4.1 Lógica de Primer Orden

Lógica de Primer Orden

“El que guarda mi palabra, nunca sufrirá muerte”Jesucristo Jn.16.7

Lógica de Primer OrdenLa lógica proposicional trata con “hechos”, sentencias que pueden ser o no verdades del mundo, ej. “esta lloviendo”. Pero, no puede tener variables que puedan representar libros o mesas.

Lógica de Primer OrdenLa lógica proposicional trata con “hechos”, sentencias que pueden ser o no verdades del mundo, ej. “esta lloviendo”. Pero, no puede tener variables que puedan representar libros o mesas.

En la lógica de primer orden, las variables se refieren a cosas del mundo y, por tanto, usted puede cuantificar sobre ellas: hablar de todas ellas o algunas de ellas sin mencionarles el nombre explícitamente.

Motivación para la LPOHay sentencias que no pueden ser hechas en lógica proposicional pero pueden ser escritas en LPO

Cuando usted pinta un bloque con pintura verde , esta se vuelve verde.

• En lógica proposicional, necesitara una sentencia referida a cada bloque individual, no se puede hacer una sentencia general acerca de todos los bloques.

Cuando se esteriliza un jarrón, todas las bacterias son eliminadas.

• En LPO, podemos hablar acerca de todas las bacterias sin nombrarlas a ellas explícitamente.

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Sintaxis de LPO

Términos

Sintaxis de LPOTérminos

Símbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39


Símbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39Variables: x, y, a


Símbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39Variables: x, y, aFunción símbolo aplicada a uno o más términos: f(x), f(f(x)), madre-de(Juan)



SentenciaUn símbolo predicado aplicado a cero o mas términos:Sobre(a, b), Hermana(Juana, Maria),

Hermana(madre-de(Juan), Juana)




Hermana(madre-de(Juan), Juana)t1 = t2




Hermana(madre-de(Juan), Juana)t1 = t2Si v es una variable y es una sentencia, entonces

Para toda v. y Existe v. son sentencias.



SentenciaUn símbolo predicado aplicado a cero o mas términos:

Sobre(a, b), Hermana(Juana, Maria), Hermana(madre-de(Juan), Juana)

t1 = t2Si v es una variable y es una sentencia, entonces Para toda

v. y Existe v. son sentencias.Operadores: ^, v, ¬, =>, <=>, ( )

Interpretaciones de LPOInterpretación I

Interpretaciones de LPOInterpretación I

Conjunto U de objetos (llamado ”dominio del discurso” o “universo”)

Interpretaciones de LPO

Interpretación IConjunto U de objetos (llamado ”dominio del discurso” o “universo”)Mapeamiento de constantes a elementos de U


Interpretación IConjunto U de objetos (llamado ”dominio del discurso” o “universo”)Mapeamiento de constantes a elementos de UMapear predicados a relaciones en U (una relación binaria es un conjunto de pares)


Interpretación IConjunto U de objetos (llamado ”dominio del discurso” o “universo”)Mapeamiento de símbolos constantes a elementos de UMapear símbolos predicados a relaciones en U (una relación binaria es un conjunto de pares)Mapear símbolos funciones a funciones en U (una función es binaria con un único par para cada elemento en U, cuyo primer ítem es ese elemento)

Denotación de términosLos términos nombran objetos en U


I(Fred) si Fred es constante, entonces es dada


I(Fred) si Fred es constante, entonces es dadaI(x) si x es una variable, entonces es indefinidaI(f(t1, ...,tn)) I(f)(I(t1),..., I(tn))

AfirmaciónCuando una sentencia se afirma en una interpretación?


P es un simbolo relaciónT1,..,tn son términos

Afirma(P(t1,.., tn), I) ssi < i(t1), ...i(tn) > Є I(P)



Afirma(P(t1,.., tn), I) ssi < i(t1), ...i(tn) > Є I(P)Hermano(juan, jose)??



Afirma(P(t1,.., tn), I) ssi < i(t1), ...i(tn) > Є I(P)Hermano(juan, jose)??• I(Juan) = ☺[un elemento de U]



Afirma(P(t1,.., tn), I) ssi < i(t1), ...i(tn) > Є I(P)Hermano(Juan, Jose)??

• I(Juan) = ☺ [un elemento de U]• I(José) =☻ [un elemento de U]



Afirma(P(t1,.., tn), I) ssi < i(t1), ...i(tn) > Є I(P)Hermano(Juan, Jose)??

• I(Juan) = ☺ [un elemento de U]• I(José) =☻ [un elemento de U]• I(hermano)= {< , >, <☺,☻ >, <...,...>, ...}

Igualdad Afirmar(t1 = t2, I) ssi I(t1) es el mismo objeto que I(t2)

Igualdad Afirmar(t1 = t2, I) ssi I(t1) es el mismo objeto que I(t2)Juan = Jaime ?

I(Juan) = [un elemento de U]I(Jaime) = [un elemento de U]Afirmar(Juan = Jaime, I)

Semántica de cuantificadores


Extender una interpretación I para ligar la variable x al elemento a Є U: Ix/a



Afirmar(x., I) ssi afirmar(, Ix/a ) para toda a Є U



Afirmar(x., I) ssi afirmar(, Ix/a ) para toda a Є UAfirmar(x. , I) ssi afirmar(, Ix/a ) para algún a Є U

Dominio ejemplo de LPO

El mundo real

Dominio ejemplo de LPOU ={ , , , }

El mundo real

Dominio ejemplo de LPOU ={ , , , }Constantes: FredPredic: Arriba2, Circulo1, Oval1, Cuadrado1

El mundo real


Función: sombrero El mundo real


Función: sombreroI(Fred)=

El mundo real


Función: sombreroI(Fred)= I(arriba)= {< , > , < , >}

El mundo real


Función: sombreroI(Fred)= I(arriba)= {< , > , < , >}I(Circulo) = {< >}

El mundo real


Función: sombreroI(Fred)= I(Arriba)= {< , > , < , >}I(Circulo) = {< >}I(Oval) ={< >, < >}

El mundo real



El mundo real

I(sombrero) = {< , >, < , >, < , >, < , >}

I



El mundo real

I(sombrero) = {< , >, < , >, < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}

I

Ejemplo LPOI(Fred)= I(Arriba)= {< , > , < , >}I(Circulo) = {< >}I(Oval) ={< >, < >} I(sombrero) = {< , >, < ,

> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}

Afirmar(Cuadrado(Fred), I) ?SI


> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}


Afirmar(arriba(Fred,sombrero(Fred)), I) ?


> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}


Afirmar(arriba(Fred,sombrero(Fred)), I) ?•I(sombrero(Fred)) =


> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}


Afirmar(arriba(Fred,sombrero(Fred)), I) ?•I(sombrero(Fred)) = •afirma(arriba( , ), I) ?


> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}


Afirmar(arriba(Fred,sombrero(Fred)), I) ?•I(sombrero(Fred)) = •afirma(arriba( , ), I) ? no


> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}



•Afirmar(x. Oval(x), I)?


> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}



•Afirmar(x. Oval(x), I)? SI

•Afirmar(Oval(x), Ix/ )? SI


> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}

Afirmar(x.y.arriba(x, y) v arriba(y, x), I)?


> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}

•Afirmar(x.y.arriba(x, y) v arriba(y, x), I)?

•Afirmar(y. Arriba(x, y) v arriba( y, x), Ix/ ?


> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}

•Afirmar(x.y.arriba(x, y) v arriba(y, x), I)?•Afirmar(y. Arriba(x, y) v arriba( y, x), Ix/ ? SI

afirmar(arriba(x, y) v arriba(y, x), Ix/ , y/ )? SI


> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}

•Afirmar(x.y.arriba(x, y) v arriba(y, x), I)? SI•Afirmar(y. Arriba(x, y) v arriba( y, x), Ix/ ? SI

afirmar(arriba(x, y) v arriba(y, x), Ix/ , y/ )? SIVerifique para todos los otros valores de x


> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}


afirmar(arriba(x, y) v arriba(y, x), Ix/ , y/ )? SIVerifique para todos los otros valores de x Afirmar (x. y. Arriba(x,y) v arriba(y, x), I)?


> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}


afirmar(arriba(x, y) v arriba(y, x), Ix/ , y/ )? SIVerifique para todos los otros valores de x Afirmar (x. y. Arriba(x,y) v arriba(y, x), I)? afirmar(arriba(x, y) v arriba(y,x), Ix/ , y/ )?


> < , >, < , >} I(cuadrado) = {< >}


afirmar(arriba(x, y) v arriba(y, x), Ix/ , y/ )? SIVerifique para todos los otros valores de x Afirmar (x. y. Arriba(x,y) v arriba(y, x), I)? no afirmar(arriba(x, y) v arriba(y,x), Ix/ , y/ )? no

Escribiendo LPO

Escribiendo LPOLos gatos son mamiferos [gato1 , mamifero1 ]


x. Gato(x) → mamifero(x)


x. Gato(x) → mamifero(x)Juana es una evaluadora alta [Alta1 , Evaluadora1, Juana]

Alta(Juana) ^ Evaluadora(Juana)



Alta(Juana) ^ Evaluadora(Juana)Un sobrino es hijo de hermanos [Sobrino2, Hermanos2, Hijo2]

xy.[Sobrino(x,y) z.[Hermanos(y,z) ^ Hijo(x,z)]]




xy.[Sobrino(x,y) z.[Hermanos(y,z) ^ Hijo(x,z)]]Una abuela materna es la madre de la madre [función:mdm, madre-de]





xy. x=mdm(y) z.x=madre-de(z) z=madre-de(y)





xy. x=mdm(y) z.x=madre-de(z) z=madre-de(y)Todos aman a alguien [amar2 ]





xy. x=mdm(y) z.x=madre-de(z) z=madre-de(y)Todos aman a alguien [ama2 ]

x. y. Ama(x, y)





xy. x=mdm(y) z.x=madre-de(z) z=madre-de(y)Todos aman a alguien [ama2 ]

x. y. Ama(x, y)y. x. Ama(x, y)

Escribiendo más LPONadie ama a Juana


x. Ama(x, Juana)


x. Ama(x, Juana)x. Ama(x, Juana)



Todos tienen un padre



Todos tienen un padrex. y. Padre(y, x)




Todos tienen un padre y una madre




Todos tienen un padre y una madrex. y, z. Padre(y, x) Madre(z,x) {y # z? No}




Todos tienen un padre y una madrex. y, z. Padre(y, x) Madre(z,x)

Cualquiera que tiene un padre, tiene una madre





Cualquiera tiene un padre, tiene una madre x. [ y. Padre(y, x)]





Cualquiera tiene un padre, tiene una madre x. [ y. Padre(y, x)] [y. Madre(y,x))]

Derivando en Lógica de Primer Orden


•KB deriva S: para cada interpretación I, si KB esta afirmada en I, entonces S será afirmada en I.

Todas las interpretaciones

S KB




S KB

•Calcular una derivación es imposible en general, porque hay infinitamente muchas posibles interpretaciones




S KB

•Calcular una derivación es imposible en general, porque hay infinitamente muchas posibles interpretaciones

•Aun procesando solo las afirmaciones de todas las interpretaciones es imposible hacerlo con universos infinitos.

Tomado del Instituto Tecnológico de Massachusetts www.owc.mit.edu6.034 Artificial Intelligence 2004Archivo ch9-logic1b

Leer capitulo 8 del libro de Russell & Norvig

http://www.owc.mit.edu/

Ejercicios

4.1 Lógica de Primer Orden

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