Lógica de Proposiciones y de Predicado · UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) »La...

Franco D. Menendez

LABIA

FACET - UNT

Universidad Nacional de Tucumán Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología

Lógica de Proposiciones

y de Predicado

UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) »Cada lógica da lugar a un lenguaje para realizar declaraciones acerca de los objetos y para realizar razonamientos acerca de las propiedades de esos objetos. »Las declaraciones en un lenguaje lógico están construidas de acuerdo a un conjunto predefinido de reglas de formación denominadas Reglas de Sintaxis.

»El lenguaje natural no es adecuado para llevar a cabo un razonamiento lógico. ⋄El lenguaje natural es muy rico en contenido y no puede ser descrito formalmente. ⋄El significado de una oración es ambiguo.

»Un lenguaje lógico tiene cierta sintaxis y el significado o semántica, de una declaración o proposición expresada en este lenguaje esta dado por una interpretación en su estructura. Dados un lenguaje lógico y su semántica, podemos tener una o mas sistemas de comprobación para este sistema lógico.


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica)

»La lógica proposicional es el sistema lógico con la semántica mas simple. Sin embargo muchos de los conceptos y técnicas utilizadas para estudiar la lógica proposicional es generalizada para la lógica de predicado de primer orden. En la lógica de predicado existen proposiciones atómicas y proposiciones compuestas. Los hechos o proposiciones atómicas pueden ser interpretadas como verdaderas o falsas. »Las consecuencias del conjunto de proposiciones es una estructura cerrada . Que pueden ser verdaderas para todas las interpretaciones posibles llamada tautología (“verdad universal”).



El alfabeto L del lenguaje formal, es un conjunto conformado por tres conjuntos sin

elementos en común (conjuntos disyuntos). Ellos son:

»1.- El conjunto V de variables proposicionales. Este conjunto es infinito y

enumerable.

V = { p1, p2, ....., pn, .... }

»2.- El conjunto K de conectores proposicionales.

K = { } { , , , )



»3.- El conjunto P de símbolos de puntuación o paréntesis. Este conjunto es de naturaleza impropia.

P = { ( , ) }

En consecuencia el alfabeto, correspondiente a un lenguaje formal para la lógica, está definido por la unión de los tres conjuntos antes detallados.

L = V K P La letra «p» que representan proposiciones, reciben el nombre de «variables lógicas». Estas variables reciben los siguientes dos valores V y F, por lo que a esta lógica recibe el nombre de «Lógica Bivalente». Ejemplo 1: El niño juega

Ejemplo 2: El niño juega y no llora


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) »Conectores Proposicionales


CONECTIVO DENOMINACIÓN LECTURA EN ESPAÑOL

Conjunción Y

Disyunción O

Implicación o

Condicional

si ... entonces

Bicondicional o

Equivalencia

si y sólo si ... entonces

Negación No


Símbolos de Puntuación Los símbolos de puntuación permiten ordenar grupos de palabras y separarlos de otros. En la lógica se utiliza signos de puntuación para evitar equívocos. EJEMPLO

p q r

(p q) r

p (q r)

Se podrán utilizar paréntesis, corchetes y llaves, significando lo mismo desde el punto de

vista de la sintaxis del lenguaje formal.



Cadenas de Caracteres: Concatenación CADENA VACÍA: es aquella cadena que no contiene ningún signo o símbolo del alfabeto L y la denotamos de la siguiente forma: " < > ". CONCATENACIÓN: Cuando colocamos dos cadenas, una a continuación de la otra, obtenemos otra cadena y que la representaremos por " ᴖ " y que es una ley de composición interna a la que denominamos concatenación, es asociativa pero no es conmutativa. ( A ᴖ B ) ᴖ C es lo mismo que A ᴖ ( B ᴖ C ) A ᴖ B es diferente de B ᴖ A CADENA NEUTRA: La cadena vacía es denominada también cadena neutra a derecha e izquierda para la concatenación ( no altera a la cadena concatenada con ella ). A ᴖ < > = < > ᴖ A = A



El lenguaje del Calculo de Proposiciones (EBF) El conjunto de EBF constituye el lenguaje del calculo proposicional. Por lo que este conjunto (F) es un subconjunto del alfabeto L. REGLAS DE BUENA FORMACION: El conjunto F de todas las EBF, se define como un conjunto de Reglas Recurrentes, denominadas Reglas de Buena Formación. REGLA I: Una variable proposicional cualquiera es una EBF. " p V; p F o lo que es lo mismo V F REGLA II: REGLA II-1: Si A es una EBF, entonces A es una EBF

REGLA II-2: Si A y B son EBF, entonces (A * B) es una EBF, donde * K – { }

REGLA III: es también denominada la regla de CLAUSURA. Solamente las cadenas formadas

por las Reglas I, II-1 Y II-2 son EBF.


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) »Definición Algebraica de la semántica del Lenguaje Proposicional: A los efectos de poder tratar de la manera booleana la semántica del lenguaje, confundiremos los valores de verdad (FALSO, VERDADERO) con la dupla (0,1);

»Evaluación de las EBF: sea F una formula conformada por p0, p1, …. pk, la semantica no dice bajo que condición px son verdaderos o falsos. Lo que permite es una interpretación de la distribución de valores de verdad del mismo, el cual determina el resultado de F.

»Ejemplo (p (q r))

Donde δ(p)=0 , δ(q)=1 δ( r) =1


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) Definición por Recurrencia de la Semántica de las EBF Sea δ una distribución de verdad que posee las variables proposicionales p1,p2,…. Pn cuyos valores tomados del conjunto son {0,1}donde su notación será de la forma δ (p1). Definimos una aplicación Fδ del conjunto F de las EBF sobre el conjunto Z={0,1}.

Fδ = F { 0,1 } La Función por recurrencia se define de la siguiente manera:

1.Fδ (p) = δ (p) : " p V

2.Fδ ( A) = ’ δ (A) = 1 - Fδ ( A)

3.Fδ (A B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MIN ((Fδ (A ), Fδ ( B))

4.Fδ (A B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MAX ((Fδ (A ), Fδ ( B))

5.Fδ (A B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MAX ((Fδ ( A ), Fδ ( B))

6.Fδ (A B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MIN ((Fδ (A B ), Fδ ( B A))


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) TAUTOLOGIA, CONTRADICCION E INDEFINICION Los otros usos mas que realizaremos de la tabla de verdad es: 1.Para determinar el valor de verdad de las proposiciones. 2.Para determinar el carácter de las proposiciones. 3.Para descubrir relaciones entre proposiciones dadas. 4.Para determinar la validez de razonamientos. Definimos »Avaloración: al conjunto de combinaciones de los valores de verdad de una formula.

»Dominio: alude solamente a aquellos casos de avaloración verdaderos. Se define dominio pleno cuando todas las avaloraciones tienen resultado verdadero siempre. El dominio se dice vacío cuando en la avaloración solo figuran F.


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) TAUTOLOGIA, CONTRADICCION E INDEFINICION Ejemplo: (p q) ; (p q) ( p q) ; p ( p q)

Los enunciados o fórmulas del primer tipo, aquellos que a veces son falsos y otras

verdaderos, reciben el nombre de INDEFINIDOS. Los del segundo tipo, siempre verdaderos,

se denominan TAUTOLOGÍAS; los del tercer tipo, siempre falsos, son denominados

CONTRADICCIONES.


p q (p q) (p q) ( p q) p ( p q)

V V V V V V F F

V F V F V F F F

F V V V V V F V

F F F V V V F F


Validez y Consecuencia »Definición: Una fórmula proposicional A es satisfactoria si su valor es verdadero en alguna interpretación. Una interpretación satisfactoria es denominada como un modelo para A. Una fórmula A es válida si su valor es verdadero para todas interpretaciones, a lo cual lo denotamos como: A

»Definición: Una fórmula proposicional A es no satisfactoria o contradictoria si no es satisfactoria, o sea que, su valor es falso para todas interpretaciones. Es no válida o falsa si no es válida, o sea que, es falsa para algunas interpretaciones.


UT2: : Sistemas Axiomáticos Noción general de sistemas axiomáticos Un sistema axiomático, consiste en los siguientes objetos:

i. Términos primitivos: constituidos por elementos, conjuntos o relaciones, cuya

naturaleza no queda especificada de antemano.

ii. Axiomas: son funciones proposicionales cuantificadas, relativas a las variables (T.P.),

son propiedades a las que deben satisfacer dichos términos primitivos.

iii. Definiciones: se definen todos los términos no primitivos.

iv. Teoremas: propiedades que se deducen de los axiomas.


UT2: : Sistemas Axiomáticos

DECISION POR FORMAS NORMALES »Las formas normales o canónicas, llamadas así acaso porque el pensamiento expresado en ellas ofrece mayor claridad, son fórmulas o EBF construidas solamente con los conectivos lógicos de conjunción y disyunción y bajo ciertas condiciones. »Existen dos formas normales; la forma normal conjuntiva (que abreviamos de la siguiente forma: f.n.c.) y la forma normal disyuntiva (que abreviamos f.n.d.).

»Forma Normal Conjuntiva Una forma normal conjuntiva es una serie continua de conjunciones y donde los factores de esas conjunciones son sólo disyunciones. »Por ejemplo, consideremos lo siguiente expresión lógica que es una f.n.c.: ( p q) (p q) ( p q) »Forma Normal Disyuntiva Una forma normal disyuntiva es una serie continua de disyunciones y donde los factores de esas disyunciones son sólo conjunciones. (p q) (p q) ( p q)



»1).- La f.n.c. no es tautológica. Transformada en f.n.d., se observa que no es contradictoria. Entonces es indefinida.

»2).- La f.n.c. no es tautológica. Transformada en f.n.d. cada factor incluye una variable proposicional y su negación. Entonces es una contradicción.

»3).- La f.n.d. no es contradictoria. Transformada en f.n.c., se observa que no es tautológica. Entonces es indefinida.

»4).- La f.n.d. no es contradictoria. Transformada en f.n.c. cada factor incluye una variable proposicional y su negación. Entonces es una tautología.



Enunciados y Formas de Enunciados Ahora podemos decir que una forma de enunciado es una fórmula o expresión lógica EBF, construida con variables proposicionales. Si se reemplazan las variables por constantes proposicionales, cuidando en todos y en cada caso de sustituir la misma variable por la misma constante, obtenemos un enunciado. Continuando con la significación atribuida a A y a B, los ejemplos siguientes muestran enunciados y sus correspondientes formas:

»Enunciados Formas de Enunciados 1) A B 1) p q 2) A B 2) p q 3) A A 3) p p 4) B B 4) p p



Razonamiento Un razonamiento está constituido por enunciados de tal modo que el último (conclusión) se deriva con necesidad lógica de los anteriores (premisas).

Razonamiento Forma de Razonamiento V Si Güemes es salteño es argentino 1) p q V Es argentino q V Luego es salteño p

V Si Güemes es tucumano es argentino 2)p q V Es argentino q F Luego es tucumano p



Razonamiento

Razonamiento Enunciado correspondiente

A B

1) B C 2)(A B) (B C) (A B) (C B)

A B

C B

En (2) hemos unido las distintas premisas del razonamiento (1), mediante la

conjunción. Este procedimiento está justificado por una de las formas válidas

de razonamiento.



Formas de Razonamiento Forma de Enunciados Forma de Razonamiento

1) [(p q) r] p 1) (p q) r p 2) [(p q) q] p 2) p q q p


Forma de Razonamiento Forma de Enunciado

Válida Tautológica

Inválida Indefinida o Contradictoria


Sistemas para Derivaciones »1.- Existe una lista dada de argumentos o formas de razonamientos lógicos admisibles, llamadas Reglas de Inferencia. Esta lista se la conoce con el nombre de L. »2.- La derivación por si misma es una lista de expresiones lógicas. Originalmente esta lista esta vacía. Se le pueden añadir expresiones a ésta si constituyen una premisa o si pueden obtenerse a partir de expresiones previas, aplicando una de las reglas de inferencia. Este proceso continua hasta que se alcanza la conclusión.

»Si existe una derivación para la conclusión C, dado que A1, A2, . . . ., An son las premisas y dado que L es el conjunto de reglas de inferencia admisibles, entonces escribimos: »A1, A2, . . . ., An |= L C



Cuadro Semántico

El método del cuadro semántico es un algoritmo relativamente eficiente para la decisión y

su comprobación en el cálculo proposicional. El principio es muy simple, pues para com-

probar la satisfiabilidad debemos buscar siempre un modelo.

Definición Un literal es una proposición simple o una fórmula atómica o la negación de la

fórmula atómica. Definimos a {p, p} como el par complementario de literales, si y solo si p

es una fórmula atómica.

Definición Para cualquier tipo de fórmula A, el conjunto {A, A} es el par complementario

de fórmulas. A es el complemento de A y por lo tanto A es el complemento de A.



Cuadro Semántico

Recordemos las siguientes definiciones:

Definición 1.-Una fórmula A es satisfactoria, si su valor es verdadero para alguna

interpretación. Una interpretación satisfactoria es denominada como un Modelo de A. La

notación empleada para un modelo es : = A

Definición 2.- Una fórmula es Válida si su valor es verdadero para todas las

interpretaciones.

Definición 3.- Una fórmula lógica o proposición compuesta es Insatisfactoria o

Contradictoria, si la misma no es satisfactoria, o sea que es FALSA (F) para todas sus

interpretaciones.

Definición 4.-Una fórmula lógica es Inválida o No Válida o Falsificable, si no es válida, o

sea que su valor es FALSO (F) para alguna interpretación de sus valores de verdad.



»Si la formula B es una formula-B, crear dos nuevos nodos I’ y I’’ como hijos de I, etiquetar a I’ con la siguiente formula: U(I’)=(U(I) – {B}) U (B1) Y etiquetar I’’ con la siguiente fórmula: U(I’)=(U(I)-{B}) U (B2) La construcción termina cuando todas las hojas del árbol están marcadas con un símbolo X o bien O. • Definición: Un cuadro cuya construcción ha finalizado se lo denomina Cuadro Completo. Un cuadro

completo se dice que está cerrado si todas sus hojas están marcadas con la notación de cerrado, de otra forma o modo se dice que el cuadro esta Abierto.

• Teorema : Sea T un cuadro semántico completo para una formula A. la expresión A es No satisfactoria si y solo si T es cerrado.

• Corolario 1: La expresión A es una expresión lógica satisfactoria si y solo si T esta abierto. • Corolario 2: La expresión A es una expresión lógica valida si y solo si el cuadro semántico para A

es cerrado.


BIBLIOGRAFIA »ESTRUCTURAS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS. Bernard Kolman. Robert Busby & Sharon Ross. – 2003.

»MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA. Roberto H. Fanjul – 2005.

»MATEMÁTICAS DISCRETAS - SEXTA EDICIÓN Richard Johnsonbaugh - PRENTICE HALL INC. – 2005.

»LÓGICA COMPUTACIONAL. Roberto H. Fanjul. Autor y Editor. Primera Edición – 2005.

»MATEMÁTICAS DISCRETA Y COMBINATORIA Ralph P. Grimaldi- Addison Wesley Longman – 2001.


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