ELEMENTOS DE MATEMATICA Publicación didáctico científica

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Secretario de Edición: Prof. Miguel García Videla

Colaboradores permanentes: Dr. Luis Santaló Dr. César Trejo

Prof. Jorge Bosch Lic. Nicolás Patetta

Lic. Lucrecia Iglesias Prof. María E.S. de Hernández

Prof. Elena García Prof. Ing. Juan José Rodríguez

Con el auspicio del Comité Argentino de Educación Matemática

Adherido al Comité Interamericano homónimo

Suscripción anual: Argentina: 25 A

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Ejemplar suelto: 8 A Ejemplar atrasado: 9 A

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ELEMENTOS DE MATEMATICA

PUBLICACION DIDACTICO CIENTIFICA d e la UNIVERSIDAD CAECE

VOLUMEKIII NUMERO XI Marzo 1 9 8 9

A ^ o ^ A S U M A R I O f l i \ í \ PfQ ) I

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Editorial 3

Sobre la conceptuación matemática

César A. Trejo 5

Noticias 14

Los problemas matemáticos en el aula Prof. María Esther S. de Hernández 15

Factorización en los enteros. El método de Draim Dr. Natalio H. Guersenzvaig 19

Propuesta didáctica Lucrecia Delia Iglesias 25

Transformaciones del plano en sí mismo Prof. Olga L. Lescano 31

La computación como recurso prof. Elena García 41

Bibliografía 48

ISSN 0326-8888

Editorial

Iniciamos la presentación de este número, el XI del volumen III de nuestra revista Elementos de Matemática, solicitando disculpas por un inconveniente surgido en el número anterior, al incluir el trabajo del Dr. Natalio H. GUERSENZVAIG titulado "Factorización de los Enteros. El método de Draim". Por un malentendido entre el cuerpo de correctores y la empresa impresora se editó en el número X la primera revisión de imprenta del mencionado trabajo sin haberse concretado la corrección de errores que, en número considerable, se habían detectado. Resultó de ello la casi imposibilidad de entender los planteos del autor. Como estimamos que la publicación de una "fe de erratas" significaría la realización de un gran esfuerzo por parte del lector interesado, hemos decidido publicar nuevamente, de manera completa y revisado por el autor, dicho artículo.

Este número contiene como ya es normal, las secciones fijas a cargo de los respectivos docentes y dos trabajos originales: Sobre la concep-tuación matemática, del ya permanente colaborador de la Revista, Dr. César A. Trejo, y Resumen de clase, de la Licenciada Olga Lescano. El primero, es de alguna manera una continuación del trabajo del mismo autor "El lenguaje matemático"publicado en el número IX, mientras que el segundo es realmente lo que su título enuncia, un resumen de clase desarrollada, experimentada y evaluada.

Finalmente, formalizamos la invitación a todos los docentes de nues-tra especialidad, anticipada en el N- X, a participar en la Jornadas de Matemática organizadas por el Comité Argentino de Educación Ma-temática, con el auspicio del Ministerio de Cultura y Educación de la Nación, que se desarrollarán en la Universidad CAECE, los días 20,21, y 22 de abril próximo. Teniendo en cuenta que toda posible demora en la distribución de la Revista dificultaría la información a tiempo, todos los suscriptores de la misma recibirán el programa detallado de tales Jornadas por cuerda separada.

3

Sobre la conceptuación matemática

César A. Trejo

1. Introducción

1.1 En el desarrollo de unateoríadeductiva se presentan ciertas proposiciones como ésta:

Diremos que los puntos AVA2,..., An están a l ineados si existe una recta a la cual pertenecen todos ellos.

Estas proposiciones no se demuestran ni tendría sentido inten-tarlo, pues no expresan hechos ni contienen nada a demostrar: simplemente asignan un significado a una palabra, expresión o símbolo nuevos.

Tales enunciados se llaman definiciones, e importa mucho (también en la enseñanza) distinguirlos de los demás.

1.2 La introducción de conceptos matemáticos mediante defini-ciones se hace siguiendo distintos tipos de conceptuación. En efecto, además de las definiciones como la de 1.1, que en 2.1 llamaremos nominales explícitas, existen otras llamadas axiomá-ticas o implícitas (2.2), por abstracción (2.3) y por recurrencia (2.4).

1.3 Muchas veces un concepto dado se puede introducir de vahas maneras igualmente válidas desde un punto de vista puramente lógico pero no igualmente valiosas en el aspecto metodológico. Porejemplo, una vez definida la distancia entre dos puntos, la distancia de un punto P a una recta r se puede definir de estas dos maneras:

Def in ic ión A. Se llama d is tancia de un punto P a una recta r a la distancia PH entre P y el pie H de la perpendicular a r por P.

#p

/ /

/

/ / /

/ ' \ \ \ \

Def in ic ión B. Se llama d is tancia de un punto P a una recta r a la menor de las d is tanc ias de P aun punto de r.

En virtud de un conocido teorema de geometría elemental sobre perpendiculares y oblicuas, estas dos definiciones son equivalen-tes desde el punto de vista lógico y conducen al mismo resultado; pero veremos en 3.1 que la segunda es mucho más valiosa que la primera.

1.4 Lo anticipado en 1.3 forma parte del propósito fundamental de este artículo, que será desarrollado en la parte 3 bajo el título genérico de "Pautas de conceptuación". Pero antes veremos en la parte 2 lo esencial sobre los tipos de conceptuación señalados en 1.2.

1.5 En una primera lectura de este artículo pueden omitirse las "Notas". Algunas de ellas (v. gr. las de 3.1) están redactadas en forma muy sucinta; también algunas notas (v. gr. la de 3.2.2) suponen conocimientos previos más avanzados.

2. Tipos de Conceptuación

2.1 Definición nominal 2.1.1 Una definición de este tipo, también llamada definición

explícita, es una convención lingüística mediante la cual se designa por una palabra nueva o un símbolo nuevo, unacombina-ción lógica de conceptos ya conocidos. Por ejemplo, la definición de 1.1 asigna un significado a la locución "están alineados", suponiendo conocidos los significados de "punto", "recta" y "per-tenecer".

2.1.2 Muchas definiciones necesitan un teorema que las legiti-me; por ejemplo la definición siguiente:

Se llama bar icentro de un triangulo al punto de intersección de sus medianas, sólo tiene sentido sobre la base del teorema:

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto. 2.1.3 Las definiciones de un conjunto por comprensión y por

extensión, son definiciones nominales. También lo es la definición siguiente:

Se llama esfera de cent ro C y radio 2 cm al conjunto de los puntos que distan 2 cm del punto C, que equivale a ésta:

Se llama esfera de centro C y radio 2 cm al conjunto { X; X es un punto y dista 2 cm del punto C}.

2.1.4 Las definiciones nominales corresponden generalmente al tipo de las llamadas por género próximo y última diferencia o diferencia específica.En el ejemplo siguiente:

Llamaremos t r iángulo rectángulo a todo triángulo que tiene un ángulo recto.

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el género próximo es "triángulo", que se supone definido antes, y dentro de él la diferencia especifica es el cumplimiento de la condición "tiene un ángulo recto".

2.1.5 Toda definición nominal es eliminable sin más que reem-plazar la palabra o símbolo nuevo por su equivalente logico.

2.2 Definición axiomática 2.2.1 Los teoremas de una teoría matemática enuncian propie-

dades de ciertos objetos o entes ideales, algunos de los cuales podrán definirse mediante otros, pero es forzoso partir de ciertos conceptos primitivos u objetos primitivos no suceptibles de defini-ción explícita, y designados por ciertas palabras o signos primiti-vos, como "proposición", "punto", "e " (pertenencia), etcétera.

Los conceptos primitivos y las proposiciones primitivas se reúnen en un sistema de axiomas que definen el sistema deduc-tivo. En particular, los conceptos primitivos quedan caracteriza-dos, en todo cuanto interesa a la teoría, por el sistema de axiomas que satisfacen. Pues bien, esta caracterización de los conceptos se dice que constituye una definición implícita de ellos, prescin-diendo de todo significado material de los mismos. Así, la axiomá-t icade Peano constituye en su conjunto una definición implícitade "número natural", "cero" y "siguiente". Tal forma de definición, objetada como tal por algunos lógicos, es considerada por G. Peano (1858-1932) y B. Russell (1872-1961).

2.2.2 Cabe comparar este tipo de definición con la de las piezas del ajedrez. Cada pieza se define (en todo cuanto interesa a ese juego) por los movimientos que se le asignan, siendo en cambio accesorios su nombre, forma de materializarla, etcétera. Nótese que no toda pieza puede definirse independientemente de las demás, pues sus movimientos pueden depender de ellas (por ejemplo, "enroque"). Esto tiene más vigencia en la definición axiomática; solo el conjunto de todos los axiomas define los conceptos primitivos, y los define a todos a la vez.

2.3 Definición por abstracción 2.3.1 Este tipo de definición se encuentra en la vida diaria a cada

instante. Quien ve unafotografíay una ampliación suede decirque se trata de una sola fotografía, por suponer sin duda que se ha obtenido un solo negativo. Las dos figuras tienen de común "algo a lo que llegamos haciendo abstracción de tamaño, posición, color, etcétera", y que llamamos forma. La frase entre comillas no es un modelo de precisión, pero veamos en apretada síntesis, Cómo se formaliza todo esto mediante una relación de equivalen-cia: /a semejanza de figuras.

(i) Recordemos que una relación R en un conjunto A se llama relación de equivalencia si es

reflexiva: x e A x R x, simétrica: x R y = > y R x , y transitiva: ( x R y e y R z ) = ¿ x R z ,

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y que una relación de equivalencia R en A determina una parti-c ión del conjunto A en partes llamadas c lases de equivalen-cia: laclase de equivalencia Ca del elemento a e A es el conjunto de los elementos x de A que están en la relación R con a:

C a = { x ; x R a } , (1) o sea

x e C a <=> x R a. (1') Recordemos también que las clases de equivalencia son dos a

dos disjuntas, o sea, indicando con 0 el conjunto vacío,

C a ^ b ^ C a n C b = 0 , (2) y que

C a = C b « a R b . (3) (¡i) Por ser la semejanza una relación de equivalencia, divide o

clasifica las figuras en clases de equivalencia formadas por figuras semejantes entre sí. Esto permite dar una definición de forma, por abstracción, reduciéndola a una definición explícita:

Forma de una figura es su clase de equivalencia respecto de la semejanza.

Entonces: Dos figuras tienen la misma forma si pertenecen a la misma clase de equivalencia, es decir, si son semejantes.

2.3.2 El paralelismo de rectas se define en sentido amplio conviniendo en que dos rectas iguales son paralelas:

a = b => a (| b, (4) o sea, toda recta es paralela a ella misma.

Veremos en 3.2.1 que la importancia del paralelismo (amplio) radica en gran medida en que es una relación de equivalencia. En base a ella se formaliza el concepto de "dirección" de una recta:

Se llama d i rección Da de una recta a a su clase de equivalencia Ca respecto del paralelismo:

D a = C a = {x;x||a}. (5) Entonces: Dos rectas a,b tienen la misma dirección si pertene-

cen a la misma clase de equivalencia, es decir, si son paralelas (a||b).

2.3.3 Consideremos la relación de perpendicularidad de rectas: a l b. Al reemplazar a y b por otras rectas a' y b' respectivamente paralelas a ellas, las nuevas rectas siguen siendo perpendicula-res, es decir:

(a 1 b, á ||a y b'|¡b) => á I b ' . (6)

Esta implicación se expresa diciendo que la perpendicularidad es compat ib le con la relación de paralelismo.

Gracias a la compatibilidad (6) tiene sentido la definición siguiente:

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Definición. Dadas dos di- f I I I |b , lb" recdones D1 y D diremos que D1 es perpendicular a D?si ¿ ^ una recta cualquiera de t)1 D es perpendicular a una rec- 1

ta cualquiera de D2. Vemos aquí como, para n

definir una relación (per- - — — pendicularidad) entre cía- ^ ses de equivalencia (direc- v ciones), se elige en cada D2 clase un elemento o re-presentante. La compatibilidad (6) puede interpretarse como invariancia respecto de la manera de elegir los representantes, y gracias a ella la perpendicularidad entre elementos (rectas) indu-ce una relación entre clases, que seguiremos llamando "perpen-dicularidad". Notas

(i) Hemos obtenido, a partirde una relación (perpendicularidad) en el conjunto A de las rectas de un plano, compatible o invariante respecto de una relación de equivalencia R (el paralelismo), una relación entre clases (la perpendicularidad de direcciones). El conjunto de estas ciases se llama conjunto cociente de A respecto de la equivalencia R, y se indica por A/R.

Esta manera de definir, a partir de una relación en un conjunto A otra relación en un conjunto cociente A/R, se llama paso al con jun to cociente. De la perpendicularidad de rectas se obtiene la perpendicularidad de direcciones por paso al conjunto cociente con respecto al paralelismo.

(¡i) La noción de representante no es una noción canónica, pero en ocasiones es útil dar un criterio para elegir un representante (entonces llamado representante canónico) de cada clase de equivalencia. Por ejemplo, en cada clase de fracciones equivalen-tes la fracción irreducible de denominador positivo, y en geometría en coordenadas para cada dirección la recta de ella que contiene al origen de coordenadas.

(iii) Los matemáticos intuicionistas, como H. Weyl, incluyen las definiciones por abstracción en una clase más amplia de "defini-ciones constructivas", señalando que, en último análisis, no im-porta tanto explicitar qué es un objeto matemático (por ejemplo una circunferencia o el punto impropio de una recta) como señalar cómo se lo determina. Dice Leibniz (53 carta a S. Clarke): "he procedido aquí como Euclides, quien al no lograr definir en forma absoluta el concepto de 'razón' geométrica, convino en qué debía entenderse por razones iguales". 2.4 Definiciones por recurrencia o inducción

En esta forma de conceptuación se introduce un concepto en el que interviene un número natural arbirario, y se construye por inducción el ente E(n) que se define. Por tanto es en realidad un

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método de razonamiento constructivo que consiste en definir el objeto E(n) para n=0, es decir, el objeto E(0), y en indicar un procedimiento para construir E(n+1) a partir de E(n), cualquiera que sea el número natural n. Ejemplo:

En lugar de definir la potencia de exponente natural an (a * 0) como producto de n factores iguales a a (lo cual no aclararía el sig-nificado de a°), podemos definir an para exponente natural por re-currencia así:

o sea, llamaremos a° al número 1, y (supuesto ya definido an) llamaremos an+1 al producto de anpor a.

En cada caso el procedimiento indicado debe analizarse sobre todo con miras a la existencia y unicidad de E(n) y por eso, en general, una definición por recurrencia se basa en un teorema de existencia y unicidad, aveces sobreentendido pero en ocasiones nada trivial.

Es preciso distinguir lo que es propiamente definición, de la demostración que la justifica.

3. Pautas de Conceptuación

3.1 Alcance o proyección general En la geometría elemental suele definirse la distancia de un

punto a u n a recta, o de un punto a un plano, o entre rectas ya sea paralelas disjuntas ya sea no coplanares, o entre planos paralelos, o entre recta y plano paralelos, mediante las longitudes de ciertos segmentos de perpendiculares como hemos hecho para el primer caso en la definición A de 1.3. Esto es posible pero muy inconve-niente pues significa dar definiciones suigeneris válidas sólo para algunos conjuntos especiales (rectas y planos) en lugar de encua-drarlas en definiciones generales, válidas para conjuntos cuales-quiera.

Por eso dijimos en 1.3 que la definición B es mucho más valiosa que la A: es generalizable en forma sencilla y natural para el caso en que el conjunto r no sea una recta sino otro conjunto cualquiera, por ejemplo una circunferencia c. Sin más que cambiar "recta r" por "circunferencia c" en la definición B

a? = 1 , an+1= a n . a,

Nota

de 1.3 tendremos: Se llama d i s tanc ia de un punto

P a una circunferencia c a la me- d ñor de las d is tanc ias de P a un punto """ --de c.

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Notas Para ubicar estas consideraciones intuitivas en un marco de

mayor amplitud y precisión recordemos algunos conceptos muy generales en apretada síntesis.

(i) Una d is tanc ia en un conjunto E es una función real d de dos variables definida en E, es decir, una aplicación

d: E x E - > R (7) del producto cartesiano E x E en R (números reales) que cumple estas condiciones:

D r Carácter definido positivo: d(x,y) > 0 y d(x,y) = 0 <=s> x = y; D2. Simetría:d(y,x) = d(x,y); D3. Desigualdad triangular: d(x,z) <d(x,y) + d(y,z). Un conjunto en el cual se ha definido una distancia se llama

espacio métrico . Tales espacios fueron introducidos por el ma-temático francés M. Fréchet hacia comienzos de siglo, y sus propiedades métricas y topológicas se han estudiado extensa-mente.

(¡i) Distancia entre dos conjuntos Sean X e Y dos conjuntos no vacíos de un espacio métrico E con

la distancia (7). Se l l amad is tanc iadeXaY,yse ind icapord (X ,Y) , al extremo inferíoro ínfimo de las distancias de un punto x de X a un punto y de Y:

d(X, Y) = inf d(x,y) para x e X, y e Y. (8) Es inmediato verificar que:

(a) d(X,Y) > 0; (b) d(X,Y) > 0 = > X n Y = 0 . (c) d(X,Y) = d(Y,X).

Notemos que no vale la implicación contraria a la de (b). Es decir:

X n Y = 0 # d(X,Y) > 0. (9) Por ejemplo en R (números reales) con la distancia d dada por

d(x,y) = [x—y|, es cero la distancia entre los conjuntos d is jun tos . intervalo abierto (o,1) = {x e R; 0 < x < 1} y {1} (10)

Este ejemplo muestra también que la distancia entre dos con-juntos puede no seralcanzablecomo distancia de un punto de uno a un punto del otro.

(iii) Distancia de un punto a un conjunto La distancia de un conjunto unitario X = {x} a un conjunto Y se

llama también distancia del punto x al conjunto Y, y se indica por d(x,Y). O sea, por definición

d (x, Y) = d({x}, Y), (11)

y en virtud de (8) este número es el ínfimo de las distancias de x a un punto del conjunto Y:

11

d(xY) = inf d(x,y) para y e Y. (12) El ejemplo de (10) muestra que la distancia de un punto a un

conjunto puede ser 0 aunque el punto no pertenezca al conjunto: 1 ^ (0,1) pero d(1, (0,1)) = 0,

y también que la distancia del punto a un conjunto puede no ser alcanzable como distancia del punto a un punto del conjunto. Ninguna de estas cosas puede ocurrir si el conjunto es cerrado y por esta razón en la geometría elemental conviene considerar conjuntos cerrados, por ejemplo semiplanos, polígonos, círculos, ..., incluidos sus contornos.

3.2 Inserción Es importante elegir los conceptos sobre los cuales desarrollar

una disciplina matemática procurando insertarlos o enraizarlosen estructuras generales fecundas y de amplio alcance. Por breve-dad nos limitaremos a la inserción del paralelismo entre las relaciones básicas de la geometría.

3.2.1. En geometría plana se definía antiguamente el paralelis-mo de rectas estableciendo que dos rectas a, b se llaman parale-las si no tienen ningún punto común. Se define así una relación que llamaremos de

paralelismo disjunto: a |¡ b <=> a n b = 0 . (13) El paralelismo disjunto no es una relación de equivalencia pues

no es ni reflexivo ni transitivo. Por eso conviene sustituirlo, como se hace hoy, por el paralelismo en sentido amplio, en el cual toda recta del plano es paralela a ella misma (es decir, dos rectas iguales son paralelas: a = b => a || b).

O sea, se define en el plano el paralelismo en sentido amplio, llamado simplemente paralelismo, por la equivalencia

a || b <=> (a = b o a n b = 0) . (14) Es fácil verificar que el paralelismo en sentido amplio es una

relación de equivalencia, y a ello se debe que sea incomparable-mente más importante que el paralelismo disjunto.

Como vimos en 2.3, en cada relación de equivalencia se puede basar una definición por abstracción, y el paralelismo de rectas permite formalizar el concepto de dirección de una recta.

3.2.2. Análogas consideraciones cabe hacer para el paralelis-mo de rectas en el espacio y para el paralelismo de planos.

En cuanto a los otros paralelismos de la geometría elemental, a saber:

paralelismo de recta a plano (15) y su relación inversa

paralelismo de plano a recta, (16) no son relaciones de equivalencia (pues no son relaciones en un conjunto sino de un conjunto en otro), pero también conviene

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definirlos en sentido amplio, abarcando el caso en que la recta está incluida en el plano. Pero esta vez por otra razón igualmente importante: procediendo así, en una etapa más avanzada se pueden unificar los cinco paralelismos de la geometría elemental en uno solo muy general: el paralelismo de variedades lineales.

Nota El lector que conozca la teoría de variedades lineales recordará

que dos variedades lineales V1 y V2 se llaman paralelas si de sus espacios vectoriales asociados E1 y E2 uno (al menos) de ellos está incluido en el o t ro (E 1 cE 2 o E 2 cE 1 ) ; en particular si son iguales (es decir, el mismo espacio vectorial: E1 = E2). Y eligiendo convenientemente las variedades lineales puede ubicarse aquí cada uno de los paralelismos de la geometría elemental.

3.3. Constructividad Para dar una ¡dea de la importancia de esta pauta de concep-

tuación retomaremos un ejemplo que ya hemos considerado en esta Revista (N9 4, pág. 10): la semejanza. El concepto de semejanza es uno de los de tratamiento más infortunado en enfoques tradicionales. Basta observar que se comienza por definir la semejanza sólo para triángulos, y luego, por separado, para polígonos en general, pero nunca se llega a una definición válida para figuras cualesquiera. Sin embargo, todos tenemos una noción intuitiva muy clara acerca de la semejanza de figuras cualesquiera y no dudamos de que una fotografía y su ampliación son figuras semejantes.

La estrechez del enfoque ofrece un marcado contraste con el desarrollo de medios instrumentales de fundamento muy sencillo para producir figuras semejantes a otras. Pensemos en el pantó-grafo para re-dibujar croquis o planos en escalas dadas, en dispositivos ópticos para ampliar fotografías, proyectar diapositi-vas o películas, etc.

Mientras instrumentos basados en principios geométricos muy simples construyen figuras semejantes, permanece inmutable una enseñanza ajena a recursos operativos o constructivos sis-temáticos, y aquí hallamos la raíz de su incoherencia. El problema es superarla eliminando esta raíz, y las consideraciones anterio-res nos sugieren un camino natural: si los instrumentos constru-yen con eficacia, ¿porqué no imitarlos?

¿En qué se basan todos estos instrumentos?, ¿qué hacemos siempre al usarlos, por ejemplo al dibujar con un pantógrafo o al proyectar una transparencia? En todos los casos aplicamos una homotecia que es una transformación puntual.

Ahora bien, cuando miramos una fotografía y su ampliación seguimos diciendo que son figuras semejantes aunque ya no sean homotéticas; pero se puede lograr que lo sean moviendo una de ellas. Esto nos da la pauta para introducir de una sola vez una definición general de la semejanza:

13

Llamaremos semejanza a toda transformación puntual que sea una congruencia, o una homotecia, o una composición de con-gruencias y homotecias.

Además de ser sencilla y completamente general, esta defini-ción es constructiva: no se limita a decir qué es la semejanza sino que indica cómo se la construye. Por tanto elimina toda engorrosa cuestión de existencia que surge en el método clásico tan pronto como se intenta superar un enfoque superficial; pensemos por ejemplo que en la geometría en una esfera no existe la semejan-za salvo si se reduce a la congruencia; dos triángulos esféricos semejantes, por ser isogonales tienen el mismo exceso esférico y por tanto igual área.

Nota Nos hemos limitado a una exposición muy sucinta del concepto

de semejanza. Entrar en los aspectos sólo señalados aquí nos llevaría a definir formalmente otras transformaciones puntuales como la homoteciay la congruencia (en particular el movimiento), así como el proceso llamado paso a las partes o paso al conjunto de partes para pasar de una transformación puntual a una trans-formación de figuras. Hemos desarrollado estos temas en el artículo "Estructuración de la geometría mediante transformacio-nes", publicado en los números 2, 3 y 4 de esta Revista.

Noticias

COMISION INTERNACIONAL DE EDUCACION MATEMATICA

Los grupos de estudio reconocidos por la Comisión Internacional deEduca-ción Matemática han comunicado los nombres y direcciones de sus responsa-bles, que son los siguientes: - Grupo Internacional para laPsicología de la Educación Matemática.

Presidente: Profesor Perla Nesher, University of Haifa Mount Carmel, Haifa 31 999, Israel.

Secretario: Dr. Joop van Dormole, Institute for Teacher Education, University of Utrecht, P.B. 80 120, 3508 TC Utrecht, The Netherlands.

- Grupo internacional de estudio para la relación entre la historia y la pedagogía de la matemática. Conductor: Dr. Florence Fasanelli, National Science Foundation,

1800 G St. N/W, 6th Floor, Washington, D.C. 20550 - U.S.A.

Editor de publicaciones: Profesor Charles V. Jones, Departament of Editor

Mathematical Sciences, Ball State University, Muncie, Indiana 47306, U.S.A.

Continúa en pág. 18

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Los problemas matemáticos en el aula

Prof. María E. S. de Hernández

1. Resolver : V x + 1 + a / 2 x + 9 = 8

2. Hallar x tal que l o g ^ l o g ^ l o g ^ ] = 0

3. Un problema para aplicar ecuaciones de segundo grado Un grupo de ex-condiscípulos se reúne en un almuerzo por el

que paga A1.800. Si el grupo hubiese tenido tres personas menos y hubiese consumido por A 2.040, cada uno de los comensales habría tenido que pagar A 50 más. ¿Cuántas personas se reunieron?

4. Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 de raíces x1 y x 2 , hallar los coeficientes de la ecuación de segundo grado cuyas raíces son inversas de las de la dada.

5. Probar que si el número complejo x tiene módulo igual a 1, entonces el número x = 1 + z es imaginario puro.

(Una ayudita: expresar x en forma trigonométrica). 6. Se da la ecuación de segundo grado

(m + 1 )x2 - (m - 2)x - 1 = 0 12. ¿Para qué valores de m tendrá dos raíces cuya razón

sea igual a - 2 ? 2Q. Calcular esas raíces.

7. Un problema sobre ángulos en la circunferencia, y seme-janza.

Sea una circunferencia de centro O y radio r, BC uno de sus diámetros y el punto H situado entre B y C tal que MS. = J -

HC 2 12. Por H se traza la perpendicular a BC; sea A uno de sus

puntos de intersección con la circunferencia. La perpen-dicular trazada por H a AC corta a AC en I y a la tangente de la circunferencia por A, en el punto D. Calcular la razón —

IC

15

22. Comparar los triángulos IAB e IHC. 3Q. Calcularen función de r, la longitud de los segmentos AB

y AH.

Soluciones de problemas del número anterior

3. La diferencia entre los dos tiempos, de acuerdo con los datos del problema es de 2 horas. Si llamamos t1 al tiempo empleado por el esquiador al desplazarse a razón de 10 km por hora y t2 al empleado cuando la velocidad es de 15 km por hora, resulta

t a - * , " 2

y el tiempo t3 correspondiente a x km por hora es W i - 1

En todos los casos el camino es el mismo y de la fórmula e = vt resulta

e = 10 t , y e = 15(t1 - 2 ) o s e a 10t1 = 15 t1 - 3 0 ; 5t1 = 30 t1 = 6 De aquí se tiene que la distancia e, en kilómetros, es 60. Como debe verificarse que e = xt3, resulta

60 = x(t1 - 1) 60 = 5 x Luego x = 12 km/h

4. Uno cualquiera de los enteros positivos de dos cifras que se pide, se escribe

n = 10d + u con u y d menores que 10 A su vez debe ser n = kdu > 0 por lo cual u * 0 y d * 0 Resulta 10 d + u = kdu (1) igualdad de la que surge que d|u

o sea 3 m e IN tal que u = dm (m * 0) Reemplazando en (1): 10d + dm = kd2m con d 0. Simplifican-

do queda: 10 + m = kdm (2) y de aquí surge que m|10

o sea m es divisor no nulo de 10 y también menor que 10 pues

U Entonces m e {1 ,2 , 5 } Reemplazando en (2) a m por los sucesivos posibles valores

que puede tomar se obtendrán los que pueden tomar k y d, y reemplazando luego en (1), o bien considerando que d es divisor de u, los correspondientes de u.

Queda a cargo del lector hallar, entonces, los enteros pedidos. 5. Partiendo de que y son fracciones irreducibles con

b d b * d hay que probar que la suma de ambas fracciones no es un entero.

Por el absurdo: Supngamos que + 4 = m e Z. Entonces b d

16

a d u t , b c = m y ad + be = mbd (1) bd

De (1) resulta que d|ad + be y como d|cd, entonces d|bc pero d no es primo con c por hipótesis; en consecuencia d|b.

Análogamente, de (1) b|ad + bey como b|bc, entonces b|ad pero b no es primo con a, resulta b|d.

Si d|b y yb|d, entonces b = d lo cual contradice la hipótesis. Por lo tanto •§- + -§• no es un entero,

b d 6. Calculamos (1 + i)100 y (1 - i)100 por:

19. Fórmula de De Moivre. 1 + i tiene módulo igual a s¡2. y argumento principal^-

100 / / - j o o

(1 + i) = ( v 2 ) (cos257t + i sen 25 tc)

1 - i tiene modulo igual a y argumento principal - j .100

. \ ( 1 - i ) = SÍ2 (cos( -25 tc ) = ¡ sen ( -25 tc )

(1 - i ) 1 0 0 = 2 1 0 0 ( e o s 25 t c - i s e n 25n)

Como ambos complejos son conjugados su suma es real e igual a: (1 +i)100 + (1 - i ) 1 0 0 =

= 2.250 eos 25 ti = 25 0 . 2 ( -1) = -2.25 0 (1) 29. Usando la fórmula del binomio:

< i W 0 0 = i + c l i + c L ^ c l ¡ V . . + O i o o 100 100 100 " ' 100

. .100 . _ 1 . _ 2 .2 _ 3 .3 1 0 0 _ 1 0 0 . •) = 1 - C 1 0 0 I + C100I - C 100 ' + - + H ) C100' Sumando se obtiene:

(1 + i)100 + (1 - i ) 1 ° °=2 -2C^ 0 0 + 2C^ 0 0 - . . .+2C 1 ( ° ° = 2 S 1 0 0 (2)

De (1) y 2) 2S100 = - 2 . 2 5 0

S 1 0 o=-2 5 0

7. Se trata de resolver ax2 + bx + c = 0 sabiendo que 4a - 6b + 9c = 0.

4 2 La condición dada equivale a: - — b + c = 0 , lo cual indi-

2 ca que - — es solución de ax2+ bx + c = 0.

17

Entonces una de las raíces de la ecuación dada es Y _ _ r 3

La otra raíz es x2 tal que x „ = , o sea - | x „ = -§-• 1 2 a 3 2 a

Luego: x = - —— y 2 2 3 8. De la expresión log (x2 - 21) - log (x2 - 111) = 1 (log

decimales), se obtiene, por propiedades de los logaritmos, que: v2 _p i

log — L = log 10 y por lo tanto x -111

x2 -21

x2 -111 = 10 , 0 sea:

10 x 2 - 1110= x2 - 2 1 o 9 x 2 = 1089 o x 2 = 121

Entonces x e {11, -11} y cualquiera de estos valores satisface a la ecuación dada como es de verificación inmediata.

- Organización internacional de la Mujer en la Educación matemática. Convocante: Dr. Gila Hanna, Department for MECA, Ontario

Institute for Studies in Education, 252, Bloor Street West, Toronto, Ontario, CANADA M5S 1V6

Editor de publicaciones: Hele en Verhage,

Research Group OW and OC, University of Utrecht, Tiberdreef 4, 3561 GG Utrecht, THE NETHERLANDS.

COMPETICIONES DE MATEMATICA

La Federación Mundial de Competiciones Nacionales de Matemática (WFNMC) anuncia la realización de su primera conferencia la cual se llevará a cabo en la Universidad de Waterloo, Waterloo Canadá del 16 al 21 de agosto de 1990. Los organizadores convocan a todos los interesados en presentar trabajos sobre: la realización de competencias de nivel internacional, regional, nacional o local, investigaciones sobre creación de problemas, organización de competiciones con presupuesto limitado, ideas publicitarias etc. Los intere-sados deben dirigirse al encargado de la organización:

Profesor R.G. DUNKLEY Convenor. WFNMC 1990 Conference, Faculty of Mathematics, University of Waterloo, Waterloo, Ontario, CANADA N2L 361

18

Factorización en los enteros El método de Draim

Dr. Natalio H. Guersenzvaig

"Elproblema de distinguir números primos de compues-tos, y de descomponer los números compuestos en sus factores primos, es uno de los más importantes y útiles de la Aritmética.

.. .La dignidad de la ciencia exige ciertamente que toda contribución a la solución elegante de un problema tan célebre sea celosamente cultivada."

K.F. GAUSS, Disquisitiones Arithmeticae, Art. 329 (1801)

Sean a y b enteros positivos. Diremos que b es divisor de a si existe c tal que a = be. En tal caso escribiremos bfa. Naturalmente b-f a expresa que b no es divisor de a. Dado que a = a1 = 1 a resulta que 1 y a son divisores de a, llamados divisores triviales de a. Suponemos de aquí en más a > 2. Diremos que a es compuesto si tiene un divisor no trivial; en otro caso diremos que a es primo.

Por otra parte y como se sabe, existen únicos enteros q y r (que pueden obtenerse con el algoritmo de división) tales que (1) a = qb + r, 0 < r < b. Los enteros q = q(a, b) y r = r(a, b) se denominan cociente y resto de dividir a por b (que suelen llamarse dividendo y divisor, respectivamente). Se tiene entonces. (2) b|a si y sólo si r = 0.

La parte entera del número real x se define como el mayor entero < x y se denota [xj. De (1) se deduce

lo cual implica

Podemos establecer en consecuencia (4)

19

Es un hecho bien conocido (llamado Teorema Fundamental de la Aritmética) que existen únicos primos p1 < p2 < ... < pr y enteros positivos a,, a2, ...a r tales que a a a

(5) a = p1 p 2 2... p r

Los primos p r p 2 , . . . , pr se llaman factores de a. Para cada i = 1, 2 , . . . r el entero a¡ se denomina multiplicidad de p¡ en a (si a es primo entonces r = 1, a, = 1 y a = p,) y se obtiene dividiendo sucesivamente a por p., p 2 , . . Más precisamente,a¡ es el único entero positivo que satisface,

Además, es un hecho que los divisores de a son los enteros de la forma

Por ejemplo, si sabemos que 19 y 103 son los únicos factores de 3829849, podemos obtener 3829849 = 1921032 y concluir que los divisores (positivos) no triviales de 3829849 son los números

19, 103, 361, 1957, 10609, 37183, 201571. El número de divisores de a se denota r(a). De (7) se deduce

(8) x(a) = ( a 1 + l ) ( a 2 + 1)...(ocr + 1). Por ejemplo x(3829849) = 9. Asimismo

x (32) = x(243) = 6, x (30) = x(105) = 8, x(36) = X(100) = 9 Suponemos ahora que uno de los factores de a, digamos p, es

conocido. Hallamos su multiplicidaday consideramos en lugar de a el entero a* =a /p a , cuyos factores y multiplicidades son los factores y multiplicidades restantes de a. Queda claro entonces que para realizar (5), debemos disponer de un algoritmo que teniendo como entrada un entero cualquiera> 2, obtenga un factor de dicho entero.

Nota: Debe señalarse que los algoritmos conocidos son poco eficientes. Baste decir que para hallar los divisores de un número con 100 dígitos, el mejor algoritmo disponible a la fecha puede requerir ¡74 años! de proceso ininterrumpido en un supercompu-tador (véase Elementary Number Theory and its appl icat ions, de Kenneth H. Rosen, Addison Wesley, pp.80). Sin embargo, el carácter de un número (primo o compuesto) de hasta 100 dígitos se determina (con métodos matemáticos muy sofisticados) en menos de un minuto (véase el artículo "A la búsqueda de núme-ros p r imos" de Cari Pomerance, Investigación y Ciencia, N2 77, Febrero de 1983). Un resumen histórico de los métodos de factorización se encuentra en el Vol. I de la monumental obra de L.E. Dickson, His tory of the theory of numbers, Chelsea. Métodos más modernos pueden verse en el Vol. 2 (Seminumeri -cal a lgor i thms) de la obra de D.E. Knuth, The art of computer p rogramming, Addison Wesley.

(6) P? U . p r T a

(7)

20

Uno de los métodos más simples parafactorizaren los enteros, que aquí llamaremos clásico, proporciona el menor factor de a y depende del hecho siguiente: (9) b a y b | a = > b < a. Por (7) el menor factor de a es justamente el menor divisor > 2 de a. Luego un primer método para obtener p1 (el más rudimentario por cierto consiste en efectuar la división con resto de a por cada entero c < a comenzando con c = 2. Si el resto es no nulo entonces se considera c + 1 en lugar de c. Si no se encuentran divisores menores que a se puede concluir a primo. Ejercic io 1. Factorice 39188.

En realidad, será suficiente considerar como posibles valores de c los enteros < V a T Para ver porqué esto es así, supongamos a compuesto. Luego, existe un entero c > p1 tal que a = p ^ . Entonces a>p^. Por lo tanto (10) p , < v T En consecuencia (11) a es primo si y sólo si a no tiene factores < V a T Ejercic io 2. Factorice 1559 y 14007.

Asimismo, conviene tener presente que (12) y f a < p1 < - \ / a = > a * =a/p1 primo . En efecto, si a * fuera compuesto tendríamos a* = be con b y c mayores que \ f a , lo cual implica la contradicción

a = p1bc> v / a"v / r a , v7a = a . Con el mismo argumento se prueba (13) p >v / a~ implicax(a) < n. Ejercic io 3. Factorice 27371. Ejercic io 4. Escriba un programa para obtener los factores de a con sus multiplicidades (téngase en cuentaque en el caso a impar la búsqueda de p. debe comenzar, asumiendo p0 = 1, en c = p ^ + 2 y continuar con c + 2 en lugar de c). Verifique entonces los resultados de los ejercicios anteriores. Luego factorice 95550589 y 2826384807. Ejercic io 5. Escriba un programa para computar los divisores de a. Obtenga entonces los divisores del 8934146.

Por (10), si se posee una tabla de los primos < - \ /a , bastará considerar dichos primos como posibles factores de a. Ejercic io 6. Factorice 1145853 utilizando unatabla de primos (por ejemplo, la tabla de los primos menores de 10000 incluida en la Monografía N9 25 de la O.E.A., Ar i tmét ica elemental , de E.R. Gentile, 1985).

Una tabla de los primos < a puede construirse como sigue (método llamado Criba de Eratóstenes): se escriben ordenada-mente los números x, 2 < x < a. Se tachan entonces los múltiplos

21

" -.1!.., .

de 2 mayores que 2. Se consideran luego los números no tachados. El menor de estos > 2 (obviamente 3) es primo. Se tachan entonces los múltiplos de este primo mayores que el mismo. En general, en el paso k-ésimo se consideran los números no tachados, digamos

q 1 = 2 < q 2 = 3 < . . . < q k < . . . , y se tachan los múltiplos de qk (k-ésimo primo) mayores que qk. Se opera de la misma forma hasta agotar los números a tachar< V a . Los números no tachados son los primos < a. Ejercic io 7. Escriba un programa para construir una tabla de los primos < a. Ejercic io 8. Modifique el programa del Ejercicio 4 de modo que la búsqueda del menor factor se realice a través de una tab a de primos.

Para cada real positivo x la cantidad de primos < x se denota ti (x). Utilizando un bien conocido argumento combinatorio (llama-do Principio de Inclusión-Exclusión), se puede probar (véase In-t roducc ión a la combinator ia y sus apl icaciones, A. Kaufmann, C.E.C.S.A., 1971, pp. 69-88). (14) 7t(a) = j t ( V ¡ a ) — 1 — a—f + . . .

+ q,q2.

a

+ ... +

+ ...+ qs- 2q s - iqs .q,q2q3 .

dondes = n ( V a " ) y q 1 ( q 2 qs son los pr imos< V a " Ejercic io 9. Compute tc(1600) con (14). Ejercic io 10. Modifique el programadel Ejercicio 7 de maneraque la salida incluya n (a).

Por otra parte, para valores g randes de a, el cociente entre n (a) y la fracción a/ln a (In = logaritmo natural) es próximo a la unidad. Más precisamente, el famoso Teorema del Número Primo (conje-turado por Gauss en 1793 y probado, por primera vez y en forma independiente, por J. Hadamard y Ch. de la Vallée-Poussin en 1896) establece (véase por ejemplo In t roducc ión a la teoría analí t ica de números, de T. Apostol, Reverté, Cap. XIII).

7t(x) lim

x/ln x = 1 .

Ejercic io 11. Compute paraa=10 k ; k=1,2, . . .8 .

Describimos en lo que sigue un método interesante y poco conocido, que mejora la performance del procedimiento clásico y

22

. -

• 1 , • •

se debe a N. A. Draim (véase Mat hematíes Magazine, 25 (1952), pp. 191-194; la fuente de inspiración de este artículo se encuentra en el libro de H. Davenport, The Higher Ar i thmet ic , Hutchinson University Library, London, 1968, pp. 32-35; véase también el ya citado libro de Rosen, pp. 84-85). En el método clásico, dividimos a por 3, 5, ..., hasta hallar p r En el método de Draim también se divide por3, 5 , . . . , hasta encontrar p r La diferencia radica en que en el método de Draim el dividendo, cuyo valor inicial es a, va disminuyendo a medidaque se realizan nuevas divisiones, lo cual reduce el tiempo necesario para hallar p r

Sin pérdida de generalidad asumimos a impar. Para mostrar comofunc ionae lmétodoha l lamose lmenor fac tordea= 7483. En primer lugar dividimos a por 3.

7483 = 3.2494 + 1 A continuación definimos

b2 = 7483 - 2.2494 = 2495, a2 = 2495 + 1 = 2496. Dividiendo a2 por 5 resulta

2496 = 5.499 + 1. Definimos entonces

b3 = 2495 - 2.499 = 1497, as = 1497 + 1 = 1498. Dividiendo por 7 ocurre

1498 = 7.214 b = 1497 - 2.214 = 1069. 4

Dado que el último resto es nulo podemos concluir 7483 = 7.1069

Lo hecho se justifica como sigue. Convenimos b1 = a1 = a.

Dividiendo por 3 se obtiene a1 = 3q1 + r1

Definimos b2 = b1 - 2 q 1 , a2 = b2 + r r

Dividimos ahora por 5. a2 = 5q2 + r2.

Definimos seguidamente b3 = b2 - 2q2, a3 = b3 + r2.

En general, si bk y ak han sido definidos, definiendo por 2 k + 1 resulta

ak = ( 2 k + 1 ) q k + r k

Se define entonces b k + i = b k - 2 c l k ' a k + i = b k + i + r k '

Manipulando estas igualdades se obtiene a2 = 2a - 5q1

a3 = 3a - 7 (q1 + q2)

23

(*) a k = k a - ( 2 k + 1)(q1 + q 2 + ... + q k - 1 )

b3 = a - 2(q1 = q2) b4 = a - 2(q1 + q2 + q3)

= a - 2(q1 + q2 + ... qk1). (**)

Suponemos ahora a compuesto (en otro caso el proceso termina cuando k> [ V a ] ) . Sea 2 m + 1 el menor factor de a. Afirmamos (¡y esta es la esencia del método de Draim!) (15) 2m + 1/am y a - ( 2 m + 1) bm + 1. Para probar (15) observemos que (*) implica

2m + 1 |a si y sólo si 2 m + 1 |am. Por la definición de am resulta

am = (2rn + 1)qm. Nuevamente por (*) se tiene

m a = (2m + 1) (q1 + q2 + ... + qm). Por (**) con k = m + 1 ocurre

b = a - 2 ( q + q + .. .+ q J = a - 2 „ m a = n a -m + 1 VM1 2 ^m/ 2 m + 1 2 m + 1

que implica justamente a = (2m + 1) bm + 1.

Ejercic io 12. Utilice el método de Draim para encontrar los menores factores de a en los casos a = 137 y a = 1073. Ejercic io 13. Escriba un programa para obtener los factores de a con sus multiplicidades en a mediante el método de Draim. Luego factorice 95550589 y 2826384807. Ejercic io 14. Escriba un programa para hallar los divisores de a mediante el método de Draim. Obtenga entonces los divisores de 8934146. Ejercic io 15. Compare los tiempos empleados para hallar los divisores de 99400891 con los métodos clásico y de Draim.

24

Propuesta Didáctica

Lucrecia Delia Iglesias

Consideramos que la Matemática ofrece recursos idóneos para la organización de datos que pueden ser usados para apoyar trabajos de los alumnos en otras áreas del sabercientífico o socio-cultural.

Así se trata de disponer de datos que provengan de otros contextos: problemas provenientes de las Ciencias Naturales o de las Ciencias Sociales; de un fenómeno de interés local o regional referente al tiempo, la educación, algún deporte, la política, el costo de vida, la producción... cuyos datos aparecen en los periódicos o se pueden recolectar a partir de encuestas.

En particular, se pueden proponer encuestas que se relacionen con el propio esquema corporal, tema en general, de interés especial para los alumnos.

Sugerimos aplicar un cuestionario como el presente:

Cuestionario

1. Indica el número de hijos aque perteneces (inclu-yéndote).

Varones Mujeres Total 2. Día de tu nacimiento: 3. Medida de tu altura: cm.

Medida de tu envergadura cm (longitud que abarcas con los brazos extendidos lateralmente).

¿Cómo eres:

4. Número de pulsaciones por minuto estando sen-tado o en resposo:

25

Número de pulsaciones por minuto después de saltar durante 30 segundos

¿Aumentaron? ¿En qué medida? ¿Qué operación usaste para hacer la comparación?

¿Cuál es la razón entre ambos números? ¿En qué forma puedes comparar tu propia

variación de pulsaciones con las de otros compañeros: con la diferencia o con la razón?

5. Medida de tu peso: kg. Medida de la superficie de las plantas de tus pies

(¿Has probado hacerlo dibujando el contorno de tus pies apoyados sobre una hoja de papel cuadriculado en cm2?): cm2.

¿Qué presión hace tu cuerpo sobre el piso cuando estás de pie? (*)

(*) Datos de esta naturaleza son útiles en medicina pues:

- conocer la medida de la superficie plantal permite el cálculo aproximado de la superficie total de la piel de una persona, dato importantísimo en el caso de que-maduras.

- conocer la presión (o sea el cociente entre el piso y la superficie sobre la que se ejerce) del cuerpo de pie sobre el piso, ayuda a los traumatólogos a prescribir un tratamiento adecuado.

Una vez registrados los datos, distintos grupos de alumnos pueden hacerse cargo de reunir todas las respuestas relativas a un mismo puntoydiscut ircómoconviene organizarías en forma de tabla o gráfico que permita hacer observaciones generales sobre el comportamiento del grupo encuestado con respecto al punto elegido.

Para enriquecer la discusión y favorecer las decisiones sugeri-mos aportar tablas, gráficos, cuadros, etc., exhibidos en distintas publicaciones de modo de tener una variada colección de modelos para analizar: gráficos de bloques, gráficos de barras, gráficos de puntos, pictogramas, gráficos circulares.

El análisis debe tender a establecer qué convenciones rigen la forma de representación en cada caso y qué pasos hay que seguir para su construcción correcta.

Sin embargo, más que la construcción de los gráficos importa reflexionar acerca de la información que ha sido volcada en ellos, cómo es posible hacer visualmente comparaciones entre datos de un mismo gráfico y de distintos gráficos entre sí, qué conclusiones no explícitas pueden obtenerse de ellos, qué sugerencias pueden

26

recogerse para hacer exploraciones nuevas. Por eso es necesario destinar un tiempo a la exhibición - s i es posible en forma de af iche- de los gráficos realizados por los alumnos y a la formula-ción de observaciones acerca de ellos. Si los gráficos no dan lugar a procesos reflexivos carece de sentido realizarlos.

Una actividad interesante es considerarque frecuentemente las apariencias deforman el mensaje aunque no falsees los datos, por eso proponemos examinar críticamente gráficos como los que siguen:

INGRESOS DE LA COMPAÑIA

De 1985 a 1987

500 1980 1981 1982 1983 1984 E n e r o Enero Enero

1985 1986 1987

DEFICIT FISCAL (en porciento del P.B.I.)

890

De 1980 a 1984

27

A continuación proponemos abordar el uso de tablas de distri-bución de frecuencias, su representación en gráfico de barras y la introducción de algunos parámetros que permiten resolver algu-nas situaciones particulares. Se sugiere organizar actividades como las que siguen (algunos de los ejemplos provienen de la colección Statistcs and Probability, publicada en 1969 por M. Foulsham S.C. Ltd., Londres).

1. Dados los siguientes datos sobre las notas obtenidas por diferentes alumnos:

9 8 5 7 5 5 7 9

9 5 9 8 3 6 2 3

2 6 4 3 6 8 6 5

8 5 5 4 8 9 2 2

a) Confeccionar una tabla asociando a cada nota (abscisas de 0 a 10) el número de alumnos que la obtuvieron; o sea, la frecuencia con que aparece cada nota en esta distribución de datos.

b) Hacer un gráfico de barras que represente las frecuencias asociadas a cada nota; esto es, hacer un histograma. ¿Qué observaciones sugiere el gráfico?

c) ¿Cuál es el promedio del curso? Se trata de la MEDIA de la distribución.

d) ¿Cuál es la nota más frecuente? Se trata de la MODA de la distribución.

e) Organizar los datos del punto 1 del cuestionario en un grá-fico de distribución de frecuencias. Observe la MODA, ¿le sugiere alguna reflexión?. Halle la MEDIA, ¿para qué puede servir?

2. En una competencia de tiro al blanco cadacompetidorejecutó 10 tiros a un blanco situado a 200 m. El número de centros que hizo cada uno fue el siguiente:

7 3 8 5 10 7 8 5 8 9 2 9 10

Discutir las posibilidades de comparar un sujeto que hizo 5 centros con los demás, organizando convenientemente los datos. Para hacerlo, ¿qué parámetro es más adecuado, la media o la moda?

5. En la tabla que sigue se muestra lo que ocurrió con 12 tiradores al blanco en situación análoga a la anterior.

28

NM

N- de B lancos Frecuencia

2 1 3 1 4 2 5 2 6 1 7 3 8 2

¿Qué parámetro conviene usar para comparar la actua-ción de estos tiradores con el desempeño de los del ejercicio anterior?

6. Entre 20 colegios que participan en un torneo de fútbol anualmente, se presenta la siguiente cuestión:

Si se jugara todos, una vez como local y una vez como vi-sitante, se tardaría mucho tiempo. Se piensa entonces que es mejor hacer dos divisiones por la calidad de los equipos y se toman las cifras oftenidas porcada uno en el último torneo, para decidir cuáles son los diez mejores y cuáles los diez inferiores. A saber:

38 32 41 30 35 51 40 34 17 55

18 46 19 48 58 34 25 40 62 37

Uno de los organizadores propone calcular el promedio. ¿Es adecuado el procedimiento? ¿Por qué? ¿Y lo sería calcular la moda? Use su propia iniciativa para resolver.

Con el problema anterior se tiene la oportunidad de definir la MEDIANA de una distribución como el valor que ocupa el punto medio de los datos, ordenados de menor a mayor. (Si hay un número impar de datos, la mediana es uno de ellos; si hay un número par, la mediana es el promedio de los dos que están en el centro).

7. Las que siguen son medidas de largos de tornillos en cm que hay en una caja, con la frecuencia correspondiente.

Se trata de completar la tercera columna, de frecuencias acu-muladas, poniendo el resultado de sumar a cada frecuencia la suma de las anteriores.

29

Medida Frecuencia Frecuencia Acumulada

1,7 4 4 1,8 4 4 + 4 = 8 1,9 3 8 + 3 = 11 2,0 7 2,1 6 2,2 3 2,3 6 2,4 6 2,5 6 2,6 3 2,7 3 2,8 4

Discutir acerca del uso de cada parámetro: moda, media, mediana, y su interpretación en el presente caso. Calcularlas. Compararlas. ¿Para qué es útil el cálculo de las frecuencias acumuladas?

GRAGEA

La concentración del volumen en la superficie. Llamemos volumen de un segmento a su longitud; volumen de un cuadra-

do, a su área; en general, llamemos volumen de un cubo o hipercubo de lado a en un espacio euclídeo de dimensión n, al número a". Un hecho geométrico interesante es el siguiente: a medida que la dimensión n aumenta, el volumen se va concentrando en las proximidades de la superficie, quedando "en el centro" una parte cada vez más pequeña con respecto al volumen total. Esto se explica así: si el lado es a y le restamos de ambos extremos una cantidad muy pequeña, a la que llamamos e/2, se obtiene un cubo interior de lado a-e y de volumen (a- e)n; el volumen de la capa próxima a la superficie del cubo de lado a será entonces an-(a- £)n. La razón entre el volumen del cubo "interior" y el del cubo grande es

( a - e ) " [ a ( 1 - e / a ) ] n

an-U a)

30

= 0 - 1 ) " ( i) Continúa en pág. 40

Transformaciones del plano en sí mismo

Resumen de clase

Prof. Olga L. Lescano

1. Repaso de vectores

Definición: Llamamos vector fijo del plano E a todo par ordenado de puntos de E.

.B .B (2- punto)

.A .A (1er punto) Laflechano es el vector , los puntos interiores de laflecha no son

puntos del vector. Notac ión: (A, B); pero mejores ÁB =Ü. El primer punto del vector se llama origen y el segundo se llama

punta. El origen y la punta se llaman extremos del vector. Vector nulo es el vector para el cual el origen coincide con la punta.

Se llama recíproco del vector AB al vector BA.

B

Recta de acc ión de un vector es toda rect§ que contenga a ambos extremos del vector. Si M ^ N el vector MN noesnuloyt iene una única recta de acción, que es la recta MN. Pero si M = N el vector Mfi fes nulo y tiene infinitas rectas de acción.

Vectores col ineales o a l ineados son aquéllos que tienen una recta de acción común.

/ a

u y v no nulos y colineales

u y v^colineales con v nulo

u y v no nulos y no colineales

u y v no colineales y Vnulo

31

Paralelogram© de rectas es la figura formada por dos pares secan-tes de rectas paralelas (y distintas).

Equipolencia de vectores (i) Definición para vectores no colineales: Si u y v son vectores no

colineales, se dice quetí es equipolente aVs i al unir los orígenes con una recta y las puntas con otra se obtiene un paralelogramo.

(ii) Definición para vectores colineales: a) Si los vectores son ambos nulos (distintos o coincidentes) son equipolentes;

O o

b) Si los vectores son ambos no nulos, son equipolentes entre sí siempre que ambos sean equipolentes a un mismo vector w, no colineal con ellos.

^ ' \ s \

N /

En todo otro caso los vectores no son equipolentes; por ejemplo, si uno es nulo y otro no nulo, no son equipolentes.

Motación para indicar que Ü es equipolente a v: u #"v.

Propiedades de la equiplencia (i) Reflexividad. Todo vector es equipolente a sí mismo: Para todo

ues l3#u . ; (ii) Simetría. Si un vector es equipolente a otro, éste es equipolente

al primero: Ú # V#IT; (iii) Transitividad. Si un vector es equipolente a otro y éste es

equipolente a un tercero, entonces el primero es equipolente al tercero: T ¡#vyv#w=>T í#w .

32

Para sumar el vector tTcon el vector"v se procede así: se construye a partir de la punta de ¡Tun vector equipolente a"v; llamémoslo"v1. Sean O el origen de "u y P la punta de v1. El vector suma es OP. O sea: tT+V= OP.

Postulado. Dados un vectortTy un punto P, existe y es único el vector de origen P equipolente a "u. O sea: existe y es único el punto Q tal que PQ #tT

A izquierda se ha representado el caso de vectores no alineados, y a derecha el de vectores alineados; en ambas situaciones los vectores tT yodados tienen origen común. La definición de suma que hemos dado permitiría sumar vectores de orígenes distintos, pero esto aca-rrearía algunas desventajas. Por ejemplo: la suma no sería conmutativa en este caso, ya quetí+"v sería un vector de origen en el origen de IT, y"u + vy v + ÜÍtambién lo son. Por ello conviene restringirse, salvo mención explícita de lo contrario, a suma de vectores de origen común.

De la definición anterior se deduce, reiterándola, que podemos sumar n vectores: tT1,U¡, ...,"un, pudiendo ser todos estos sumandos iguales o distintos. Esto permite multiplicar un vector por un número natural:

Para multiplicar el vector u por el número natural n > 1, se suman n. sumandos iguales atT:

n.tT = ü.n = ü + t r + ... +"u (nsumandos). En la figura siguiente se dan las construcciones para multiplicar a un

vectofu por 2 y por 3 respectivamente:

33

T " - , " 1 . I ' / \ 1 ' ' _i / 1 " \ '

£ / _ - - j - _ g-"0 +TJ = 2 ."if N ^

Se agrega por definición: t t + u + u = 3.u 1.u = u, 0.u = PP, siendo P el origen de u.

?¡. Simetría central y traslación. Para definir una simetría central basta dar un dato: el centro de

simetría, al que podemos llamar O. Dado un punto P cualquiera, su simétrico respecto de O se construye del siguiente modo: se considera el vector PO, y se traza a partir de O el vector equipolente a PO. La punta de e%te nuevo vector es el simétrico P' buscado. Se tiene entonces PO # OP', y P. se llama también transformado de P por la simetría de centro O. (Ver figura siguiente a izquierda).

Para definir una traslación basta dar un dato, a saber, un vector cualquiera tí. (Ver figura precedente a derecha). Dado un punto cual-quiera P, para hallar su transformado por la traslación de vector u| se traza a partir de P el vector equipolente at¡; la punta.de este vector es el trasladado P. que se busca. Se tiene entonces PP' #IT.

La figura simétrica de la figura F con respecto al centro O está formada por los simétricos de todos los puntos de F. Y la figura trasladada de F según el vectortTes la figura formada por los traslada-dos de todos los puntos de F.

Ejercicios. Construir simétricos de segmentos y de triángulos respecto de un

centro O; y construir trasladados de segmentos y de triángulos según un vector dado "u. Se acepta que, en ambos casos, basta hallar los correspondientes de los extremos o de los vértices, y unirlos adecuada-mente.

III. Simetría axial

Para definir una simetría axial es necesario dar dos datos: un eje de simetría y una dirección no paralela a ese eje. La dirección se da mediante una recta que la representa. Rectas paralelas representan la misma dirección. Si la dirección no es perpendicular al eje se tiene una

34

simetría oblicua; si la dirección es perpendicular al eje se tiene una simetría ortogonal.

Dados un eje de simetría g y una dirección p no paralela a ese eje, para hallar el simétrico del punto A respecto del eje g paralelamente a

se hace lo siguiente: se traza por A la paralela a p; se llama Ao al punto de intersección de dicha recta con el eje t ; se traza el vector equipolente a AA con origen Ao: la punta de este vector es A', simétrico de A.

La figura simétrica de la figura F es la que está formada por los simétricos de todos los puntos de F. Así, la simétrica de F es F' (respecto de £ paralelamente a p).

Aceptamos que el simétrico de un segmento es un segmento cuyos extremos son los simétricos de los extremos del segmento dado.

Ejercicios

1) Hallar el trasformado del segmento PQ en la simetría de eje e y paralelamente a p. Resolver en cada uno de los tres casos representa-dos.

2) Construir la figura simétrica del triángulo ABC con respecto al eje fi, ortogonalmente al mismo. Se proponen dos casos.

p

c

35

IV. Composición de simetrías ortogonales

(i) Los ejes son paralelos: e, // e2... Hallemos la figura simétrica de la figura F respecto del eje e,, y luego

la figura simétrica de la hallada, esta vez respecto de e2. (Simetrías ortogonales).

V r

AI' ei e2 \

A2

Veamos que, en este caso, la composición de dos simetrías ortogo-nales de ejes paralelos da una traslación de vectorv"; se comprueba que este vector ves equipolente al duplo del vector que es el que en cierto modo "mide" la separación entre los ejes. Adoptando una noción intuitiva de distancia, podemos decirque el módulo de^distancia entre sus extremos) es igual al doble de la distancia existente entre los ejes e, y e2. (Estamos aceptando una noción intuitiva de distancia, y consecuentemente de módulo, que en rigor habría que introducir más tarde, derivándolas de la noción de congruencia).

(ii) Los ejes se cortan en un punto. (a) e1 X e2. Vemos en la figura siguiente que la composición de dos simetrías

ortogonales de ejes perpendiculares entre sí, es una simetría central, cuyo centro es el punto O, de intersección de los ejes.

e,

\ i 1 \ i

\ 1 |

o \ 1 \ 1 \ 1 v

(k) e1 es oblicuo respecto de e2. Es fácil ver que el punto O, por estar sobre e v se transforma en sí

mismo por la primera simetría; y luego, por pertenecer también a e2, vuelve a transformarse en sí mismo. Tomemos ahora otro punto P cualquiera: si le aplicamos primero la simetría ortogonal de eje e1f obtenemos P'; y si a éste le aplicamos la simetría ortogonal de eje e2 obtenemos P". El transformado de P por la composición de las dos simetrías ortogonales es P"; y como el de O era el mismo O, concluimos que el transformado del segmento OP por la composición de simetrías es el segmento OP'.

36

p

Se observa que, al pasar de OP a OP' se ha producido lo que llamaríamos una "rotación" del segmento OP alrededor de O; y también parece, intuitivamente, que el ángulo de rotación PC3P' tiene amplitud doble de la que tiene el ángulo formado por los ejes e^er

Esto permite definir una rotación de centro O como una composición de sietrías ortogonales respecto de dos ejes que pasan por O.

Esta definición comprende también el caso (a) (ejes perpendicula-res): en efecto, en aquel caso vimos que el resultado es una simetría central de centro O. Pero esta a su vez puede considerarse como una rotación de 1809 alrededor de O; luego, en todos los casos se obtiene una rotación de amplitud doble de la del ángulo que forman los ejes.

Esta definición de rotación es interesante pero su manejo práctico es engorroso. Pasaremos entonces a una noción intuitiva, que se sirve de la noción de distancia (también en forma intuitiva) y de una noción informal de amplitud y de sentido de ángulos.

V. Nociones intuitivas sobre ángulos y rotación.

Definición: Se llama ángulo orientado a todo par ordenado de semirrectas de origen común.

Notación: (s, t) = st. Angulo orientado de primer lado £ y segundo lado i.

Diremos que dos ángulos orientados tienen el mismo sentido, si al pasar del primer lado al segundo se produce en ambos casos un giro en el sentido de las agujas de un reloj, o en ambos casos un giro de sentido contrario al de las agujas de un reloj. En este último caso se suele decir que tienen un sentido de giro "positivo"; y en el primer caso, un sentido de giro "negativo".

Y finalmente, diremos que el ángulo orientado st tiene igual amplitud y sentido que el ángulo orientado uv, si ambos tienen el mismo sentido y además: al llevar el lado s "a superponerse" con el lado u, manteniendo el sen-tido del ángulo, encontramos que el lado 1 "se superpone" con el lado v.

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Por supuesto, las nociones de sentido y de superposición que acabamos de introducir tienen carácter físico más bien que matemático. Las nociones puramente matemáticas correspondientes reuqieren una elaboración más delicada.

Definición intuitiva de rotación

Se llama rotación de centro O y ángulo orientado xy, a la transformación del plano en sí mismo que a cada punto P hace corresponder un punto P' tal que:

(i) P y P' equidistan de O; (¡i) el ángulo POP' tiene igual amplitud y sentido que el ángulo dado

xy. Se puede comprobar que esta definición es coherente con ladada en

IV. (ii) (k), como composición de simetrías ortogonales de ejes concu-rrentes en O.

Aquella definición es matemática rigurosa, pero la definición intuitiva que acabamos de dar permite llegar más rápidamente a la construcción de rotaciones mediante regla y compás.

VI Congruencias

Definición. Una congruencia es una composición de simetrías ortogonales. Congruencia directa o Movimiento es una composición de un número par de simetrías ortogonales.

Congruencia inversa es una composición de un número impar de simetrías ortogonales.

Se puede demostrar que una congruencia directa es una traslación, o una rotación, o una composición de traslaciones y rotaciones.

Se puede demostrar que una congruencia inversa es una simetría, o bien la composición de una simetría con cualquier número de traslacio-nes y/o rotaciones.

Aplicación a figuras cualesquiera

Se dice que una figura F es directamente congruente con la figura F\ si existe un movimiento (o congruencia directa) que transforma F en F'. En lafiguraaquírepresentada se ve queel banderín Fes directamen-te congruente con el banderín F", pues se pasa del primero al último por medio de la composición de los dos movimientos siguientes: una traslación de vector AA', que transforma F en F', y luego una rotación de centro A' y ángulo orientado P' A' P", que transforma F' en F".

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Se dice que una figura F es inversamente congruente con una figura F\ si existe una congruencia inversa que transforma F en F'. Por ejemplo: si F' se obtiene de F mediante una simetría ortogonal, resulta que F es inversamente congruente con F'.

Significado intuitivo. Si F es directamente congruente con F', se puede "mover" F sin sacarla del plano y "llevarla a superponer" con F'. Si F es inversamente congruente con F' (como en el caso de figuras simétricas respecto de un eje) para "llevar a superponer" F con F' se hace necesario "sacar" a F del plano, "hacerle dar una vuelta en el espacio" y luego "aplicarla" sobre F'.

Definición.Una figura F es congruente con una figura F' si existe una congruencia (directa o inversa) que transforma F en F.

En consecuencia, las figuras congruentes pueden ser directamente congruentes o inversamente congruentes.

Una figura se puede definir simplemente como un conjunto de puntos. La definición precedente tiene entonces gran generalidad: abarca tanto a las figuras sencillas que se estudian en geometría (triángulos, polígonos, circunferencias, etc) como a conjuntos arbitra-rios de puntos. Sin embargo, esta definición de figura no es aplicable a los vectores, porque éstos no son simples pares de puntos sino pares ordenados de puntos. Para incluir a los vectores (y a otros entes matemáticos, como los ángulos orientados) conviene dar la definición de figura ordenada:

Una figura ordenada es un conjunto ordenado de puntos, o de rectas, o de segmentos, o de semirrectas, o de vectores, o de una combinación cualquiera de tales entes.

Así un vector es una figura ordenada, por ser un par ordenado de puntos. Un ángulo orientado es una figura ordenada, por ser un par ordenado de semirrectas. Un conjunto ordenado de vectores (por ejemplo, es un par ordenado de vectores no alineados y de origen común, que constituyen una base ordenada para un sistema cartesia-no) es una figura ordenada.

La definición de congruencia para figuras ordenadas es similar a la dada para figuras:

La figura ordenada F es congruente con la figura ordenada F" si existe una congruencia que transforma F en F'.

Es muy importante observar que, al establecer que la figura ordenada F se transforma en la figura ordenada F', se exige no sólo que los entes de F se transformen en los de F, sino que esta transformación conserve el orden. La expresión " conserve el orden" quiere decir lo siguiente: que si la congruencia transforma los entes a y b de F en los entes ¿ y b de F, respectivamente, y si a precede a b e n F, entonces al precede a b en F'.

En particular, el vector AB es congruente con el vector A'B' si existe una congruencia que transforme A en A' y B en B'._En cambio, para segmentos la condición es más débil: el segmento AB es congruente con el segmento A'B' si existe una congruencia que transforma los ex-

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tremos de AB en los extremos de A'B^En cambio, para segmentos la condición es más débil: el segmento AB es congruente con el segmento A" B' si existe una congruencia que transforma los extremos de AB en los extremos de A'B'. Esto significa que puede ser que se transformen A en A' y B en B', o bien A en B' y B en A\_Se demuestra que en tal caso los puntos interiores de]_segmento AB se transforman en puntos interiores del segmento A'B'.

Conviene introducir los dos postulados siguientes: ^Postu lado de la congruencia de segmentos. Dados un segmento AB y una semirrecta s de origen O, existe y es único el segmento OP, incluido en s, que es congruente con AB. (Ver figura siguiente a izquierda).

Antes de formular el otro postulado, diremos que un ángulo de semirrectas es simplemente un par de semirrectas de origen común. Si el par de semirrectas es ordenado, se obtiene un ángulo orientada.

Postulado de la congruencia de ángulos de semirrectas. Dados un ángulo de semirrectas afc, un semiplano £ y una semirrecta s, de origen O, incluida en el borde del semiplano existe y es único el ángulo de semirrectas sí, incluido en el semiplano que es congruente con el ángulo de semirrectas áb.

Estos postulados se usan para demostrar importantes teoremas sobre congruencias de figuras, que no trataremos aquí.

Si ees pequeño respecto de a (como hemos supuesto) se tiene que 1-JL es a

un número positivo menor que 1, y en consecuencia la razón entre los citados volúmenes tiende a 0 al tender n a infinito.

Este hecho tiene consecuencias sorprendentes en física.

O P s

40

La computación como recurso

Prof. Elena García

Métodos de ordenamiento de arreglos unidimensionales

Continuando con la presentación de los métodos directos de ordenamiento de arreglos unidimensionales analizaremos a con-tinuación el método de ordenamiento por inserción.

Método de ordenamiento por inserción

Mostraremos en primer lugar, y mediante un ejemplo, como funciona este método y después lo analizaremos en detalle.

Consideremos el conjunto A A = {7, 3, - 8 , 9, 4}

representado sobre el arreglo unidimensional V V = (7, 3, - 8 , 9, 4)

y la relación "menor o igual" sobre A. Queremos "reacomodar" los elementos de V a fin de obtener

sobre V una representación de A que ponga en evidencia el orden definido sobre ese conjunto. Es decir pretendemos obtener sobre V la siguiente representación del conjunto A:

V = ( -8 , 3, 4, 7, 9) Para ello consideraremos sobre V dos subarreglos. El subarre-

glo SA formado por el primer elemento de V y el subarreglo SD conteniendo los restantes elementos de V.

S A = ( V ( 1 ) ) SD = (V(2), V(3) ..., V(N))

en nuestro ejemplo: SA = 7 SD = (3, - 8 , 9, 4)

41

Estado inicial:

V = ( [ 7 1 , 1 3 , - 8 , 9 , 4 1) SA SD

Podemos considerar que sobre SA hemos representado al con-junto unitario A1 = {7} y sobre SD al conjunto A2 = A-A1. Mientras que la representación de A1 sobre SA pone en eviden-cia la relación de orden elegida (1), no pasa lo mismo con la representación de A2 sobre SD,por lo que podemos decir que SA está ordenado y SD no lo está. Paso 1: Queremos ahora "pasar" un elemento de SD a SA, por ejemplo el primer elemento.

V = ( m , l ( 3 ) , - 8 , 9 , 4 1 ) SA SD

Insertémoslo en SA de modo tal que este subarreglo permanez-ca ordenado y eliminemos ese elemento de SD.

V = (1 3 , 7 -8 ,9 ,41) SA SD

Queda entonces: SA = (3, 7) SD = ( -8, 9, 4)

Repitamos este procedimiento hasta agotar los elementos de SD. Paso 2:

V = ( 3, 7 , (^8), 9, 4 ) SA SD

Paso 3:

V = ( 1 - 8 , 3 , 7 SA

V = ( - 8 , 3 , 7 SA

9 , 4 ) SD

® . 4 ) SD

Paso 4:

V = ( [ - 8 , 3 , 7 , 9 , |_4j ) SA SD

V = ( )

V = ( - 8 , 3, 7, 9, 4 ) SA

42

Ya no quedan elementos por "acomodar" y sobre el arreglo V tenemos la representación que pretendíamos del conjunto A.

Observemos las distintas representaciones que del conjunto A obtuvimos sobre el arreglo V a lo largo del proceso de ordenamien-to que acabamos de realizar. Al término de cada paso obtuvimos:

PASO ELEMENTOS DE V

1 2 3 4 5

0 7 3 - 8 9 4

1 3 7 - 8 9 4

2 - 8 3 7 9 4

3 - 8 3 7 9 4

4 - 8 3 4 7 9

r . . r

Estrategia del método de ordenamiento de inserción

Para ordenar un arreglo de N elementos según el método de inserción es necesario un ciclo de N -1 pasos.

Analicemos cada uno de estos pasos. Paso K-esimo (1 < K < N):

Estado inicial del paso K: Los elementos V(1), V(2), . . . V(K-1) conforman el subarreglo ordenado SAy los elementos V(K), V(K+1). . . V(N) conforman el subarreglo SD no ordenado

Proceso: El objetivo de este proceso es insertar en SA uno de los elementos de SD, hablamos de "insertar" porque queremos agregar ese elemento en SA de modo tal que SA siga estando ordenado. ¿Cómo lo hacemos? Asignamos a la variable auxiliar X el valor de V(K). Debemos determinar ahora la ubicación donde insertaremos ese valor, pueden suceder dos cosas: 1) que X "siga" atodos los elementos de SA según la relación

de orden elegida. V j: 1 < j < k - 1 V ( j ) < X

43

Como sucede en el paso 3 de nuestro ejemplo, y entonces basta con considerar a SA como el subarreglo (V(1), V(2) ..., V(K-1) , V(K)) y a SD como el subarreglo (V(K+1) ... V(N))

2) Que exista un j tal que: X < V(j) con 1 < j < k -1

En este caso debemos "desplazar" los elementos de SA a fin de "dejar libre" el lugar j para X ; esto lo hacemos asignando a V(K) el valor almacenado en V(K-1), a V(K-1) el valor almacenado en V(K-2) y así hasta asignar a V(J+1) el valor almacenado en V(J). Una vez terminado el despla-zamiento "insertamos" X en el lugar j de SA, esto es asignamos el valor almacenado en X al elemento V(J).

Estado final del paso k: Los elementos V(1), V(2) . . . , V(K) conforman ahora un suba-rreglo ordenado que será el SA inicial del próximo paso.

Establecida la estretegia del método de ordenamiento por inserción pasaremos a describir un algoritmo apropiado.

Usaremos el siguiente léxico: N: variable entera V: arreglo con N elementos I, J, K: variables enteras auxiliares X: variable del mismo tipo que los elementos del arreglo V.

Acción "ordenamiento por inserción" es: inicio

para K desde 2 a N hacer X < - V (K); buscar lugar para X; insertar X en el lugar correspondiente

fin-para fin. Acción "buscar lugar para X" es: inicio

K; mientras J > 1 A x < V(J-1) hacer

J J - 1 fin-mientras; POS<-J

fin. Acción "insertar X en el lugar correspondiente" es inicio

si K > POS entonces desplazar elementos; V (POS)^ - X.

fin.

44

Acción "desplazar elementos" es inicio

Para í desde K a POS con incremento - 1 hacer V( l )<- V( l -1)

fin-para fin.

Programado en BASIC A continuación presentamos la codificación en BASIC de un

programa que permite el ingreso de la cantidad de elementos que componen un arreglo numérico y el valor de cada uno de esos elementos; ordenael arreglo según el método de inserción y emite este arreglo ya ordenado.

Ordenamiento de arreglos unidimensionales Método de inserción

20 30 40 50

70 80 DIM V (50) ' fija la dimensión del arreglo 90 CLS ' limpia la pantalla 100 GOSUB 200 ' lectura de datos 110 IF N> 1 THEN GOSUB 400 ' ordenamiento del arreglo 120 GOSUB 800 ' emisión del arreglo ordenado 130 END 140 150 160 170 180 190 195 200 210 220 230 240 INPUT "Ingrese dimensión del arreglo (1 - 50) : " , N 250 IF N<1 OR N> 50 OR N o INT (N) THEN PRINT "Error en dato": GOTO 240 260 PRINT 270 PRINT" Ingrese los elementos del arreglo" 280 FOR I = 1 TO N 290 PRINT "V ( " ; I ; " ) =" ; : INMPUT " " . V ( I ) 300 N E X T I 310 RETURN ' fin de la rutina de ingreso de datos 320 ' 4 0 0 ' .-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

RUTINAS RUTINAS

Lectura de Datos

45

410 420 430 440 450 460 470 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800 810

ordenamiento por inserción

FOR I = 2 TO N T=V ( I ) GOSUB 520 GOSUB 630 NEXT I RETURN

' reserva el elemento a insertar ' busca posición para insertar ' inserción del elemento

' fin de la rutina de ordenamiemto

Búsqueda de la posición para insertar !

J = l WHILE J>1 AND T < V ( J - 1 ) J = J - 1 WEND POSI = J ' guarda la posición donde se insertara RETURN 'fin de la rutina de búsqueda

Inserción del elemento reservado f

IF I > POSI THEN GOSUB 710 V ( POSI ) = T RETURN ' fin de la rutina de inserción

Desplazamiento de elementos i

FOR K = I TO POSI STEP-1 V ( K ) = V ( K - 1) NEXT K

RETURN ' fin de la rutina de desplazamiento

46

820 ' Emisión del arreglo ordenado 830 ' 840 CLS 850 PRINT "Arreglo ordenado" 870 PRINT ; PRINT "V - ( " ) 880 FOR l = 1 TO N- 1 890 PRINT V ( I ) ; " , " : 900 NEXT I 910 PRINT V ( N ) ; " ) " 920 RETURN ' fin de la rutina de emisión 930 ' 940 '.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.'.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. 950 ' 960 ' FIN 970 '

980 ' .-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.=.-.-.

Ejemplo de ejecución:

Ingrese dimensión del arreglo ( 1 -50 ) : 6

Ingrese los elementos del arreglo V ( 1 ) = 5.34 V ( 2 ) = -3.12 V ( 3 ) = 2.5 V ( 4 ) = 18 V ( 5 ) = 2.6 V ( 6 ) = -1 Arreglo ordenado

V = ( - 3 . 12 , - 1 , 2 . 5 , 2 . 6 , 5 . 3 4 , 1 8 ) Ok

( 1 ) Aclaración: Al tener un sólo elemento SA está siempre ordenado cualquie-

ra sea la relación de orden elegida.