Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden

Profesores Eduardo Alejandro Barrio y Javier Castro Albano

1er cuatrimestre de 2008

Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden

Capacidad expresiva de los lenguajes de segundo orden

- Dar una definición correcta y formalmente adecuada de verdadero en un lenguaje de segundo orden.- Ofrecer una caracterización recursiva de VMg

Riqueza de los dominios de cuantificación :

Hay incontables propiedades de objetos. (Modelos estándar)

Si las variables de segundo orden toman como valores todos los subconjuntos de un dominio infinito numerable, podemos hablar acerca de más entidades que objetos sobre los que podemos cuantificar en primer orden.

Problema: si D es infinito e incontable, ¿Qué conjuntos hay en P(A)?

No hay medios expresivos para describir cada uno de esos conjuntos.

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de segundo orden

Reflexión sobre el Esquema de Comprensión

y x (P(x) x y) y x (True(x) x y)

La indefinibilidad de la verdad dentro de un lenguaje en el que se pueda expresar la aritmética es una consecuencia del esquema de comprensión de Frege.

Hay un paralelismo entre la oración del mentiroso (que afirma de sí misma que no es verdadera) y el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos.

Los teoremas diagonales son interpretaciones relacionales de la fórmula de Russell.

(Ru) xy ( Jxy Jxy) Antidiagonal: el conjunto de los elementos del discurso los cuales no tienen J con ellos

mismos. ¿Puede este conjunto ser parte de los objetos sobre los que se cuantifica en primer orden?

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de segundo orden

Reflexión sobre el Esquema de Comprensión

Tipificación del lenguaje: hay relaciones que se pueden describir garantizando que para cualquier tipo n, todas las relaciones definibles de ese tipo pertenecerán al dominio de cuantificación.

Objetivo: obtener garantías acerca de que el complemento, la unión y la intersección de elementos del dominio son elementos del dominio.

Modelos que se cumplan para todos los axiomas de comprensión (tipificados)

X1 Y Z1 ( YZ1 ) en donde es una fórmula en la cual Y no aparece libre.

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Modelo Estándar de Segundo Orden:

  -          Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una

interpretación a las oraciones de un lenguaje. < <D, I>, VM >

 - Las propiedades deben interpretarse como subconjuntos del dominio.

- Las variables de segundo orden X, Y, ranguean sobre el conjunto de todos los subconjuntos de D (El conjunto potencia de D).

- Sea A = 1,2. Pot (A) = Ø, 1, 2, 1,2

…….

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- La función g asigna el subconjunto C a la variable X.

- El rango de las n-variables de segundo orden es POT(Dn)

Hay una cantidad no numerable de asignaciones a las variables de segundo orden.

VMg = VMg(): Función que asigna valores veritativos dependiendo de las asignaciones g a las oraciones de L.

Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el dominio D, entonces VMg se define recursivamente como sigue: 

(i´) [[XT)]]Mg = 1 sss < [[ T ]]Mg g (X)

(i´´) [[An (T1,..., Tn)]]M = 1 sss < [[T1]]M,..., [[ Tn ]]M > [[An]]M

(vi´) [[X ]]Mg = 1 sss [[ [X/E] ]]Mg’ = 1, para todo subconjunto ED. (vii´) [[X ]]Mg = 1 sss [[ [X/E] ]]Mg’ = 1, para algún subconjunto ED.

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Ax1x (0 Sx)

Ax2 x y (Sx Sy x y)

Ax3 X (X0 & y (Xy SXy) y Xy)

Los axiomas de Peano son verdaderos en un modelo estándar ssi esta estructura es isomórfica con la estructura < N , I>, donde N es el conjunto de los números naturales e I es la función de interpretación que asigna 0 a “0” y a la relación S la operación de sucesor.

Estas tres forman determinan una familia de modelos categóricos de la aritmética.

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Modelo Henkin de Segundo Orden:  Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las

oraciones de un lenguaje. Un Modelo Henkin MH < <D, d, I>, VM > D es un dominio e I una función de interpretación Para cada n, d(n) es un subconjunto no vacío del conjunto potencia de dn.- La función g asigna el subconjunto C a la variable X.- I (Pn) es un subconjunto de (POT(D n)) VM : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L  Si MH es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las

constantes de L sobre el dominio D, entonces VM se define como sigue: 

(i´) [[XT)]]Mg = 1 sss < [[ T ]]Mg g (X)

(i´´) [[An (T1,..., Tn)]]M = 1 sss < [[T1]]M,..., [[ Tn ]]M > [[An]]M

(vi´) [[X ]]Mg = 1 sss [[ [X/E] ]]Mg’ = 1, para toda asignación g’. (vii´) [[X ]]Mg = 1 sss [[ [X/E] ]]Mg’ = 1, para alguna asignación g’.

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Modelo Henkin de Segundo Orden: La característica principal de la semántica de Henkin es que en un modelo dado, las

variables de segundo orden ranguean sobre una colección fija de subconjuntos del D.

Los que distingue la semántica estándar de la de Henkin en cada cláusula es el rango de la expresión “para toda asignación g’” y “para alguna asignación g’”. En un modelo de Henkin, no se consideran todas las asignaciones posibles (El conjunto potencia de D), sino sólo un subconjunto de P(D).

Full Models: es un modelo Henkin en el cual para cada n, D(n) es el conjunto potencia de Dn.

Hay una familia de modelos Henkin (tantas como restricciones podamos definir).

Una es universalmente válida Henkin si VM asigna 1 a para todo modelo Henkin.

Los modelos estándar son una restricción a los modelos de Henkin.

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Modelo Multisorted de Segundo Orden:

 

La característica principal de la semántica de multivaluada es que cada modelo consiste de dominios separados, quizás no relacionados, para cada tipo de variable. Esto es, cada tipo de variable (todas ellas de primer orden) tiene su universo de discurso.

Hay algunos subconjuntos del universo que pueden ser definidos. Cada uno, podría in

Cada modelo determina una relación de predicación

Las variables de predicado X, Y, Z se transforman en m, n, s y se introduce una relación de aplicabilidad . “m x” significa que m es aplicable a x. Todas las fórmulas de la forma Xt pueden transformarse en m t.

x (Mx Tx) x Mx (Tx)

X x (Xx x) m x (m x x)

no debe contener libre a m

Para la parte de la semántica que puede expresarse mediante esta relación de aplicabilidad (esto es, aquellas que cumplen el axioma esquema de comprensión predicativo), la teoría es completa.

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 Modelo de primer orden multisorted

MM < <d1 , d2, , d3, I, >, VM > , donde los distintos dominios establecen el rango de las distintas variables,

Una función de asignación g asigna un elemento de d1 a cada variable de primer orden y un elemento de d2 a cada variable de segundo orden y un elemento de d3 a cada variable de tercer orden.

Si MM es un modelo para L cuya función de interpretación I asigna un elemento del dominio d1 a las constantes de primer orden y la relación de aplicación a , entonces VM se define como sigue: 

(vi´) [[X ]]Mg = 1 sss [[ [X/E] ]]Mg’ = 1, para toda asignación g’. (vii´) [[X ]]Mg = 1 sss [[ [X/E] ]]Mg’ = 1, para alguna asignación g’.

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A.- Conceptos Plurales

Some critics admire only one another Algunos críticos sólo se admiran entre sí

X (x (Xx Cx) xy ((Xx Axy) (x y Xy))

xx (x (x < xx Cx) xy ((x < xx Axy) (x y y < xx)) it is supposed to mean that there is a collection of critics, each of whose members admires no

one not in the collection, and none of whose members admire himself.

Se supone que significa que hay un grupo de críticos, cada uno de los cuales solamente admira a quien esté en ese grupo y ninguno de los cuales se admira a si mismo.

Hay críticos, cada uno de los cuales admira a quien sea uno de ellos y ninguno de los cuales se admira a si mismo.

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Modelos Plurales

MP < <d1 , d2, I, < >, VM > donde los distintos dominios establecen el rango de las variables de primer orden y de las variables plurales respectivamente y < es la relación “es uno de los”.

La familia de modelos plurales deben cumplir los axiomas:

Comprensión predicativo para plurales: xx x (x < xx x) No hay pluralidades vacías: xx x (x < xx) Coextensionalidad: xx yy [u (u < xx u < yy) ((xx) (yy))]