E L E M E N T O S DE MATEMATICA Publicación didáctico científica

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Con el auspicio del Comité Argentino de Educación Matemática

Adherido al Comité Interamericano homónimo

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ELEMENTOS DE MATEMATICA

PUBLICACION DIDACTICO CIErfTIFICA d e la UNIVERSIDAD CAECE

VOLUMEN V HUMERO XVII Se t i embre 1990

SUMARIO

Editorial 3

El Teorema Chino del Resto Enzo fí. Gentile 5

L o s problemas matemáticos en el aula Prof. María EstherS. de Hernández 15

L a computación como recurso Prof. Elena García 24

Método experimental y método matemático Luis A. Santaló 33

Propuesta didáctica Lucrecia Delia Iglesias 42

Noticias 47

ISSN 0326-8888

Editorial

Comienzo del quinto año de vida. Diecisiete números con el actual. No fue fácil recorrer el camino, pero en él estamos, y en él intentaremos seguir anticipando el apoyo de nuestros lectores.

En el número presente se incluye un hermoso trabajo del Dr. Luis Santaló sobre: "Método Experimental y método matemático. Una experiencia didáctica"y un interesante artículo del Dr. Enzo R. Gentile: "El Teorema Chino del resto". Respecto de este trabajo, su autor sugirió a la dirección de la Revista la posible integración con un planteo pedagógico que orientara para su aplicación en la enseñanza media y la confección de un programa que permitiera también la resolución con el auxilio de una computadora. Entendiendo que la integración de un desarrollo matemático riguroso, con sostenes didácticos y computacionales constituiría un modelo de trabajo novedoso y atroyente que pudiera reiterarse en el futuro, solicitamos a los responsables de las secciones fijas: "Los problemas matemáticos en el aula"y "La computación como recurso", satisfacer aquella sugerencia, lo que así se hizo, resultando una interesante experiencia de integración. Conviene aclarar que en el tratamiento computacional, la necesidad de anticipar cuestiones no usualmente manejables, trasladó la solución final para el número siguiente.

Por razones de tiempos de imprenta y de diagramación, se publicará en el número de Diciembre la V parte del trabajo del Prof. Gregorio Klimovsky: "La teoría de conjuntos y los fundamentos de la matemáti-cas".

Para finalizar, sugerimos a nuestros suscriptores releer la nota editorial del Número 16, en lo relativo a la red de corresponsales. Seguimos esperando respuestas.

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El Teorema Chino del Resto

Enzo R. Gentile

Pidamos a alguien que piense un número natural menor de 60, sin reve-larlo. Luego le pedimos que halle los restos de la división de dicho núme-ro por 3,4 y 5 respectivamente. Si los restos son revelados podemos cal-cular el número pensado. En efecto, si los restos son respectivamente 1,3, 4 entonces el número pensado es el resto de la división por 60 del número

Antes de revelar el procedimiento señalemos que, en general, si los restos de la división por 3, 4 y 5 son a, b, c respectivamente, entonces el número pensado es el resto de la división por 60 de

1. El problema anterior planteado aritméticamente consiste en la resolución de un sistema de congruencias lineales

El número 60 resulta ser el producto 3.4.5. Resolvamos las congruen-cias

40.1 +45.3 + 36.4 = 319,

o sea 19.

40.a + 45.b + 36.c

|"X = a(mod3) (1) ^ X = b (mod 4)

.X = c(mod 5)

4.5.r = 1 (mod 3)

3.5.t = 1 (mod 4)

3.4. s = 1 (mod 5)

o sea 40 = 20.2 = 1 (mod 3)

45 = 15.3 = l(moa 4)

36 = 12.3 = 1 (mod 5)

Observamos que

x = 40a + 45b + 36c

satisface las ecuaciones en (1). Otras soluciones resultan de sumar a x múltiplos de 3.4.5 = 60. Sea y solución de (1). Es claro que la diferencia x - y satisface el sistema

|"y - x = 0 (mod 3) y - x = 0 (mod 4)

[y - x = 0 (mod 5)

es decir y - x es divisible por 3,4 y 5 y por lo tanto por su producto. O sea y - x = 60.k, k £Z, es decir y = x + 60.k. Hemos obtenido todas las soluciones del sistema (1). En particular hay una única solución x tal que 0 < x < 6 0 .

Lo anterior es la particularización de un famoso resultado de Aritmética conocido por más de 2000 años. Es el Teorema Chino del Resto, cuyo enunciado es el siguiente:

Sean nij, m 2 , . . m r enteros positivos coprimos dos a dos Sean a15 a2 , . . . , ar enteros arbitrarios. Entonces, el sis-tema de congruencias lineales:

X = a, (mod mx)

X = a2 (mod m2)

X = a r (mod m r )

admite una solución simultánea. Hay una única solución módulo el producto m1-m2.. .mr. En particular hay una única solución x que satisface 0 < x < IT m..

La demostración de este Teorema sigue los pasos descriptos más arriba. Sean para cada j = 1,.. . , r, M. el producto de los m}, m2 , . . . , mr

exceptuado el m.. O sea M . = m ' . Notar que: M. es coprimo con

m.,pero M. es divisible por todo m., i^ j . Podemos entonces resolver las congruencias:

M.-T. = 1 (mod m.), j = l , 2 , . . . , r , Una simple observación nos dice que

x = M 1 . T 1 . a 1 + M 2 . T 2 . a 2 + . . . + M r . T . a satisface las congruencias

x = a. (modm.), j = 1, 2 , . . . , r ,

que constituye una solución del sistema planteado. La unicidad módulo el producto mj.n^ ... mr de la solución, resulta por idéntico razona-miento como se vio más arriba.

Veamos una aplicación conocida.

2. Ejemplo. Una banda de 13 piratas obtuvo un cierto número de monedas de oro, que trataron de distribuir entre sí equitativamente, sobrándoles 8 monedas. Imprevistamente dos de ellos murieron enve-nenados por zulúes. Al volver a intentar el reparto sobraban ahora 3 monedas. Posteriormente tres de ellos se ahogaron comiendo gofio y al volver a distribuir quedaban cinco. Se trata de saber cuántas monedas había en juego. ¿Estaba Morgan entre los piratas?

Solución. Sea n el número de monedas. Se trata entonces de resolver el sistema lineal:

n = 8 (mod 13) J n = 3 (mod 11)

n = 5 (mod 8)

Procediendo según la demostración del Teorema se tiene:

Mj = 11.8 = 88, M 2 = 13.8 = 104, M3 = 13.11 = 143.

Resolvemos las congruencias:

88.Tj = 1 (mod 13) o también ÍO.^ = 1 (mod 13) 104.T2 = 1 (mod 11) o también 5.T2 = 1 (mod 11) 143.T3 = 1 (mod 8) o también 7.T3 = 1 (mod 8)

Resultan T t = 4, T2 = 9, T3 = 7. Por lo tanto resulta la solución x = 8.4.88 + 3.9.104 + 5.7.143 = 10629 = 333 (mód 1144)

con 1144 =13.11.8. Por lo tanto 333 es una solución del problema. Otras soluciones serían 333 + múltiplos positivos de 1144. La solución positiva mínima es entonces 333. No está claro si Morgan estaba en el grupo aunque por sus conocidos prejuicios de superstición no creemos hubiera integrado un grupo de 13 piratas!

3. Ejemplo Resolvamos el sistema

' x = 1 (mod 3) . x = 2 (mod 5)

x = 3 (mod 7)

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Se tiene 3.5.7 = 105. Resolvamos las congruencias

35 T, b \ (mod 3), 2 ^ = 1 (mod 3) 21 T2 = 1 (mod 5), o sea T2 = 1 (mod 5) 15 T3 = 1 (mod 7), T3 = 1 (mod 7)

o sea Tj = 2, T2 = 1, T3 = 1. Por lo tanto la expresión siguiente, módulo 105, nos da una solución:

70.1 + 21.2 + 15.3 = 157 = 52 (mod 105)

Veamos otra solución de este problema que tiene también validez general.

x = 3 + 7h = 3 + 5h + 2h

y como x = 2 (mod 5)

resulta 3 + 2h = 2 (mod 5) o sea 2h = -1 (mod 5)

o sea h = 2 + 5t

Se tiene x = 3 + 7 (5t + 2) = 17 + 7.5.t

= 17+35t = 17+33t+2t; x= 17 + 2t (mod 3)

y como x = 1 (mod 3)

resulta 17 + 2t = 1 (mod 3); 2t = -16 (mod 3)

o sea 2t = -1 (mod 3), es decir t = 1 + 3k

Por lo tanto x = 17 + 7.5.3.k + 7.5

x = 52 + 105.k

y obtenemos la misma solución: 52.

Dejamos a cargo del lector poner en limpio el algoritmo de resolución mplícito en esta solución.

4. Una identificación canónica.

El Teorema Chino del Resto permite representar a todo entero n con <n< II m. con la r-upla de restos a. tales que n = a. (mod m.), i=l,... ,r.

En efecto, dado n, entero con 0<n< II m. los valores a., 0 < a. < m. están ' ' i i i i unívocamente determinados. Por ejemplo si r=2, mj=3, m ^ 5 se tiene la representación de los enteros n, 0<n<15 por pares (av a2):

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0 - > (0,0) 5 > (2,0) 10 - > ( 1 , 0 )

1 - > ( 1 , 1 ) 6 - > ( 0 , 1 ) 11 - > (2,1) 2 - > (2,2) 7 - > (1,2) 12 - > (0,2) 3 - > (0,3) 8 > (2,3) 13 - > ( 1 , 3 )

4 - > ( 1 , 4 ) 9 - - > (0,4) 14 - > (2,4) Otra forma de expresar esta representación es utilizar los anillos de

restos Zn. Lo anterior significa establecer una correspondencia biyectiva o una aplicación biyectiva entre Zn y el producto Zm x ... x Zm

Lo relevante de esta aplicación es que es un isomorfismo de anillos. O sea, la correspondencia preserva las operaciones de anillo. En nuestro ejemplito de Z15 y Z3, Z5 se tiene el isomorfismo de anillos:

Z15 - > Z3xZ5

Por ejemplo

4 - > (1,4)

7 - - > (1,2)

4 + 7 = 11 —> (2,1) = (1+1, 4+2)

4 . 7 — > 1 3 —> (1,3) = (1.1, 4.2)

En resumen el Teorema Chino del Resto establece un isomorfismo canónico

Zn— >Zm x ... x Zm con n = m. ..., m r 1 i 1-

Podemos utilizar este isomorfismo para hacer computación aritmética. Por ejemplo, si disponemos de programas para operar módulo 95, módulo 97, módulo 99, podemos sumar y multiplicar números menores que 95.97.99 = 912285. Por ejemplo si x = 123684, y = 413426, se tiene la representación en Z95xZ97xZ99:

x = (89,9,33), y = (16,42,32) por lo tanto

x + y = (89+16, 9+42, 33+32) = (10, 51, 65) Ahora utilizando el Teorema Chino del Resto podemos determinar el

entero n correspondiente a (10, 51, 65), o sea el n, 0<n<912285 tal que

n = 10 (mód 95), n =51 (mod 97), n = 65 (mod 99). El programa tendrá que ser suplementado por una rutina que reste o agregue múltiplos de 912285.

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Propuesta para computación

Elaborar programas para: i) resolver sistemas de congruencias lineales utilizando el Teorema Chino del Resto; ii) sumar y multiplicar números que exceden en dígitos el rango de la computadora.

5. Intervalos sin números primos

Es bien sabido que dado n e N existen n enteros consecutivos forma-dos por números compuestos. La demostración de este hecho es la siguiente:

Sea M = (n+1)!

Entonces \

M+2, M+3, ... M+ (n+1)

consta de n enteros y todos son números compuestos. El primero es divisible por 2, el segundo por 3, etc., el último por n+1.

Utilizando el Teorema Chino del Resto refinamos este resultado de la manera siguiente. Sea n e N. Demostraremos la existencia de sucesiones de n enteros consecutivos cada uno de los cuales posee k factores primos distintos. Para ello formamos los números m i ; m2, ..., mn a partir de la sucesión p i ; p2, p3, ... de números primos positivos:

m i=PiP 2 -P k m2 = Pk+iPk+r--P2k

m n = P ( n - l ) k + l ' " - ' P n l :

1 s i i^ j . Según el Teorema Chino del Resto existe

x = -1 (mod m ;)

x = -2 (mod m2)

x = -3 (mod m3)

x =-n (mod mn)

Es claro que los enteros de la sucesión: x+1, x+2,.. . x+n son divisibles por k primos consecutivos.

Es claro que (m., m.) = x € N tal que

1 0

6. Existencia de infinitos primos

Un teorema clásico de aritmética establece la existencia de infinitos primos. Además es conocida la demostración de Euclides a este respecto. Demos otra demostración utilizando el Teorema Chino del Resto. Razo-nando por el absurdo sean p r . . p m todos los primos positivos. Sea xe N con la propiedad que

' x = 1 (mod 2)

x = -1 (mod 3)

, x = 1 (mod 5)

x = 1 (mod p j

La condición x = -1 (mod 3) implica que x > 1. Por lo tanto es divisible por un número primo, digamos pk, l<k<m. Pero como x = 1 (mod pk), resulta un absurdo. La afirmación queda demostrada.

7. Nota Histórica

El matemático Sun-Tsu, en escritos chinos que datan de los primeros siglos de nuestra era plantea el siguiente problema: Hallar un número que tenga restos 2, 3 ,2 al ser dividido por 3, 5, 7, respectivamente. Este tipo de problemas aparece también en esferas culturales griegas.

En efecto, el matemático griego Nichomachus (100 d. JC) publica en su Introductio Arithmeticae el mismo caso especial. El Teorema Chino del Resto fue aparentemente enunciado con plena generalidad y con demostración por L. Euler hacia 1734 (Commentarii Academiae Scien-tiarum Petropolitanae, 7 (1734/5)), aunque una demostración de los hechos básicos necesarios fueron dados en China por Chin Chiu-Shao en sus Shu Chiu Chang (1247). Este libro, cuyo título significa Tratado de Matemática apareció en1247 y contiene un extenso tratamiento del problema de los restos. La parte relevante contiene 37 instrucciones algorítmicas. También en el Liber Abbaci (1202) de Leonardo Pisano (Fibonacci) aparecen versiones del Teorema Chino del Resto en forma de acertijos.

8. Generalización En el Teorema Chino del Resto suponemos que los valores m. son

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coprimos dos a dos. La generalización de este Teorema que nos ocupa es eliminar esta condición. Le proponemos al lector compartir la tarea. Por lo tanto en esta sección analizaremos el caso de resolución de un sistema de dos ecuaciones de congruencia, dejando para el Ejercicio 8, el análisis general.

Queremos entonces analizar la resolubilidad del sistema

(1) f x = aj (mod nij)

1 x = a2 (mod m2)

sin la condición de coprimalidad (m,, m2) = 1.

Es claro que el sistema puede no tener ninguna solución. Por ejemplo

r x = 1 (mod 2)

1 x = 0 (mod 2)

Veamos una condición necesaria. Si x es solución de (1) entonces

aj-a2 = aj-x + x - a2 = kj.nij + kj.m^

por lo tanto si (m1,m2) = d es el máximo común divisor de m ; y m2 se sigue que

(2) d I a r a 2

Esta es pues una condición necesaria y enseguida probamos que es también suficiente. Supongamos la validez de (2). Sea la ecuación lineal de congruencia

(3) m2.X = a1-a2 (mod m2)

Digresión. Recordamos al lector un resultado elemental sobre resolubili-dad de la ecuación a.X = b (mod m). El mismo establece que la ecuación es resoluble si y solo si (a, m) I b. (Ver Notas de Algebra, Eudeba, pág. 177). Utilizando este resultado se sigue la resolubilidad de (3). Sea y una solución de (3). Sea x = m2y+a2. Es claro que x satisface

x = a : (mod m^ y x = a2 (mod m2)

con lo cual hemos hallado una solución. Si x' es otra solución entonces x-x' satisface las ecuaciones.

x-x' = 0 (mod mj), x-x' = 0 (mod m2)

por lo tanto x-x' = 0 (mod [mi; m2]), con [m^ m2] denotando el mínimo común múltiplo de ra, y m2. La solución, si existe, es única módulo [m,, m2].

Hemos demostrado entonces que: el sistema (1) admite solución si y

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sólo si se satisface la condición (2). La solución es única módulo [m,, m2].

La resolución del ejercicio 8 puede hacerse ahora inductivamente. Para beneficio del lector le recordamos dos fórmulas relativas a máximo común divisor y mínimo común múltiplo de una familia finita de números. Indiquemos con (ax , . . . , an) el máximo común divisor de a t , . . . , an y con [ax,... ,an] el mínimo común múltiplo. Entonces son válidas las siguientes reglas de distributividad:

(a, [a r ..., a j ) = [(a, ax), . . . , (a, an)] [a, ( a l f a n ) ] = ([a, a j , . . . , [a, a j )

9. Ejercicios

1. Hallar el menor a > 1 tal que sea

a = 1 (mod 4), a = 1 (mod 5), a = 1 (mod 7).

2. ¿Qué enteros poseen restos 1, 2, 3 al ser divididos por 3, 4 y 5 respectivamente?

3. Hallar 4 enteros consecutivos divisibles por 5, 7, 9 y 11 respecti-vamente.

4. Probar que para todo n > 1 existen n enteros consecutivos divisibles por cuadrados > 1. (Sugerencia: Sean p t, p2, ..., pn primos positivos distintos dos a dos. Sea el sistema de congruencias: a = -l(modp^), a =-2 (modp2), etc....)

5. La producción diaria de huevos de una granja es inferior a 75. Cierto día el recolector informa que la cantidad de huevos recogida es tal que contando de a 7 le sobran 5, contando de a 3 le sobran 2 y contando de a 5 le sobran 4.

El capataz, que estudia aritmética a escondidas, le dice que eso es imposible.

¿Quién tiene razón?

6. Hallar todos los números menores que 1000 que divididos por 2, 3, 5 y 7 dan resto 1.

7. Una cesta está llena de huevos. Si se extraen de a dos, de a tres, de a cuatro, de a cinco y de a seis, quedan respectivamente uno, dos, tres, cuatro y cinco huevos. Si en cambio se extraen de a siete no quedan huevos. ¿Cuántos huevos hay en la cesta?

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8. Generalización. Probar que el sistema de congruencias

x = ax (mod nij) x = a2 (mod m2)

x = ar (mod mr)

posee solución si y sólo si (m., m.) I (a^a.) para todos los pares (i, j) tales que l<i<j<r. Probar que si existe solución, entonces existe solución única módulo [m}, m2, ..., m j = mínimo común múltiplo deirij, ... rn..

9. Resolver los sistemas de congruencias:

a) x = 5 (mod 6) x = 3 (mod 10) x = 8 (mod 15)

b) x = 2 (mod 6) x = 4 (mod 8) x = 2 (mod 14) x s 14 (mod 15)

GRAGEA

(Extracto de "Léxico Matemático Fundamental", de A. Palacios, E. Giordano, O. Argeramiy A. Camarero. Ediciones "La Obra", Buenos Aires. Excelente fascículo sobre la etimología de términos matemáticos).

PROBLEMA El término "problema" deriva directamente del griego problema,

compuesto de pro (delante) y blema (lo que se arroja o tiende), que proviene, a su vez, del verbo bállein (echar, arrojar). Es decir, "problema" significa lo que ha sido arrojado delante, el obstáculo, la piedra que nos obstruye el camino.

El problema es una situación frente a la cual no podemos menos que adoptar una actitud. Esta actitud puede consistir en una de las tres siguientes opciones: 1. Dar marcha atrás y desandar el ca-

mino. En este caso retrocedemos ante el obstáculo y renunciamos a proseguir nuestro itinerario.

2. Buscar alguna forma de rodearlo, cambiando de rumbo o eligiendo alguna ruta alternativa, u otra forma de locomoción. Es decir, esquivamos el problema en lugar de en-cararlo.

3. Enfrentar el obstáculo y buscar la forma de removerlo del camino, o de dejar la ruta despejada para poder proseguir. O sea, encaramos el problema.

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i

Los problemas matemáticos en el aula

A partir de: "El Teorema Chino del resto" del Dr. Enzo R. Gentile

Prof. María Esther S. de Hernández

Los problemas que junto con la fundamentación de su resolución, presenta el Dr. Enzo R. Gentile en su artículo "El Teorema Chino del resto", constituyen un interesante material que puede ofrecerse a alumnos de la escuela secundaria como una aplicación más de la congruencia módulo m en Z. Esto es posible, claro está, en tanto su tratamiento se encuadre en la metodología propia de la enseñanza de la Matemática en ese nivel.

El motivo de esta nota es, precisamente, tratar de dar algunas pautas en tal sentido.

Cabe destacar que, si bien el estudio de la congruencia módulo m en Z no se contempla explícitamente en los programas oficiales de enseñanza actual, su incorporación a ésta podría hacerse en el rubro Trabajos Prácticos, en tanto y en cuanto el tema constituye de por sí un conjunto autointegrado de conceptos, propiedades y múltiples aplicaciones a cuestiones diversas, cuestiones éstas que pueden ser abordadas por los alumnos bajo la guía adecuada del profesor. Fundamentalmente, además, porque el mismo puede considerarse como un sistema completo para la reafirmación y aplicación de conceptos y propiedades relativas al anillo de los enteros, tanto los que conciernen a sus leyes de composición interna, como todo lo referido a la divisibilidad en dicho anillo: división entera, números primos, máximo común divisor, etc.

En números anteriores de la revista (Vol II N2 XII y XIII) se hizo un desarrollo preliminar del tema, el cual puede adaptarse a los propósitos señalados más arriba. En efecto: la mayoría de las propiedades son de demostración simple e inmediata; todas ellas se basan en el significado de "ser congruentes módulo m" y en propiedades de los enteros, factibles por lo tanto de ser encaradas por los alumnos, previas pautas o sugeren-

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cias, si es necesario, por parte del profesor. En este sentido, creo que es importante hacer notar a los alumnos que,

de acuerdo con la definición

a = b (módulo m ) 3 keZ : a - b = km o 3 k e Z : a = b + km o sea que de una relación de congruencia se pasa automáticamente a una igualdad válida para algún entero k como la (1) y recíprocamente, toda igualdad de este tipo conduce a una relación de congruencia. Prácticamente, todas las cuestiones se desarrollan sobre la base de la consideración anterior.

El tema no se agota en lo ya publicado. Hay muchas otras cuestiones relativas al mismo, como ser las ecuaciones lineales de congruencia y los sistemas de ecuaciones lineales de congruencia. Un conocimiento pre-vio acerca de éstos, facilitará la consideración del teorema chino del resto.

A su vez, para el tratamiento de las ecuaciones y sistemas de ecua-ciones de congruencia, estimo conveniente adelantar dos interesantes propiedades.

La primera de ellas es la que tal vez conozcan los colegas con el nombre de Identidad de Bézout.

En la teoría de la divisibilidad en Z se demuestra la propiedad que afirma que si el entero positivo d es máximo común divisor de a y b, entonces d puede expresarse como combinación lineal de a y de b con coeficientes enteros r y s. Esto es:

si (a, b) = d, entonces existen r, s e Z tales que ar + sb = d

Los lectores que tengan presente la correspondiente demostración, coincidirán conmigo en que la misma escapa de los límites de conoci-mientos del alumno de los primeros años de la escuela secundaria. No obstante, es interesante su aplicación al caso particular en que a y b son coprimos, o sea

si (a, b) = 1, existen r, s s Z tales que ar + bs = 1 (identidad de Bézout),

pues esto significa que:

si (a, b) = 1, existe r e Z, tal que ar = 1 (mód b)

Esta última conclusión podría presentarse al alumno, en todo caso, como una "curiosidad" e invitarle a verificarlo en casos concretos. Si bien existe un procedimiento aritmético para hallar r, no necesariamente único, que no es otro que el algoritmo de Euclides o proceso de las divi-siones sucesivas para hallar máximo común divisor, lamentablemente este algoritmo no se practica por lo general en la escuela secundaria.

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(Supeditado el alumno a calcular un m.c.d. por el proceso previo de le descomposición en factores primos, supongo que se vería en serias difi-cultades para hallar, por. ej. mcd (689, 391), mientras lo lograría rápida-mente con el algoritmo de Euclides).

No obstante lo señalado, la búsqueda de algún r que cumpla la condición indicada podría hacerse por ensayos o tanteos, y al respecto sugerir al alumno que pruebe ante todo, con r = 1 y si no se cumple la congruencia, intentar con números que sean menores que b y coprimos con b.

Por ejemplo: en el caso

a = 11, b = 9 con (11, 9) = 1, existe r e Z : 1 Ir =1 (módulo 9).

Los números menores que 6 y coprimos con 9 son: 2,4,5,7 y 8 y se tiene que 11.5 = 55 • 1 (mód 9).

La otra propiedad a que hice referencia más arriba, es la siguiente: si m i ;

m2, m3 son coprimos dos a dos, entonces el producto de dos cualesquiera de ellos es coprimo con el tercero. O sea

(mj, m2) = (mp m3) = (m2, m3) = 1 ( m ^ , m2) = (rn^nx,,!!^) = (n^.n^, nij) = 1

Su demostración es muy sencilla y puede generalizarse al caso de p enteros positivos coprimos dos a dos; esto último consiste en probar que el producto M. de todos dichos enteros excluido m., es coprimo con m..

Ecuaciones lineales de congruencia

Son ecuaciones de la forma: ax = b (mód m) (1) con a, b, m e Z, a * 0 y m > 0. Su resolución conduce a hallar x e Z tal que exista k e Z y:

a x = b + km (2)

Surgen, de inmediato, dos observaciones:

Observación I: La ecuación dada no siempre tiene solución. Por ejemplo:

si a es par, o sea a = 2p, b es impar y m = 2, la ecuación

2px = b (módulo 2) no tiene solución pues V x e Z , 2px es par y nunca congruente con un impar (módulo 2).

Observación II. Si la ecuación ax = b (módulo m) admite una so-lución xo, todo entero x congruente con xo módulo m, también es solución de la ecuación, pues

x = xo (mód m)=> ax = axo (mód m):=> ax = b (módulo m)

O sea: si x es solución, todo xe C1 (x ) módulo m, también lo es, se

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obtienen infinitos enteros de la forma x = xo + km tomando k e Z; pero como todos esos números son congruentes entre sí módulo m, se considera que constituyen todos una solución de la ecuación. Siempre es posible elegir un representante t de dicha solución que cumpla la condición 0 < t < m. Es, en efecto, el resto de dividir a cualquiera de los números hallados por el módulo m.

Se considera entonces que:

dos soluciones y x2 son distintas si Xj£ x2 (mod m)

Interesa volver a la observación I y analizar la posible existencia de alguna condición que deba cumplirse para que la ecuación admita solución.

Como vimos, la ecuación (1) equivale a hallar x e Z tal que

3 k eZ A ax = b + km o bien

ax - km = b De aquí surge que todo divisor común a los enteros a y m, debe serlo

necesariamente de b, y, en particular, (a, m) debe ser divisor de b. Para probar que la condición (a, m) I b también es suficiente, consideremos antes los dos casos posibles.

Caso I. a y m son coprimos, o sea (a, m) = 1. Entonces 3 r eZtal que

ar= 1 (mod m). Por una propiedad anterior (N2 XII ó XIII)

arb= b (mod m), o sea el entero rb es solución de la ecuación

y es única en el sentido expuesto más arriba pues si xt es solución:

aXjüb (mod m) a xx = arb (mod m) y dividiendo por a que es coprimo con m

Xj = rb(mod m)

Ejemplo 48x= 15 (módulo 7)

3 r eZ: 48r = 1 (mod7). En efecto48.6 = 288 = 1 (mod 7) Entonces 6.15=90 es solución de la ecuación, y como el resto de dividir a 90 por 6 es 6, 6 también es solución como puede verificarse.

Nota. Hay casos muy simples, en que la solución es muy inmediata y sur-ge por simple observación, sin necesidad del planteo general, como en:

3x =6 (mód 13), pues basta considerar x=2

Caso II. a y m no son coprimos, (a, m) = d ^ 1

1 8

La ecuación ax = b (mód m) (1), expresa que

ax = b + km para algún k e Z (2)

o sea ax - km = b, y como vimos antes, necesariamente d debe ser divisor de b. Veamos que también es suficiente:

si dlb, se tiene que a = da', b = db' y m = dm'

En (2) resulta

a' dx = b' d + km' d y dividiendo por d que, naturalmente no es nulo, queda

a' x = b' + km' igualdad que equivale a

a' x= b' (mód m') con a' y m' primos entre sí. (3)

Esta ecuación admite solución única módulo m' como se vió en el caso anterior, o sea, si xo es solución, todo entero x que satisfaga la ecuación es de la forma

x = x + km' con k e Z o

y todos ellos satisfacen también a la ecuación (1) pues

a'x= b' (mód m') => a'x=b' + km' => da' x = db' + kdm'

o sea ax = b+km. Ahora bien, todos tales enteros que constituyen solución única módulo

m' para la ecuación (3) no constituyen solución única módulo m de (1) pues no todos son congruentes módulo m. En efecto, dando a k valores tales que 0 < k < d, se obtienen los d enteros

x , x + m', x +2m' , . . . , x +(d- l )m 'osea

m 2m , ( d - l ) m Xo>Xo+ ¿ ' X o + t J ' " " ' X o + ^

y la diferencia entre dos cualesquiera de ellos no es múltiplo de m, es decir no son congruentes módulo m.

Resulta entonces que la ecuación ax = b (mód m) con (a, b) = d 41 tiene solución si y sólo si dlb y admite d soluciones distintas módulo m.

Por ejemplo lOx = 15(mód 45) Como (10, 45) = 5 y 5115, la ecuación tiene solución y admite 5

soluciones distintas módulo m. En efecto, procediendo como se indicó, se obtiene la ecuación

2x = 3 (mód 9)

y se trata de hallar r tal que 2r = 1 (mód 9). Aquí es inmediato que r=5

1 9

cumple esta condición y por lo tanto 5.3 =15 es solución tanto de la ecuación reducida como de la dada, y la única t congruente con 15 módulo 9, tal que 0 < t < 9, es el resto de dividir a 15 por 9, esto es, 6.

Todos los enteros de la forma 6+9k con k £ Z forman la única solución módulo 9 de la ecuación reducida, pero:

6, 6 + 1.9, 6 + 2.9, 6 + 3.9 y 6 + 4.9 o sea

6, 15, 24, 33 y 42 representan 5 solu-ciones distintas, módulo 45, de la ecuación dada.

Sistemas de ecuaciones lineales de congruencia

Se trata de hallar las soluciones comunes, si las hay, a n ecuaciones lineales de congruencia con módulos m15 m2, ..., mn. Consideremos el caso n=2.

x^aCmódmj) (1)

x = b (mód m2) (2)

Dado que el coeficiente de x es 1, se cumple en ambas ecuaciones la condición de existencia y unicidad de la solución de cada una (unicidad, por supuesto, mód m., i = 1, 2).

La (1) tiene solución inmediata x=a y son soluciones los

x = a+knij, k £ Z

La (2) tiene solución inmediata x=b y son soluciones los

x = b+hm2, h e Z

El problema de hallar, si existe, alguna solución común a (1) y (2) se transforma en el de hallar, si existen, k, h e Z tal que se cumpla que

a + knij = b + hm2

o bien kmx = (b-a) + hm2 y esto equivale a hallar k e Z

tal que knij = (b-a) (mód m2) que es una ecuación lineal de congruencia en Z con incógnita k.

De acuerdo con lo visto en el capítulo anterior, 3 k £ Z que satisfaga la ecuación anterior si y sólo si (ml5 m2) = dl(b-a). Si esto se cumple, se puede hallar k por el procedimiento expuesto, tanto si d = 1 ó d ^ 1.

Por ejemplo: [ x= 3 (mod4) con solución x = 3+4k

[ x = 5 (mod 6) con solución x = 5+6h

Una solución común depende de la existencia de k £ Z tal que

2 0

3 + 4k = 5 + 6h ó 4k = 2 + 6h, es decir, de la existencia de k e Z tal que

4k = 2 (módulo 6) (a).

Como (4, 6) = d = 2 y 212, se tiene la congruencia

2k = 1 (mod 3), y k = 2 es una solución, o, en general k = 2+3k' es solución de la última ecuación. Dando a k' los valores 0 y 1 (menores que d = 2) se obtienen dos soluciones distintas módulo 6 para la ecuación (a), es decir k = 2 v k = 5. Se verifica, como era de esperar, que:

3 + 4.2 = 11 = 3 (mod 4) 3 + 4.5 = 23 = 3 (mod 4) y

3 + 4.2 = 11 = 5 (mod 6) 3 + 4.5 = 23 = 5 (mod 6)

De acuerdo con lo anterior, el sistema

x = a (mod mx)

x = b (mód hLJ) con (ml5 m2) = 1

tiene solución. Veamos que la solución es única módulo mt . m2. En efecto: si Xj y x2 son enteros que satisfacen ambas ecuaciones,

entonces

Xj - x2 = 0 (mod nij) y xl - x2 =0 (mod n^).

Es decir, deben existir enteros h y k tales que

Xj - x2 = knij y x, - x2 = hm2 (a)

Por lo tanto knij = hm2

igualdad ésta que expresa que m1lhm2 y como (m,, rr^) = 1, necesariamente m Ih. Entonces existe h £ Z tal que h = h1.m1 y reemplazando en (a):

X1 - X2 = h ^ , ! ^ es decir

Xj =x 2 (mod mjm2)

El mismo procedimiento puede aplicarse a dos o más ecuaciones de congruencia de la forma a.x = b (mod m.) si (ai; m.) = 1 y los módulos son coprimos 2 a 2.

Existe un proceso particular de resolución que es el que plantea el Dr. Gentile con referencia al teorema chino del resto.

El problema propuesto por el Dr. Gentile al comienzo de su artículo consiste en la resolución de un sistema de 3 ecuaciones lineales de congruencia con módulos respectivos 3, 4 y 5, o sea coprimos 2 a 2.

2 1

Analicémoslo en su forma general, esto es, el sistema

Íx =a (mód m^ x = b (mód m2) x = c (mód m3)

con (nij, m2) = (mi; m3) = (m2, m3) = 1 Esta última condición sugiere la aplicación de la propiedad consi-

derada al comienzo del tema, o sea que: (nij m2, mj) = (m: m3, ra,) = (m2m3, mx) = 1

pues, de esto, y como también se vió anteriormente, podemos asegurar la existencia de solución única módulo respectivo, para cada una de las ecuaciones

m2m3r = 1 (mod mx)

mjm3t =1 (mod n^)

m)m2s = 1 (mod m3)

Hallados los valores r, t, s, surge que

m2m3ra = a (mod mx) (1)

mjm3tb = b (mod m2) (2)

m1m2sc = c (mod m3) (3)

Una observación atenta de las 3 últimas relaciones de congruencia, nos dice que el módulo que figura en cada una aparece como factor en el primer miembro de las otras dos. Esto sugiere sumar a ambos miembros de cada relación los dos primeros miembros de las otras dos. Obvia-mente, al efectuar esta suma, los tres primeros miembros de las re-laciones resultantes son iguales a

m2m3 ra + m ^ tb + m1m2 se = h

y entonces las relaciones (1), (2) y (3) se transforman, respectivamente, en:

h - a+m1(m3tb+m2sc) = a (mod nij)

h = b+m2(m3ra+m1sc) = b (mod nx,)

h = c+m^nya+nijtb) = c (mod m3)

O sea h es un entero que satisface simultáneamente a las ecuaciones del sistema propuesto.

Otras soluciones se obtienen sumando a h un múltiplo de m1m2m3, todos enteros congruentes módulo m ^ r a , y hay una sola q tal que

2 2

0<q<m1m2m3 siendo q el resto común que se obtiene dividiendo a cualquiera de los enteros hallados por el entero m ^ n i j .

En el problema planteado por el Dr. Gentile:

a=l, b=3, c=4, 1^=3, m2=4 y m3=5

y se obtuvo r=2, t=3, s=3. Por lo tanto el entero

h = (4.5)2.1 + (3.5)3.3 + (3.4)3.4 = 40.1 + 45.3 + 36.4 = 319

es solución del sistema y la solución q tal que 0 < q < 60 es el resto de dividir a 319 o a cualquier entero de la forma 319 + k. 60 (con k £ Z), o sea q = 19.

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BEATRIZ A. DIAZ

REVISTAS Y L I B R O S T E C N I C O S

AV. DE MAYO 1370 PISO 4 OF. 70 1362 - CAPITAL FEDERAL TEL. 37-1643

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2 3

La computación como recurso

A partir de: "El Teorema Chino del resto" del Dr, Enzo R. Gentile

Prof. Elena García

De divisores comunes y congruencia

La relación de congruencia y la aritmética de residuos que de ella deriva son herramientas básicas en el desarrollo de algoritmos compu-tacionales operacionales, por lo que estos temas son frecuentes en la bibliografía básica sobre algoritmos y programación.

Si bien en oportunidades anteriores nos habíamos ocupado de la resolución de sistemas de congruencias lineales, lo habíamos hecho usando recursos elementales de programación (ver Nros. VII y VIII de Elementos de Matemática). El artículo que el Dr. Enzo R. Gentile presenta en este mismo número sobre el Teorema Chino del Resto es un buen pretexto para volver sobre el tema.

No daremos aquí una respuesta a la "propuesta para computación" del Dr. Gentile para no restar interés en la búsqueda de la misma por parte de nuestros lectores. Nos limitaremos a discutir algunos algoritmos que pueden ayudar a resolver algunas de las cuestiones planteadas.

1. Máximo común divisor

1.1. Uno de los algoritmos más conocidos para calcular el máximo común divisor entre dos enteros es el difundido como Algoritmo de Euclides.

Dados M y N enteros tales que 0 < M A 0 < N

MCD (0, N) = N «

MCD (M, N) = MCD (N mod M, M)

donde N mod M es el resto de dividir N por M

24

1.2. Una posible implementación en PASCAL:

FUNCTION MCD (M, N: integer): integer; BEGIN

1F M = 0 THEN MCD: = N ELSE MCD: = MCD (N mod M, M)

END;

1.3. En BASIC podríamos implementarlo a través de la siguiente rutina:

100 ' RUTINA PARA EL CALCULO DEL MAXIMO COMUN DIVISOR 110 ' VARIABLES DE ENTRADA: A, B enteras no negativas 120 ' VARIABLE DE SALIDA: MCD 130 WHILE A o 0 140 C = A 150 A = B MOD A 160 B = C 170 WEND 180 MCD = B 190 RETURN

2. Máximo común divisor de un conjunto de enteros

El cálculo del máximo común divisor de un conjunto de N enteros puede hacerse en función del algoritmo para el cálculo del máximo común divisor entre dos enteros ya que:

mcd (Xj, x2,..., xj = mcd (x;, mcd (x2, x3, . . x n ) )

2.1. Algoritmo para el cálculo del máximo común divisor entre varios enteros.

Léxico:

Sea A el conjunto de enteros no negativos, queremos definir una función de A" en A tal que aplicada a un elemento de An nos dé el máximo común divisor de los enteros que componen la n-upla dada.

Llamemos MCDG a esa función para diferenciarla de la que definimos en 1.1. y tiene por dominio a A2.

A = Z+ U {0} X e AN « X = (Xj, X 2 , . . . x n ) con x . e A, 1 < i < n

2 5

MCDG: A A N

MCDG (X) = M CD (Xj, x2) MCD (MCDG (x

x

i'

si N = 1

si N = 2

' Xn_!)> Xn) SÍ N > 2

Acción " M C D G "

r comienzo M C D G X ( N ) ;

T <— N— 1; 1" mientras M C D G * I A T > 0 hacer

M C D G M C D (X ( T ) , M C D G ) ; T 1

L fmientras fin

Observación: Al comenzar cada iteración, MCDG es el máximo común divisor de:

este control puede disminuir significativamente el tiempo de proceso teniendo en cuenta el Teorema de E. Césaro (1881):

"Si u y v son enteros elegidos al azar, la probabilidad que m c d (u , v ) = 1 e s 6/7t2".

(Ver demostración en "Seminumerical Algorithms" de Donald Knuth - Addisson Wesley, Pág. 301).

2.2. Implementación en PASCAL.

- Suponemos definido:

a) Un tipo de dato.

En la condición del ciclo se controla si:

MCDG * 1 pues MCD (M, 1) = 1;

2 6

ARREGLO = array [1.. TOPE] of integer,

donde TOPE es una constante cuyo valor dependerá de las n-uplas cor que se quiere trabajar.

b) La función MCD descripta en 1.2.

FUNCTION MCDG (X: arreglo; N: integer): integer; VAR A, T: integer;

" BEGIN A: = X [N]; T: = N - 1; while (A o 1) AND (T > 0) do

begin A: = MCD (X [T], A); T: = T - 1

end; MCDG: = A

. END ;

2.3. Implementación en BASIC.

- Suponemos definida la rutina descripta en 1.3.

200 ' RUTINA PARA CALCULO DEL MCDG 210 D = X(N) 220 T = N - 1 230 WHILE D < > 1 AND T > 0 240 A = X(T) 250 B = D 260 GOSUB 100 270 D = MCD: T = T- l 280 WEND 290 MCDG = D 300 RETURN

3. Algoritmo de Euclides extendido

Dados los enteros no negativos m y n queremos determinar a, b y c enteros tal que

am + bn = c

c = mcd (m, n)

27

Léxico:

X, Y, Z arreglos de tres componentes enteras, [r] = parte entera de r ; r e R Acción "Algoritmo de Euclides extendido".

" comienzo X (1,0, m); Y 4- (0, 1, n); mientras Y(3) o 0 hacer

Z<_ X-Y*[X(3)/Y(3)]; X f - Y ; Y < - Z

fmientras; a <- X(l); b <- X(2); c X(3)

. fin

La validez de este algoritmo es demostrada por inducción sobre n en el libro "Fundamental Algorithms" de Donald Knuth - Addisson Wesley, Pág. 14.

3.1. Implementación en PASCAL. PROCEDURE EXTENDIDO (M, N: integer; VAR A, B, C: integer); VAR

X, Y, Z: array [1 .. 3] of integer; I: integer;

BEGIN X[l]: = 1 ; X[2]: = 0 ; X[3]: = M; Y[1]: = 0 ; Y[2]: = l ; Y[3]: = N; WHILE Y[3] < > 0 DO

BEGIN FOR I: = 1 TO 3 DO

Z[I]:= X[I] - Y[I] * INT(X[3] / Y[3]); FOR I: = 1 TO 3 DO

BEGIN X[I]: = Y[I]; Y[I]: = Z[I]

E N D ; END;

A: = X[l] ; B: = X[2] ; C: = X[3] END;

2 8

3.2. Implementación en BASIC.

La implentación en BASIC no difiere en general de la implementación en PASCAL presentada en el punto anterior, por lo cual la obviaremos.

3.4. Ejemplo 1

Dados 36 y 48 encontrar a, b y c tal que:

a 36 + b 48 = c = mcd (36, 48)

X Y z

X(1) X(2) X(3) Y(l) Y(2) Y(3) Z(1) Z(2) Z(3)

1 0 36 0 1 48 1 0 36

0 1 48 1 0 36 -1 1 12

1 0 36 -1 1 12 4 - 3 0

® E l 4 - 3 0

7-1)36+(V)-48^2

mcd (36,48) = 12

Ejemplo 2

Dados 49 y 15 encontrar a, b y c tal que a 49 + b 15 = mcd(49, 15)

X Y Z

1 0 49 0 1 15 1 - 3 4

0 1 15 1 - 3 4 - 3 10 3

1 - 3 4 - 3 10 3 4 -13 1

- 3 10 3 4 -13 1 -15 49 0

di M GX -15 49 0

4). 49 + 7(-13|- 15 ^ 1 }

mcd (49, 15)

2 9

4. Algoritmo para la resolución de sistemas de congruencias lineales

Dados irij, m2 , . . . , mr enteros positivos , coprimos dos a dos y Uj, u2, ..., ur enteros cualesquiera:

Hallar X tal que 0 < X < mt • rr^ • rr^ • ... • mu

y x = Uj (mod m,) < X = u 2 (mod m2)

x = u r (mod m r )

4.1. Acción "Resolución de Sistemas Congruencias Lineales".

comienzo Lectura de datos; Consistencia de datos; Si los datos son consistentes

entonces resolver; emitir resultados

sino emitir mensaje _ fsi

fin

En la rutina de consistencia de datos habrá que comprobar que los r enteros m1? m2, ..., mr son coprimos dos a dos, o sea:

mcd(m., m.) = 1 si i * j, 1 < i, j < r

para lo cual resulta útil el algoritmo presentado en el punto 1. En la rutina "Resolver" habrá que

l2) Generar r valores P. ' i

r m. tal que P. (1 < i < t )

j = i ¡

22) Hallar r valores T. ' i

tal que p. T. = 1 (mod nx) (1 < i < r )

32) Calcular X como n X = T u , T.- P.

i i i i =1

Los pasos 1 y 3 no presentan dificultades y para el paso 2 puede usarse el algoritmo de Euclides extendido

3 0

pues P. T. = 1 (mod m)

equivale a

P. T. - 1 = k • m., con k entero 1 1 i'

pero esto es P. T. + (-k) m. = 1

i i v ' i

Como P. y m. son coprimos el máximo común divisor entre ambos es 1.

mcd (P., m.) = 1

En realidad como no nos interesa calcular k y ya sabemos que mcd (P, m.) = 1, podríamos adaptar el algoritmo dado en el punto 2 de la siguiente manera:

4.2. Algoritmo extendido de Euclides - reducido

Dados A y B enteros positivos y coprimos entre sí, encontrar T entero tal que:

TA + kB = 1, con k entero

Léxico:

X, Y, Z arreglos de dos elementos enteros. Acción "Resolver"; comienzo

X <- (1, A); Y <- (0, B); Z (1, AmodB); mientras Z(2) * 1 hacer

X Y; Y Z; Z (X(l) - Y(l) * ENT[X(2) / Y(2)], X(2) mod Y (2))

ímientras; T Z(l)

fin

La solución buscada queda en T.

Ejemplo 1

Resolver

3 1

10T = 1 (mod 13)

10T + k 13 = ¿

mcd(10, 13)

X Y Z

1 10 0 13 1 10

0 13 1 10 - 1 3

1 10 - 1 3 1

[AJ 10 s 1 (mod 13) Ejemplo 2

7 T = 1 (mod 8)

X Y Z

1 7 0 8 1 7

0 8 1 7 / O 1

7 - ( ( - l ) ) s 1 (mod 8)

- 7 s 1 (mod 8)

Bibliografía

Knuth, Donald: "Fundamental Algorithms". Knuth, Donald: "Seminumerical Algorithms". Graham, Knuth, Patashnik: "Concrete Mathematics". Courant, Robbins: "Qué es la matemática".

3 2

Método Experimental y Método Matemático Una experiencia didáctica

Luis A. Santaió

\ —

M /

H

Fig.

El objetivo principal de las llamadas ciencias naturales es conocer el mundo exterior. Para ello podemos medir y razonar. Cuando se da pre-ponderancia al medir y se utiliza poco el razonar, los resultados son casi siempre únicamente aproximados y, además, exigen mucho cuidado y cierta habilidad práctica especial para construir modelos adecuados y me-dir con precisión. El uso del razonamiento mejora la exactitud de los re-sultados y ayuda a la comprensión. La matemática es la encargada de dirigir el razonamiento para obtener resultados sin la necesidad de cui-dadosas experiencias.

Vamos a ver un ejemplo bien simple para poner en evidencia la dife-rencia entre el método experimental y el método matemático, al nivel de alumnos del primero o segundo año de la enseñanza media. Vamos a

q detallar una experiencia didáctica fácilmente re-producible y generalizable a situaciones análogas. Se podría titular: Aplicaciones del teorema de Pitágoras.

Indicaciones para el alumno

Dibuja, lo más cuidadosamente posible, un rectángulo ABCD de lados AB = 6 cm, AD = 8 cm. Si tienes papel milimetrado mejor, o si no en una hoja de papel blanco, pero tomando medidas exac-tas con una regla graduada.

Traza luego la diagonal BD y las perpendiculares a ella por A y C, resultando así los segmentos AE y CG y los puntos H y M de la figura 1.

El rectángulo ha quedado dividido en 6 partes, de las cuales 4 son triángulos y 2 son trapecios. En la

3 3

figura están también indicados 8 puntos (A, B, C, D, E, G, H, M) y 13 seg-mentos (AB, AH, BH, HE,. . .) .

Lo único que sabes de la figura 1 es que es un rectángulo de lados AB = 6 cm y AD = 8 cm y que AE y CG son perpendiculares a la diagonal BD. Con estos datos se desea resolver el siguiente problema:

Determinar las longitudes de los 13 segmentos y las áreas de las 6 partes en que está dividida la figura.

Primer paso: Meditación sobre el problema

Antes de atacar la solución de un problema no conviene precipitarse, sino que conviene reflexionar sobre el mismo, de manera global, anali-zando los datos y las incógnitas para ver si el problema está bien deter-minado, si sobran o faltan datos y si se vislumbra algún camino natural de solución o alguna relación particular que simplifique de entrada el pro-blema.

En el caso actual, puesto que con los datos es posible la construcción de manera única de la figura, está claro que el problema está bien deter-minado: ni sobran, ni faltan datos. Mirando a la figura, salta a la vista que AB = CD. ¿Habrá otros segmentos iguales? Con un compás como trans-portador de segmentos, o con la regla graduada, observa que BE = DG, AH = CM, CE = AG. Esto es una "comprobación", pero no una "de-mostración". Para estar bien seguro de estas igualdades, piensa en una ro-tación de 180° de la figura de manera que A -»• C, D -»• B, C A, B D. Con esto la diagonal se superpone sobre sí misma, y puesto que las perpendiculares a ella por cualquier punto son únicas, resulta que también E G y H M.

Resulta así, antes de hacer ningún cálculo, sólo mirando la figura, que délos 13 segmentos, solamente necesitas conocer la longitud de 6 de ellos (aparte del AB que ya conoces), a saber

AG, GD, BH, MH, GM, AH

También, en lugar de las 6 áreas, solamente necesitas calcular 3 de ellas

triángulo DGM, triángulo ABH, trapecio AHMG

Segundo paso: Método experimental

Una primera manera de tratar el problema consiste en proceder di-rectamente, como si no tuvieras ningún conocimiento especial de mate-

3 4

mática. Es decir, toma el doble decímetro o cualquier regla graduada y mide directamente sobre la figura las longitudes de los 6 segmentos. Pue-des apreciar hasta los milímetros. Anota los resultados, que podrían ser, por ejemplo:

AG = 3,5 cm,

MH = 2,7 cm,

GD = 4,5 cm,

GM = 2,8 cm,

BH - 3,5 cm,

AH = 4,7 cm

Cada alumno de la clase debe tomar las medidas por su cuenta en su fi-gura. Seguramente los resultados no serán los mismos para todos, pues ellos dependen de la exactitud con que fue dibujada la figura y de la habi-lidad y cuidado en tomar las medidas, pues es difícil apreciar un milíme-tro en más o en menos. Los resultados no son, por tanto, resultados exac-tos, aunque pueden ser suficientes en la práctica en la mayoría de los ca-sos.

Más complicada es la medida, experimentalmente, de las áreas de los triángulos y del trapecio. La manera más primitiva consiste en dibujar la figura sobre papel milimetrado y contar los cuadraditos contenidos en ca-da figura, estimando de manera aproximada los cuadraditos cubiertos tan sólo parcialmente.

Q El cálculo de los milímetros cuadrados, por sei demasiado pequeños, es difícil de hacer con preci-sión. Es mejor, en general, considerar cuadraditos un poco mayores, por ejemplo de medio centíme-tro de lado. Haciendo entonces la cuenta de los cuadrados contenidos en cada área de las que se quieren medir, y estimando el área total de los cua-drados tan sólo cubiertos parcialmente, se tendrá

| j l i | ; , | i j ; ¡ ; un valor aproximado de las áreas buscadas. Cada alumno de la clase debe hacerlo con su figura. Su-pongamos que los valores obtenidos por uno de ellos sean: f

área DGM = 4,5 cm2, área ABH = 8,5 cm2,

área AHMG = 10 cm2

Si no dispones de papel milimetrado, se puede hacer lo mismo con papel cuadriculado cualquiera,

bastante fino, teniendo en cuenta el área de cada uno de los cuadrados. En cualquier caso, hay que tomar luego la media aritmética de los valores obtenidos por cada alumno, que siempre será un valor más confiable que

3 5

el de cada alumno en particular y que luego compararemos con los valores exactos, obtenidos por el método matemático.

Tercer paso: Método matemático

Todo lo anterior lo podría hacer cualquier persona que no tuviera otros conocimientos matemáticos que saber medir longitudes con la regla graduada y contar cuadraditos de un cuadriculado. Era como operaba la matemática antes de los griegos. En el siglo VI antes de nuestra era, apa-reció Pitágoras y nos dio un procedimiento para resolver problemas de este estilo, de manera cómoda y exacta. Unicamente hace falta conocer su famoso teorema y saber o tener a mano una tabla de raíces cuadradas. Actualmente, sustituimos las tablas por una calculadora que tenga raíces cuadradas. Veamos cómo se puede proceder. Suponemos también cono-cida la fórmula del área del triángulo y del trapecio, lo que también sabían los griegos.

Empieza por calcular lo que puedas de manera fácil a partir de los datos AB = 6, AD = 8. Como la unidad de medida va a ser siempre el centíme-tro, no hace falta ponerlo cada vez; lo pondremos únicamente en los re-sultados finales. Por el teorema de Pitágoras, tienes:

Otro resultado inmediato es el área del triángulo ABD, mitad del área del rectángulo, o sea:

Por otra parte, si tomas como base del mismo triángulo ABD la dia-gonal BD, el área es (1/2)BD-AH y como BD = 10 tenemos la ecua-ción 5 AH = 24, de donde

Ya tienes uno de los segmentos buscados. Nuevamente por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo ABH, tienes

triángulo ABD = 24 cnr ,2

AH = 4,8 cm

BH = V A B 2 - A H 2 = V 3 6 - 4,82 = 3,6 cm

Con esto, puesto que MD = BH ya tienes también

3 6

HM = 10 - 7,2 = 2,8 cm

Te faltan todavía MG, DG y AG (o bien, lo que es lo mismo, HE, BE y AG). Esto es un poco más complicado. Piénsalo un rato para ver si descubres la manera de hacerlo. Hay varios caminos, que dependen de la matemática que sepas. Si has estudiado semejanza de triángulos te será fácil. Como solamente nos hemos propuesto utilizar el teorema de Pi-tágoras y las fórmulas de las áreas del triángulo y del trapecio, un camino puede ser el siguiente:

En el triángulo rectángulo ABE es:

BE2 = (HE + AH)2 - AB2 = (HE + 4,8)2 - 62 =

HE2 + 9,6 HE + 4,82 - 62 = HE2 + 9,6 HE - 12,96

y en el triángulo BHE se tiene

BE2 = BH2 + HE2 = 3,62 + HE2

Igualando lo dos últimos valores de BE2 y simplificando HE2 de ambos miembros, resulta

2 3,62+ 12,96 -12,96 + 9,6 HE = 3, 6 , de donde, HE = g - g - — = 2,7 cm

Con este valor y el de BH de antes, resulta

De esta manera has calculado ya las longitudes pedidas de los 6 segmentos del problema. Compara con los valores que habías medido antes directamente y calcula también, como nuevo ejercicio, el tanto por ciento del error en cada caso. Compara también con la media aritmética de los valores obtenidos por todos los alumnos de la clase.

Este método matemático tiene dos ventajas sobre el método expe-rimental de medir directamente, a saber: a) No hace falta hacer la figura con precisión; basta dibujarla aproximadamente a pulso para dirigir el razonamiento geométrico. Recuerda que los griegos hacían geometría

y finalmente

AG = AD - DG = 8 - 4,5 = 3,5 cm

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razonando sobre figuras dibujadas sobre la arena, b) Los resultados son exactos.

Alguien ha dicho que la geometría es el arte de obtener resultados exactos razonando sobre figuras mal hechas.

El cálculo de las áreas, recordando lo que valen las áreas del triángulo y del trapecio es una cosa muy fácil. Te damos únicamente los resul-tados

triángulo ABH = 8,64 cm2, triángulo DGM = 4,86 cm2

trapecio AHMG = 10,5 cm2

Observa que la suma es igual a 24 cm2, como debe ser por ser igual a la mitad del área del rectángulo dado.

Compara estos resultados exactos con los que habías obtenido antes de manera directa y aproximada. Calcula el tanto por ciento del error come-tido. Compara también con los valores experimentales de los demás com-pañeros. Naturalmente que, si han procedido bien, los valores matemáti-cos deben ser los mismos para todos.

Hemos visto que para el cálculo de ciertas longitudes, el teorema de Pitágoras puede ser de gran utilidad. Si no te has cansado, la misma fig. 1 anterior puede servir para proponerte más problemas. Por ejemplo, hallar las longitudes de los segmentos ME, MA, GE, HG, CH y las de otros que se te puedan ocurrir para resolver por tí mismo o para proponer a tus compañeros a manera de desafío.

Un poco más difícil es el cálculo de la longitud del segmento HL, siendo L el punto (no dibujado en la figura) en que la recta CH corta a AB. A ver si te animas. Cualquier segmento que puedas imaginar a par-tir de la figura, está bien determinado y por tanto su longitud es calculable. Lo mismo que el área de cualquier polígono que puedas formar con las rectas de la figura y otras que puedas trazar uniendo puntos de la misma. Tienes así una gran variedad de problemas posibles dentro de una figura relativamente simple. El grado de dificultad depende de tus conocimien-tos y de tu habilidad matemática. Cuantos más conocimientos tengas, menor es la cantidad de ingenio necesaria. Cuando hayas estudiado la geometría analítica o geometría en coordenadas, todos estos problemas resultan triviales, pues se puede aplicar un método casi automático que te da la solución sin necesidad de pensar nada, con sólo operar de manera rutinaria con una determinada técnica. Pero para ello necesitas conocer geometría en coordenadas, es decir, necesitas llegar a tercero o cuarto

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año. Históricamente, necesitas haber llegado al siglo XVII y conocer la obra de Descartes y Fermat, creadores de la geometría en coordenadas. Los métodos que aquí has utilizado eran ya conocidos de los griegos cinco o seis siglos antes de nuestra era.

Para el cálculo de las áreas de los polígonos, el método de contar los cuadraditos que cubren cuando se dibujan sobre un cuadriculado, es muy poco exacto. Exige, además, disponer de papel milimetrado o cuadricu-lado fino, y dibujar y contar con precisión.

Cuando los vértices del polígono cuya área se desea coinciden con vértices del cuadriculado, lo mejor es descom-ponerlo en figuras simples (triángulos, rectángulos, trapecios) cuya área se sepa calcular, y luego sumar las áreas. Supon-gamos, por ejemplo, que se desea calcular el área del polígono de la fig. 3. Se pue-de descomponer de varias maneras y pro-poner a cada alumno que elija la suya, la que le parezca más cómoda y fácil. Una de estas descomposiciones es la de la fig. 4, otra es la de la fig. 5.

En la fig. 4 se ha dividido el polígono en 8 partes, cada una de las cuales es

un triángulo, un rectángulo o un trapecio, cuyas bases y alturas se conocen. Por tanto, el área se calcula fácilmente y resulta ser 22,5 cm2. La unidad de área es el área de cada cuadrado del papel cuadriculado. Si no son centímetros, habrá que calcular previamente el área de cada cuadrado y pasar a cm2.

En la fig. 5 la descomposición tiene solamente 7 partes. Calcula las áreas y comprueba que la suma es la misma 22,5 de antes.

Se podrían ver distintas descomposiciones del mismo polígono por los diversos alumnos, y ver quién consigue descomponerlo en el mínimo número de partes cuya área sea fácilmente calculable. Naturalmente, el área total debe resultar siempre la misma.

La fórmula de Pick

Si se sabe un poco más de matemática, la misma área se puede obtener aplicando la llamada fórmula de Pick. Ella dice que si el número

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de vértices del cuadriculado que son inte-riores al polígono es v. y el número de vértices del cuadriculado que pertenecen al contorno del polígono es v , entonces el área del polígono es

área polígono = v +

Por ejemplo, en el caso de la fig. 3 es v. = 13, vc = 21 y por tanto el área del po-lígono resulta 22,5 , tal como ya habías calculado. Recuerda que la unidad de área es el área de cada cuadrado del cuadricu-lado.

La fórmula de Pick vale únicamente para polígonos cuyos vértices sean tam-bién vértices del cuadriculado. Por tanto, no se puede aplicar a los polígonos de las fig. 1 ó 2, puesto que siendo BE = 4,5 , cuando la unidad es el lado del cuadricu-lado, el punto E no pertenece al mismo. En cambio, si se elige un cuadriculado de cuadrados cuyos lados midan medio cen-tímetro, alguna de las áreas ya calculadas se pueden comprobar por la fórmula de Pick. Ensaya de hacerlo.

Te proponemos comprobar la fórmula de Pick en algunos casos que tú mismo inventes, por ejemplo, para los polígonos de las figuras parciales a), b) y c) de la figura 6. Rg.

Aplica la fórmula de Pick y luego, para comprobar el resultado, cuenta los cuadraditos o descompone el polígono en otros más simples para ver como los resultados coinciden.

Para la figura a) es

v. = 9, v = 14, área = 15. 1 ' c

Para la figura b) es

v. = 6, v =21, área =15,5. 1 ' c

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Para la figura c es

v. = 2, v = 16, área = 9. 1 ' c '

La moraleja de todo esto es que a medida que se sabe más matemática se pueden resolver los problemas de manera más simple y cómoda. Mucha gente cree que a los matemáticos les gusta mucho hacer operaciones largas y complicadas (multiplica-ciones, raíces, fracciones), cuando en realidad lo único que les interesa es resolver proble-mas, y los cálculos los aceptan como una necesidad que pro-curan evitar. Por esto, se las inge-nian para encontrar métodos que permitan resolver los problemas con un mínimo de cálculo. Pre-cisamente para no tener que cal-cular, inventaron las calculado-ras y computadoras, que lo hacen por ellos.

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Propuesta Didáctica

por Lucrecia Delia Iglesias

En lo que sigue intentaremos establecer una vez más una secuencia de actividades que comprometan distintas formas de pensamiento sobre una misma línea de contenidos.

La primer actividad consiste en realizar una medida indirecta de distancias o de alturas inaccesibles.

Para que resulte más clara la acción sobre el campo, se puede plantear la situación en el plano gráfico:

PROBLEMA

En el dibujo, A y B son dos puntos situados en distintas orillas de un río.

En A hay un observador que ve en B un poste, un árbol o un jalón colocado a propósi-to. ¿Crees posible medir la distancia entre A y B, triangu-lando sobre el terreno y repre-sentando el resultado en es-cala? Vamos a intentarlo, contando con los siguientes recursos:

• una cinta de agrimensor que permite al observador medir distancias entre puntos de la orilla en que él se encuentra;

• un aparato de construcción sencilla que le sirve para medir ángulos entre dos visuales dirigidas a distintos puntos (le llamaremos gonió-metro).

Considera un punto C, sobre la orillla de A; dibuj a el triángulo AB c. Si el observador mide la distancia ACy los ángulos c ABy a c i } ¿pue-de dibujar el triángulo ABC , en una escala fijada por él mismo? Si lo hace ¿cómo llega a conocer la distancia real AB ?

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Nota: La construcción del goniómetro puede encararse teniendo: • un transportador de pizarrón; • dos tubitos llenos de agua de modo que contengan una burbuja de aire

y que tengan marcada su circunferencia media; • alfileres de cabecita; • una madera plana que sirva de base.

Basta fijar los dos tubitos a la base para que la ubicación de cada burbuja en la mitad de la columna de agua nos indique que el plano de la base es horizontal. (¿Por qué?). Pegando el transportador a la base, con un alfiler de punta en el centro y otros sobre el borde, se fija la visión del observador en la dirección de un punto: se trata de mirar el punto desde detrás del alfiler del centro y mover el otro sobre la circunferencia del transportador hasta que se los vea exactamente superpuestos (man-teniendo fija la dirección de la mirada).

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Sin mover el dispositivo, y dirigiendo la mirada hacia otro punto, (por ejemplo el C) se puede obtener la dirección de la nueva visual que quedará indicada con otro alfiler. De este modo se tiene la posibilidad de conocer el ángulo que forman las dos visuales.

En B y C conviene plantar jalones suficientemente altos y delgados co-mo para facilitar la alineación visual con los dos alfileres del goniómetro.

TRABAJO DE CAMPO

Organizar equipos de alumnos teniendo en cuenta las acciones que hay que realizar para obtener los datos empíricos que hacen falta para resolver el PROBLEMA: plantar y sostener jalones; sostener o mante-ner apoyado el goniómetro controlando su horizontalidad, alinear los alfileres, hacer lecturas sobre el transportador y registrar los resultados. Repetir las acciones con rotación de los miembros del equipo por dis-tintas funciones para confrontar y discutir posibles diferencias en los registros.

Finalmente, decidir con qué acotación del error pueden considerarse los datos obtenidos en estas operaciones.

Con los datos relevados sobre el terreno los alumnos pueden realizar la representación en escala y sobre papel milimetrado, del triángulo a b c • De la lectura de la distancia AB sobre el dibujo, pueden calcular

la distancia real. Todo lo expuesto compromete procesos reflexivos en el nivel del pen-

samiento operatorio concreto. El lenguaje simbólico significa objetos y acciones reales. Hay un juego de marcos entre el problema físico y el pro-blema gráfico, que proporciona elementos intuitivos al razonamiento; posibles argumentaciones en favor o en contra de hipótesis contrapues-tas, se pueden convalidar o refutar con comprobaciones empíricas. Hay retroalimentación inmediata.

La forma más frecuente en que aparece el problema de mediciones indirectas en la escuela secundaria es, por lo general, en el ámbito de la trigonometría.

Analicemos el desarrollo que requiere la resolución del PROBLEMA por aplicación de recursos trigonométricos.

Una vez relevados los datos de la realidad, cada alumno puede dibujar una figura de análisis (en lugar del gráfico cd zsrjút?/ cxfasígn&r ^skssí'cíts'conocidos e incógnitas.

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A Oí.

Datos: a , y y b. Incógnita: c

En la resolución un alumno debe hallar disponibles como instrumentos y reconocer con un criterio de evi-dencia razonable, un conjunto de pro-piedades de los triángulos. Sus posi-bilidades se circunscriben a la movili-zación de una red conceptual en la que

la comprensión del problema depende de ubicar los esquemas asimila-dores adecuados y la resolución, de que los esquemas sean suficiente-mente flexibles como para producir la acomodación inherente. Estamos hablando de un "cálculo relacional" -diría G. Vergneaud- esto es, de comprometer estructuras internas cuya construcción previa debe estar garantizada no por la verbalización de enunciados sino por la disponibili-dad como instrumento y un grado de evidencia satisfactorio.

Por eso es importante unapropuesta constructiva de cada una de las no-ciones de la trigonometría. Por ejemplo, para el Teorema de los senos, su-gerimos:

FICHA DE TRABAJO

1. En cada triángulo explorar el orden de los lados según su longitud, y el orden de los ángulos según su amplitud. ¿Cómo está ubicado el ma-yor de los lados con relación al mayor de los ángulos? ¿y el menor de los lados con relación al menor de los ángulos?

2. Una expresión cuantitativa de estos hechos es la propiedad:

A sen A

A senB

A senC

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Una manera de demostrarla consiste en elegir uno de los triángulos, preferentemente un escaleno, y trazar una altura: digamos la que co-rresponde al lado c. Hacerlo y llamarla h.

^ A A

¿Que razones entre segmentos definen sen A y sen B? Justificar la respuesta: 3. A partir de las razones planteadas en 2, se puede eliminar h y

obtener una relación que involucra: a, sen A, b, sen B. ¿Es la que es-tablece la propiedad que queremos demostrar? Si no, opera con ella hasta obtenerla. Justifica cada paso.

4. ¿Es necesario repetir la demostración para hallar la relación que A A A A

involucra: a, sen A, c y sen C; también la que involucra: b, sen B, c y sen C? Si es así, repítela. Si no, justifica por qué no.

5. ¿Qué tipos de problemas se pueden resolver conociendo estas re-laciones? Inventa uno. Intercambia con un compañero los problemas que han inventado. Resuelve y confronta tu solución con la del autor.

Si los alumnos han logrado la construcción del teorema de los senos, una aplicación sencilla sobre la figura de análisis da lugar a la solución del problema. ¿Cómo puede lograrse ahora la validación de los resulta-dos? ¿Qué tipo de retroalimentación puede darse? ¿En qué forma la situación influye sobre un alumno sancionando positiva o negativamente los efectos de sus acciones? Sólo por una validación fundada en razones que incluirán algunos elementos intuitivos como una estimación empírica de la distancia buscada, y otros elementos formales como la formulación del teorema empleado. Pero en este último caso, conviene tener en cuenta las prescripciones de Guy Brousseau: "Enunciar un teorema no es comunicar una información, es siempre afirmar que lo que se dice es verdadero en cierto sistema, es declararse dispuesto a sostener esta opinión dando una demostración."

"En matemática el "por qué" no puede ser aprendido solamente por referencia a la autoridad del adulto. La verdad no puede ser la conformi-dad a la regla, a la convención social como "lo bueno" o "el bien"; exige una adhesión, una convicción personal, una interiorización que en esencia no puede recibirse del prójimo sin perder justamente su valor".

Claro que el uso de un pensamiento lógico como el que se necesita para este tipo de reflexiones tanto como la adopción de la actitud de prueba que debe acompañarlo, no son innatos: son el resultado de una construcción interna que requiere maduración, experiencia e interacción social. Se desarrolla cuando los alumnos elaboran hipótesis, las someten a prueba, las confrontan con las de otros, proponen argumentos para aceptar o

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rechazar las ajenas. Y se da sólo cuando el proceso evolutivo individual lo permite.

Por estas mismas razones hay planteos de situaciones puramente formales, que serán accesibles a los estudiantes que dispongan de las estructuras de pensamiento adecuadas. Por ejemplo:

A

/ \

/ Y

Si los lados de un triángulo ABC se cortan por una transversal XYZ, en-tonces:

B /- \ C

X B . Y C . Z A _ j \ x XC YA * ZB

La demostración es sencilla aplicando el teorema de los senos.

Noticias

1- Congreso Internacional sobre Educación Matemática (ICME 7)

El Comité Canadiense de Educación Matemática ha enviado el primer anuncio del ICME 7 el cual tendrá lugar en la Universidad de Laral, Québec, Canadá, del 16 al 23 de agosto de 1992.

El programa del Congreso cubre las principales áreas de la educación matemática en todos los niveles en un esfuerzo por satisfacer las distintas necesidades e intereses de los 3000-3500 participantes esperados. Las actividades incluirán grupos de trabajo, comunicaciones breves, posters, presentación de proyectos, etc.

Se ha planificado además, una exhibición de libros de texto, software y otro tipo de materiales. Los grupos de estudio afiliados a la Comisión Internacional de Educación Matemática contribuirán también al pro-grama del Congreso.

Se espera de cada participante su incorporación a algún grupo de trabajo, existiendo entre otros, los siguientes:

- Formación de los conceptos matemáticos elementales - Fallas en la conceptualización e inconsistencias en el razonamiento

de los estudiantes - Dificultades de los estudiantes en el cálculo

- Teorías en la enseñanza de la matemática - Probabilidades y estadística para el futuro ciudadano - El lugar del álgebra en la educación secundaria y terciaria - El rol de la geometría en la educación general - El impacto de las calculadoras en la enseñanza elemental - Las matemáticas en la educación a distancia - La imagen pública de las matemáticas y los matemáticos

El segundo anuncio del congreso se enviará a los interesados que lo soliciten en 1991 y contendrá información detallada sobre el programa de actividades y los formularios de inscripción.

Este segundo anuncio puede solicitarse a: Congrés ICME-7 Université Laral Québec, QC Canadá G1K7P4 mediante el envío del siguiente formulario

I wish to receive the second announcement of ICME-7. (Please print your ñame and address IN BLOCK LETTERS as they should appear on the official Congress records.)

ÑAME FIRST NAME(S)

TITLE: • Mr. • Ms. • Prof. • Dr. • Other:

ADDRESS

CITY PROVINCE/STATE

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TELEX ELECTRONIC MAIL @

I expect to particípate in Working Group no. CZ1 (indícate one choice only).

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