son cafés”.

◦ Esta afirmación significa que hay algunos animales que son perros y que son cafés. Porsupuesto que, la afirmación “x es un perro y x es café” puede ser traducida comoPerro(x) Café(x).

“Hay algunos perros cafés” se puede traducir como

x (Perro(x) Café(x))

La afirmación x (P(x) Q(x))

Puede en general ser interpretada como “Algunos individuos con propiedadP también tienen la propiedad Q”.

Note que si el cuantificador universal se aplica sólo a individuos con unapropiedad dada, entonces se usa el condicional para restringir el universode discurso. Por otro lado, si se restringe la aplicación del cuantificadorexistencial, se usa la conjunción.

Cuantificadores: valor de verdad

Ahora discutiremos posibles interpretaciones de x P(x), donde Pes el predicado “ha pagado”. Para encontrar una interpretación, senecesita una lista de consumidores, el cual provee el universo dediscurso requerido. Asumamos que hay solo hay tres consumidoresJ, M y S. Estas abreviaciones son las constantes individuales.Luego, se necesita una asignación para P(x). Si J y M han pagadopero S no, esta asignación está dada como sigue

Ahora no hay dificultad en determinar el valor de verdad para xP(x). Obviamente, la afirmación es falsa. En nuestra interpretación,

x P(x) es sólo verdad si P(J), P(M) y P(S) son todos verdaderos, yeste no es el caso. S no ha pagado, es decir, P(S) es falso.

P(x) V V F

J M S


Universal

Para la interpretación, seleccionamos un

dominio finito de n individuos a1, a2,...,

an,

x P(x) es verdadera sólo si P(a1),

P(a2),...,P(an) son todas verdaderas. Por

tanto x P(x) viene dada por

x P(x) P(a1) P(a2) ... P(an)


Existencial

x P(x) es verdad si hay al menos una x parala cual P(x) se satisface. En la interpretacióndada, P(J) es verdadera y esto es suficientepara hacer x P(x) verdadera.

Hay un consumidor, J, quien ha pagado. Enun dominio con n individuos a1, a2,..., an, xP(x) es verdadera en cada interpretación quehace a P(a1) verdadera o P(a2) verdadera, ... ,o P(an) verdadera. Consecuentemente,

x P(x) P(a1) P(a2) ... P(an)

Ejercicio: verifica las respuestas

p x x

q x x

r x x x

s x x

( ):

( ):

( ):

( ):

0

0

3 4 0

3 0

2

2

2

x p x r x TRUE

x p x q x TRUE

x p x q x TRUE

x q x s x FALSE

x r x s x FALSE

x r x p x FALSE

[ ( ) ( )]:

[ ( ) ( )]:

[ ( ) ( )]:

[ ( ) ( )]:

[ ( ) ( )]:

[ ( ) ( )]:

x=4

x=1

x=1,0.5,...

x=-1

El universo de discurso es los números reales

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