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Universidad Argentina John F. KennedyUniversidad Argentina John F. KennedyUniversidad Argentina John F. KennedyUniversidad Argentina John F. Kennedy

Escuela de Ciencias Artes y Técnicas

Manual de Lógica

Segunda Parte: Lógica de Predicados

Martha Como 2012

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LOGICA DE PREDICADOS CON PREDICADOS MONÁDICOS

La lógica de predicados, también llamada lógica cuantificacional, es una lógica de términos.

Esto significa que, a diferencia de la lógica proposicional, no considera a las proposiciones

simples como atómicas, es decir como indivisibles, sino que penetra en la estructura interna de

las mismas, y las analiza en los términos que la constituyen. El análisis interno de las

proposiciones es lo que permite demostrar ciertos razonamientos que, pese a ser válidos, no

son demostrables en la lógica proposicional. Es lo que sucede con los silogismos de la lógica

clásica.

Sea por ejemplo el siguiente silogismo obviamente válido:

Todos los hombres son mortales

Sócrates es hombre

Sócrates es mortal

Si lo simbolizamos en lógica proposicional, tendremos la siguiente forma de razonamiento:

1) p

2) q___/ ∴ r

Si ahora hacemos su condicional asociado y le asignamos valores de verdad, obtendremos lo

siguiente:

( p . q ) � r

V V

V F

F

Es decir, que aún tratándose de un razonamiento válido, el condicional asociado no es

tautológico. Y esto es así, porque la validez de un silogismo, como es el caso del razonamiento

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que hemos puesto por ejemplo, está determinada por cierta relación que se da entre los

términos que constituyen las proposiciones.

Ahora bien, según la teoría de la lógica de predicados, el análisis de las proposiciones nos lleva

a distinguir dos tipos de términos : términos de individuo, y términos de propiedades de individuo. Los

términos de individuo pueden ser variables o constantes, en tanto que los términos de propiedades son siempre

variables.

Es decir, el individuo es el sujeto lógico del que se predican diferentes propiedades. En el

ejemplo anterior, la proposición ‘Sócrates es mortal’ está compuesta por el término de

individuo ‘Sócrates’ y el término de propiedad ‘ser mortal’ . Los términos de individuos

determinados, es decir, los que podemos identificar con nombres propios, se simbolizan con

las letras minúsculas ‘a’, ‘b’, ‘c’, ...etc. En ocasiones, también entendemos como nombres

propios los pronombres personales del estilo ‘yo, tú’, él, etc., llamados ‘particulares

egocéntricos’, que, en determinados contextos funcionan como tales. Cuando se trata de

proposiciones en las que se predica de individuos indeterminados, como sería el caso de decir

‘algunos’, ‘todos’, ‘cualquiera’ etc. se simbolizan con la variable ‘x’. Esto es así en la lógica de

predicados monádicos, que es la que nos ocupa, es decir cuando las proposiciones son tales

que se predica en ellas de un solo sujeto lógico. Por ejemplo: ‘Ignacio es alto’. Aquí, el

predicado ‘ser alto’ se predica de un individuo que es el único sujeto lógico de la proposición.

Pero si yo digo: ‘Ignacio es más alto que Mariano’, la expresión ‘ser más alto que’, relaciona a

dos sujetos lógicos, que son Ignacio y Mariano. De modo que las proposiciones pueden estar

constituidas por predicados monádicos o poliádicos. Pero en nuestro programa sólo nos

ocuparemos de los predicados monádicos, y en este caso, la variable de individuo es ‘x’. En

cuanto a las propiedades que se predican de estos individuos, se simbolizan con las letras

mayúsculas ‘F’, ‘G’, ‘H’, ‘I’, ‘J’, etc. Con lo que la proposición ‘Sócrates es mortal’, se simboliza

‘Fa’, y se lee ‘ F de a’.

Pero antes de penetrar en la simbolización de las proposiciones, es preciso que hagamos una

clasificación de las mismas.

Clasificación de las proposiciones con predicados monádicos.

1) Proposiciones singulares simples

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La primera diferenciación será entre proposiciones singulares y generales. Las proposiciones

singulares son aquellas cuyo sujeto lógico es un individuo determinado, al que podemos

designar mediante un nombre propio. Aclaremos que los individuos determinados no son

únicamente las personas. También son individuos determinados las regiones geográficas, como

por ejemplo la República Argentina, el título de algunas obras, como el ‘Martín Fierro’, el

nombre de algunas cosas, como ‘la Casa Blanca’ o ‘La Gioconda’, o de personajes como ‘el

Pato Donald’ etc. Y también ciertas descripciones que también designan a un solo individuo,

como ‘el monumento que se encuentra en la Plaza de la República en el centro de la ciudad de

Buenos Aires’, o ‘el autor del Quijote de la Mancha’ , etc. Como ya dijimos, esos individuos

determinados se simbolizan con las letras minúsculas ‘a’, ‘b’, ‘c’, etc., llamadas constantes de

individuo. Ahora bien, las proposiciones son simples cuando tienen una sola letra de predicado, o sea,

cuando predico una sola propiedad del sujeto lógico. Por lo cual, una proposición singular

simple es aquella en la que predico una sola propiedad de un individuo determinado. Veamos

algunos ejemplos:

Joaquín estudia Su simbolización es: Fa

El Río de la Plata está contaminado “ “ Fa

Proposiciones singulares compuestas.

Son aquellas proposiciones que contienen en su estructura más de una proposición singular

simple, y que requieren en su simbolización el nexo de una conectiva extensional. Por ejemplo:

Joaquín estudia y trabaja Su simbolización es: Fa . Ga

Si el Río de la Plata está contaminado,

Matías no se baña en él Su simbolización es: Fa � -Gb

En la forma ‘Fa � -Gb’ advertimos, que ‘a’ simboliza a un individuo : ‘el Río de la Plata’, ‘F’,

simboliza una propiedad, que es ‘estar contaminado’, ‘b’ simboliza otro individuo : ‘Matías’,

en tanto que ‘ -. G ‘ señala la propiedad ‘no se baña’. Tengamos en cuenta que lo que se está negando

es la propiedad ‘bañarse en el río’, y por lo tanto, la negación debe anteceder a la letra de predicado

Veamos más ejemplos.

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Joaquín estudia y Matías juega. Su simbolización es: Fa . Gb

Joaquín y Matías estudian “ “ Fa . Fb

Joaquín y Matías no juegan “ “ - Fa . –Fb

Joaquín estudia o juega “ “ Fa v Ga

Joaquín estudia si y sólo si Matías juega. “ “ Fa � Gb

Si Joaquín estudia pero no juega, Matías estudia “ “ (Fa . – Ga) � Fb

Si Joaquín viene, Matías no viene “ “ Fa � - Fb

Joaquín estudia o Matías estudia “ “ Fa v Fb

No es cierto que Joaquín y Matías estudian “ “ - ( Fa . Fb )

Proposiciones Generales Simples

Las proposiciones son generales cuando el sujeto lógico no es un individuo determinado sino

individuos indeterminados, que pueden ser algunos o todos. Por ejemplo, podría decir,

‘algunos estudian’ o ‘todos juegan’, sin especificar de qué individuos determinados estoy

predicando ‘estudiar’ o ‘jugar’. En este caso, la lógica de predicados simboliza al sujeto lógico,

es decir, al sujeto de predicación, mediante cuantificadores.

Los cuantificadores pueden ser universales, si predico de todos, o existenciales si predico de al

menos un individuo indeterminado. La simbolización del cuantificador universal es ‘(x)’ que

se lee ‘para todo x’, y la del cuantificador existencial es ‘(Ex)’ que se lee ‘existe al menos un x

tal que...’

Por otra parte, las proposiciones generales – sea universales o existenciales - son simples

cuando tienen una sola letra de predicado, vale decir, cuando sólo predico una propiedad.

Veamos algunos ejemplos:

Todo es bueno Se simboliza: (x) Fx

Se lee: Para todo x F de x

Algo es bueno Se simboliza . (Ex) Fx

Se lee: Existe al menos un x tal que F de x

Nada es bueno Se simboliza (x) – Fx

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Se lee: Para todo x no F de x

Algo no es bueno Se simboliza (Ex) –Fx

Se lee: Existe al menos un x tal que no F de x.

Advirtamos que, tal como acontecía en las proposiciones singulares, cuando la proposición

niega la propiedad que predica, en la simbolización la negación debe anteceder a la letra de

predicado. Además, expresiones tales como ‘nada’, ‘ningún’, ‘nadie’, etc., son formas

lingüísticas del castellano que significan ‘todo no’ o ‘todos no’. En efecto, una proposición que

en castellano enuncia ‘ninguno aprobó’, quiere decir que todos no aprobaron, de modo que está

negando la propiedad ‘aprobar’ de todos . Si digo ‘nada está quieto’, quiero decir que todo no

está quieto. Luego, la simbolización correcta de estas proposiciones exige el cuantificador

universal y la negación de la propiedad que predico .En este caso, la simbolización que

corresponde a la proposición ‘nada está quieto’ es (x) –Fx, o sea: de todo, predico que no

está quieto.

El cuantificador universal no sólo se expresa en castellano con las palabras ‘todos’ o ‘todo’.

También la palabra ‘cualquiera’ equivale al cuantificador ‘todos’. Por ejemplo la proposición

‘nada está quieto’, podría expresarse también diciendo ‘cualquiera sea el individuo del universo,

ese individuo no está quieto’, o también, ‘ dado cualquier ente, éste no está quieto’.

En cuanto al cuantificador existencial tampoco se limita a la palabra ‘algunos’, ‘alguien’ o ‘algo’.

También suele expresarse mediante el término ‘hay’, o ‘existe’. Si digo por ejemplo, ‘hay

fantasmas’, lo que estoy queriendo expresar es que existe algún individuo ‘x’, que dentro del

universo tiene la propiedad de ser fantasma, o bien que algún ente individual tiene la propiedad

de ser fantasma. En símbolos, esa proposición se formaliza (Ex) Fx.

Proposiciones generales complejas

Una proposición general es compleja cuando tiene dos o más letras de predicado. Es decir,

cuando de todos o algunos individuos ‘x’, predico dos o más propiedades.

En las proposiciones generales simples, veíamos que no se especificaba de qué tipo de

individuos se predicaba la propiedad. Es decir, decíamos, por ejemplo, ‘todo está quieto’ o

‘algo se mueve’, sin que se determinara de qué ‘todo’ o de qué ‘algo’ estábamos predicando.

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Pero si la proposición enuncia, por ejemplo: ‘todos los árboles están quietos’ o ‘algún árbol se

mueve’, en estos casos, las propiedades ‘estar quietos’ o ‘ se mueve’ no se predican ni de algo

ni de todo en general, sino de determinados individuos ‘x’, que además, en este caso, tienen la

propiedad de ser árboles.

Entonces, una proposición del estilo ‘todos los árboles están quietos’, según el análisis que

efectúa la lógica de la cuantificación, se descompone en un término lógico constante que es el

cuantificador ‘todos’ y que cumple la función de sujeto lógico de la proposición, y en dos

términos variables que son las propiedades predicadas de ese sujeto lógico, a saber, ‘ser árboles’

y ‘estar quietos’.

La simbolización de la proposición que estamos analizando es la siguiente:

(x) (Fx � Gx)

Esa proposición debe leerse de la siguiente manera: Para todo x, si F de x entonces, Gx. En

castellano, la leeríamos : para todos los individuos ‘x’ , si esos ‘x’ tienen la propiedad de ser

árboles, entonces tienen la propiedad de estar quietos.

Simbolicemos ahora la proposición existencial ‘algún árbol se mueve’.

(Ex) (Fx . Gx)

Esta simbolización se lee: existe algún x tal que F de x y G de x. Y en castellano, la

interpretación sería: existe algún individuo ‘x’ tal que tiene la propiedad de ser árbol y además

tiene la propiedad de moverse.

Advirtamos algunas peculiaridades de ambas simbolizaciones.

En primer lugar, vemos que en la simbolización de la proposición universal, la conectiva lógica

que vincula ambos predicados es el condicional, en tanto que en la proposición existencial, el

nexo lógico es la conjunción. Esto es así por lo siguiente: en el caso de la proposición

existencial, de algunos individuos ‘x’ predico dos propiedades que tienen independencia entre

sí y que simplemente van unidas en esos individuos. Por ejemplo:

Algunos gatos son negros (Ex) (Fx . Gx)

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El análisis es el siguiente: existen algunos individuos ‘x’ que tienen la propiedad de ser gatos y

además de ser negros. Es decir, vinculamos por conjunción dos propiedades independientes

que poseen algunos individuos.

Pero si se trata de una proposición universal, las cosas cambian. Veamos un ejemplo:

Todos los gatos son felinos (x) (Fx � Gx)

Aquí, la propiedad ‘ser felino’ no es independiente de la propiedad ‘ser gato’. Si

simbolizáramos la universal mediante conjunción, quedaría la siguiente forma cuantificacional:

(x) (Fx . Gx) Y esto debería leerse: Todos los individuos ‘x’ del universo tienen la propiedad

de ser gatos y además de ser felinos. Lo que resulta obviamente falso, puesto que los

individuos del universo no sólo son gatos, sino perros, piedras, árboles, flores, mesas o

jarrones, de los que no se puede predicar con verdad que sean felinos.

Si, en cambio, simbolizamos con el condicional , la forma (x) (Fx � Gx), se interpreta

diciendo que, para todos los individuos x que hay en el universo, si esos individuos son gatos,

entonces son felinos. Es decir que no se trata de dos propiedades independientes, sino que el

‘ser felino’ se predica sólo si se trata de gatos. De allí que en las formas cuantificadas

universalmente, el nexo entre los dos predicados es el condicional, mientras que en las formas

cuantificadas existencialmente, utilizamos la conjunción.

La otra peculiaridad es el uso de los paréntesis. Pero para poder explicar la necesidad de

encerrar las letras de predicados entre paréntesis, debemos distinguir entre proposiciones y

funciones proposicionales, cosa que haremos inmediatamente después de seguir simbolizando

las proposiciones generales complejas.

Veamos ahora de qué modo se simbolizan las proposiciones negativas, es decir las que niegan

el predicado gramatical del sujeto gramatical.

Sea la siguiente proposición:

Algunas copas no son de cristal Su simbolización es: (Ex) (Fx . – Gx)

La lectura en lenguaje lógico es: existe algún x tal que F de x y no G de x. Y en castellano, la

interpretamos de la siguiente manera: Existe algún x que tiene la propiedad de ser copa y que

no tiene la propiedad de ser de cristal.

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Vale decir que, en tanto lo que niega la proposición ‘algunas copas no son de cristal’ es el

predicado gramatical ‘ser de cristal’, la letra de predicado que debe ser negada es aquella que

simboliza esa propiedad negada, que en este caso es la propiedad ‘G’.

Veamos otro ejemplo:

Ninguna copa es de cristal Su simbolización es: (x) (Fx � - Gx)

Su lectura en lenguaje lógico es: para todo x, si F de x entonces no G de x. Y en castellano,

interpretamos: para todos los individuos x , si esos individuos tienen la propiedad de ser copas,

entonces no tienen la propiedad de ser de cristal.

Como ya hemos dicho antes, las proposiciones que en castellano se expresan como ‘ningún’,

‘nada’ etc., lo que quieren decir es que todos aquellos individuos de los que se predica no

poseen la propiedad predicada. O sea, ‘ninguna copa es de cristal’ significa que todas las copas

no son de cristal. De allí que este tipo de proposiciones se simbolizan con el cuantificador

universal, vinculan el sujeto gramatical con el predicado gramatical con un condicional, y

niegan la letra que simboliza el predicado gramatical.

Respecto del uso del condicional como conectiva para vincular ambos predicados, la

justificación es la misma que utilizamos en el caso de la proposición universal afirmativa . En

este caso, la proposición ‘ninguna copa es de cristal’, no puede ser simbolizada con una

conjunción, es decir ‘(x) (Fx . - Gx)’, ya que si así lo hiciera, la interpretación en castellano

sería: dado cualquier individuo x del universo, ese individuo es copa y no es de cristal.

Obviamente no es eso lo que dice la proposición ‘ninguna copa es de cristal’, ya que el no ser

de cristal es predicado sólo de las copas y no de cualquier individuo x del universo. Es así que

la simbolización correcta es : (x) ( Fx � - Gx), ya que predicamos que no son de cristal de

aquellos individuos x que tienen la propiedad de ser copas. Entonces, eso se expresa diciendo

que si son copas no son de cristal.

Las proposiciones categóricas clásicas: A , E , I, O

Como ya habíamos anticipado, la lógica clásica privilegió las proposiciones categóricas

reductibles a la forma S es P, en la que ‘S’ simboliza el sujeto gramatical y ‘P’simboliza el

predicado gramatical. Estas proposiciones fueron clasificadas en cuatro grupos: 1)

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proposiciones universales afirmativas, del estilo ‘Todo S es P’, a las que se las denomina

proposiciones ‘A’, 2) proposiciones universales negativas, de la forma ‘Ningún S es P’, a las que

se las denominó proposiciones ‘E’, 3) proposiciones particulares afirmativas, de la forma

‘Algún S es P’, que se denominaron proposiciones ‘I’, y 4) proposiciones particulares negativas

del estilo ‘Algún S no es P’ que se conocen como proposiciones ‘O’. De acuerdo a esto, se

configuró un cuadro llamado ‘cuadro de la oposición aristotélica’ y que es el siguiente:

A Todo S es P E Ningún S es P

I Algún S es P O Algún S no es P

La lógica de predicados reinterpreta este cuadro, simboliza todos los términos que, como el

cuantificador y la cópula no eran simbolizados en la lógica clásica y nos da de él la siguiente

formalización.

A (x) (Fx � Gx) E (x) (Fx � - Gx)

I (Ex) (Fx . Gx) O (Ex) (Fx . – Gx)

Es importante aclarar que para la lógica clásica las proposiciones singulares no se diferenciaban

de las universales. Vale decir, una proposición del tipo ‘Sócrates es mortal’ era interpretada

como una proposición ‘A’, es decir universal y afirmativa porque el ser mortal se predicaba de

todo Sócrates. En cambio, la lógica contemporánea, al simbolizar los términos de individuo

determinados mediante las constantes ‘a’,’b’, ‘c’, etc. diferencia la simbolización de las

proposiciones singulares, que en el caso de ‘Sócrates es mortal’, se formaliza como Fa.

Proposiciones generales complejas con más de dos letras de predicado

No siempre las proposiciones complejas tienen , como las categóricas clásicas, sólo dos letras

de predicado. Veamos la siguiente proposición, y analicemos sus términos

Todos los libros de filosofía son profundos pero complicados

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El término ‘todos’ : (x)

Predicado: ‘libros’ : F

“ ‘de filosofía’ : G

“ ‘profundos’ : H

“ ‘complicados’ I

Entonces esta es una proposición universal y afirmativa pero que tiene cuatro letras de

predicado. Su simbolización es la siguiente:

(x) [(Fx . Gx) � (Hx . Ix)]

La leemos en términos lógicos: Para todo x si F de x y G de x, entonces, H de x e I de x

Y leída en castellano sería: Dado cualquier individuo x, si ese individuo tiene la propiedad de

ser libro y de ser de filosofía, entonces ese individuo tiene la propiedad de ser profundo y la

propiedad de ser complicado.

Veamos otro ejemplo:

Ningún perro de caza es dócil

Su simbolización es:

(x) [(Fx . Gx) � - Hx]

Su lectura en lenguaje lógico: Para todo x si F de x y G de x , entonces, no H de x.

Su lectura en castellano: Dado cualquier individuo x, si ese individuo tiene la propiedad de ser

perro y de ser de caza, entonces, no tiene la propiedad de ser dócil.

Otro ejemplo:

Algunas mariposas son enormes y bellísimas.

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Simbolización:

(Ex) [ Fx . (Gx . Ix)]

Lectura en lenguaje lógico: Existe al menos un x tal que F de x y G de x e I de x.

Lectura en castellano: Existe al menos un individuo x que tiene la propiedad de ser mariposa,

la propiedad de ser enorme y la propiedad de ser bellísimo.

Otro ejemplo:

Algunos niños muy inteligentes no son sociables ni comunicativos.

Su simbolización:

(Ex) [( Fx . Gx) . (-Hx . – Ix )]

Su lectura en lenguaje lógico: Existe al menos un x tal que F de x y G de x, y no H de x y no I

de x.

Su lectura en castellano: Existe al menos un individuo x que tiene la propiedad de ser niño y de

ser muy inteligente, y que no tiene la propiedad de ser sociable ni la propiedad de ser

comunicativo.

Esta interpretación que hace la teoría cuantificacional del lenguaje natural nos permite advertir

que no siempre coinciden el sujeto gramatical con el sujeto lógico.

Sujeto gramatical y sujeto lógico.

En todas las proposiciones generales complejas analizadas, advertimos que no hay coincidencia

entre el sujeto gramatical y el sujeto lógico. En efecto, el sujeto lógico es siempre el individuo, sea un

individuo indeterminado ‘x’, o un individuo determinado ‘ a’. Y ese sujeto lógico individual es algo

vacío de propiedades, porque si ese individuo es un gato, el ser gato es una propiedad general

que tienen todos los individuos que son gatos. Es decir , ‘gato’ no designa un individuo sino

una clase universal de individuos, y el sujeto lógico no es nunca un universal sino siempre un

individuo. No sucede lo mismo con el sujeto gramatical, que en muchas ocasiones es la clase

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universal. Por ejemplo en la proposición ‘todos los gatos son mimosos’, el sujeto gramatical es

la clase universal de los gatos. Para la lógica cuantificacional, en cambio, el ser gato es una

propiedad de algunos individuos y por lo tanto uno de los predicados que se atribuyen a un

sujeto por principio vacío de todo contenido determinado. Y eso es así, aún en el caso de

individuos determinados. Si digo : ‘Panchito es muy mimoso’, que simbolizamos Fa,

‘Panchito’ es un mero nombre, que puede ser nombre de gato, o de perro, o de persona, o de

muchas otras cosas. Si quiero especificar que Panchito es un gato, debo predicarlo y decir por

ejemplo, ‘Panchito es un gato muy mimoso’, en cuyo caso la simbolización es Fa . Ga. , que

leeríamos Panchito tiene la propiedad de ser gato y de ser muy mimoso.

Esta diferenciación entre el sujeto gramatical y el sujeto lógico, que es fundamental, debe ser

tenida en cuenta toda vez que procedamos a simbolizar proposiciones a fin de evitar errores.

Funciones proposicionales..

Una función proposicional es una expresión que tiene uno o más componentes indeterminados, tal

que, si determinamos lo que esos componentes son, obtenemos una proposición. Esas

expresiones indeterminadas son variables libres, vale decir, no ligadas por el cuantificador.

Veámoslo en ejemplos:

La expresión ‘ Fx’ es una función proposicional, en la medida en que posee un componente

indeterminado que es la ‘x’. Esa ‘x’ no designa nada determinado, y el predicado ‘F’ se dice de

nada determinado, por lo que es imposible decidir si ‘Fx’ es una expresión verdadera o falsa, lo

que hace que no sea una proposición. Pongamos un ejemplo para que esto se entienda. Dada la

función proposicional ‘Fx’, supongamos que esa función expresa la propiedad ‘ser estudiante’.

Es obvio que ‘ser estudiante’ no es una proposición, sino una expresión que puede ser

satisfecha por algunos individuos, determinados o no. Si, por ejemplo, Claudia es estudiante, y

la función proposicional ‘ser estudiante’ es satisfecha por Claudia, entonces sustituyo la

variable ‘x’ por la constante ‘a’ , digo ‘Fa’, que simboliza la proposición ‘Claudia es estudiante’,

y la función proposicional ‘Fx’ se convierte en la forma proposicional ‘Fa’, que es un caso de

sustitución de la función proposicional ‘Fx’. Entonces, si en la función proposicional ‘Fx’, la

propiedad ‘F’ no era predicada de nada , al sustituir la variable por la constante ‘a’, se determina

esa variable indeterminada, y se transforma la función proposicional en forma proposicional.

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Pero reemplazar una variable por una constante no es la única manera de transformar una

función proposicional en una proposición. Hay otro modo, que es anteponer un cuantificador

- sea universal o existencial – a la función proposicional. Es decir, la función proposicional

‘Fx’, se convierte en proposición si por ejemplo le antepongo el cuantificador universal, con lo

que obtengo la forma cuantificacional ‘(x) Fx’. En este caso, la propiedad ‘F’ es predicada de

todo, y si se tratara de un cuantificador existencial, es decir ‘(Ex) Fx’, la propiedad ‘F’ es

predicada de por lo menos un individuo. En nuestro ejemplo, sería ‘todos son estudiantes’ , o

algunos son estudiantes’.

Es decir, en la función proposicional hay una variable indeterminada, en este caso, ‘x’. A esa

variable indeterminada se la denomina variable libre. Ahora bien, el cuantificador liga la variable

libre, y de ese modo la determina.

Pero esto nos exige explicar cuál es el alcance del cuantificador para ligar variables libres.

Alcance de un cuantificador.

El alcance de un cuantificador para ligar variables libres llega hasta la primera letra de

predicado. Es decir, en la forma cuantificacional ‘ (x) Fx’, la ‘x’ que acompaña a la letra de

predicado ‘F’ está ligada por el cuantificador universal y en consecuencia está determinada, con

lo que la forma cuantificacional es una proposición y no una función proposicional. Pero en la

forma cuantificacional ‘(x) Fx � Gx’, la única variable ligada es la primera ‘x’ que acompaña a

la primera letra de predicado que es ‘F’, y en cambio la segunda ‘x’ que acompaña a la segunda

letra de predicado que es ‘G’ es una variable libre, puesto que el alcance del cuantificador llega hasta la

primera letra de predicado. Para extender el alcance del cuantificador debo recurrir a signos de puntuación tales

como paréntesis, corchetes o llaves.

O sea, la forma cuantificacional anterior, queda convertida en proposición si encierro las letras

de predicado entre paréntesis: (x) (Fx � Gx)

Si se tratara de formas más complejas, es decir, con más letras de predicado, debemos recurrir

a corchetes o a llaves. Por ejemplo:

a) (x) [ (Fx.Gx) � Hx.] b) (Ex) {[(Fx v Gx) � Hx] . – Ix}

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Si omitimos los signos de puntuación, la forma cuantificacional queda con al menos una

variable libre, y por lo tanto no es una forma proposicional sino una función proposicional. La

lógica no opera con funciones proposicionales, por lo que esa simbolización es incorrecta.

Sin embargo, tengamos en cuenta que estamos hablando de variables y no de constantes. Las

constantes de individuo, que simbolizamos con ‘a’, ‘b’, ‘c’, etc. no son variables, y por lo tanto

no necesitan ser ligadas por el cuantificador..En el ejemplo b) de más arriba, si reemplazamos

la variable ‘x’ que acompaña a ‘- I’, por una constante de individuo, la simbolización correcta

sería:

(Ex) [(Fx v Gx) � Hx] . – Ia

O sea que, al ser ‘a’ una constante, no necesita estar alcanzada por el cuantificador y por eso es

que queda fuera del corchete, y la forma cuantificacional es una proposición y no una función

proposicional ya que en ella no hay ninguna variable libre.

Simbolización de proposiciones

La mayor dificultad de la lógica de predicados consiste en una correcta simbolización de las

proposiciones, de modo que veremos en diferentes ejemplos cómo debemos proceder para

lograrlo.

Negación de propiedades y negación de cuantificadores.

Si decimos, por ejemplo, ‘nada está quieto’, lo que queremos decir es que ‘todo no está quieto’,

de modo que la simbolización exige utilizar el cuantificador universal y negar la letra de

predicado. En símbolos, esa proposición será formalizada de la siguiente manera: (x) – Fx.

Pero si decimos ‘no todo está quieto’, lo que queremos decir, es que el ‘estar quieto’no se

predica de todo, de modo que lo que estamos negando no es la propiedad sino el cuantificador

universal. En símbolos, la formalización de esa proposición es la siguiente: - (x) Fx.

Esta diferenciación entre la negación de la propiedad y la negación del cuantificador, suele

provocar confusiones que intentaremos clarificar en sucesivos ejemplos.

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Matías es estudiante Fa

Matías no es estudiante - Fa

Todo es azul (x) Fx

Nada es azul (x) – Fx

No todo es azul - (x) Fx

Algo es azul (Ex) Fx

Algo no es azul (Ex) – Fx

No hay algo azul - (Ex) Fx

Aquí hemos presentado ejemplos de proposiciones simples, es decir que tienen una sola letra

de predicado - singulares y generales- y las posibilidades de esas proposiciones negadas. En las

proposiciones singulares, que no llevan cuantificador, no hay demasiado problema. Cuando

afirmo la propiedad, la letra de predicado va afirmada. Cuando niego la propiedad, la letra de

predicado va negada.

En el caso de las proposiciones generales – que se simbolizan con un cuantificador, sea

existencia o universal – si lo que niego es la propiedad, la negación se antepone a la letra de

predicado. Si por el contrario lo que digo es que esa propiedad no se predica de todos, niego el

cuantificador universal, y si lo que digo es que esa propiedad no se predica ni si quiera de al

menos un individuo, lo que niego es el cuantificador existencial.

Veamos ahora ejemplos de negación de proposiciones que contienen más de una letra de

predicado.

a) Proposiciones singulares compuestas.

Matías no estudia ni trabaja - Fa . – Ga

No es cierto que Matías estudia y trabaja - (Fa . Ga)

Si Matías estudia, no trabaja Fa � - Ga

Matías no estudia o no trabaja - Fa v - Ga

Es falso que Matías estudia o trabaja - ( Fa v Ga)

Matías estudia si y sólo si no trabaja Fa � - Ga

Si Matías estudia, Carlos no trabaja Fa � - Gb

No es cierto que Matías estudia y Carlos trabaja - ( Fa . Gb)

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Matías estudia o Carlos no trabaja Fa v – Gb

b) Proposiciones generales complejas

Ningún estudiante aprueba (x) (Fx � - Gx)

Todos los estudiantes no aprueban (x) (Fx � -Gx)

No todos los estudiantes aprueban - (x) (Fx � Gx)

Hay estudiantes que no aprueban (Ex) Fx . - Gx)

No hay estudiantes que no aprueban - (Ex) (Fx . - Gx)

No hay estudiantes que aprueben - (Ex) (Fx . Gx)

Ningún estudiante que promociona rinde examen final (x) [(Fx . Gx) � -Hx]

Todos los estudiantes que promocionan no rinden examen

final. (x) [(Fx .Gx) � - Hx]

Algunos estudiantes no promocionan pero aprueban (Ex) [Fx . ( –Gx . Hx)]

Hay estudiantes que no promocionan pero que aprueban

(Ex)[(Fx . –Gx) . Hx]

Algunos estudiantes que no promocionan, rinden final y

aprueban

(Ex)[(Fx . –Gx) . (Hx . Ix)]

No hay estudiantes que promocionan y rinden final

- (Ex) [(Fx. Gx) . Hx]

No todos lo estudiantes que aprueban promocionan

- (x) [(Fx . Gx) � Hx]

c) Las proposiciones categóricas clásicas y sus negaciones

A Todos los gatos son mimosos (x) (Fx � Gx)

- A No todos los gatos son mimosos - (x) (Fx � Gx)

E Ningún gato es mimoso (x) (Fx � - Gx)

- E No es cierto que ningún gato es mimoso - (x) (Fx � - Gx)

I Algunos gatos son mimosos (Ex) (Fx . Gx)

- I No hay gatos mimosos - (Ex) (Fx . Gx)

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O Algunos gatos no son mimosos (Ex) (Fx . –Gx)

- O No hay gatos que no son mimosos - (Ex) (Fx . – Gx)

Si analizamos los ejemplos anteriores, veremos que no es lo mismo negar la propiedad que se

predica que negar el cuantificador. Es importante tener clara esta diferencia para evitar errores

en el proceso de simbolización de las proposiciones al lenguaje de la lógica de predicados.

Reiteramos: Si digo ‘Ningún globo es rojo’ , lo que quiero significar es que todos los globos no

son rojos. O sea predico de todos que no . Por el contrario, si digo : ‘No todos los globos son

rojos’, lo que estoy significando es que el ser rojo se predica de no todos.

Lo mismo sucede con las proposiciones existenciales. Si digo: ‘Algunos globos no son rojos’,

niego la propiedad ‘rojo’ de algunos globos. Pero, por el contrario, si digo ‘No hay globos

rojos’, digo que no se predica la propiedad ‘rojo’ ni siquiera de un globo.

El cuadrado de la oposición aristotélica

Todo S es P Ningún S es P

(x) (Fx ���� Gx) A E (x)( Fx ���� - Gx)

Algún S es P Algún S no es P

(Ex) (Fx . Gx) I O (Ex) (Fx . – Gx)

Este cuadro, utilizado por la lógica clásica, organizaba las proposiciones categóricas A,E,I, y O,

en cuatro vértices que indicaban las relaciones de verdad y falsedad que se establecían entre

ellas.

De estas relaciones, la lógica clásica establecía la siguiente clasificación:

Proposiciones A y E : Proposiciones contrarias. Dos proposiciones contrarias no pueden ser

ambas verdaderas, pero pueden ser ambas falsas.

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Proposición A verdadera: Todos los tucumanos son argentinos

Proposición E falsa Ningún tucumano es argentino

Proposición E verdadera: Ningún perro vuela

Proposición A falsa Todos los perros vuelan

Proposición A falsa Todos los argentinos son morochos

Proposición E falsa Ningún argentino es morocho

Estos ejemplos muestran que, si una proposición A es verdadera, la proposición E

correspondiente es falsa, y si una proposición E es verdadera, la A correspondiente es falsa. Sin

embargo si una proposición A o una proposición E son falsas, no se sigue nada, ya que la E o

la A correspondientes también pueden ser falsas.

Proposiciones I y O : Proposiciones subcontrarias. En las proposiciones subcontrarias se da la

relación inversa, ambas pueden ser verdaderas pero no pueden ser ambas falsas.

Proposición I verdadera: Algunos argentinos son morochos

Proposición O verdadera: Algunos argentinos no son morochos.

Proposición I falsa Algunos argentinos son europeos

Proposición O verdadera Algunos argentinos no son europeos.

Proposición O falsa Algunos tucumanos no son argentinos

Proposición I verdadera Algunos tucumanos son argentinos

Aquí vemos que cuando una proposición I, u O son verdaderas las proposiciones O e I

correspondientes también pueden ser verdaderas. Pero si son falsas, las subcontrarias

correspondientes son verdaderas. Es decir que no pueden ser ambas falsas.

Proposiciones A e I y E y O : Entre las proposiciones A e I y E y O se da una relación de

subalternación en el sentido de que I es subalterna de A, y de que O es subalterna de E. Eso

significa que la verdad de I y de O está supeditada a la verdad de A y de E respectivamente.

Es decir, si A es verdadera, la I correspondiente también lo es, y si E es verdadera, la O

correspondiente también lo es. Veamos algunos ejemplos.

Proposición A verdadera : Todos los patos son aves.

Proposición I verdadera: Algunos patos son aves.

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Proposición E verdadera: Ningún perro vuela

Proposición O verdadera: Algunos perros no vuelan.

Es decir, lo que se predica con verdad de ‘todos’ naturalmente también se predica con verdad

de algunos de esos todos. O sea, si digo que todas las manzanas son frutas, - y eso es

verdadero- también es verdadero que algunas manzanas son frutas. Y si digo que ningún

cuadrado tiene tres ángulos, - y eso es verdadero – también es verdadero afirmar que algunos

cuadrados no tienen tres ángulos.

Desde luego que si A y E son falsas, de allí no se deduce ni la verdad ni la falsedad de la I o

de la O correspondientes. Veamos algunos ejemplos:

Proposición A falsa: Todos los argentinos son simpatizantes de Boca Jrs.

Proposición I verdadera: Algunos argentinos son simpatizantes de Boca Jrs.

Proposición E falsa: Ningún argentino es simpatizante de Boca Jrs.

Proposición O verdadera: Algunos argentinos no son simpatizantes de Boca Jrs.

Proposiciones A – O y E – I : La relación entre las proposiciones A y O y E e I son

relaciones de contradicción. Esto significa que no pueden ser ambas verdaderas ni pueden ser

ambas falsas. O sea, si A es verdadera, necesariamente O es falsa, y si A es falsa,

necesariamente O es verdadera. A su vez, si E es verdadera, I es necesariamente falsa, y si E es

falsa, I es necesariamente verdadera. Y esto , además, recíprocamente. Vale decir, de la verdad

de I se sigue la falsedad de E , y de la falsedad de I se sigue la verdad de E. A su vez, de la

verdad de O se sigue la falsedad de A y de la falsedad de O se sigue la verdad de A.

Veamos algunos ejemplos:

Proposición A verdadera : Todos los perros son mamíferos

Proposición O falsa : Algunos perros no son mamíferos

Proposición A falsa : Todos los perros son blancos

Proposición O verdadera: Algunos perros no son blancos.

Proposición E verdadera : Ningún caballo es bípedo

Proposición I falsa : Algunos caballos son bípedos.

Proposición E falsa : Ningún político es honesto

Proposición I verdadera : Algunos políticos son honestos.

20

Interpretación del cuadrado de la oposición en la lógica cuantificacional.

La lógica contemporánea, no acepta las relaciones que la lógica clásica efectuaba entre las

proposiciones A,E,I, y O, que hemos expuesto anteriormente, y sólo mantiene como válidas, las

inferencias que se establecen en las diagonales del cuadrado que son las relaciones de contradicción. Veamos

cuáles son los fundamentos.

1) A y E no son enunciados contrarios.

Recordemos que dos enunciados contrarios no pueden ser ambos verdaderos. Según la lógica

de predicados, A y E pueden ser ambos verdaderos, luego, no son contrarios. ¿Cuál es la

fundamentación?

Veámoslo en un ejemplo:

A : Todos los marcianos son inteligentes

E : Ningún marciano es inteligente

La simbolización correspondiente en la lógica de predicados es:

A : (x) ( Fx � Gx)

E : (x) ( Fx � - Gx)

Ahora bien, dada la función proposicional ‘ Fx � Gx’ , todo caso de sustitución de sus

variables por constantes, nos dará una proposición condicional verdadera. O sea, ‘Fa � Ga’, o

‘Fb � Gb’, o ‘Fc � Gc’. Porque es falso que ‘a’, ‘b’ o ‘c’ sean marcianos, ya que no hay

marcianos. Y cuando en un condicional el antecedente es falso, ese condicional es verdadero.

Por otra parte, acontece lo mismo con la función proposicional ‘Fx � -Gx’. Si sustituyo las

variables por constantes, ‘Fa � - Ga’ , ‘Fb � - Gb’ o ‘Fc � - Gc’, quienes quiera que sean los

individuos ‘a’,’b’, o ‘c’, es obvio que no son marcianos, puesto que marcianos, no los hay.

Luego, ‘Fa’, ‘Fb’, o ‘Fc’ son proposiciones falsas que cumplen la función de ser antecedentes

de un condicional, y cuando en un condicional el antecedente es falso, el condicional es

verdadero.

21

Es decir, la lógica contemporánea no presupone la existencia de los individuos que las proposiciones generales

subsumen bajo su generalidad. Y si tales individuos no existen, todo lo que se predique de ellos no

puede ser falso. Si afirmo : ‘los fantasmas son divertidos’ , es tan válido como afirmar : ‘los

fantasmas no son divertidos’, precisamente porque al no haber fantasmas, ninguna de esas

proposiciones es verificable.

Luego, si hay casos en que las proposiciones A y E pueden ser ambas verdaderas, entonces, no son contrarias.

2) Las proposiciones I no son subalternas de las proposiciones A

Recordemos que las proposiciones I son consideradas subalternas de A, porque si la

proposición A es verdadera, la I correspondiente también es verdadera.

Retomemos el ejemplo anterior:

Proposición A : Todos los marcianos son inteligentes

Proposición I : Algunos marcianos son inteligentes.

La simbolización correspondiente en la lógica de predicados es:

Proposición A : (x) (Fx � Gx)

Proposición I : (Ex) ( Fx . Gx)

Ya vimos que en la proposición A, puesto que no existen individuos que tengan la propiedad

‘F’, es decir la de ser marcianos, el condicional es verdadero.

Pero en la proposición I correspondiente, la función proposicional ‘Fx . Gx’ no tiene ningún

caso de sustitución verdadero, pues no hay ningún individuo que tenga la propiedad ‘F’, es

decir la de ser marciano. Y como en una conjunción basta que un conjuntivo sea falso para

que la conjunción sea falsa, sucede que las proposiciones ‘Fa . Ga’, o ‘Fb . Gb’, etc, como

casos de sustitución de esa función proposicional son todas falsas. Y también será falsa la

generalización de la proposición ‘Fa . Ga’ que es (Ex) (Fx. Gx)

Por lo que, se da el caso de una proposición A verdadera, y una correspondiente I falsa. Luego,

I, no es subalterna de A.

3) Las proposiciones O no son subalternas de las proposiciones E

22

Aquí la fundamentación es similar al caso anterior.

Proposición E : Ningún marciano es inteligente

Proposición O: Algunos marcianos no son inteligentes.

Su simbolización es:

Proposición E : (x) (Fx � - Gx)

Proposición O : (Ex) (Fx . – Gx)

Por cuanto la lógica contemporánea no da por supuesto – como lo hacía la lógica clásica – la

existencia de al menos un individuo que tenga la propiedad ‘F’, que en este caso es la de ser

marciano, sucede que la función proposicional ‘Fx’ no tiene ningún caso de sustitución

verdadero, puesto que no hay marcianos. Y de ese modo, en tanto la proposición universal se

simboliza con un condicional cuyo antecedente es falso, esa proposición es verdadera. Pero la

correspondiente proposición existencial, que se simboliza con conjuntivos, al tener un

conjuntivo falso resulta falsa. Luego, de la verdad de E no se sigue la verdad de O, y por lo

tanto O no es subalterna de E.

4) Las proposiciones I y O no son subcontrarias.

Recordemos que dos proposiciones son subcontrarias cuando pueden ser ambas verdaderas

pero no pueden ser ambas falsas. Veremos que en la interpretación de la lógica cuantificacional

tal exigencia no se cumple.

Proposición I : Algunos marcianos son inteligentes

Proposición O : Algunos marcianos no son inteligentes.

Simbolización:

Proposición I : (Ex) (Fx . Gx)

Proposición O: (Ex) (Fx . – Gx)

Por cuanto no hay marcianos, no hay ningún caso de sustitución que satisfaga la función

proposicional ‘Fx’, y en consecuencia, en ambas proposiciones tendremos un conjuntivo falso

23

que torna falsas ambas proposiciones. En consecuencia, no se establece entre ellas la relación

de subcontrariedad.

5) Las proposiciones A respecto de O y E respecto de I son contradictorias

Como ya anticipamos, las relaciones que se establecen en las diagonales del cuadrado se

mantienen en la lógica cuantificacional, por lo que A – O son contradictorias y E – I también

lo son, es decir, si una de ellas es verdadera la otra es necesariamente falsa. Veremos más

adelante la fundamentación de la validez de esa relación cuando estudiemos las leyes de la

oposición aristotélica.

EJERCITACIÓN

Proposiciones singulares:

Simbolizar las siguientes proposiciones singulares:

a) Matías estudia y Daniel juega

b) Si vienen Laura y Luis, Mariana se irá.

c) Si el Sol ilumina, la Luna brilla.

d) Platón o Sócrates, utilizan el método dialéctico.

e) Gastón es un buen estudiante y un excelente amigo.

f) Si Alicia viene, Patricia no viene.

g) El Aconcagua no es el pico más alto, pero sí lo es el Everest.

h) Rubén y Adriana son estudiantes de psicología pero Maximiliano no estudia psicología.

i) El Río de la Plata es muy ancho pero está contaminado.

j) Argentina crecerá si y sólo si Brasil la ayuda.

k) Argentina no crecerá si el F.M.I. es intransigente

l) ‘Don Quijote de la Mancha’ y ‘Martín Fierro’ son pilares de la literatura.

24

m) El autor del ‘Quijote de la Mancha’ era manco.

n) San Martín fue el libertador pero no murió en Argentina.

m) El Ratón Mickey es muy simpático.

n) La Constitución Nacional Argentina fue reformada.

o) Ana o Paula son las ganadoras.

p) Si Ana o Paula son las ganadoras, Valeria no ganará.

q) Si el Dr. Martínez y el Dr. Alvarez están de acuerdo, Claudia o Esteban viajarán.

Términos de individuo y de propiedades de individuo

Distinguir en las siguientes proposiciones cuáles son términos de individuo y cuáles son

términos de propiedades de individuo.

a) San Martín es el prócer nacional

b) Las mesas son muebles

c) Juan y Pedro son estudiantes

d) El Sol es una estrella.

e) La Luna es un satélite

f) María, Ángeles y Agustina son argentinas

g) Los argentinos son americanos

h) Los elefantes son muy memoriosos.

i) Los patos son aves

j) Dumbo es un elefantito.

k) El Pato Donald tiene sobrinos

l) Las estrellas brillan pero los planetas no tienen luz propia.

Proposiciones generales simples

Simbolizar las siguientes proposiciones generales simples en formas cuantificacionales

a) Todo está quieto

b) Nada es eterno.

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c) Algo se mueve.

d) Hay fantasmas

e) No hay fantasmas.

f) No hay algo fijo

g) Todo es espacial

h) No todo es espacial

i) Nada es espacial

j) Ninguno está desaprobado

k) No todos están desaprobados

l) Algunos no están aprobados

m) Algo sucede

n) Nada sucede

o) Algunos están desorientados.

p) Hay alguien desorientado

Simbolizar las siguientes proposiciones:

a) Si Ernesto viene, todos nos alegraremos

b) Estela cantará, si alguien lo pide.

c) Juan miente, o alguno se equivoca.

d) Mariela es amable, pero no todos lo son.

e) Todos se equivocan o Javier se equivoca.

f) Algo es azul si y sólo si algo no es azul.

g) Todos cantan pero ninguno baila

h) Algunos cantan y bailan

i) Algunos no cantan ni bailan

j) Algunos bailan pero todos cantan.

k) Todos cantan y bailan pero Romina no canta ni baila.

l) Si Carlos canta, todos cantan.

m) Cuando Carlos canta, ninguno habla.

n) Todo está es silencio y Carlos canta.

o) Todo es justo o hay algo que no es justo.

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p) Si no hay algo injusto, todo es justo.

q) No es cierto que todo es justo y todo no es justo.

r) Si hay justicia, Sebastián será absuelto.

s) Si Natalia y Lourdes aprueban, ninguno discutirá.

t) Nadie habla y todos escuchan.

u) Nadie habla y Estela explica.

v) Todos hablan y nadie escucha.

w) Si todos hablan y nadie escucha, Marcelo se irá.

x) Algunos escuchan y algunos no escuchan

y) Si todo está en orden, no hay problemas.

z) Si todo está en orden y no hay problemas, Estela se tranquilizará.

Proposiciones generales complejas

Las proposiciones categóricas clásicas A, E, I, O.

Simbolizar las siguientes proposiciones categóricas clásicas, clasificándolas según sus cuatro

tipos : A, E, I, O, o bien sus negaciones, -A, -E, -I, - O.

a) Todos los perros son mamíferos

b) Algunos pájaros son tropicales

c) Algunos gatos no son mimosos

d) Ningún elefante es pequeño.

e) Cualquier argentino es americano

f) Hay libros aburridos

g) No hay libros aburridos

h) Hay libros que no son aburridos

i) Ningún libro es aburrido

j) Todos los libros son aburridos

k) No todos los libros son aburridos

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l) No es cierto que ningún libro es aburrido

m) Es falso que algunos libros no son aburridos.

n) Los patos son aves

o) Hay aves que no son patos

p) Cualquier pájaro es ave

q) Existen pájaros muy bellos

r) Nada que sea pato es mamífero

s) Existen aves que no son pájaros

t) Algunas aves no son pájaros.

u) No hay pájaros que no sean aves.

v) Todos los que promocionan no rinden examen

w) Los que no promocionan rinden examen

x) Hay cisnes que no son blancos.

y) Los tigres no son vegetarianos

Simbolizar las siguientes proposiciones

a) Si todo está en movimiento, ningún astro está quieto.

b) No todos los elefantes son africanos, algunos son asiáticos.

c) Si ningún planeta tiene luz propia, el Sol no es un planeta.

d) Si Bettina aprueba, todos nos alegraremos.

e) Si todos los jugadores están entrenados, el profesor Pérez estará satisfecho.

f) Si ningún estudiante aprueba, el Prof. Álvarez fracasó.

g) Todos los estudiantes están aprobados o algún estudiante no está aprobado.

h) Los estudiantes están aprobados o no están aprobados.

i) Algunos perros no son cazadores, pero todos los perros tienen buen olfato.

j) Todos cantan y bailan

k) Todos los invitados cantan y bailan

l) Todos los invitados cantan pero ningún invitado baila.

m) Todos los invitados cantan pero ninguno baila

n) Todos los invitados cantan pero no bailan

o) Todos los invitados cantan y algunos bailan

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p) Ninguno canta y ninguno baila.

q) Es falso que ninguno canta y ninguno baila.

r) No es cierto que ninguno canta o baila

s) Todos los peces tienen ojos pero no tienen párpados.

t) Todos los peces tienen ojos y ningún pez tiene párpados.

u) Si todos los invitados cantan y bailan, Ernestina estará contenta.

v) Ningún invitado canta o baila, o todos cantan y bailan

w) Todas las rosas rojas son perfumadas

x) Todas las rosas rojas son bellas y perfumadas.

y) Algunas rosas no son rojas ni perfumadas.

z) Algunas rosas rojas no son perfumadas.

LOS RAZONAMIENTOS EN LA LÓGICA DE PREDICADOS

Dijimos al comenzar la exposición de la lógica de predicados, que ciertos razonamientos sólo

son demostrables a partir del análisis de la estructura interna de las proposiciones que

constituyen las premisas y las conclusión de los razonamientos. Ese análisis que descompone a

las proposiciones en sus términos, lo efectúa la lógica de predicados que, como tal, tiene sus

propias leyes. Estas leyes, si bien son propias de este capítulo de la lógica, se conjugan con las

leyes o reglas de la lógica proposicional. De modo que en la demostración de la validez de

estos razonamientos, deberemos recurrir no sólo a las reglas propias de la lógica de predicados,

sino también a las reglas ya conocidas de la lógica proposicional.

Veamos pues, cuáles son las leyes propias de la lógica cuantificacional.

Leyes de Intercambio de Cuantificadores ( I.C.)

1) (x) � - (Ex) – 3) (Ex) � - (x) -

2) - (x) � (Ex) – 4) – (Ex) � (x) -

29

Reglas de reemplazo de equivalencia de cuantificadores

1) Una proposición cuantificada universalmente equivale a otra proposición existencial con una

negación a la izquierda u otra negación a la derecha del cuantificador, que afecta a toda la

expresión siguiente:

Veamos un ejemplo:

Todo es dulce equivale a No hay algo que no sea dulce

(x) Fx � - (Ex) – Fx

2) La negación de una proposición universalmente cuantificada, equivale a una proposición

existencial con una negación a la derecha del cuantificador, que afecta a toda la expresión

siguiente:

Tal en el siguiente ejemplo:

No todo es dulce equivale a Hay algo que no es dulce

- (x) Fx � (Ex) – Fx

3) Una proposición existencialmente cuantificada equivale a otra proposición universal con

una negación a la izquierda y otra a la derecha del cuantificador que af3cta a toda la expresión

siguiente.

En el ejemplo:

Hay algo dulce equivale a No es cierto que nada sea dulce

(Ex) Fx � - (x) – Fx

4) Una proposición existencial negada equivale a una proposición cuantificada universalmente

con una negación a la derecha del cuantificador, que afecta a toda la expresión siguiente.

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El ejemplo es:

No hay algo dulce equivale a Nada es dulce

- (Ex) Fx � (x) – Fx

Es decir que las reglas de I.C. nos permiten transformar una proposición universalmente

cuantificada en otra con cuantificador existencial y a la inversa, una proposición cuantificada

existencialmente en otra con cuantificador universal. La equivalencia que simbolizamos por el

bicondicional ‘�’ indica que estas reglas permiten el reemplazo de un cuantificador por su

equivalente.

Con estas reglas, procederemos a demostrar razonamientos cuantificacionales.

Veamos un ejemplo:

Todo es justo o no es bueno

No hay algo no justo y bueno

Simbolizando y aplicando el método demostrativo en el que utilizaremos reglas de I.C. y

además reglas de la lógica proposicional, obtendremos lo siguiente:

1) (x)(Fx v – Gx) / ∴ – (Ex) ( - Fx . Gx )

2) – (Ex) – ( Fx v – Gx) de 1 por I.C.

3) – (Ex) (- Fx . - - Gx) de 2 por De M.

4) – (Ex) (- Fx . Gx) de 3 por Doble Negación

Si advertimos lo efectuado en ‘2)’ , vemos que procedimos a reemplazar el cuantificador ‘(x)’

por su equivalente que es ‘- (Ex) –‘. En cuanto a la función proposicional ‘(Fx v – Gx)’, queda

inalterada, por cuanto sólo hemos procedido a reemplazar un cuantificador por otro equivalente. Luego,

para obtener la demostración, hemos recurrido a las reglas de la lógica proposicional. En este

caso, al teorema de De Morgan que se aplica en la negación de una disyunción, y que da por

resultado la conjunción de esos disyuntivos , pero negados. Por cuanto ‘ –Gx’ ya estaba

negado, nos queda ‘- - Gx’, . Luego, aplicando la regla de doble negación obtuvimos ‘Gx’. Se

31

puede advertir que la forma a la que llegamos en ‘4)’, coincide con la conclusión, por lo que el

razonamiento ha quedado demostrado según reglas.

Veamos otro ejemplo:

Si todo es justo hay algo bueno

Nada es bueno

Hay algo que no es justo

Simbolicemos y demostremos este razonamiento

1) (x) Fx � (Ex) Gx

2) (x) – Gx_________/ ∴ (Ex) – Fx

3) – (Ex) - - Gx de 2 por I. C.

4) – (Ex) Gx de 3 por doble negación

5) – (x) Fx de 1 y 4 por M. T.

6) (Ex) – Fx de 5 por I.C.

Analicemos lo efectuado en los distintos pasos. En primer lugar, en ‘3)’ , obtuvimos la forma

‘- (Ex) - - Gx’. Esto se debe a que reemplazamos ‘(x)’, que aparece en ‘2)’, por su equivalente

‘- (Ex)-‘, y luego, dejamos la variable de predicado ‘- G’ tal como ella estaba, que, al estar

negada queda doblemente negada. Pero también pudimos proceder de la siguiente manera:

partir de ‘2)’ que enuncia ‘(x) –Gx’, y reemplazarlo directamente por su equivalente ‘-(Ex)’. No

olvidemos que las equivalencias son bicondicionales, o sea que si el componente izquierdo

equivale al derecho, entonces, el derecho equivale al izquierdo. Si repasamos las reglas de I.C.,

veremos que ‘ –(Ex)’ equivale a ‘(x) –‘ . Luego, ‘(x) – Gx’ que es la forma que se enuncia en

‘2)’, puede ser remplazada por ‘- (Ex) Gx’. En ese caso, nos hubiéramos ahorrado el paso de la

doble negación, ya que directamente hubiéramos obtenido ‘-(Ex) Gx’. Sin embargo, es preciso

señalar que ambos procedimientos son correctos, por cuanto ambos están legitimados por una ley. Y si

bien es cierto que lo ideal es obtener la demostración en el menor número de pasos, por

cuanto éste es un método de tanteo, todos los pasos que se efectúen según reglas son correctos

aún si son inconducentes.

32

Las leyes de la oposición aristotélica.

Con estas reglas de intercambio de cuantificadores, más las reglas de la lógica proposicional,

podremos demostrar que en el cuadro de la oposición aristotélica, las relaciones en diagonal

son contradictorias. Es decir, si una proposición A es verdadera, la O correspondiente es falsa,

si una proposición E es verdadera la I correspondiente es falsa, si una proposición I es

verdadera la E correspondiente es falsa, y si una proposición O es verdadera la A

correspondiente es falsa.

Una proposición A equivale a una proposición I negada, es decir a –I.

‘Todos los gatos son mimosos’, equivale a ‘No hay gatos que no sean mimosos’

1) (x)(Fx � Gx) / ∴ – (Ex) (Fx . – Gx)

2) – (Ex) - (Fx � Gx) de 1 por I.C.

3) – (Ex) – ( -Fx v Gx) de 2 por def. �

4) – (Ex) (--Fx . – Gx) de 3 por De M.

5) – (Ex) (Fx . – Gx) de 4 por doble negación.

Una proposición E equivale a una proposición I negada, es decir a una – I

‘Ningún gato es farmacéutico’ equivale a ‘No hay gatos que sean farmacéuticos’

1) (x) (Fx � - Gx) /∴. – (Ex) (Fx . Gx)

2) – (Ex) – (Fx � - Gx) de 1 por I.C.

3) – (Ex) – (- Fx v - Gx) de 2 por def. del �

4) – (Ex) (- - (Fx . - - Gx) de 3 por De M.

5) – (Ex) (Fx . Gx) de 4 por doble negación.

Una proposición I equivale a una proposición E negada, es decir a una - E

‘Algunos gatos son blancos’ equivale a ‘ No es cierto que ningún gato es blanco’

33

1) (Ex) (Fx .Gx) /∴ – (x) (Fx � - Gx)

2) – (x) – (Fx . Gx) de 1 por I.C.

3) – (x) ( - Fx v – Gx) de 2 por De M.

4) – (x) (Fx � - Gx) de 3 por def. del �

Una proposición O equivale a una proposición A negada, es decir a – A

‘Algunos gatos no son blancos’ equivale a ‘No es verdad que todos los gatos son blancos’

1) (Ex) (Fx . – Gx) / ∴ – (x) (Fx � Gx)

2) – (x) – (Fx. . – Gx) de 1 por I.C.

3) – (x) ( Fx � Gx) de 2 por def. del �

Como podemos advertir, las leyes de la oposición aristotélica se fundamentan en las leyes de

intercambio de cuantificadores, sólo que en lugar de aplicarlas como lo hicimos antes a

proposiciones simples, es decir con una sola letra de predicado, las hemos aplicado a

proposiciones complejas con dos letras de predicado. Es preciso remarcar que cuando aplicamos las

reglas de intercambio de cuantificadores, debemos limitarnos a reemplazar el cuantificador por su equivalente y

mantener toda la forma cuantificacional sin modificaciones ya que las modificaciones posteriores se

efectúan según las reglas de la lógica proposicional.

Leyes de distributividad de cuantificadores (Distrib..cuantif.)

Las leyes que permiten distribuir el cuantificador entre las proposiciones que caen bajo su

alcance son las siguientes:

(x) (Fx . Gx) � [(x) Fx . (x) Gx]

(Ex) (Fx v Gx) � [(Ex) Fx v (Ex) Gx]

[(x)Fx v (x) Gx] � (x)(Fx v Gx)

(Ex)(Fx . Gx) � [(Ex) Fx . (Ex) Gx]

34

Lo primero que debemos tener en cuenta en estas leyes de distributividad, es que dos de ellas

son equivalencias, - en este caso las dos primeras – y las otras dos son implicaciones. Esto

significa que, como las equivalencias son conmutativas, podemos reemplazar el componente

izquierdo por el derecho y viceversa, pero no es esto lo que sucede en el caso de las

implicaciones. En efecto, si tenemos una forma cuantificacional correspondiente al

antecedente de la ley, por deducibilidad obtenemos el consecuente, pero no a la inversa.

Reglas de distributividad de cuantificadores

1) El cuantificador universal es distributivo respecto de la conjunción

‘Todo está limpio y ordenado’ equivale a ‘Todo está limpio y todo está ordenado’

En símbolos: (x) (Fx.Gx) � [(x)Fx . (x) Gx]

‘Todo está limpio y todo está ordenado’ equivale a ‘Todo está limpio y ordenado’

En símbolos: [(x)Fx . (x)Gx ]� (x) (Fx . Gx)

2) El cuantificador existencial es distributivo respecto de la disyunción

‘Algo es rojo o azul’ equivale a ‘Algo es rojo o algo es azul’

(Ex) (Fx v Gx) � [(Ex)Fx v (Ex)Gx]

‘Algo es rojo o algo es azul’ equivale a ‘Algo es rojo o azul’

En símbolos: [(Ex) Fx v (Ex) Gx] � (Ex) (Fx v Gx)

(3) Dada una disyunción entre dos funciones proposicionales cuantificadas universalmente, se

infiere la cuantificación universal de la disyunción de esas funciones proposicionales.

Todo es rojo o todo es azul , por lo tanto, todo es rojo o azul.

En símbolos: [(x) Fx v (x) Gx] � (x) (Fx v Gx)

Veamos que esta relación no es recíproca. Si digo ‘todo es rojo o azul’, de allí no se sigue que

todo sea rojo o que todo sea azul.

4) Dada la cuantificación existencial de la conjunción de dos funciones proposicionales, se

infiere la conjunción de ambas funciones proposicionales cuantificadas existencialmente.

Algo es rojo y azul, por lo tanto, algo es rojo y algo es azul

En símbolos: (Ex) (Fx . Gx) � [(Ex) Fx . (Ex) Gx]

35

Aquí tampoco se da una relación recíproca, ya que si afirmo ‘algo es rojo y algo es azul’, de allí

no se infiere que algo sea rojo y azul.

Veremos algunos casos en que la demostración de validez de un razonamiento cuantificacional

requiere aplicar las leyes de distributividad de cuantificadores.

Si todo es claro y transparente, Lucas no renunciará.

No hay algo que no sea claro

Todo es transparente

Lucas no renunciará.

En símbolos:

1) (x) (Fx . Gx) � - Ha

2) – (Ex) – Fx

3) (x) Gx____________/ ∴ – Ha

4) (x) Fx de 2 por I.C.

5) (x) Fx . (x) Gx de 4 y 3 por conjunción.

6) (x) (Fx . Gx) de 5 por Distrib. Cuant.

7) - Ha de 1 y 6 por M.P:

Si todo es blanco o negro, no hay ecuanimidad

Hay ecuanimidad

Hay algo que no es blanco y hay algo que no es negro.

En símbolos:

1) (x) (Fx v Gx) � - (Ex) Hx

2) (Ex) Hx________________/ ∴ ( Ex) –Fx . (Ex) – Gx

3) – (x) (Fx v Gx) de 1 y 2 por M.T.

4) (Ex)- (Fx v Gx) de 3 por I.C.

5) (Ex) ( - Fx . – Gx) de 4 por De M.

6) (Ex) – Fx . (Ex) – Gx de 5 por Distrib..Cuantif.

Todos los vecinos tienen gatos pero no tienen perros

Todos los vecinos tienen gatos y ningún vecino tiene perros

En símbolos:

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1) (x) [Fx � (Gx . – Hx)] / ∴ (x)( Fx � Gx) . (x) (Fx � - Hx)

2) (x) [(Fx � Gx) . (Fx � - Hx)] de 1 por Distribut. Del � /conj.

3) (x) (Fx � Gx) . (x) (Fx � - Hx) de 2 por Distribut. Cuantif.

Si hay comprensión o buena voluntad, todo se arreglará

Hay comprensión

Todo se arreglará.

En símbolos:

1) (Ex) (Fx v Gx) � (x) Hx

2) (Ex) Fx ____________/ ∴ (x) Hx

3) (Ex) Fx v (Ex) Gx de 2 por Adición

4) (Ex) (Fx v Gx) de 3 por Distrib.. Cuantif.

5) (x) Hx de 1 y 4 por M.P.

Reglas de Ejemplificación y Generalización

Las reglas de ejemplificación y generalización nos permiten penetrar en la estructura interna de

las proposiciones cuantificadas – sea universal o existencialmente – y, a partir de ese análisis

interno, obtener pruebas formales de validez para cierto tipo de razonamientos que, como los

silogismos categóricos de la lógica clásica, no pueden ser demostrados mediante las leyes y

reglas ya estudiadas.

1) Regla de Ejemplificación Universal (E.U.)

Para que una proposición que sea la cuantificación universal de una función proposicional sea

verdadera, es necesario que todos sus casos de sustitución sean verdaderos. Es decir: dada la función

proposicional ‘Fx � Gx’, según la cual, si ‘x’ posee la propiedad ‘F’, entonces posee la

propiedad ‘G’, podemos convertirla en proposición, sustituyendo su variable ‘x’ por una

constante de individuo ‘a’. Supongamos que las letras de predicado ‘F’ y ‘G’ significan ‘ser

hombre’ y ‘ser mortal’ respectivamente, y que ‘a’ significa ‘Juan Pérez’, Interpretada la forma

proposiciónal ‘Fa � Ga’ , estaríamos afirmando : ‘Si Juan Perez es hombre, entonces es

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mortal.’ Ahora bien, si cuantificamos universalmente la función proposicional ‘Fx � Gx’,

obtenemos la siguiente forma cuantificacional universal ‘(x) (Fx � Gx)’. Ahora bien, para que

la forma cuantificacional ‘(x)(Fx � Gx’) sea verdadera, es necesario que todos los individuos que

tienen la propiedad ‘F’, también tengan la propiedad ‘G’. O sea, si sustituimos ‘x’ por una constante

de individuo ‘a’, ‘b’. ‘c’, .. etc., la forma cuantificacional universal es verdadera si todos sus

casos de sustitución son verdaderos. En nuestro ejemplo, si ‘a’ es José Sánchez, ‘b’, es María

Fernández, y ‘c’ es Luis López, y los tres tienen la propiedad de ser hombres, todos tienen la

propiedad de ser mortales. Si hubiera algún individuo que teniendo la propiedad de ser

hombre, no tuviera la propiedad de ser mortal, la forma cuantificacional universal sería falsa.

De aquí podemos concluir que cuando la cuantificación universal de una función proposicional

es verdadera, cualquier caso de sustitución de sus variables por constantes es verdadera.

Esto lo podemos expresar de la siguiente manera:

Regla de E. U. : (x) Fx � Fa , o bien: (x)( Fx � Gx) /∴ Fa � Ga

Veamos un ejemplo:

Todos los gatos son mimosos

Panchito es gato

Panchito es mimoso

En símbolos:

1) (x) (Fx � Gx)

2) Fa ________/ ∴ Ga

3) Fa � Ga de 1 por E.U.

4) Ga de 3 y 2 por M.P.

2) Regla de Generalización Universal (G.U.)

La regla de generalización universal tiene en cuenta la regla que vimos anteriormente, que

autoriza la sustitución de las variables de una función proposicional cuantificada

universalmente por cualquier constante de individuo , en la medida en que lo que se predica de

todos, también se predica de uno cualquiera de los individuos que integran ese todo. De allí

que, las formas de proposiciones singulares obtenidas como casos de sustitución de una

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función proposicional cuantificada universalmente son verdaderas, ya que las universales son

verdaderas para cualquier individuo . Y como lo que es verdadero para cualquiera es válido para

todos, podemos generalizar esa proposición. Lo veremos mejor en un ejemplo:

Regla de G.U. : Fa � (x) Fx, o bien, (Fa � Ga ) � (x) (Fx � Gx)

Es necesario remarcar que esta generalización es válida solamente en el caso de que las

proposiciones singulares que se generalizan provienen de casos de sustitución de proposiciones cuantificadas

universalmente, ya que, porque son casos de sustitución, se refieren a un individuo cualquiera.

Es decir, la regla de generalización dice que si cualquier individuo posee una propiedad ‘F’,

entonces, todos los individuos poseen esa propiedad.

Veamos de qué modo esta regla de generalización universal nos permite demostrar la validez

de algunos razonamientos:

Todas las frutas tienen vitaminas

Todas las naranjas son frutas

Todas las naranjas tienen vitaminas

En símbolos:

1) (x) (Fx � Gx)

2) (x) (Hx � Fx) /∴ (x) (Hx � Gx)

3) Fa � Ga de 1 por E.U.

4) Ha � Fa de 2 por E.U.

5) Ha � Ga de 4 y 3 por S.H.

6) (x) (Hx � Gx) de 5 por G.U.

3) Regla de Ejemplificación Existencial ( E.E.)

Dada una función proposicional cuantificada existencialmente que sea verdadera, se infiere de

ella al menos un caso de sustitución verdadero. Es decir, si es verdadero que ‘(Ex) Fx’, entonces, es

verdadero que hay al menos un individuo que posee la propiedad ‘F’. Esta regla nos permite

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sustituir las variables de funciones proposicionales cuantificadas existencialmente por una

constante. Es habitual el uso de la constante ‘w’ , llamada ‘constante ambigua’ porque si bien se

trata de un individuo determinado, ese individuo no está especificado como en el caso de las

proposiciones singulares, en las que las constantes simbolizan nombres propios. Esta regla de

ejemplificación existencial que nos permite reemplazar una variable por una constante,

tiene una importante limitación: la constante que se utilice para reemplazar la variable

no debe haber aparecido antes en todo el contexto del razonamiento. Explicaremos

primero cómo podemos aplicar la regla, y luego cuál es el alcance de esta limitación.

Regla de E.E. : (Ex) Fx � Fw o bien. (Ex) (Fx . Gx) � (Fw . Gw)

Veamos un razonamiento:

Todas las joyas son valiosas

Algunas pulseras son joyas

Algunas pulseras son valiosas

En símbolos:

1) (x) (Fx � Gx)

2) (Ex) (Hx . Fx ) /∴ (Ex) (Hx . Gx)

3) Hw . Fw de 2 por E.E.

4) Fw � Gw de 1 por E.U.

5) Fw de 3 por Simplif.

6) Gw de 4 y 5 por M.P.

7) Hw de 3 por Simplif.

8) Hw . Gw de 7 y 6 por Conjunc.

9) (Ex)( Hx . Gx) de 8 por G.E.

40

Aquí debemos explicar que no sólo utilizamos la regla de Ejemplificación Existencial, en el

paso 3), sino que en el paso 9) hemos utilizado una regla de Generalización existencial que aún

no hemos explicado y que pasaremos a explicar luego de aclarar en qué consiste la limitación

de la regla de E.E.

Si analizamos la demostración que hemos efectuado en el razonamiento anterior, vemos que

en el paso 3), procedimos a sustituir las variables de la proposición existencialmente

cuantificada, que es la segunda premisa, por la constante ambigua ‘w’. Esa constante no había

aparecido antes en el contexto del razonamiento, vale decir, no aparecía ni en las premisas ni

en la conclusión. Por lo tanto la sustitución es válida. Luego, cuando procedimos a ejemplificar

las variables de la primera premisa, que es universal, no hubo problemas en sustituirlas por la

misma constante ‘w’, puesto que la regla de Ejemplificación Universal no tiene limitaciones en

cuanto al uso de las constantes de sustitución. Si, por el contrario, hubiésemos procedido en

primer lugar a sustituir las variables de la primera premisa por la constante ‘w’, no hubiéramos

podido utilizar la misma constante en la sustitución de las variables de la proposición

existencial, por cuanto esa constante ya había aparecido en el contexto.

Esta limitación impide que sean demostrados por Ejemplificación Existencial razonamientos

obviamente inválidos como el siguiente:

Algunos gatos son mimosos

Algunos perros son mimosos

Algunos perros son gatos.

En símbolos:

1) (Ex) (Fx . Gx)

2) (Ex) (Hx . Gx) / ∴ (Ex) (Hx . Fx)

3) Fw . Gw de 1 por E.E.

4) Hw . Gw de 2 por E.E. Sustitución errónea

5) Hw de 4 por Simplificación

6) Fw de 3 por Simplificación

7) Hw . Fw de 6 y 7 por Conjunción

8) (Ex) (Hx . Gx) de 7 por G.E. (Generalización Existencial)

41

En esta demostración, el paso 4 es ilegítimo por cuanto la ley de ejemplificación existencial

permite la sustitución de las variables por una constante pero con la limitación de que esa

constante no haya aparecido previamente en el contexto. Y como podemos advertir, en el paso 3, esa

constante ya había aparecido. El razonamiento anterior, que partiendo de premisas verdaderas

obtiene una conclusión falsa, demuestra que hay en él algún paso ilegítimo y que tal forma de

razonar es inválida. Pero, si no existiese esa limitación, podríamos demostrar que algunos

perros son gatos.

Ahora corresponde explicar la última de estas reglas que ya hemos utilizado en una

demostración anterior.

4) Regla de Generalización Existencial (G.E.)

A partir de una proposición singular, podemos proceder a la generalización existencial de la

misma. Es decir, si Fa, o sea, si predicamos la propiedad ‘F’ de un individuo, entonces, existe

al menos un individuo del que se puede predicar la propiedad ‘F’.

Regla de G.E. Fa � (Ex) Fx o bien, (Fa . Ga) � (Ex) (Fx . Gx)

Un ejemplo:

Ningún mamífero vuela

Algunos mamíferos son animales acuáticos

Algunos animales acuáticos no vuelan

En símbolos:

1) (x) (Fx � - Gx)

2) (Ex) (Fx . Hx) /∴ (Ex) (Hx . – Gx)

3) Fw . Hw de 2 por E.E.

4) Fw � - Gw de 1 por E.U.

5) Fw de 3 por Simplif.

6) - Gw de 4 y 5 por M.P:

7) Hw de 3 por Simplif.

8) Hw . – Gw de 7 y 5 por Conjunc.

9) (Ex) (Fx . – Gx) de 8 por G.E.

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Finalmente, una aclaración que aún cuando puede resultar obvia, es bueno remarcar. Cuando

sustituimos la o las variables de una proposición existencial por la constante ambigua ‘w’, lo

hicimos para mostrar que no se trata de un individuo cualquiera, como cuando sustituimos las

variables de una proposición universal por constantes cualesquiera. Cuando se trata de una

función proposicional cuantificada universalmente, la sustitución de las variables por

constantes no tiene limitaciones, y por tanto, podemos utilizar ‘a’, ‘b’. ‘c’....etc. Naturalmente,

también podemos utilizar la constante ‘w’. Y de hecho, cuando en un razonamiento tenemos

una proposición universal y otra existencial, debemos proceder en primer lugar a ejemplificar la

proposición existencial debido a la limitación de esta regla. Pero una vez ejemplificada la

proposición existencial por la constante ‘w’, - si queremos seguir operando en la demostración-

estamos obligados a sustituir las variables de la proposición universal por la misma constante

de individuo, en este caso por ‘w’. Si en el razonamiento anterior hubiésemos sustituido por ‘w’

las variables de la existencial y por ‘a’ las variables de la universal, los pasos 4 y 5 hubiesen

quedado de la siguiente manera:

4) Fa � - Ga

5) Fw

En ese caso, no hubiese sido posible utilizar la regla del Modus Ponens, ya que estamos

predicando de individuos diferentes.

EJERCITACIÓN

Los razonamientos en la lógica de predicados.

Dados los siguientes razonamientos, a) simbolizarlos en términos de lógica de predicados, y b)

demostrar su validez utilizando reglas de I.C.

a) Algunas aves no vuelan, por lo tanto, no todas las aves vuelan.

b) Ningún elefante es menudo, por lo tanto, no hay elefantes que sean menudos.

c) Todos los hombres son mortales, luego, no existen hombres que no sean mortales

d) Algunos mamíferos son acuáticos, por lo tanto, no es cierto que ningún mamífero es

acuático.

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e) No es cierto que algunos perros no tengan buen olfato, por lo tanto, todos los perros tienen

buen olfato.

d) No todas las flores son perfumadas, luego, algunas flores no son perfumadas.

e) No hay enemigos pequeños, luego , ningún enemigo es pequeño.

f) No es verdad que ningún político es creíble, por lo tanto, existen políticos creíbles.

g) Todos los niños juegan o algún niño está enfermo. Algunos niños no juegan. Luego, algún

niño está enfermo.

h) Si todos los invitados se divierten, Marcela estará contenta. No hay invitados que no se

diviertan. Luego, Marcela estará contenta.

i) Todo es azul o algunos pañuelos no son azules. Todos los pañuelos son azules. Por lo tanto,

todo es azul.

j) Si todos estudian y trabajan, ninguno estará inactivo, y Ana no tendrá problemas. No hay

alguno que no estudie o no trabaje. Luego, Ana no tendrá problemas.

k) Si ningún enfermo empeora, el Dr. Fernández se sentirá aliviado. El Dr. Fernández no se

siente aliviado. Luego, algunos enfermos empeoran.

l) Todos los ceniceros son de vidrio o algunos ceniceros son de cerámica. Algunos ceniceros

no son de vidrio. Por lo tanto, algunos ceniceros son de cerámica.

m) Si ningún testigo miente, Esteban resultará absuelto. No hay testigos que mientan. Luego,

Esteban resultará absuelto.

n) Si Elena acepta el cargo, todos estarán de acuerdo y nada fallará. Hay algunos que no están

de acuerdo. Luego, Elena no acepta el cargo.

o) Todo está perdido o hay valores que subsisten. Ningún valor subsiste. Luego, todo está

perdido.

p) Algunos empleados no dicen la verdad o Hernández y Almeida dicen la verdad. Almeida no

dice la verdad. Luego, no todos los empleados dicen la verdad.

q) Si no hay algo que no sea claro y transparente, Alberto prejuzgó y está en un error. Todo es

claro y transparente. Por lo tanto, Alberto está en un error.

Dados los siguientes razonamientos, a) simbolizarlos en términos de lógica de predicados y b)

demostrar su validez utilizando reglas de distributividad de cuantificadores.

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a) Si todos son argentinos o todos son chilenos, todos se entenderán. Hay algunos que no se

entienden. Luego, no todos son argentinos o chilenos.

b) Todos los vecinos tienen perros pero no tienen gatos. Luego, todos los vecinos tienen

perros y ningún vecino tiene gatos.

c) Todo es verdadero, o todo es falso, o hay algún error. No hay error. Luego, todo es

verdadero o falso.

d) Si hay oxígeno o agua, hay vida. Hay oxígeno. Luego, hay vida.

e) Algo es rojo o algo es azul, o todo es negro. Hay algo que no es negro. Por lo tanto, algo es

rojo o azul.

f) Si todos ayudan y colaboran, Martín no fracasará. No hay alguien que no colabora y todos

ayudan. Luego, Martín no fracasará.

g) No es cierto que ninguno es creíble y ninguno es honesto. Si algunos son creíbles u

honestos, Argentina resurgirá. Por lo tanto, Argentina resurgirá.

h) Si no hay alguien que no piense y razone, Aníbal será escuchado y aplaudido. Todos piensan

y todos razonan. Luego, Aníbal será escuchado.

i) Si todos son veraces y todos son honestos, ninguno se opondrá. No hay alguien no veraz o

no honesto. Luego, ninguno se opondrá.

j) Si todo está limpio y ordenado, no hay problemas. Todo está limpio. No hay algo que no

esté ordenado. Por lo tanto, no hay problemas.

Dados los siguientes razonamientos, a) simbolizarlos en términos de lógica de predicados, y b)

probar su validez utilizando reglas de Ejemplificación y Generalización.

a) Todos los argentinos son americanos. Jorge es argentino. Por lo tanto, Jorge es americano.

b) Todos los argentinos son americanos. Todos los salteños son argentinos. Luego, todos los

salteños son americanos

c) Todos los salteños son americanos. Algunos salteños son de Cafayate. Luego, algunos

americanos son de Cafayate.

d) Algunas copas de cristal son bellas. Todas las copas de cristal son frágiles. Luego, algo frágil

es bello.

e) Ningún ciclámen florece en primavera. Algunas flores son ciclámenes. Luego, algunas flores

no florecen en primavera.

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f) Todos los mamíferos son inteligentes. Todos los elefantes son mamíferos. Algunos animales

no son inteligentes. Luego, algunos animales no son elefantes.

g) Todos los patos nadan. Algunos patos vuelan. Luego, algunos vuelan y nadan.

h) Todos los mamíferos son vertebrados. Algunos mamíferos son acuáticos. Luego, algunos

acuáticos son vertebrado

i) Todos los estudiantes fueron al museo. Todos los jóvenes son estudiantes. Algunos turistas

no fueron al museo. Luego, algunos turistas no son jóvenes.

j) Todos los platos son de porcelana o de loza. Nada de porcelana es barato. Algunos platos

son baratos. Luego, algunos platos son de loza.

k) Ningún elefante es pequeño. Algunos animales pequeños son inofensivos. Por lo tanto,

algunos animales inofensivos, no son pequeños.

46

FALACIAS NO FORMALES

La lógica denomina ‘falacia’ a todo error de argumentación por el que se pretende obtener una

conclusión que no se sigue de las premisas de las que parte. Sin embargo, de un modo más

restrictivo, se suele hablar de ‘falacia’, cuando la argumentación no sólo es incorrecta, sino que

además es persuasiva.

En el capítulo de lógica proposicional, hemos visto muchas falacias formales, es decir, falacias

de forma de argumentación, en las que la conclusión que se obtenía no estaba implicada por las

premisas, pero que sin embargo, parecía desprenderse de ellas. Por ejemplo, la falacia de la

negación del antecedente o la de la afirmación del consecuente, que son argumentaciones

inválidas, y sin embargo, en muchas ocasiones, parecen correctas. Recordemos uno de esos

casos: Digamos, por ejemplo : ‘Si apruebo el examen, estaré muy contenta. No apruebo el

examen. Por lo tanto, no estaré muy contenta’. Este modo de argumentar es inválido, y tal

invalidez se pone de manifiesto mediante el método del condicional asociado. Sin embargo,

parece razonable inferir que no estaré muy contenta a partir de que no he aprobado el examen.

Ahora bien, esa razonabilidad no es lógica sino psicológica.

Justamente esa persuasión psicológica es lo que caracteriza al otro grupo de falacias, que es el

que nos va a ocupar, y que son las falacias no formales.

Estas falacias no formales pueden ser agrupadas en dos grandes clases: las falacias de

inatinencia y las de ambigüedad.

Falacias de conclusión inatinente

Las falacias de inatinencia son aquellas en la conclusión no atañe, es decir, no está relacionada,

no corresponde con lo informado en las premisas. Desde luego que esta inatinencia o falta de

correspondencia entre la información de las premisas y la conclusión que se pretende derivar

de ella, es una inatinencia lógica, pero no psicológica. Y justamente esa conexión psicológica es

lo que torna una argumentación lógicamente errónea en psicológicamente persuasiva.

Tal conexión psicológica es posible porque – como ya vimos – la función del lenguaje no es

meramente informativa, sino también expresiva y directiva. Y estas argumentaciones, aún

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siendo lógicamente falaces, pueden llegar a transmitir dudas, sospechas, temores, piedad, y

otros sentimientos que en ocasiones son más convincentes que el rigor de la conexión lógica.

Examinaremos algunas de las falacias más habituales dentro de este grupo.

Argumentum ad baculum (Apelación a la fuerza)

Es el tipo de argumentación que exige la aceptación de la conclusión a través de una amenaza

más o menos velada acerca de las consecuencias que implicaría la no aceptación de la misma.

Supongamos, por ejemplo la siguiente argumentación: La ley de subversión económica debe

ser derogada, ya que, si no se lo hace, el F.M.I. no firmará un acuerdo de asistencia financiera, y

de ser así, el país quedará en aislamiento y no podrá superar su bancarrota.

Aquí advertimos que la necesidad de la derogación de la ley no se fundamenta ni en su

contenido, ni en sus alcances, ni en su conveniencia o inconveniencia, sino en algo que no tiene

nada que ver con la ley misma, y que es una imposición hecha desde un lugar de poder a un país

en situación de debilidad. Y si bien en esta argumentación no hay secuencia lógica, hay en ella

una amenaza que resulta sumamente convincente.

Argumentum ad hominem (Argumento contra el hombre)

Este tipo de falacia, - por lo demás sumamente frecuente – consiste en considerar falsa una

afirmación , no porque haya razones para refutarla, sino a partir de desacreditar a la persona

que la enuncia.

Es obvio que una proposición es verdadera o falsa con absoluta independencia de quién sea la

persona que la dice. Si embargo, en ocasiones, - y a veces con justicia – ponemos en duda la

verdad de algo a partir de quién es el que lo enuncia.

En un programa periodístico, el ex ministro de economía Domingo Cavallo afirmaba : ‘la

desocupación es el mayor flagelo de nuestro país’. Una proposición indiscutiblemente

verdadera. Sin embargo, hubo un mensaje de un oyente, que decía : ‘Cavallo miente, ya que él

fue el artífice de la hiper desocupación.’

Naturalmente, argumentar de esa manera es lógicamente inválido, ya que, aún si es verdadero

que Cavallo fue el origen de la desocupación, esa circunstancia no torna falsa la afirmación del

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ex ministro. Sin embargo, psicológicamente se establece una conexión que torna sospechosa

de falsa a una afirmación obviamente verdadera.

En el campo de la justicia, por ejemplo, un abogado astuto puede hacer tambalear la prueba

ofrecida por un testigo de cargo, demostrando que ese testigo está inhabilitado para afirmar

algo creíble, sea porque es alcohólico, o miope, o porque tiene cuentas pendientes con la

justicia, o porque engaña a su esposa.

También se suele dar el caso en que la inhabilitación del dicente se establece a partir del cargo

o de la ideología que sustenta. Si un sacerdote aconseja, por ejemplo, el uso de preservativos

para luchar contra el sida, se le puede oponer que él, como sacerdote, no puede afirmar algo

que la Iglesia no acepta. O también en el caso de un político liberal que denuncie el despotismo

de los mercados, argumentar que si el liberalismo se basa en la libertad de mercados, un liberal

no puede afirmar que los mercados son despóticos.

Argumentos de esta naturaleza no tienden a la búsqueda de la verdad sino tan sólo a lograr el

asentimiento o la aprobación, mediante el recurso a motivaciones psicológicas.

Argumentum ad ignorantiam (Argumentación por la ignorancia)

Es el caso en el que se pretende que una proposición es verdadera por cuanto no se ha podido

demostrar su falsedad, o, a la inversa, se la declara falsa porque no se ha demostrado su verdad.

Por ejemplo, decir que ciertos fenómenos parapsicológicos no existen, ya que no está

corroborada su existencia, o por el contrario, afirmar que sí son verdaderos ya que no se puede

comprobar su imposibilidad.

Este tipo de argumentación ha sido frecuente en relación a la existencia de seres extraterrestres,

y a propósito de la discusión acerca de los OVNI. Es decir, los objetos no identificados ¿eran

meros fenómenos luminosos? ¿se trataba de naves espaciales? Lo verdadero es que se ignora, y

pretender que hay navegantes extraterrestres o que no los hay a partir de la ignorancia de su

existencia constituye una falacia de argumentación ad ignorantiam.

Sin embargo, hay una excepción en la que argumentar por la ignorancia no es falaz. El

Derecho parte de que toda persona es inocente hasta tanto no se demuestre su culpabilidad. Y

si un juez dictamina la inocencia de un acusado sobre la base de que no se ha podido

demostrar su culpabilidad obra según la ley y no comete falacia.

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Argumentum ad misericordiam (Argumentación por la misericordia)

Se comete falacia de argumentación por la misericordia cuando se pretende que se acepte algo

apelando al recurso de la compasión.

Sea por ejemplo el caso de una mujer que asesina a su esposo porque con frecuencia, y en

estado de ebriedad, le pegaba a ella y maltrataba a los hijos. El abogado defensor seguramente

apelará a la compasión del juez relatando los infortunios de la asesina. Y es probable que esa

argumentación sea válida para disminuir la condena, pero de ninguna manera para considerarla

inocente.

Argumentum ad populum (Apelación al pueblo)

Se origina cuando se pretende que se acepte alguna postura apelando al entusiasmo, a las

emociones o al fervor popular. Es un tipo de falacia clásica en política, pero también en la

publicidad.

Que un pueblo enfervorizado aclame a un líder político en una plaza no es argumentación

válida para establecer la verdad de las ponencias de ese líder. De hecho, la historia ha dado

suficientes ejemplos de esa falta de validez. Pero pretender que una marca de vino de mesa es

excelente porque presento a ese vino junto a una esposa amorosa y un par de escarpines del

futuro bebé, por muy conmovedora que resulte la escena no prueba la excelencia del vino.

Argumentum ad verecundiam (Apelación a la autoridad)

Se trata de la falacia que consiste en pretender que una proposición es verdadera por cuanto es

lo que afirma una persona determinada a la que se la considera una autoridad. Es verdad que

en ocasiones la apelación a una autoridad no es necesariamente falaz. Si, para interpretar la

Constitución Nacional apelo a un afamado constitucionalista y esgrimo su opinión para que se

acepte una interpretación determinada, el recurso a la autoridad no es ilegítimo, y no es

estrictamente falaz. Sin embargo, una opinión autorizada no prueba la verdad de esa opinión y

es por ello que lo razonable en estos casos es apelar a varias opiniones autorizadas. Pero si para

establecer que un programa económico es adecuado a la situación del país, recurro a la opinión

50

de un constitucionalista o de un cineasta famoso, o de una estrella del fútbol, es obvio que ese

recurso es falaz.

La publicidad recurre constantemente a este tipo de falacia poniendo en la boca de personajes

más o menos famosos muchos elogios hacia un determinado producto que nos quieren

vender. Pero también en las ciencias o en la política, el recurso a la autoridad puede llevarnos a

aceptar algo como verdadero sólo porque es la opinión de alguien reconocido y respetado.

Petición de principio

La falacia de petición de principio se comete cuando razonamos de modo circular. Es decir: se

parte de una premisa determinada y luego argumentamos retóricamente de tal modo que la

conclusión a la que se llega termina siendo la misma premisa de la que se partió. Veamos por

ejemplo la siguiente argumentación:

El hombre no decide libremente sus acciones morales, sino que la sociedad le impone sus

criterios sociales como obligaciones morales, por lo que la moralidad no es elección libre sino

obligación social.

En esta argumentación las premisas no sirven de fundamento a la conclusión, sino que en la

conclusión reiteramos lo afirmado en las premisas. En rigor, se trata de un razonamiento

formalmente válido según el principio de identidad que establece ‘p � p’. Pero el principio de

identidad no es un auténtico razonamiento en el que la conclusión se establece según una

secuencia lógica que se desprende de las premisas.

La pregunta compleja

La falacia de la pregunta compleja se establece cuando se efectúa una pregunta tal que es

imposible responderla sea negativa o afirmativamente, sin aceptar los supuestos que tiene la

pregunta. Sea por ejemplo la siguiente pregunta: ¿Ha dejado Ud. de engañar a su esposa?. Aquí

el supuesto es que existe un engaño, y la pregunta es si ese engaño persiste o no. La respuesta

afirmativa dice que efectivamente ya no engaña a la esposa, pero acepta que antes la engañaba.

La respuesta negativa, acepta que antes la engañaba y que continúa haciéndolo. Ahora bien, si

la persona interrogada nunca engañó a su cónyuge, puede caer en la trampa de responder

confirmando un supuesto que está oculto en la pregunta compleja.

51

En los juicios orales es frecuente que los abogados recurran a esta falacia interrogando al

acusado con preguntas del tipo de: ¿Dónde ocultó el dinero robado?, o ¿Qué hizo con el arma

homicida?, etc. En publicidad, es frecuente algún slogan que diga : ¿Sabe Ud. por qué la pasta

dental X deja sus dientes más limpios y más blancos? .En todos estos casos, la respuesta por

‘si’ o por ‘ no’ , implica la aceptación de la pregunta implícita y no formulada. De allí que la

falacia de la pregunta compleja en realidad debería llamarse falacia de la pregunta tramposa.

Una trampa que también se encuentra en ciertos planteos políticos y económicos. Por ejemplo,

alguien podría preguntar: ¿Sabe Ud. por qué la privatización de los servicios públicos es mucho

más rentable que la estatización de los mismos? En todos los casos, para destruir la falacia es

necesario desdoblar la pregunta en dos, y no caer en la trampa de una pregunta compleja.

FALACIAS DE AMBIGÜEDAD

Se trata de aquellas falacias originadas en la ambigüedad o equivocidad de los términos

empleados en la argumentación, o también en la falta de claridad del discurso. Es conocida esa

falacia que dice: ‘El fin de la vida es la plenitud, pero como la muerte es el fin de la vida, la

muerte es la plenitud de la vida.’

Es obvio que en esta argumentación hay un equívoco, ya que la palabra ‘fin’ tiene un

significado ambiguo. Cuando decimos ‘fin’, podemos querer decir finalidad, objetivo, pero

también podemos querer decir finalización, acabamiento de algo.

La mayoría de las falacias de equívoco son humorísticas, y rara vez se las utiliza en

argumentaciones serias. Si digo que los duraznos son ricos, y que los ricos son poderosos, por

lo tanto, los duraznos son poderosos, no pretendo más que decir un chiste.

Pero hay falacias de ambigüedad que suelen ser peligrosas, o deliberadamente mal

intencionadas, como acontece con la falacia de énfasis, en la que se aísla una afirmación de su

contexto significativo, y de ese modo se altera su significación. Esta clase de falacias es típica

de los diarios sensacionalistas que imprimen grandes títulos con algunas afirmaciones

separadas del contexto, pretendiendo de ese modo engañar a la opinión pública. Si leemos en

un diario un titular que dice: ‘Se ha roto la alianza gubernamental’, podemos llegar a

preocuparnos. Pero si leemos todo el articulo, advertiremos que no se trata más que de la

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opinión de un político de la oposición, y de ninguna manera la información acerca de un

hecho.

Entre las falacias de ambigüedad, distinguiremos las falacias de composición y de división.

Falacias de composición

Consisten en otorgar las propiedades de las partes de un todo al todo mismo. Si decimos por

ejemplo, que cada uno de los jugadores que integran un equipo es un buen jugador, y que por

lo tanto el equipo es un buen equipo, este razonamiento es una falacia de composición, ya que

bien puede darse que los jugadores individualmente sean buenos y el equipo como estructura

de funcionamiento, no lo sea.

También se incurre en una falacia de composición cuando afirmamos algo en sentido

distributivo y pretendemos afirmarlo con validez en sentido colectivo. Sea por ejemplo la

siguiente argumentación: ‘Los estudiantes de la Universidad sólo pueden inscribirse en cinco

materias por cuatrimestre. Luego, los estudiantes de la Universidad sólo se inscriben en cinco

materias por cuatrimestre’. Aquí, la falacia consiste en que lo que es verdadero para cada uno

de los estudiantes, no es verdadero para la totalidad de los estudiantes. De hecho, en cada

cuatrimestre, la totalidad de los estudiantes se inscriben en la totalidad de las materias que se

dictan en la Universidad, más allá de la norma que exige que cada uno de ellos sólo pueda

inscribirse en cinco materias.

Falacias de división

Las falacias de división constituyen el caso inverso de las falacias de composición. Se originan

cuando se pretende inferir de algo que es verdadero para un todo, que también ese algo es

verdadero para cada una de las partes que integran el todo.

Por ejemplo, puedo calificar una película como muy buena. Y aunque esa afirmación sea

verdadera, de ella no se sigue que sean muy buenos el guión, la fotografía, la actuación, la

dirección, la música etc.

También hay falacia de división cuando se comete el error – de modo semejante al de las

falacias de composición – de distribuir individualmente lo que es válido sólo colectivamente.

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Si, por ejemplo, argumento de la siguiente manera: ‘Los argentinos consumen mucha carne

roja, y como Juan es argentino, Juan consume mucha carne roja’, estoy cometiendo una falacia

de división en la que atribuyo a cada uno de la totalidad de los argentinos una característica que

si bien es verdadera colectivamente no necesariamente es válida para cada integrante de esa

colectividad. Bien podría darse el caso de que Juan fuera vegetariano pese a ser argentino.

Este tipo de falacias posibilitadas por la natural ambigüedad del lenguaje corriente, sólo pueden

evitarse – y con ello evitar muchas discusiones estériles – delimitando con la mayor claridad

posible los términos que utilizamos en nuestras argumentaciones.

EJERCITACION

Dadas las siguientes argumentaciones indicar en qué tipo de falacia no formal

incurren, y explicar por qué.

1) La teoría que afirma que el Sol está quieto en el centro del Sistema, y que la Tierra es la que

gira en torno del Sol es falsa, ya que en La Biblia se afirma que Josué mandó detener al Sol, y si

mandó detenerlo es porque el Sol es el que está en movimiento.

2) El profesor interroga a un alumno de quien sospecha que se ha copiado en un examen

parcial:

- Dígame López: ¿Ud. siempre se copia en sus exámenes?

3) El profesional a cargo del control de calidad de la producción de un establecimiento fabril,

le informa al Gerente comercial que los nuevos materiales propuestos para rebajar los costos

de producción no ofrecen garantías de buen funcionamiento e implican un riesgo potencial

para los usuarios. El Gerente argumenta del siguiente modo:

- Mire, Ingeniero, la opción es de hierro. La competencia nos está destruyendo, y si no

logramos reducir los costos, el primero en quedarse sin trabajo va a ser Ud.

4) En una mesa de debate acerca de la crisis de los valores en la sociedad contemporánea, el Dr

Iribarren afirmaba que el origen de esa crisis radicaba en la disolución de la familia tradicional

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operada fundamentalmente a partir del muevo rol de la mujer en la sociedad y de la institución

del divorcio. El Licenciado Martínez le contestó:

- Perdón, Dr. Iribarren, pero me llama la atención su postura. Ud. no puede afirmar que el

divorcio destruye la familia y los valores. ¿Acaso no es Ud. divorciado?

5) Es absurdo afirmar que hay manchas en el Sol, ya que Aristóteles afirma que el Sol está

constituido por éter y el éter es una materia incorruptible no sometida a cambio alguno.

6) El Universo se ha originado en un principio de energía infinito que ha existido desde

siempre sin que nada a su vez le diera origen, y por cuanto a ese principio infinito lo llamamos

Dios, el forzoso aceptar que Dios es el creador del Universo.

7) Periodista: Sr. Vicepresidente, Ud. ha sido acusado de estar dando un golpe institucional que

atenta básicamente contra la figura y el poder del Presidente de la Nación.

Vicepresidente: El que efectuó esa acusación es el senador Alatino. ¿Ud. sabe qué persona es

Alatino? Vea, viniendo de ese señor, nada de lo que diga resulta creíble.

8) El estudiante habla con su profesor y argumenta de esta manera:

- Profesor: Ud debe aprobarme en esta materia, ya que me ha quedado pendiente de primer

año y es correlativa de la última materia de quinto año que me falta rendir para obtener mi

título. Y yo necesito urgentemente obtener mi título porque de ese modo podré acceder a un

trabajo mejor remunerado que aliviaría mi situación familiar en la que mi padre perdió el

trabajo, mi madre está enferma ,y yo debo hacerme cargo de todos los gastos del grupo

familiar.

9) Va a ser imposible determinar si efectivamente algunos senadores obtuvieron prebendas

para aprobar la ley, porque ninguno se va a confesar culpable, y jamás serán acusados por

quienes otorgaron esos favores, ya que también ellos están implicados en el ilícito. Por lo tanto,

debemos suponer que no ha habido tales prebendas.

10) En un juicio oral, un testigo incrimina a dos policías de quienes dijo haber visto disparar

sobre la víctima.

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El abogado defensor de los policías interroga al testigo:

- ¿Ud. estuvo preso por robo a mano armada?

- Así es – responde el testigo

- Los dos policías que lo detuvieron y lo pusieron en la cárcel, ¿son los mismos a los que Ud.

acusa de disparar?

- Efectivamente, son los mismos.

- Entonces, seguramente Ud. desea vengarse de ellos, ¿no es así?

11) Si las partes del Universo no deben su existencia al azar, ¿cómo puede ser accidental la

existencia del Universo en su conjunto?

Por lo tanto, la existencia del Universo no se debe al azar (Maimónides)

12) El Universo tiene forma esférica, puesto que todas sus partes constituyentes, la Tierra, el

Sol, y los planetas tienen forma esférica. (Copérnico).

13) Ningún matemático ha logrado demostrar el famoso y último teorema de Fermat. Por

consiguiente, seguramente es falso.

14) El capitán de un barco reprochaba constantemente a su lugarteniente el hecho de que

habitualmente estuviera en estado de ebriedad, hasta que cansado de que sus reproches fueran

inútiles informó en el cuaderno de bitácora esa irregularidad. Al otro día, el lugarteniente tomó

el cuaderno de bitácora y escribió en él: ‘Hoy, el Capitán estaba sobrio’.

15) Los hábiles artesanos como los sastres, están desapareciendo. Lorenzo, que es un gran

sastre, está desapareciendo.

16) Al ver que el ojo, la mano, el pie y cada uno de nuestros miembros tiene una función

propia, ¿no debemos pensar que, de igual modo, el ser humano tiene una función propia que

exceda y esté más allá de esas funciones particulares? (Aristóteles: Ética a Nicómaco)

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17) Nora es una mujer muy bella, de modo que debe tener una bella cara, una bella figura,

bellos ojos, bellas piernas y bellas manos.

18) Los alemanes han dado a la humanidad muchas de las composiciones musicales más

hermosas . Por lo tanto, Hans, que es un músico alemán debe componer bellas piezas

musicales.

19) Los criminales y los locos peligrosos deben ser recluidos y privados de la libertad, ya que

eso es beneficioso para la sociedad. De lo que se desprende que privar a las personas de su

libertad es beneficioso.

20) Un ciudadano estaciona su auto en un lugar en que estaba permitido hacerlo. Se le acerca

un agente de policía y le dice:

- Sr., saque el auto inmediatamente porque aquí no se puede estacionar

- ¿Cómo que no se puede estacionar? Fíjese lo que dice el cartel, que a partir de las 20 hs, está

permitido, y son más de las 20 hs. – replica indignado el ciudadano.

- No me interesa lo que diga el cartel, si Ud. no saca el auto inmediatamente , le hago una

boleta por infracción.

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INDICE

Unidad IV : Lógica de Predicados o Lógica cuantificacional

1.- Términos de individuo y términos de propiedades de individuo ........................................1

2 .-Clasificación de las proposiciones .............................................................................................2

2. 1.-Proposiciones singulares simples y compuestas ...................................................................2

2.2.- Proposiciones generales simples...............................................................................................4

2.3.- Proposiciones generales complejas...........................................................................................5

2.4.- Las proposiciones categóricas clásicas: A, E, I, O. ................................................................8

2.5.- Las proposiciones generales complejas con más de dos letras de predicado.....................9

3.- Sujeto gramatical y sujeto lógico.................................................................................................11

4.- Funciones proposicionales...........................................................................................................12

5.- Alcance de un cuantificador.........................................................................................................13

6.- Simbolización de proposiciones..................................................................................................14

6.1.- Simbolización de la negación de propiedades y de la negación de cuantificadores..........14

7.- El cuadro de la oposición aristotélica..........................................................................................17

7.1.- Interpretación del cuadro de la oposición en la lógica de predicados.................................19

8.- Ejercitación

9.- Los razonamientos en la lógica de predicados ..........................................................................28

9.1- Leyes y reglas de Intercambio de Cuantificadores...................................................................28

9.2.- Leyes de la oposición aristotélica ..............................................................................................31

9.3 –Leyes y reglas de distributividad de cuatificadores..................................................................33

9.4.- Reglas de Ejemplificación y Generalización ............................................................................35

10.- Ejercitación ...................................................................................................................................42

Unidad V: Falacias no formales

1) Concepto de falacia formal y no formal.........................................................................................45

2) Falacias de conclusión inatinente.....................................................................................................45

3) Falacias de ambigüedad.....................................................................................................................50

4) Ejercitación.........................................................................................................................................52