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Lógica de Primer Orden: Lógica dePredicados

Departamento de Matematicas

Logica de Primer Orden: Logica de Predicados– p.1/21

Predicados

Definici on

Un predicado es una oración que contiene unnúmero definido de variables y que se vuelve enuna proposición cuando las variables sonsustituidas por valores.


Predicados

Definici on

Un predicado es una oración que contiene unnúmero definido de variables y que se vuelve enuna proposición cuando las variables sonsustituidas por valores. El dominio de un predicadoes el conjunto de todos los valores que pueden sersustituidos en las variables.


Cuantificador Universal

Definici on

Sea Q(x) un predicado y D el dominio de Q.



Definici on

Sea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Unasentencia universal es una declaración de la forma:

∀x ∈ D,Q(x) (1)



Definici on


∀x ∈ D,Q(x) (1)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) esverdadera para todo elemento x que está en eldominio D.



Definici on


∀x ∈ D,Q(x) (1)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) esverdadera para todo elemento x que está en eldominio D. La afirmación es falsa si y sólo si Q(x)es falsa al menos para un elemento x del dominio.



Definici on


∀x ∈ D,Q(x) (1)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) esverdadera para todo elemento x que está en eldominio D. La afirmación es falsa si y sólo si Q(x)es falsa al menos para un elemento x del dominio.El elemento x para el cual Q(x) es falsa se llamacontraejemplo a la afirmación universal.


Cuantificador existencial

Definici on

Sea Q(x) un predicado con cominio D.



Definici on

Sea Q(x) un predicado con cominio D. Unadeclaración existencial es una declaración de laforma:

∃x ∈ D, Q(x) (2)



Definici on


∃x ∈ D, Q(x) (2)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe enel dominio D al menos un valor de x para el cualQ(x) es verdadera.



Definici on


∃x ∈ D, Q(x) (2)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe enel dominio D al menos un valor de x para el cualQ(x) es verdadera. A este valor lo referiremos aunejemplo para la afirmación.



Definici on


∃x ∈ D, Q(x) (2)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe enel dominio D al menos un valor de x para el cualQ(x) es verdadera. A este valor lo referiremos aunejemplo para la afirmación. La afirmación seráfalsa si para todo x en el dominio Q(x) es falsa.


El símbolo ∀ se llama cuantificador universal.


El símbolo ∀ se llama cuantificador universal.

El símbolo exists se llama cuantificador existencial.


Ejemplo

Suponga que se hace referencia a las figuras queaparecen en la gráfica:

a

b c

d

g

e

f


Ejemplo


a

b c

d

g

e

f

Podríamos definir

nuestro discurso a lasfiguras a,b,c,d,e,f,g.


Ejemplo


a

b c

d

g

e

f

Podríamos definir

nuestro discurso a lasfiguras a,b,c,d,e,f,g. Ydefinir los predicados:

Azul(t) = t es de color azul.Rojo(t) = t es de color rojo.

Triangulo(t) = t es un triángulo .Cuadrado(t) = t es un cuadrado.

Circulo(t) = t es un círculo.


Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

1. ∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t)

2. ∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

3. ∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

4. ∀ t, Triangulo(t) ∨ Rojo(t)

5. ∃ t, Cuadrado(t) ∧ Azul(t)


Con los predicados y la figura generamos la tabla:Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo

a T F T F F

b T F T F F

c F T F F T

d F T F T F

e F T F T F

f F T F T F

g F T F F T


Para la afirmación:

∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Circulo ∨ Rojo

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T





a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T

La afirmación es falsa





a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T

La afirmación es falsa : a y b son contraejemplos.



∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado ∧ Rojo

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F





a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

La afirmación es cierta





a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

La afirmación es cierta : d, e y f son ejemplos.



∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)


a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F





a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

La afirmación es falsa





a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

La afirmación es falsa : a, b, c y g son contraejemplos.



∀ t, Triangulo(t) ∨ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Triangulo ∨ Rojo

a T F T F F T

b T F T F F T

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T



∀ t, Triangulo(t) ∨ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Triangulo ∨ Rojo

a T F T F F T

b T F T F F T

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T

La afirmación es cierta.



∃ t, Cuadrado(t) ∧ Azul(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado ∧ Azul

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F F

e F T F T F F

f F T F T F F

g F T F F T F



∃ t, Cuadrado(t) ∧ Azul(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado ∧ Azul

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F F

e F T F T F F

f F T F T F F

g F T F F T F

La afirmación es falsa.


Ejemplo

Considere los siguientes datos:

Nombre Carrera Edad Hobby

Juan ITEC 21 Leer

María IMA 20 Música

Tomás IIS 23 Futbol

Lalo LATI 22 Anime

Luis IFI 21 Leer

Soledad LCC 24 Futbol


Ejemplo



Juan ITEC 21 Leer



Lalo LATI 22 Anime

Luis IFI 21 Leer


Nuestro dominio consiste de las personas

Juan, María, Tomás, Lalo, Luis, y Soledad.


Ejemplo



Juan ITEC 21 Leer



Lalo LATI 22 Anime

Luis IFI 21 Leer


Nuestro dominio consiste de las personas

Juan, María, Tomás, Lalo, Luis, y Soledad.Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

1. ∃x, x es menor de 19 años.

2. ∃x, x tiene como hobby el correr.

3. ∀x, x tiene como hobby leer o x eshombre.

4. ∀x, si x tiene como hobby la músicaentonces x es mujer.

5. ∃x, x tiene como carrera Letras.


De acuerdo a las preguntas, en este ejemplo conviene defi-

nir los predicados:M19(t) = t tiene menos de 19 años.

Co(t) = t tiene como hobby correr.Leer(t) = t tiene como hobby leer.Mus(t) = t tiene como hobby la música.

H(t) = t es un hombre.M(t) = t es un mujer.

Letras(t) = t tiene como carrera Letras.


De acuerdo a los predicados, tendríamos la siguiente tabla:M19 C Leer Mus H M Letras

Juan F F T F T F F

María F F F T F T F

Tomás F F F F T F F

Lalo F F F F T F F

Luis F F T F T F F

Soledad F F F F F T F



Juan F F T F T F F



Lalo F F F F T F F

Luis F F T F T F F


La afirmación ∃x, x es menor de 19 años es falsa.



Juan F F T F T F F



Lalo F F F F T F F

Luis F F T F T F F


La afirmación ∃x, x tiene como carrera Letras es falsa.



Juan F F T F T F F



Lalo F F F F T F F

Luis F F T F T F F


La afirmación ∃x, x tiene como hobyy correr es falsa.



∀x, x tiene como hobby leer o x es hombre

M19 C Leer Mus H M Letras Leer ∨ H

Juan F F T F T F F T

María F F F T F T F F

Tomás F F F F T F F T

Lalo F F F F T F F T

Luis F F T F T F F T

Soledad F F F F F T F F











Deducimos que es falsa











Deducimos que es falsa : María y Soledad son los contrae-

jemplos.



∀x, si x tiene como hobby la música, entonces x es mujer.

M19 C Leer Mus H M Letras Mus → M


María F F F T F T F T




Soledad F F F F F T F T











Deducimos que es verdadera.











Deducimos que es verdadera.

No te que la clave es que F → X es T.


Ejemplo

Sea P (x) el predicado con dominio los númeroreales:

x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienen afirmacionesverdaderas:1. P (−2)

2. P (−6)

3. P (1

2)

4. P (2)

5. P (−4)


Ejemplo


x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienen afirmacionesverdaderas:1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10.

2. P (−6)

3. P (1

2)

4. P (2)

5. P (−4)


Ejemplo


x2 ≤ 10


2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10.

3. P (1

2)

4. P (2)

5. P (−4)


Ejemplo


x2 ≤ 10


2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10.

3. P (1

2) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 ≤ 10.

4. P (2)

5. P (−4)


Ejemplo


x2 ≤ 10


2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10.

3. P (1

2) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 ≤ 10.

4. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 ≤ 10.

5. P (−4)


Ejemplo


x2 ≤ 10


2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10.

3. P (1

2) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 ≤ 10.

4. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 ≤ 10.

5. P (−4) Falsa: (−4)2 = 16 6≤ 10.


Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado: Si x < y, entoncesx2 < y2. Con dominio para x y para y todo elconjunto de los números reales. Identifique cuálesopciones contienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2)

2. P (−2, 1)

3. P (−3, 1)

4. P (1

2, 1)

5. P (1,−3)


Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado: Si x < y, entoncesx2 < y2. Con dominio para x y para y todo elconjunto de los números reales. Identifique cuálesopciones contienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera.2. P (−2, 1)

3. P (−3, 1)

4. P (1

2, 1)

5. P (1,−3)


Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado: Si x < y, entoncesx2 < y2. Con dominio para x y para y todo elconjunto de los números reales. Identifique cuálesopciones contienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera.2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa.3. P (−3, 1)

4. P (1

2, 1)

5. P (1,−3)


Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado: Si x < y, entoncesx2 < y2. Con dominio para x y para y todo elconjunto de los números reales. Identifique cuálesopciones contienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera.2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa.3. P (−3, 1) : (−3 < 1) → (9 < 1): falsa.

4. P (1

2, 1)

5. P (1,−3)


Ejemplo


4. P (1

2, 1) : (1/2 < 1) → (1/4 < 1): cierta.

5. P (1,−3)


Ejemplo


4. P (1

2, 1) : (1/2 < 1) → (1/4 < 1): cierta.

5. P (1,−3) : (1 < −3) → (1 < 9): cierta.


Ejemplo


∀ político x, x es un buen conversador

Indique cuáles expresiones la describen:1. Entre todos los políticos, algunos son buenos

conversadores.


Ejemplo




conversadores.2. Todo político es un buen conversador.


Ejemplo




conversadores.2. Todo político es un buen conversador.3. Cada político es un buen conversador.


Ejemplo




conversadores.2. Todo político es un buen conversador.3. Cada político es un buen conversador.4. Algunos buenos conversadores son políticos.


Ejemplo




conversadores.2. Todo político es un buen conversador.3. Cada político es un buen conversador.4. Algunos buenos conversadores son políticos.5. Cualquier político es un buen conversador.


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