ELEMENTOS DE MATEMATICA Publicación didáctico científica

de la Universidad CAECE - Trimestral

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ELEMENTOS DE

Editor ia l 3

La teor ía de conjuntos y los f u n d a m e n t o s de las m a t e m á t i c a s - I I I Parte Gregorio Klimovsky 5

Los p r o b l e m a s m a t e m á t i c o s en el a u l a Prof. María Esther S. de Hernández 13

La c o m p u t a c i ó n como recurso Prof. Elena García 2 0

Los S i s t e m a s de n u m e r a c i ó n

Prof. Roberto P. J. Hernández 2 9

Bib l iogra f ía 3 5

Propuesta d idáct ica Lucrecia Del i a Iglesias 3 6

ISSN 0326-8888

Editorial

Pese a todos los problemas que nos acechan entregamos a nuestros estimados suscriptores este número XV, volumen IV de nuestra revista. Queremos hacer, simplemente, referencias al contenido del mismo.

Se manteienen, como es habitual, las secciones fijas. El artículo sobre Computación como recurso presenta un enfoque diferente -pero perfec-tamente compatible- en la aplicación de la congruencia módulo m en Z, respecto del planteado sobre el mismo tema en un número anterior.

Se incluye, tal como se había prometido, la III parte del trabajo "La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas" de nuestro colaborador profesor Gregorio Klimovsky.

Se publica la primera parte de un trabajo del que suscribe esta nota editorial, sobre Sistemas de Numeración, tema por demás conocido, que pretende enfocar un rigor aceptable con el requerimiento pedagógico para su desarrollo en el aula. El artículo enuncia los distintos subtemas que contendrá la parte final a incluir en el próximo número.

Seguimos todavía en deuda sobre los temas considerados en el Editorial delN3XIV. Se irán saldando, indefectiblemente, en los números correspondientes al año en curso.

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PARTE III

Por Gregorio Klímovsky

Si se desea resumir el estado del problema de la fundamentación de la matemática alrededor del año 1900, es necesario señalar los dos impor-tantes puntos siguientes:

1) La matemática entera puede reducirse a la teoría de conjuntos. Esto se logra en dos etapas. En primer lugar, está el proceso conocido como " aritmetización de la matemática", que consiste en la construcción de todas las entidades matemáticas típicas a partir de la aritmética de los números naturales, usando además las nociones conjuntísticas. Esta es la obra de varios matemáticos, entre los cuales debe mencionarse espe-cialmente a Dedekind. El otro paso consiste en la reducción de la aritmética a la teoría de conjuntos, y este es el mérito de lógicos como Frege, Russell, y en cierto modo de Peano y Dedekind. El resultado es que, si se dispone de la teoría de conjuntos, es posible edificar toda la matemática, definiendo sus conceptos a partir de las nociones conjuntísti-cas básicas y demostrando los teoremas matemáticos a partir de los principios de la teoría de conjuntos.

Que este punto de vista tuvo éxito puede advertirse en el hecho de que los textos matemáticos actuales proceden en general de esta manera, es decir, usando la teoría de conjuntos para fundamentar las nociones matemáticas básicas y también para definir nuevas ideas y establecer nuevos resultados. Si se considera la terrible batalla académica que Cantor tuvo que librar para imponer sus hallazgos, puede decirse que la situación actual constituye en cierto modo una victoria, algo demorada pero total, del creador de la teoría de conjuntos.

Es necesario hacer notar que esta metodología no constituye la totali-dad de la matemática moderna. Hay que tener en cuenta también al método axiomático. No obstante, creemos que no es equivocarse mucho afirmar que la matemática actual es esencialmente un gigantesco edificio construido sobre el suelo de la teoría de conjuntos.

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Una observación más, antes de dejar este punto. La construcción de las entidades matemáticas a partir de los objetos básicos de los que trata la teoría de conjuntos no consiste en mostrar como la "esencia" de los números puede obtenerse así. En cierto modo, nadie sabe qué son "esencialmente" los números. Filósofos y metafísicos discrepan al res-pecto y para colmo, muchos sostienen que no existe tal cosa. Lo que ocurre es que, desde un punto de vista científico, la tal "esencia" no tie-ne importancia alguna. Basta que se puedan construir o definir entidades que posean las habituales propiedades "formales" de los números, para que dispongamos de la aritmética. Puede decirse que lo que sin duda se obtiene así es "estructuras isomórficas", aquéllas en las que creemos y pensamos intuitivamente. Para la matemática abstracta y formal, esto es suficiente. En cuanto a las aplicaciones de la matemática es por iso-morfismo, tanto en los modelos matemáticos como en los procedimien-tos de medición. Este es, pues, el sentido en que puede afirmarse que es posible reconstruir la matemática a partir de la teoría de conjun-tos.

2) Para fundamentar la matemática es entonces necesario fundamen-tar la teoría de conjuntos. Para ello es necesario usar un lenguaje, una lógica, que no haga en absoluto uso de nociones conjuntísticas, ya que de otro modo se tendría un círculo vicioso o una petición de principio. Este lenguaje, esta lógica, debiera ser lo más simple e ingenuo posible, siempre que ello sea compatible con poder discutir la teoría de conjuntos. Hay cierta unanimidad entre los lógicos en cuanto a considerar que, para todo este cometido, hay que usar la llamada "lógica elemental de predicados", "lógica elemental de la cuantificación" o también "lógica de orden uno". Ya la hemos descrito, pero recordemos que en ella existen constantes individuales, que permiten nombrar objetos o individuos, variables individuales cuyos valores son objetos o individuos cua-lesquiera (si ellas no están "restringidas", de otro modo los valores deben tomarse dentro de un dominio prefijado), signos para propiedades o relaciones, es decir, atributos monádicos o n-ádicos que pueden afirmarse de los objetos o individuos (signos denominados "predicados"), conecti-vos que permiten combinar afirmaciones para obtener nuevas afirma-ciones y, finalmente, cuantificadores que permiten hacer afirmaciones generales o existenciales. Con todo este arsenal es posible hacer aser-ciones singulares o generales. La cuantificación se aplica a "funciones preposicionales", expresiones que pueden ser muy complicadas pero que se caracterizan por contener variables "libres", de tal modo que, susti-tuyéndolas por constantes individuales o colocando delante cuantifica-dores, se obtiene una proposición.

Recordemos que,si se quiere utilizar la lógica elemental de predicados para expresar las ideas de Cantor, es necesario admitir dos nociones primitivas: en primer lugar "s ", que simboliza la relación diádica de pertenencia, y "M", que indica la propiedad monádica de ser un conjunto. Para la fundamentación de la teoría de Cantor es conveniente utilizar el método axiomático. Es decir, hay que adoptar axiomas y reglas de inferencia para obtener teoremas. Estas últimas son las reglas ordinarias que permiten deducir, usando cuantifxcadores y conectivos. Axiomas hay de dos tipos. En primer término, los axiomas lógicos, que son los principios que gobiernan la lógica proposicional (la parte que atañe a los conectivos) y la cuantificacional (que concierne a los cuan tifie adores). Los otros axiomas son los "propios" de la teoría, en nuestro caso, los que gobiernan la teoría de conjuntos. Hay muchos modos de elegirlos y, posiblemente, entre ellos encontraríamos algunos obvios y en cierto modo dispensables como el que enuncia que (x) ((Ey) (y e x) Mx), o sea que si para x hay un y que tiene la relación de pertenencia con él, entonces x es un conjunto.

Los axiomas deben elegirse de modo que expresen las intuiciones más simples y obvias acerca de los conjuntos. En la formulación explíci-tamente aceptada alrededor del año 1900, lo más evidente es lo enunciado por el principio de extensionalidad, que expresa que dos conjuntos cualesquiera que tengan iguales elementos deben ser idénticos, es decir, deben ser el mismo conunto. Esto corresponde a la idea intuitiva de que los conjuntos no son rasgos o características sino más bien zonas de la realidad. Si dos zonas tienen iguales miembros, es que no son legítima-mente dos zonas sino una. El otro principio, que es más bien una familia de axiomas, lo que suele denominarse un "esquema de axioma", dice que para toda función proposicional "...&..." hay una clase y tal que sus miembros son exactamente los que "satisfacen" "...x...", o sea que, colocando sus nombres en lugar de "x", obtendríamos sentencias o proposiciones verdaderas. Este es el axioma de existencia, que repre-senta la vieja creencia obvia de que, para cada condición "...x...", hay una extensión constituida por los objetos que cumplen la condición.

La teoría que se apoya en estos axiomas propios es la que implíci-tamente había admitido Frege para poder edificar la teoría de conjuntos. Ya comentamos que parece un tanto extraordinario que de estos dos presupuestos se pueda extraer toda la teoría de conjuntos y, por ende, toda la matemática. Pero es así, sólo que, como ya lo hemos insinuado, quizá se obtiene demasiado. Antes de mostrar esto, conviene convencerse que Frege tenía razón en cuanto a pensar que es posible derivar desde este punto de partida todo lo necesario para manejar la "conjuntística"

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requerida por la matemática. De ningún modo lo haremos de manera exhaustiva, y nos contentaremos con algunos ejemplos.

Una primera observación corresponde a la cuestión de cómo es posible introducir por definición constantes individuales. Esto es importante porque en la formulación que estamos estudiando no hay constantes individuales entre los signos primitivos (recordemos que sólo contamos con los signos de predicado "e " y "M"). Si encontramos una función proposicional".. .x..." tal que se cumpla 1) la condición de existencia, es decir, que pueda demostrarse "(Ex) (...x...)" y 2) la condición de unicidad "(x) (y) ((.. .x... A . . .y...)->x = y) -que nos dice que no puede haber más de un objeto que satisfaga "...x..."-, entonces estamos justificados en introducir una constante que denote el objeto existente pero único que cumple la condición "...x...". Esto lleva a introducir a mediante la siguiente expresión definitoria,

( x ) (XG aH. . .x . - )

que nos dice precisamente que ser elemento de a equivale a decir que se satisface la condición unívoca "...x...". En este punto es conveniente recordar que en nuestra lógica subyacente se admite como signo lógico primitivo el de identidad, el predicado diádico "=", sujeto a los correspon-dientes axiomas lógicos, como el de reflexividad o el de la ley de sustitución de Leibniz.

Ahora bien, en la lógica elemental de predicados resulta ser teorema, cualquiera sea la función proposicional "...x...", la fórmula

(x) (...x...)->(Ex) (...x...) que nos dice que si la expresión".. .x..." tiene validez universal, entonces hay un individuo que la satisface. En particular, si la función elegida es "x = x", tendríamos:

M ( x = 2Ü->(E2Ú (X = X);

pero como los principios de identidad" (x) (x = x)" es teorema, por modus ponens (la regla que dice que de g y de g a se deduce g) tendríamos que (Ex) (x = x) es teorema. Esto garantiza que el "dominio universal", el dominio de valores de x, no es vacío, pues hay un objeto que satisface cierta condición (la condición x = x, que todos satisfacen, sea dicho de paso).

En una palabra, de ios solos axiomas lógicos es posible saber que el universo no es vacío, y que existen individuos -al menos uno-. Conside-remos uno cualquiera de los individuos y llamémoslo "w". Por el axioma de existencia será teorema que (Ey) (My A (X) (xe y x = w). Como el axioma garantiza que existe al menos un tal conjunto y, pero por el 8

axioma de extensionalidad dos tales Y deben tener los mismos elementos x, estamos autorizados a introducir por definición el s'mguiete o conjunto unitario {w}, del siguiente modo:

que {w} es un conjunto sale del axioma de existencia. De modo que existen conjuntos.

Obsérvese que, en general, sea cual fuere la función proposicional "...x...", de lo dicho acerca de las definiciones y del hecho de que de nuestros dos axiomas (extensionalidad y existencia) se desprende tanto la existencia como la unicidad del conjunto y cuyos elementos satisfacen ".. .x...", siempre es posible introducir por definición las constantes que correspondan. Por ejemplo, si n y ya son constantes individuales, es posible definir el par no ordenado {u, w} poniendo

(x) (x e {Ü, v} (x = M a x = w)). Observemos que, dado esto último, hubiera sido equivalente definir el singulete o clase unitaria {w} definiendo directamente:

{w} = (w, w}. Podemos definir el conjunto vacío Q, poniendo:

(x)(x e Que Q existe y es conjunto está garantizado, claro está, por el axioma

de existencia: (Ey) (My A ( X ) (xe y ->x # J C )

Análogamente, la clase universal H se podría definir: (x) (xe l1<->x4 Q )

Según el conocido método de Kuratowski, el par ordenado de primer elemento ji y segundo ai puede definirse así:

<Ü,W>= Uü, w},u} , de donde el producto cartesiano de y. con w, n x w, puede definirse:

(x) ( x e uxw <->(E¿) (El) (se ÜA i e w Ax = <_s, i >). Pero entonces es ahora posible definir "función" y "relación", como

predicados monádicos: relación (x) <r-»(Ey) (Ez) (x yxz) función (x)<-> relación (x)a (S) (I) (i) ((< S, í >exA<_s, r >ex)->! = r)

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donde , como de costumbre, es el predicado "inclusión" definido así: X jC y <-»(z) (ze X ze y).

Las operaciones booleanas se definen de manera obvia. Así:

£x) (xe (wAu) « ( x e i A X e u ) ) para el complemento y la intersección, y análogamente para la unión y otras. La clase potencia de w, IPw, el conjunto de los subconjuntos de w, se introduce así:

(2Ü(xelPw ^ (MxA x.cw))-En vista de estos ejemplos, queda claro que las nociones conjuntísticas

básicas habituales pueden introducirse de manera inmediata en esta teoría, de manera que no hay dificultad para la ulterior construcción de la matemática. Como se recordará, hemos denominado "teoría clásica de conjuntos" a la que estamos considerando, de modo que queda claro que parece ser una base suficiente para la fundamentación de la matemática.

Tal como lo hemos planteado hasta aquí, la fundamentación de la matemática parecería ser al fin y al cabo algo bastante sencillo. Hay que utilizar el sistema axiomático de la teoría clásica de conjuntos y a partir de ella fundamentar la aritmética según los conocidos procedimientos russellianos, para luego -usando la misma teoría- proceder a la construc-ción del resto de la matemática clásica apoyándonos en las tácticas de la "aritmetización". Además, si se quiere estudiar alguna estructura de las que interesan a la matemática actual, hay que definirla y analizarla como un tipo o especie determinada de estructura conjuntística. No parece haber dificultad filosófica adicional alguna. En cierto modo, la funda-mentación de la matemática no aparenta ser un problema metafísico sino una mera cuestión de lógica aplicada, concretamente, la formulación y desarrollo, utilizando la lógica elemental de predicados con identidad, del sistema axiomático de la teoría clásica de conjuntos.

Sin embargo, resta una cuestión fundamental. ¿Cómo se sabe que el sistema axiomático es consistente, es decir, no engendra contradicción? Esto no es tan sencillo. Decir que los principios o axiomas del sistema (extensionalidad y existencia) son obvios y evidentes no constituye garantía alguna. La intuición ha sido en la historia de la ciencia causa de muchos errores (por ejemplo, la negación de la existencia de los antípodas o la creencia en la estructura aplanada de la Tierra).

El método más directo para probar que un sistema axiomático no engendra teoremas contradictorios es, como se sabe, encontrar un "mo-

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cielo", o sea una interpretación del vocabulario primitivo que haga verdaderos los axiomas. Este arbitrio es aquí impracticable. Pues, encon-trar semejante interpretación, implicaría localizar una estructura que tuviera las propiedades de los conjuntos o de la aritmética. Pero esto sería presuponer precisamente lo que queremos fundamentar, de modo que desembocaríamos en un círculo vicioso.

¿Cómo hacer? Desgraciadamente, desde 1903 se sabe que la teoría clásica de conjuntos es otro ejemplo más de algo que parece obvio y sin embargo es falso. "Falso" quiere decir aquí "que engendra contradic-ción". Bueno es recordar en este momento que cuando un sistema axiomático es inconsistente entonces no admite modelos y por lo tanto no puede aplicarse con verdad a nada. La inconsistencia hace inútil al sistema.

Que de los principios de la teoría se derivan contradicciones resulta inmediato, como lo mostró en aquel año Russell derivando su célebre antinomia a partir de los axiomas. En efecto, consideremos la función proposicional "xéx". Ella da lugar al siguiente caso del axioma de existencia:

(Ey) 00 (xe y x ̂ x) es decir, existe un conjunto y, constituido por todas las entidades que no son elementos de sí mismas. En virtud del axioma de extensionalidad, no puede haber más de un tal conjunto. De acuerdo con lo dicho antes sobre la definición de constantes, cuando se cumplen las condiciones de existencia y unicidad, podemos definir un conjunto r, el "conjunto de Russell", mediante la siguiente definición:

0Ú (xe r x) En virtud de la regla de la lógica de predicados que especifica que de

una premisa general "(x) (.. .x...)" puede deducirse "... w...", donde "w" es una constante cualquiera (esta es la llamada "regla de ejemplificación universal", que dice que lo que vale para todos vale para cualquiera), de la definición anterior se deduce, reemplazando "x" por Y',

r e í n r ^ r ,

que es una contradicción, pues niega la ley (tautología) de la lógica proposicional "<~>(J2<-» <*=£>)".

¿Cómo remediar este accidente? Existen varios procedimientos. Los temperamentos más escépíicos se descorazonaron y llegaron a la conclu-sión de que no es posible una fundamentación de las matemáticas como la propuesta, y que es mejor volver a las intuiciones metafísicas. Otros

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creyeron en la posibilidad de una base lógica, pero de manera algo "extremista" propusieron cambiar los principios de la lógica clásica por otros (aunque, pese a lo catastrófico y rotundo de tal actitud, no parece que se eviten las inconsistencias de este modo). En una nota próxima mostraremos que lo más razonable es debilitar los axiomas de la teoría clásica de modo que la contradicción no aparezca, pero cuidando que esa debilitación no sea tan poderosa que impida obtener las verdades matemáticas que deseamos fundamentar. Esta táctica puede llevarse a cabo de diversas maneras, y nuestra intención es detallar algunos de los procedimientos más característicos que actualmente existen para lograr a la vez la fundamentación de la matemática y evitar la inconsistencia.

GRAGEA

La Invención de la Geometría Analítica

Sabido es que dos de las más grandes creaciones matemáticas de todos los tiempos fueron inventadas "por duplicado" y dieron origen a polémicas acerca de la prioridad que correspondía acada autor: se trata del cálculo infinitesimal y de la geometría analítica (a las que se podría añadir el cálculo de probabilidades). En el caso de la geometría analítica las polémicas no alcanzaron ¡a magnitud ni ¡a acritud que se dieron respecto del cálculo infinetesi-mial. René DESCARTES (1596-1650) publicó en 1637 su famoso "Discurso del Método", cuyo nombre completo es "Discurso del Método para bien conducir su propia Razón y buscar la Verdad en las Ciencias", y que tenía 3 apéndices: "La dióptrica" (que se ocupa de cuestiones de óptica geométrica), "Los meteoros" (que se ocupa de algunas cuestiones de astronomía), y e¡ más célebre de todos, "La geometría", donde se expenen los métodos funda-mentales de la geometría analítica, pero no en la forma sis-temática que nos place actualmente sino a la manera de enun-ciados y problemas más bien aislados y no exentos de oscuridad, que algunos comentaristas suponen voluntaria. Esta suposición tiene fundamento pues Descartes fue el campeón de las "ideas claras y distintas", y sus textos filosóficos son muy claros. En particular, no aparecen definidos en "La geometría" los famosos "ejes cartesianos", aunque son usados de manera informal. "La geometría" a su vez, consta de tres partes: la primera contiene los fundamentos de la representación geométrica de variables y la resolución algebraica de problemas geométricos, así como la representación de curvas definidas por consideraciones cinemáti-cas; la segunda parte contiene una clasificación de las curvas (hoy desactualizada) y un ingenioso método para trazar tangentes basado en lo que ahora llamaríamos círculo osculador y en la propiedad de perpendicularidad entre tangente y radio en una circunferencia; la tercera parte es más decididamente algebraica

continúa pág. 28

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I Los problemas matemáticos

en el aula

Prof. María Esther S. de Hernández

En los problemas 1 a 3 se sugiere aplicar congruencia módulo m en Z y propiedades de restos.

1. Demostrar que si a, b y c son números enteros tales que a3 + b3 + c3 es divisible por 7, el producto abe es divisible también por 7.

2. a) Determinar de la forma más simple posible (esto es, sin calcular las potencias ni efectuar divisiones) los restos de la división por 7 de las siete primeras potencias de 5.

b) Deducir de lo anterior cuáles son los números enteros positivos n tales que la división de 19" por 7 dé restos igual a 2.

c) Calcular el resto de la división de 1964 por 7. 3. Determinar la forma general de ios enteros positivos n tales

que:

Progresiones

4. Determinar una progresión geométrica de 5 términos positi-vos a1, a2> a3, a4, a5, tal que a1 • a5 = 25 y a2 + a3 + a4 = ^ .

Trigonometría

5. Calcular eos — y sen — y usando los resultados obtenidos 8 8

calcular el valor de:

6. a) Expresar A = eos 2x + (2+ V 3 ) sen2x + sen x eos x - 1 -en base a eos 2x y sen 2x..

2

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b) Hallar los arcos x tales 0 < x < 2 r c y A = 0. 7. Sea la ecuación eos 5x + a eos 3x + b eos x = 0, donde la

incógnita x es la medida en radianes de un ángulo. 1Q) ¿Para qué valores de a y de b,x = es solución de la

ecuación? 29) ¿Qué relación deben verificar a y b para que x = — sea

solución? d

39) Hallar los valores de a y de b para que * = -g y x = — sean soluciones. Resolver, en este caso, la ecuación. (Hallar todas las soluciones).

Geometría

8. En una semirrecta de origen A, se toman tres puntos: B, C, D tales que long AB = a long AC = 2a y long AD = 3a. Se traza por B la perpendicular a la recta AD y sobre ella se considera un punto P tal que long BP = a. La perpendiculartrazada por Ca la recta DP corta a ésta en H.

1e) Probar que los cuatro puntos B, C, H, P pertenecen auna misma circunferencia

2°) Probar que la recta AP es tangente a la circunferencia anterior y que la semirrecta HB es bisectriz del ángulo PHC.

3Q) Calcular las longitudes de los segmentos DP, HP y CH en función de a.

9. Sea un rectángulo ABCD. Ladiagonal AC tiene longitud igual al doble de la longitud del lado_BC. La altura correspondiente a! lado AC en el triángulo ACD es DE con 3 cm de longitud. Calcular el perímetro y ¡a superficie del rectángulo.

Rectas en el plano cartesiano

10. Sea el plano referido a un sistema de ejes cartesianos ortogonales.

1e) Representar las rectas d y d' de ecuaciones

d : y = -2x + 4 d': y = 2x

22) Si A es la intersección de d y d' y B es la intersección de d con el eje de absisas, probar que el triángulo OAB es isóseles.

32) Se considera la familia de rectas de ecuación x = m (me R). Una cualquiera de estas rectas corta a d en A' y a d' en B'. Calcular las coordenadas del punto medio del segmento A' B'. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos M?

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Soluciones de problemas del número anterior

1. Un error en la transcripción del enunciado de este ejercicio, error que por su aparente pequeñez escapó a las revisiones d e rigor, transformó a la propiedad en una proposición falsa. En efecto: basta verificar que para n = 1 la propiedad no se cumple; la existencia de un contraejemplo, como se sabe, es suficiente para determinar la falsedad de la propiedad en cuestión. El error radica en el factor 2 que figura en el exponente del segundo término d e la suma dada. El enunciado correcto, es, entonces:

Probar que para todo número entero n > 0, se verifica que 32n+3 + 2n + 3 es divisible por 7.

Por cierto que esta propiedad, como otras análogas, pueden demostrarse por inducción sobre n, pero nos atendremos al marco fijado que es el de congruencia módulo en Z. En este contexto también puede encararse de maneras distintas.

Ante todo, lo que se pide equivale a probar aue: para todo entero n > 0

32n + 3 + 2 n + 3 s 0 m ó d u j o 7

2n 3 n 3 „ o 3 - 3 + 2 - 2 s o modulo 7 o sea

9° • 27 + 2n • 8 = 0 módulo 7 (1)

Una manera de encararlo es usando las propiedades relativas a los restos de dividir a una suma y a un producto. Esto conduce a considerar las sucesiones de restos de las potencias de 9 y de 2 al dividirlas por 7, para determinar los posibles restos de Sas potencias de la forma 9n y 2n , lo cual se logra rápidamente por recurrencia, sin necesidad de sucesivas divisiones (ver Vol. III N2

XII, pág. 42).

potencias de 9 9 92 93 Q4 95 g 6

restos mód. 7 2 4 1 2 4 1

potencias de 2 2 22 23 24 2s 26

restos mód. 7 2 4 1 2 4 1

Se tiene que para igual valor de n, los restos potenciales de 9 y de 2 módulo 7 son iguales (2). Además el resto de 27 es 6 y el de 8 es 1.

Entonces como V a e Z, es congruente mód. 7 con su resto, se tiene en (1):

9n.27 + 2n.8 = r n.8 + r n.8 9 2

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y como r „ = r n para n = 1,2,3.. . 9 2

9n-27 + 2n- 8 = r n (6 + 8 ) = r n 2 - 7 s k- 7 = 0 mod 7

Otra manera de encararlo es a partir de (1) donde figuran los enteros 9 y 2 que son congruentes mód. 7 pues 9 - 2 = k • 7 con k = 1- n

W i Q — O Si 9 = 2 mód 7 entonces v n - ' : 9 = 2 mód. 7 con lo cual se

verifica lo establecido por el proceso anterior en (2). Entonces 9n • 27= 2n • 27 mod 7 y por tanto:

9° • 27+ 2n- 8= 2°- 27+ 2°- 8 =

s 2° (27+ 8) s 2n- 35= 2° • 5-7 = 0 mod 7.

Observación. La suma 32n+3 + 22n+3 que figuraba en el número anteriorde la Revista no es divisible por 7, pero sí lo es por 5 como podrá demostrar el lector por cualquiera de los procedimientos expuestos.

2. a) Hallar el resto de la división de 78566432 por 11. La división de 7856 por 11 da resto 2. Haciendo 7856 = b.

potencias de b b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10

restos mód. 1 2 4 8 5 1 0 9 7 3 6 1

Si el resto de dividir a b10 es 1, como 6432 = 643-10 + 2.

643

b6432 = (b 1 ° ) - b 2

643

De b1° = 1, resulta (b10) = 1 mod. 11.

. 6 4 3 2 , 2 , 2 . . . /. b = b y b = 4 mod 11.

b) Análogamente: ladivisiónde 13y lade27por8dan restos 5 y 3 respectivamente. Entonces, el resto de dividir a 132 es 1 y el de dividir a 272 es 1. Se tiene:

i ! 3 x 2741 = l l " 1 1 + 1 x 2 f :20 + 1 = ( l f ) 1 1 - 13+ 27

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y 1# • 1, =1 mod 8

x 2741 = 13+ 27= 0 moda

5. a) Si existe x ta! que 37 + x2 = b2 con x, b enteros, debe ser:

37 = b2 - x2 = (b + x) (b - x)

Como los únicos factores que admite 37 son 1 y 37, se tiene que:

b + x = 1 ^ fb + x = 1 b - x = 37 \ b - x = 37

En ambos casos b = 19 y para x se obtienen los números -18 y + 18 y efectivamente 37 + (±18)2 = 192

b) Análogamente debe ser 65 = b2 - x2 o bien 65 = (b+x) (b-x) y como las únicas expresiones de 65 como producto de dos factores son 1.65 y 5.13 se tienen las posibilidades

| b + x = 1 ó r b + x = 65 ( 1 ) L b - x = 65 l b - x = 1 V '

f b + x = 5 ó f b + x = 13 (2) L b - x = 13 I b - x = 5

De las posibilidades (1): b = 33 y x = + 32. De las posibilidades (2): b = 9 y x = ± 4.

6. Para que n = 28xy5 sea divisible por 11 y por 25, debe cumplirse que: 5 + x + 2 - y - 8 = k . 1 1 y además y5 sea igual a 25 ó a 75. Entonces: x - y - 1 = k • 11 e ye {2,7}

S i y = 2 x — 3 — k • 11 y como x < 9 necesariamente x = 3 ••• n= 28325

Si y = 7 x - 8 = k • 11 con x < 9 ... x = 8 ••• n= 28875

7. Puesto que la naturaleza de las raíces de una ecuación de 2e

grado depende del discriminante A de la ecuación, o sea de A = 4 p 2 - 4q, se tiene que:

A es el conjunto de los puntos de coord. (p, q) tales que la ecuación asociada tiene las dos raíces complejas, o sea de los

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puntos tales que q > p2. B es el conjunto de los puntos para los que la ecuación asociada

tiene dos raíces reales distintas, o sea de los puntos tales que q <p 2

C es el conjunto de los puntos tales que la ecuación correspon-diente tiene sus dos raíces reales iguales, o sea de los puntos tales que q = p2.

Por lo tanto C es el conjunto de los puntos (p, q) pertenecientes a la parábola de ecuación q = p2; B y A son los conjuntos de los puntos (p,q) perteneientes al exteriory al interior, respectivamen-te de la parábola anterior.

8. Si A, B, C son ángulos de un triángulo, A + B + C = 180Q, por lo tanto O = 180e - (A + B) y sen C = sen (A + B). Reemplazando en la igualdad dada resulta:

sen (A + B) - 2 sen B eos A = 0 o sea: sen A eos B + sen B eos A - 2 sen B eos A = 0 sen A eos B - sen B eos A = 0; sen (A - B) = 0

Entonces B - A es múltiplo de 180e pero siendo ángulos de un triángulo B - A < 1809.

B - A = 0 o sea B - A 9. Se tiene como datos o hipótesis:

A ABC es equilátero y a es la longitud de cada lado; P es simétrico

de C respecto de B. La recta d que pasa por P corta a AB en B' y a AC en C'. El ángulo

agudo que forma d y PC es ~ . A

19) Calcular en función de oc y dea las longitudes x e y de BB' y CC' respectivamente.

p En el triángulo BB'P

- = wt 0 s e a X = a sen°c sen B' sen °< sen (60°

asen°c sen (60° - «*)

Análogamente en el:

C C' P- y - 2 a o sea V - 2 a

sen - - sen C* ° s e a sen - s e n (12Q° _ o c )

• y = 2a sen °c sen (120° - oc)

18

2S) Para hallar una relación entre x e y que no dependa de <= , buscaremos relaciones entre lados de triángulos. La paralela a AB por C' corta a CP en D y resulta:

A A

C ' D P semejante a B' B P

" long C' D long. DP A

Pero por la construcción anterior CC'D es equilátero long C'D y. A su vez long DP = 2a - y. Luego:

- = — - — (1) y 2a- y 1 ;

A A

3e) Se pide que área PBB' = área AB'C', o sea:

j- a x sen 120° = — (a - x) (a - y) sen 60°, es decir

ax = a2 - ax - ay + xy

a2 - 2 a x - ay + xy = 0

Si se reemplaza x por el valor que surge de (1): o 2 2

2 2a y ay a - 0 - ay + - r - 1 — = 0 2a - y 3 2a- y Efectuando operaciones y reduciendo resulta:

o z «r 0 2 n 5a ± V25a 2 - 16a2 2y - 5ay + 2a = 0 y =

y se obtienen los valores y = 2a e y = 1 a. 2

O sea C' es el punto tal que y = long CC' es 2a o b i e n l a. 2A

El 1er resultado debe descartarse pues en tal caso CC'P es isósceles con el ángulo en el vértice, o sea C = 609, o sea resulta equilátero y entonces la recta d = PC es paralela a AB y no se obtiene B\

•'• C es el punto tal que y = long CC = ^-a La verificación correspondiente prueba que, efectivamente, las

áreas indicadas son iguales.

19

La computación como recurso

Prof. Elena García

Días de la semana y congruencia en Z

En esta oportunidad presentamos un algoritmo que nos permite conocer qué día de la semana corresponde a una fecha determinada, este procedimiento resulta úntil en numerosas aplicaciones y es conveniente tenerlo en toda biblioteca de ruti-nas.

El algoritmo nos informará el día de la semana correspondiente a las fechas comprendidas desde el inicio de la era cristiana hasta el 4 de octubre de 1582 y desde el 15 de octubre de 1582 en adelante.

Función "Día-de-la semana" (DS).

Nos interesa definir una función DS que asigne a cada fecha el día de la semana que le corresponde. Como todas las fechas quedan definidas por la tema: (día, mes, año), queremos una función que a alqunas ternas de enteros (las que corresponden a fechas) las relacione con días de la semana

DS: (fechas) — (domingo, lunes, sábado)

DS (D, M, A) = día-de la-semana

Siempre que (D, M, A) represente una fecha, esto es que D, M sean enteros positivos, que M pertenezca al intervalo [1,12], que A tenga como valor máximo 28, 29, 30 ó 31, según el mes (M) y el año (A) y que A no sea negativo.

También podemos pensar en una función

DSN: (fechas) >-[0,6]

y un arreglo cuyos elementos sean los días de la semana y considerar que la imagen dada por DSN de una fecha cualquiera,

20

incrementada en una unidad nos indica el elemento del arreglo que corresponde a esa fecha.

Por ejemplo si el arreglo fuera

V = (lunes, martes,... domingo) y

DSN (D, M, A) = 3

al ser DSN (D, M, A) + 1 = 4 el día correspondiente a la fecha D/ M/A es jueves (V[4]j.

Estas funciones DS y DSN difieren en el codominio, mientras que DS nos indica un día de la semana, DSN nos devuelve un número que hade referencia a la posición que en el arreglo asociado ocupa el día de la semana en cuestión.

Nuestras funciones y los días de un mes.

El primero de marzo de 1990 fue jueves por lo que

DS (1,3, 1990) = jueves

Dejemos fijo el mes (M=3) y el año (A=1990) y variemos el día. Por supuesto si el primero de marzo fue jueves, el dos será

viernes, el tres sábado, etc.

DS (1,3, 1990) = jueves DS (2, 3, 1990) = viernes DS (3, 3, 1990) = sábado

Consideremos el arreglo

DIAS=(jueves, viernes, sábado, domingo, lunes, martes, míercoles)

DSN (1,3, 1990) = 0 DSN (2, 3, 1990) = 1 DSN (3, 3, 1990) = 2

Para determinar DS (x, 3, 1990) para cualquier x entre 1 y 31 basta calcular el resto de dividir (x-1) por 7 esto es calcular ((x-1) mod 7) y sabremos qué día de la semana le corresponde.

Entonces DS (x, 3,1990) será el elemento ((x-1) mod 7) +1 del arreglo DIAS.

DS (x, 3,1990) = DIAS [((x-1) mod 7) + 1]

y DSN (x, 3, 1990) = (DSN (1,3, 1990) + (x-1)) mod 7

tomemos por ejemplo el día 23 de marzo de 1990

21

(23 -1) mod 7 + 1 = 22 mod 7 + 1 = 2 luego DS le asignará a la terna (23, 3, 1990) el segundo

elemento del vector DIAS o sea el viernes DSN (23, 3, 1990) = DSN (1,3,1990) + (23-1) mod 7

= 0 + 22 mod 7 = 1

DS (23, 13, 1990) = DIAS = DIAS = viernes

DSN (23, 3, 1990) + 1] 2]

1<=x<=31 (SD (x, 3, 1990) = DIAS [SDN (x, 3, 1990) +1]

En realidad podríamos haber tomado otro arreglo con los días de la semana, por ejemplo:

DIAS = (domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado)

y sabiendo que DS (1,3, 1990) = DIAS 1 [5]

DSN (1,3, 1990) = 4

entonces

DS (x, 3, 1990) = DIAS 1 [DSN (x, 3, 1990) + 1]

DSN (x, 3, 1990) = (DSN (1,3, 1990) + (x-1)) mod 7

para el día 23 habrá que calcular

DSN (23, 3, 1990) = (4 + (23 - 1)) mod 7 = 26 mod 7 = 5

DS (23, 1, 1990) DIAS [DSN (23, 3, 1990) + 1 ]

DS (23, 3, 1990) = DIAS [6] = viernes

Variando el mes Dejemos ahora constante el día y el año (M=1 y A=1990) y

variemos el mes. El primero de abril cae en domingo es decir hay un corrimiento

de tres días entre el primero de marzo (jueves) y el primero de abril (domingo). Y esto es así porque marzo tiene 31 días y 31 es congruente módulo 7 con 3.

31 = 7 * 4 + 3 31 =7 3

por lo tanto DSN (1,4,1990) = DSN (1, 3, 1990) + 3

22

Observemos ía siguiente tabla:

TABLA 1

mes cantidad

de días

congruente mod 7

con

diferencia con

marzo

diferencia en mod 7

(dif 7)

marzo 31 3 0 0 abril 30 2 3 3 mayo 31 3 5 5 junio 30 2 8 1 julio 31 3 10 3 agosto 31 3 13 6 setiembre 30 2 16 2 octubre 31 3 18 4 noviembre 30 2 21 0 diciembre 31 3 23 2

Usando el arreglo DIAS = (jueves, viernes, ... miércoles)

DSN (1, x, 1990) = DSN (1,3,1990) + Dif 7

y entonces el primero de junio será:

DSN (1, 6, 1990) = DSN (1, 3, 4) + 1 = 0 + 1 = 1

por lo que DS (1, 6, 1990) = DIAS [2] = viernes

Y el primero de octubre será

DSN (1, 10, 1990) = DSN (1, 3, 1990)+4 = 4 DS (1, 10, 1990) = DIAS [DSN (1, 10, 1990) + 1]

= DIAS " 5] = lunes

Otra función:

Observemos ahora la función

F : Z -

F (x) = 2* x + (INT (3* (x + 1) / 5))

T A B L A 2

X F(x) F(x) -F(3) (F(x)-F(3)) mod 7

3 8 0 0 4 11 3 3 5 13 5 5 6 16 8 1 7 18 10 3 8 21 13 6 9 24 16 2

10 26 18 4 11 29 21 0 12 31 23 2 13 34 26 5 14 37 29 1

Las columnas 4 y 5 de la TABLA 1 coinciden respectivamente con las columnas 3 y 4 de la TABLA 2.

Por lo que podemos usar a la función F para calcular el día de la semana.

Sigamos trabajando con el arreglo.

DIAS = (jueves, viernes ... miércoles)

sabemos que DSN (1,3,1990) = 0

si variamos el día manteniéndonos en el mes de marzo de

1990

DSN (D, 3, 1990) = DSN (1, 3, 1990) + (D - 1) mod 7

DSN (D, 3, 1990) = ( D - 1 ) m o d 7 ( * )

si ahora variamos el mes pero seguimos en el año 1990

DSN (D, M, 1990) = DSN (D, 3,1990) + (F (M) - F(3)) mod 7

reemplazando DSN (D, 3, 1990) por (*)

DNS (D, M, 1990) = (D-1) mod 7 + (F(M) - F(3)) mod 7

DSN (D, M, 1990) = (D-1 + F(M)-F(3)) mod 7

y reemplazando a F por la expresión correspondiente según su definición:

DSN (D, M, 1990) = (D-1 + 2*M + INT (3 * (M+1 )/5) - 8) mod 7

24

calculemos por ejemplo

DSN (12, 10, 1990) = (11 +2*10 +INT (3*11/5)-8) mod 7

DSN (12, 10, 1990) = (11 +20 + 6-8) mod 7

DSM (12, 10, 1990) = 29 mod 7 = 1

y como estuvimos usando el vector DIAS el sgundo de sus elementos es viernes, por lo tanto el 12/10/1990 será viernes.

Si hubiéramos usado el vector DIAS 1

DSN (1, 3, 1990) = 4

DSN (D, 3, 1990) = (4 + D - 1 ) mod 7

DSN (D, 3, 1990) = (3 + D) mod 7

y entonces

DSN (D, M, 1990) = (3 + D + 2*M + INT (3*(M+1 )/5 -8) mod 7

yDSN (12, 10, 1990) = (3+ 12 + 20 + INT (3*11/5) -8) mod 7

DSN (12, 10, 1990) = 33 mod 7 = 5

y DIAS 1 [5 + 1] = viernes

Todo esto que expusimos nos sirve para calcular el día de la semana de una fecha posterior a la que elegimos como base y perteneciente al mismo año.

Cambiando el año

Sabiendo que el 1/3/1990 fue jueves, el 1/3/1991 será viernes porque de una a otra fecha hay 365 días y 365 es congruente módulo 7 con 1

DSN (D,M 1991) = DSN (D, M, 1990) + 1

DS(D, M, 1991) = DIAS [DSN (D, M, 1991) + 1]

Pero si bien el 1/3/1991 será viernes, el 1/3/1992 no será sábado sino domingo pues 1992 es bisiesto. Ahora bien, no todas las fechas de 1992 diferirán en dos días con respecto a las homologas de 1991 pues 1/1/1991 será martes y el 1/1/1992 será miércoles. Y esto porque la condición de bisiesto afecta a las fechas poste-

riores al 28 de febrero que es donde se agrega un día. Por lo que resulta conveniente considerar que los meses de enero y febrero de un año son los meses 13 y 14 del año anterior.

Sigamos considerando como fecha de referencia el 1/3/1990; si queremos conocer el día de la semana que corresponderá al 1/3/ 1993 deberíamos sumar un 1 por cada año entre 1990 y 1991 y otro 1 por cada uno de los años bisiestos del período.

Recordemos que los años bisiestos son aquellos que son múltiplos de 4 y no lo son de 100. Pero si son bisiestos los múltiplos de 400. (Válido en el calendario gregoriano pues en el juliano se tomaron como bisiestos todos los múltiplos de 4).

Si bien la diferencia en años entre 1990 y 1993 es la misma que entre el 2198 y el 2201, en el primer período hay un año bisiesto y en el segundo ninguno. Esta característica nos obliga a estudiar en particular el intervalo comprendido entre el año correspondi-ente al de la fecha de la que se quiere conocer el día de la semana y la fecha tomada como base.

Como nosotros queremos un algoritmo general para toda la era cristiana tomaremos como base el 1 /1 /0 y entonces tenemos que

Considerando el arreglo V = (sábado, domingo, ... viernes)

DSN (D, M, A) = (D+2*M+INT(3*(M+1)/5)+A+INT(A/4)) mod 7

si la fecha es anterior al 4 de octubre de 1582

y DSN (D, M, A) = ((D+M*2+INT(3*(M+1 )/5)+A+!NT(A/4)--INT/100)+INT(A/400)+2)) mod 7

si la fecha es posterior al 15 de octubre de 1582

Recordar que si los meses son 1 o 2 serán tomados como los meses 13 y 14 respectivamente del año anterior.

Algoritmo "Cálculo de día de la semana"

Se considera que se tienen los datos referidos a la fecha (D, M y A) correctamente validados.

Acción "cálculo de día" es comienzo

si A <1582 o (A = 1582 A M < 10)

o (A = 1582A M = 10 A D < 4 ) entonces día-— juliano (D, M, A) sino si A > 1582

o (A = 1582 A M > 10) o (A = 1 5 8 2 A M = 10 A D > 1 5 )

entonces día -— gregoriano (D, M, A);

26

emitir día

fin.

Función juliano (D, M, A) es comienzo

Si M < 3 entonces M

A -

- M + 12;

A - 1

fsi; juliano — (D+2*M*INT(3*(M+1)/5)+A+INT(A/4) mod 7 fin.

Función gregoriano (D, M, A) es comienzo

Si M < 3 entonces M -— M+12 A -—A - 1

fsi; gregoriano-— (D+2*M*INT(3*(M+1)/5)+A+INT(A/4)-

-INT(A/100)+INT(A/400)+2) mod 7

fin

Programa en BASIC para el cálculo de días de la semana.

1 2 10

20

25 60 62 63 65 66 70 80 90 100 110 119 120 121 125 130

Programa aplicación »

DEF FNJUL (D,M,A)=(D+M*2+INT(3*(M+1)/ 5)+A+INT(A/4))MOD 7 DEF FNGREG (D,M,A,) = (D+M*2+INT(3*(M+1)/ 5)+A+INT(A/4)-INT(A/100)+INT (A/400)+2)MQD 7

' Cuerpo principal del programa

CLS KEY OFF GOSUB 120 GOSUB 200 GOSUB 260 GOSUB 340 END

'Preparación de constantes 'Ingreso de datos 'Calculo del día de la semana 'Emisión de la respuesta

' Preparación de constantes i DIA$(1) = "sabado" DIA$(2) = "domingo"

27

140 DIA$(3) = "lunes" 150 DIA$(4) = "martes" 160 DIA$(5) = "miércoles" 170 DIA$(6) = "jueves" 180 DIA$(7) = "viernes" 190 RETURN 191 200 ' Rutina de ingreso de datos 201 210 CLS 220 LOCATE 12,1, 0: INPUT "DIA : D 230 LOCATE 14,1, 0: INPUT "MES : ",M 240 LOCATE 16,1,0: INPUT "AÑO: ",A 250 RETURN 255 260 ' Cálculo del día de la semana 265 270 ÍF M<3 THEN M=M+12 ; A=A-1 280 IF (A<1582) OR (A=1582 AND M<10) OR (A=1582)

AND (M=10 AND D<4) THEN IND = FNJUL (D,M,A) 290 IF (A>1582) OR (A=1582 AND M>10) OR (A=1582)

AND (M=10 AND D>15) THEN IND=FNGREG (D,M,A) 300 RETURN 301 340 ' Emisión de la respuesta 350 LOCATE 18,1,0: PRINT "DIA DE LA SEMANA:";

DIA$(IND + 1) 360 RETURN

viene de pág. 12 y contiene importantes contribuciones a la resolución de ecua-ciones de grado superior a 2. Poco tiempo antes Frangois Viéte (1540-1603) había introducido importantes notaciones que facili-taron en gran medida el desarrollo de la matemática moderna, y Descartes mejoró aún estas notaciones en "La geometría", donde aparecen por primera vez los exponentes escritos en la forma actual. En 1692 Leibniz mejoró aún las notaciones de Descartes e introdujo las palabras "coordenada", "abscisa" y "ordenada". El otro creador de la geometría analítica fue Pierre FERMAT (1601 ?-1665), francés también, quien reclamó prioridad acerca de esta invención en una carta fechada en septiembre de 1636 dirigida al geómetra Gilíes Persone de Roverbal, donde hacía constar que sus ¡deas sobre la geometría analítica databan de siete años atrás. Pero el desarrollo de esas ideas figura en su obra "Isogoge ad locus planos et solidos", publicada después de la muerte de su autor. Es interesante recalcar que cada una de estas obras fundamentadoras pone énfasis en uno de los dos aspectos característicos de la geometría analítica: la de Descartes suele partir de la curva para llegar luego a la ecuación, en tanto que la de Fermat suele proceder de manera inversa.

28

Los sistemas de numeración

Prof. Roberto P. J. Hernández

1. La Numeración

Para representar todas las palabras de un idioma basta recurrir a un conjunto finito de símbolos gráficos convencionales: ias letras y a un conjunto de reglas que establece la gramática para combinarlas y enlazarlas entre sí, resultando imprescindible que el alfabeto, o con-junto de letras, tenga por lo menos dos elementos.

En matemática se presenta un problema idéntico cuando se pretende representar los números naturales, agravado aún por ser infinito e! conjunto de los mismos. Demostraremos sin embargo, que al igual que en la gramática, bastará elegir un conjunto finito de símbolos gráficos - a los que en este caso llamaremos cifras-y un conjunto de reglas que. constituirán io que desde ahora designaremos como sistema de numeración.

El cardinal del conjunto de cifras-o la cantidad de cifras- de un sistema se llama base del mismo y como en el caso del alfabeto debe ser, por lo menos, igual a dos.

Como tal conjunto de cifras es finito, es ordenable y en consecuencia podemos suponerlo ordenado y considerar tales cifras en orden, de modo de reconocer cuál es la primera, segunda, tercera, etc. así, si el sistema de numeración que se desea construir tiene por base el menor número natural posible, el dos, se requerirá la elección de dos únicos símboios o cifras y el conjunto ordenado de las mismas, será:

{0,1}

llamándose sistema binario al que depende de esa base. Si por eS contrario se desea construir un sistema de numeración de

base diez, se necesitará disponer de diez símbolos. Se obtendrá así el conocido sistema decimal, cuyo conjunto ordenado de cifras es:

{0, 1,2,3,4,5 6,7, 8, 9}

Para una base mayor que diez, doce por ejemplo, la generación de un sistema duodecimal -suponiendo que se quieran conservar los diez símbolos anteriores- exigiría crear otros dos ímbolos más. Si acepta-

29

mos como nuevas cifras ¡as figuras A y #, el conjunto de cifras del sistema duodecimal es:

{0, 1,2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, A, #}

Con este criterio puede elegirse y considerar en forma ordenada el conjunto de cifras de cualquier sistema de numeración. Para una base genérica m, necesitaremos disponer de m símbolos.

Consideremos ahora el conjunto de los números naturales, N, orde-nado de menor a mayor y en el que suponemos incluido el número cero como primer elemento. Llamamos Nm el subconjunto de N que contiene los m primeros números naturales.

Es decir N = {cero, uno, dos,... anterior al emésimo, emésimo, siguiente del

emésimo, ...} y

Nm={cero, uno, dos ... anterior al emésimo} Si llamamos Sm al conjunto de las m cifras elegidas para originar un

sistema de numeración de base m, aceptando que tales cifras son: 0,1, 2...A, #, CD,©, se tendrá:

Sm = {0,1,2 A,#, CD,©}

Entre Nm y Sm, puede definirse una aplicación biyectiva f, según la cual la imagen de un elemento de Nm -que está ordenado- es el elemento de Sm que ocupa el mismo lugar. Resulta así:

f (cero) = 0 f (uno) = 1 f (dos) =2

f (anterior al emésimo) =©

La aplicación f es biyectiva y además conserva la relación de orden, lo que nos autoriza a convenir:

"Todo número natural de Nm -o sea todo número natural menor que la base-, será representado por el símbolo de Sm que es su imagen a través de la aplicación f".

Es decir: desde ahora en adelante en lugar de escribir primer número natural, segundo número natural, etc., escribiremos simplemente 0, 1, etc., pero insistimos que 0,1,... son símbolos, figuras, dibujos arbitrarios que representarán, según acabamos de convenir, a los primeros números naturales. Estos son conceptos abstractos, aquéllos símbolos concretos que en consecuencia no son números, sino tan sólo su representación convencional.

Con este planteo hemos resuelto una parte de! problema que compete a los sistemas de numeración, ya que según el mismo podemos representar con una cifra los números menores que la base elegida. Pero, ¿cómo representaremos la base misma y los números mayores que ella, usando exclusivamente los m símbolos creados?

30

Para responder a este interrogante, demostraremos el teorema siguiente, que suele llamarse:

Teorema fundamental de la numeración

Dado una base m de un sistema de numeración y un número natural p cualquiera, éste puede desarrollarse siempre bajo la forma de un polinomio y solamente uno, de las potencias de m,cuyos coeficientes son números naturales menores que la base.

H) pe N; m e N m > uno T) P(m) = unmn + un_1mn"1 +

+ un „mn-2 + ... + u2mz + u,mn + u0/ a) Pfm) = p b) un < m; u , < m;...; u, < m; u0 < m c) P(m) es único

D) Efectuemos la división entera entre p y m: sea q, el cociente entero y u0 el resto.

Según la ecuación e inecuación características de la división entera:

p = q, m + u0 y u0 < m (1)

Reiterando el procedimiento, continuamos dividiendo cada nuevo cociente entero por m:

q, = q2 m + u, y u, < m (2)

q2 = q3 m + u2 y u2 < m (3)

Como es m > 1, resulta q1 < p; q2 < q,; q3 < q2;..., es decir los cocientes son decrecientes. En una división resultará entonces qn < m:

Qn-1 = dn m + Un-1 Y "n-1 < m 1 dn < ™ (fl)

Y volviendo a dividir se obtendrá cociente nulo y resto un = qn

qn = 0m + un y u n <m (n + 1)

Si escribimos nuevamente la igualdad (1) y multiplicamos las demás por m, m2, m3, ... m11, respectivamente:

p = q, . m + u0 q, . m = q2. m + ut . m

q2 . m2 = q3 . m3 + u2 . m2

q . mn'1 = qn . mn + un. . m"1

•n-1 »n n-1 q„. mn = u . mn

•n n 31

Sumando y reduciendo términos semejantes:

p = u0 + u, . m + u2 . m2 + ... + un_., . mn1 + un . mn

donde u0, u1 ...un son menores que m, según su significado de restos y en consecuencia quedan demostrados los puntos a) y b) de la tesis.

Para probar la unicidad, supongamos que p puede expresarse por otro polinomio de las potencias de m, de coeficientes menores que m. Sea ese otro polinomio P'(m) * p(m) (1)

P'(m) = u'0 + u\ . m + u'2. m2 + ... + u'k. mK

O sea:

p = u'0 + u', . m + u'2. m2 + ... + u'k. mk

con u"0, u\ u'k < m

Asociando, factoreando y conmutando:

p = u', + u'2. m + ... + u'k . mk"1). m + u'0 y u'0 < m

Llamando q', a la expresión encerrada entre paréntesis.

p = q\, . m + u'0 y u'0 < m,

ecuación e inecuación que expresan que es el cociente entero de la división de p por m y u'0 su resto. Y como la división es una operación uniforme:

u'o = uo y d', = di

Reiterando el razonamiento con q',, se obtendría: u ' i = u i

Y así sucesivamente hasta u'k = un

Con ¡o cual P'(m) y P(m) tienen todos ¡os coeficientes iguales, luego P'(m) = P(m) (2)

Luego (1) y (2) demuestran que P(m) es único

Observación

Un esquema elemental de las operaciones realizadas para llegar a los resultados precedentes es la distribución clásica de la división entera, aplicada reiteradamente hasta obtener un cociente cero. Los restos son los coeficientes del polinomio y el grado lo da el subíndice de cada resto, si se ha partido de u0.

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p m u0 di m

q2 m

d3

dn-1 m

^n-1 dn m

0

Corolario

Entre el conjunto N de ¡os números naturales y el conjunto constituido por las formas polinómlcas que se obtienen al aplicar, respecto de una base m, el teorema fundamental de la numeración, existe siempre una aplicación biyec-tiva.

Ello es inmediato, puesto que a cada número le corresponde un desarrollo de tipo polinómico, único respecto de m y recíprocamente a cada polinomio en m le corresponde un número natural y sólo uno, pues tal forma polinómica es una combinación de sumas y productos entre números naturales, que da por resultado otro número natural.

Observación

Una forma polinómica de las potencias de m:

p = un . mn + un_1 . mn"1 + ... + u1 . m + u0

queda caracterizada de manera única, por el conjunto de sus coeficien-tes o polinomio formal.

K Un-1-Un-2> - u i . u 0 } Conjunto para el que puede convenirse en expresarlo por la escritura sucesiva de los coeficientes, sin signos de separación entre ellos:

Tal notación puede designarse como expresión formal inversa de ¡a forma polinómica anterior.

Corolario

Entre el conjunto de los números naturales y el conjunto formado por las expresiones formales Inversas de las formas polinómicas de aquéllos para una base m, existe siempre una aplicación biyectiva.

Ello es inmediato, pues existe una biyección entre los números y las formas polinómicas y cada una de éstas tiene su expresión formal inversa, única, y reíprocamente:

f l 1 p ^ un.mn+ un1.mn 1+.. .+ u r m + u0<_> unun_ r..u,u0 =>

f => p ^ u ^ . - . u ^

Resulta entonces que a cada número natural le corresponde una expresión formal inversa y recíprocamente, respecto de una base de numeración m.

Esa expresión formal inversa está constituida por números naturales un ..., u0, todos menores que la base, los que por el isomorfismo antes iníroducido pueden representarse por ias cifras o símbolos elegidos para construir el sistema. Si se reemplaza cada u, por el símbolo que le corresponde en la expresión formal inversa, se obtiene una sucesión de símbolos que llamamos expresión cifrada del número natural p en el sistema de numeración de base m, resultando de inmediato el siguiente:

Corolario

Dado un número natural m, mayor que uno, considerado como base de un sistema de numeración y elegidos m símbolos para representar los m primeros números natu-rales, todo número natural tiene una expresión cifrada compuesta exclusivamente por esos símbolos y recípro-camente.

De esta manera queda totalmente resuelto el problema de la numera-ción y respondido, sin excepciones, el interrogante planteado, pudiendo construirse tantos sistemas de numeración como se quiera, sin más que elegir una base y tantos símbolos como indique la misma.

Notación

En el estudio general de los sistemas de numeración y sus propiedades se conviene en indicar la expresión cifrada de un número p en un sistema de base m, por los mismos elementos un, un1, ..., u0, escribiendo la base como subíndice en un paréntesis abierto y subra-yando cada uno de ellos, con lo que se indica que no se está utilizando

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el número un, sino el símbolo o cifra que le corresponde. Todavía, para facilitar las operaciones ulteriores, se iguala cada número natural p con su expresión cifrada.

Luego si f 1

p^iunun_1...u1u0

se escribe la expresión cifrada de p: p = ynyn.i -y,yo,„,

La segunda parte desarrollará; 2. Propiedades de los sistemas de numeración 3. Operaciones en los sistemas de numeración 4. Tablas de adición y multiplicación. 5. Pasaje entre sistemas

Ejercicios

BIBLIOGRAFIA

Se ha editado una nueva revista de educación matemática publicada por la Federación de Sociedades de Profesores de Matemáticas. La revista está dirigida a profesores de enseñanza media y primaria y el contenido del primer número es el siguiente:

Artículos: ¿Qué hay que enseñar? Algunas reflexiones sobre las matemáticas

en el trabajo de Jorge Luis Borges Poliedros flexibles.

Ideas para la clase: Una lección sobre probabilidades "Donald en la tierra de las matemáticas" Uso didáctico de un film

Informaciones: • Información sobre las olimpíadas andaluzas de matemáticas.

Se han planificado tres números al año. Pueden solicitarse suscripciones a Revista SUMA. Apartado de Correos 1017 18 080 Granada,España

continúa pág. 40

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Propuesta Didáctica

Lic. Lucrecia Delia Iglesias

Esta propuesta ofrece una serie de experiencias que tienden al análisis de algunos comportamientos probabilísimos de la reali-dad. Se pueden abordar organizado los alumnos en parejas (uno que actúa, otro que registra) de modo que después de una abundante repetición -digamos 50 o 100 verificaciones- la pareja cambia de experiencia. Si se controla qué parejas usan los mismos elementos materiales y realizan las mismas acciones, en idénticas condiciones, se podrán reunir los resultados de sus registros obteniéndose experiencias más abarcadoras. Por ejem-plo: usar los mismos dados y de la misma manera (un dado tirado tres veces no es ¡o mismo que tirartres dados simultáneamente).

Supongamos que en el marco asimilador de los alumnos son nociones previas: frecuencia, y frecuencia relativa, que se con-struyen al abordar nociones de Estadística. Además, ésta habrá aportado lo necesario acerca de las representaciones gráficas (en particular, de frecuencias).

El punto de partida puede consistir en la presentación del problema: ¿Es posible predecir con un cierto grado de confianza el resultado particular de un juego de azar (el tiro de un dado, el palo de una baraja española o francesa extraída de un mazo, la cara de una moneda arrojada al aire,...)? Si la experiencia se repitiera un número muy grande de veces ¿se notaría alguna regularidad en la aparición de distintos resultados? Formuladas las distintas hipótesis por parte de los alumnos, cabe proceder a organizar las experiencias.

Actividad 1

Arrojar un dado 20, 40, 80,100, 200 veces, con el propósito de organizar los resultados en un cuadro que muestre cómo van progresando al aumentar el número de tiros.

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Número de tiros n

cara 20 40 80 100 200

• frecuencia n(1)

• frec. relativa -—in-

•

•

frecuencia n(2) •

• frec. relativa

• •

•

frecuencia n(3) • •

• frec. relativa n ( 3 )

n

• • • •

frecuencia n(4) • • • •

frec. relativa

• • • • •

frecuencia n(5) • • • • • frec. relativa n

• • • • • •

frecuencia n(6) • • • • • •

frec. relativa

Actividad 2

Construir una "perinola" con un triángulo equilátero de cartón y un palillo o punta de metal o material plástico, como la que muestra la figura. Hacerla girar 10, 20, 40, 60, 100 veces y registrar las frecuencias y las frecuencias relativas de cada número que resulta apoyado al términar el movi-miento. Organizar ios resultados en un cua-dro.

Actividad 3

Tome una botella de cuello largo y cuatro bolillas análogas y de distinto color cuyo diámetro les permita circular libremente por el cuello de la botella, aunque solo una a cada nivel. Colocarlas dentro de la botella y cerrarla. Se trata de agitar bien las bolillas en el fondo de la botella y luego, súbitamente, invertirla para que una o más entren por el cuello. Anotar cuál es laque quedó más abajo. Con 10, 20, 30, 50, 100 experiencias repetidas se obtendrá una serie de frecuencias y frecuencias relativas para cada color y se

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podrán organizar los resultados en un cuadro. Una vez realizadas estas actividades puede resultar interesante

comparar los registros con ¡os de las siguientes tablas*:

Resultados, para 1000 tiros en la actividad 1:

cara 1 2 3 4 5 6

frecuencias 173 168 167 161 172 159

frec. relativa 0,17 0,17 0,17 0,16 0,17 0,16

Resultados, para 1000 tiros en la actividad 2:

apoyo 1 2 3

frecuencias 366 210 424

frec. relativas 0,37 0,21 0,42

Una vez realizadas las experiencias, y reunidos todos los resultados, corresponde hacer una puesta en común que permita reflexionar acerca de la regularidad de ciertos hechos:

¿Hacia qué valores parecen acercarse las frecuencias relativas de los sucesos registrados en los cuadros a medida que aumenta el número de repeticiones de cada experiencia?

Los alumnos formularán sus respuestas; éstas se conformarán con los resultados de modo que sean convalidadas o refutadas. Finalmente, se podrán remitirtales comprobaciones al análisis de las preguntas planteadas en la presentación del tema. A partir de las conclusiones, será necesario que el profesor institucionalice algunas nociones y ofrezca sus expresiones simbólicas:

número de sucesos n suceso favorable: E número de sucesos favorables: n(E) estimación de la probabilidad de E n ( E ) (sobre un número n grande de sucesos): P r (E )= - ^ -

*Fuente: Statistics and Probability, redactada por The School Statistics Panel, 1969 y editada por W. Fousham & Co. Ltd Londres.

Con el objeto de reinvertir estas nociones y de promover la reflexión sobre algunas propiedades que derivan de ellas se pueden proponer ejercicios del tipo de los que siguen:

1. a) Observe el resultado de 1000 tiros en la actividad 2 y estime la probabilidad de que la perinola se apoye sobre el lado 1. ¿Cómo resulta el número Pr(1), comparado con 0 y 1?

b) Repita para el lado 2 y el lado 3. ¿Qué resultado se obtiene sumando Pr(1), Pr(2) y Pr(3)?

c) ¿Cree que planteando las preguntas análogas en la experiencia 1, se obtendrían respuestas también análogas? Organice su tarea para comprobarlo.

2. Una perinola se construyó con un pentágono regularde modo que sus cinco lados se nombraron 1, 2, 3, 4 y 5. Con ella, se realizaron 10.000 lances. El cuadro que sigue muestra la frecuencia obtenida para cada uno de los lados.

Lado 1 2 3 4 5

Frecuencia 1990 2016 1995 2003 2008

a) ¿Cuál es la estimación de la probabilidad para cada lado? b) En un número mucho mayor que 10.000 lances ¿estima que

las probabilidades para los distintos lados tienden a igualarse o hay alguno para el que usted espera una probabilidad mayor o una probabilidad menor que la de los demás?

c) Escriba cuál cree que es la estimación de la probabilidad en un experimento idealizado:

Pr(1)= Pr(2)= Pr(3)= Pr(4)= Pr(5)=

3. Use la botella de la actividad 3 conteniendo:

1 bolilla roja 2 bolillas verdes 4 bolillas azules

Imagine la realización de un número grande de repeticiones de la actividad 3 ¿qué cree que ocurrirá con las estimaciones de probabilidad de cada color? Compruébelo realizando 200 veces la experiencia y registrando los resultados experimentales:

Pr(rojo)= Pr(verde)= Pr(azul)=

4 . Tome un prisma recto rectangular y nombre sus caras 1,2,3, 4 , 5 , 6 . La experiencia consiste en arrojarlo como un dado y registrar el número de la cara superior. Ahora se trata de formular hipótesis sobre las probabilidades de cada cara y de compro-barlas a partir de una repetición suficiente y grande de veces.

Como conclusión acerca de los ejercicios propuestos y como

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cierre adecuado ai problema inicial, el profesor tiene la oportunidad de organizar una puesta en común en que se reflexione acerca de ¡as formas de construir modelos probabilísticos de ciertos fenómenos: la consideración de aspectos simétricos en la idealización de experimentos, la obligatoriedad de hallar frecuencias relativas experimentales cuando la asimetría hace imprevisibles los resultados, la posibilidad de modelos que combinen los dos enfoques.

viene de pág. 35

• Un grupo de educadores mexicanos, representantes de insti-tuciones y organizaciones profesionales, con el apoyo del Grupo Editorial Iberoamericano han iniciado la publicación de la revista Educación Matemática la cual aparecerá tres veces al año dirigida a profesores de matemática de todos los niveles. Ejemplares sin cargo del primer número pueden solicitarse a: EÍfriede Wenzelburger Guttenberger Comité Editorial Educación Matemática Apartado Postal 5-076 México D.F. G.P. 06500

• Mathematics and Cognition El cuarto de los estudios de la Comisión Internacional de Educación Matemática será publicado por Cambridge Univer-sity Press. El libro es de doscientas páginas y su precio aproximado es de 15 U$S la edición de tapa blanda.

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