Lógica de predicados - Universidad de Murcia Sujeto y predicado ! La distinción gramatical entre...
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1 Lógica de predicados 1. Lenguaje formal (parte 1) Juan Carlos León Universidad de Murcia Esquema del tema 1.1. Nombres y predicados 1.2. Cuantificadores y variables 1.3. Silogística y lógica de predicados 1.4. Relaciones 1.5. Formalización 1.6. Lógica de primer orden y lógica de orden superior
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Lógica de predicados 1. Lenguaje formal
(parte 1)
Juan Carlos León Universidad de Murcia
Esquema del tema
l 1.1. Nombres y predicados l 1.2. Cuantificadores y variables l 1.3. Silogística y lógica de predicados l 1.4. Relaciones l 1.5. Formalización l 1.6. Lógica de primer orden y lógica de
orden superior
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Lógica de predicados 1. Lenguaje formal
1.1. Nombres y predicados
Límites de la lógica proposicional
l La lógica proposicional sólo es capaz de dar cuenta de la validez de aquellas formas de argumentar basadas en las relaciones de carácter veritativo-funcional que se dan entre proposiciones tomadas como un todo: sin analizar su estructura interna
l Existen otras muchas formas de argumentación completamente ordinarias cuya validez depende de esa estructura interna de las proposiciones que las componen
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Un ejemplo
l Un argumento obviamente válido: El oxígeno es un elemento ningún elemento es molecular luego, el oxígeno no es molecular
l Con el lenguaje de la lógica proposicional sólo podría formalizarse así p, q ├ ¬r (algo patentemente inválido)
Otro argumento de la misma forma
l Otro ejemplo: Donald es un pato ningún pato es un mamífero luego, Donald no es un mamífero
l Ambos tienen esta misma estructura: a es un F ningún F es un G luego, a no es un G (donde “a” representa un objeto, y “F” y “G” dos propiedades que éste puede o no tener)
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Nombres y predicados
l En el lenguaje ordinario tenemos: – Nombres, cuya función es referir a objetos – Predicados, que no refieren a objetos, sino que son verdaderos o
falsos de objetos, según esos objetos tengan o no la propiedad que designan esos predicados
l Ambas categorías son radicalmente irreductibles: – Un predicado puede negarse, formando así su contradictorio; un
nombre no – Un nombre tiene un sentido completo (nombra o refiere a un
determinado objeto); un predicado es esencialmente incompleto: ni nombra algo, ni es definidamente verdadero o falso, como una proposición, sino que es verdadero o falso de objetos (necesita unirse a un nombre para tener un sentido completo)
Constantes y letras predicativas
l Necesitamos extender nuestro lenguaje formal con dos nuevos tipos de símbolos, que hagan el papel de los nombres y de los predicados: – Constantes: a, b, c, … (con o sin subíndices) – Letras predicativas: F, G, H, … (con o sin
subíndices) l Representamos “el objeto a tiene la
propiedad F” escribiendo “Fa”
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Sujeto y predicado
l La distinción gramatical entre sujeto y predicado no coincide con la distinción lógica
l La proposición – El obispo de Cartagena vive en Murcia
puede analizarse lógicamente al menos de tres modos (con diferentes sujetos y predicados):
– Fa (a: el obispo de Cartagena; F: …vive en Murcia) – Gb (b: Cartagena; G: …tiene un obispo que vive en Murcia) – Hc (c: Murcia; H: …es donde vive el obispo de Cartagena)
Negación
l Expresar “a no tiene la propiedad F” es fácil: “¬Fa”
l Podemos decir que “¬Fa” es de la forma “Ga”: la propiedad G sería la misma que la propiedad de no ser F
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Lógica de predicados 1. Lenguaje formal
1.2. Cuantificadores y variables
Todo F es G
l Una proposición del tipo Todo F es G equivale a una especie de condicional: Todo, si es F, entonces es G
l Podemos expresar esto usando una variable “x”: Para todo x, si x es F, entonces x es G
l Usando lo que ya sabíamos, eso se abreviaría Para todo x, Fx → Gx
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Variables
l Las variables harán en nuestro lenguaje formal el papel de pronombres, refiriéndose indiscriminadamente a todos los objetos: – Para cualquier objeto, si ello es F, entonces ello
es G l Además de constantes y letras predicativas,
necesitamos entonces añadir a nuestro lenguaje un tercer tipo de símbolos: – Variables: x, y, z, … (con o sin subíndices)
El cuantificador universal
l Añadamos también al lenguaje un nuevo símbolo: – La A-invertida: ∀
l Podemos entonces expresar “para todo x” escribiendo “∀x”
l Llegamos así a la versión plenamente formal de “Todo F es G”: ∀x (Fx → Gx)
l “∀x” es un cuantificador universal: un signo compuesto por dos símbolos del alfabeto (la A-invertida y una variable)
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Ningún F es G
l Una proposición del tipo Ningún F es G equivale a Para todo x, si x es F, x no es G
l Por tanto, su formalización será ∀x (Fx → ¬Gx)
l Contra las apariencias gramaticales, esto evidencia que la negación expresada por la palabra “ningún” afecta sólo al segundo predicado
Un argumento formalizado
l Ya podemos formalizar por completo argumentos como los ejemplos anteriores (del oxígeno y del Pato Donald), cuya estructura era a es F ningún F es G luego, a no es G
l Su formalización será Fa, ∀x (Fx → ¬Gx) ├ ¬Ga
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Algún F es G
l Una proposición del tipo Algún F es G equivale a la negación de Ningún F es G
l Luego, podría simbolizarse así: ¬∀x (Fx → ¬Gx)
l Por tanto, esas proposiciones son expresables mediante el cuantificador universal
El cuantificador existencial
l Otra alternativa más conveniente es considerar que “algún F es G” dice que hay un objeto que tiene las propiedades F y G, o sea Hay (al menos) un x tal que x es F y x es G
l Añadamos otro nuevo símbolo al alfabeto: – La E-invertida: ∃
l Y expresemos “hay un x” mediante lo que llamaremos un cuantificador existencial: “∃x”
l “Algún F es G” se simbolizaría entonces así: ∃x (Fx ∧ Gx)
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Un error común
l “Algún F es G” no puede simbolizarse así ∃x (Fx → Gx) (con “→” en lugar de “∧”), pues ello resultaría verdadero sólo con que el antecedente fuera falso (con que no hubiera ningún F), o sólo con que el consecuente fuera verdadero (con que hubiera algún G)
l Por supuesto, “∃x (Fx → Gx)” es una expresión aceptable en nuestro lenguaje, pero no significa “Algún F es G”
Ejemplo
l La formalización de Todos los españoles son europeos algunos españoles son murcianos luego, algunos europeos son murcianos sería ∀x (Fx → Gx), ∃x (Fx ∧ Hx) ├ ∃x (Gx ∧ Hx) donde Fx: x es español Gx: x es europeo Hx: x es murciano
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Algún F no es G
l Las proposiciones del tipo Algún F no es G equivalen a la negación de Todo F es G
l Luego, podrían simbolizarse así: ¬∀x (Fx → Gx)
l Pero resulta más conveniente hacerlo con ayuda del cuantificador existencial: ∃x (Fx ∧ ¬Gx)
Notaciones alternativas
l Para el cuantificador universal
(∀x) (x) Πx ∧x
l Para el existencial
(∃x) (Ex) Σx ∨x
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El alfabeto completo
l Alfabeto: – Conectivas: ¬, ∧, ∨, →, ↔ – Letras proposicionales: p, q, r, … – Letras predicativas: F, G, H, … – Constantes: a, b, c, … – Variables: x, y, z, … – La A-invertida: ∀ – La E-invertida: ∃ – Paréntesis: (, )
l Los cuantificadores son símbolos compuestos: para cualquier variable v,
– ∀v es un cuantificador universal – ∃v es un cuantificador existencial
Lógica de predicados 1. Lenguaje formal
1.3. Silogística y lógica de predicados
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Las proposiciones categóricas
l La lógica tradicional sostenía (erróneamente) que cualquier proposición podía reducirse a una de estas cuatro formas de las que llamaba “proposiciones categóricas”
l Los cuatro tipos se denominaban con las dos primeras vocales de las palabras latinas “affirmo” y “nego”
Afirmativas Negativas
Universales Todo F es G (tipo A)
Ningún F es G (tipo E)
Particulares Algún F es G (tipo I)
Algún F no es G (tipo O)
Las oposiciones
l Las relaciones lógicas (oposiciones) que la lógica tradicional reconocía entre los cuatro tipos de proposiciones categóricas son las siguientes
– Las de tipo A y las de tipo O, al igual que las de tipo E y las de tipo I, son contradictorias: no pueden ser ambas verdaderas ni ambas falsas a la vez
– Las de tipo A y las de tipo E son contrarias: no pueden ser ambas verdaderas, aunque sí ambas falsas a la vez
– Las de tipo I y las de tipo O son subcontrarias: pueden ser verdaderas aunque no falsas a la vez
– Las de tipo A y las de tipo I, al igual que las de tipo E y las de tipo O, son subalternas: si la universal es verdadera, la particular también lo es
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El cuadrado de las oposiciones
A E I O
l La lógica de predicados actual sólo reconoce como universalmente válidas las oposiciones de contradicción
l Las restantes sólo son válidas bajo la hipótesis de que el término que figura como sujeto gramatical (“F”) no sea vacío (que exista algún objeto que tenga la propiedad F)
Contrarias
Subcontrarias
Sub
alte
rnas
Subalternas
Términos vacíos y subalternación
l Una proposición de tipo A con el término sujeto vacío como:
– Todos los unicornios tienen un cuerno
no implicaría su subalterna: – Algún unicornio tiene un cuerno
l Igualmente una de tipo E como: – Ningún unicornio está hoy en el campus
tampoco implica la subalterna: – Algún unicornio no está hoy en el campus
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Contrariedad y subcontrariedad
l Dos contrarias pueden ser verdaderas a la vez si el término sujeto es vacío: – Todos los unicornios tienen un cuerno – Ningún unicornio tiene un cuerno
(ninguno, porque no hay unicornios)
l Y dos subcontrarias pueden ser falsas a la vez: – Algún unicornio está hoy en el campus – Algún unicornio no está hoy en el campus
Silogismos
l Un silogismo es un argumento compuesto por dos premisas y una conclusión, todas ellas categóricas
l Ejemplo: Todo español es europeo Algún político es español Luego, algún político es europeo
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Los términos
l En un silogismo ha de haber tres términos: menor, mayor y medio
– El menor (“F”) es el que figura como sujeto gramatical de la conclusión y en la premisa llamada “menor”
– El mayor (“G”), el que figura como predicado gramatical de la conclusión y en la premisa llamada “mayor”
– El término medio (“H”) es el que aparece en las dos premisas, pero no en la conclusión
l (En la lógica actual diríamos que los tres términos son predicados, ya que se refieren a tres propiedades)
Ejemplo
l El ejemplo anterior: Todo español es europeo Algún político es español Luego, algún político es europeo
l Quedaría esquematizado así: Todo H es G Algún F es H Luego, algún F es G
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Figuras silogísticas
l La figura de un silogismo es la forma que adoptan sus términos como sujetos o predicados gramaticales en las dos premisas
l Puesto que la conclusión siempre tiene por definición la forma F-G, existen 4 posibles figuras silogísticas
1ª figura 2ª figura 3ª figura 4ª figura Pr. mayor H-G G-H H-G G-H Pr. menor F-H F-H H-F H-F Conclusión F-G F-G F-G F-G
Modos silogísticos
l El modo de un silogismo depende de la combinación de los 4 tipos de proposiciones (A, E, I y O) que tengamos entre las premisas y la conclusión
l Como en cada figura existen 4 x 4 x 4 = 64 modos posibles, tenemos un total de 64 x 4 = 256 posibles silogismos
l Veremos que para la lógica tradicional sólo son válidos 19 (junto a otros 5 que lo son de forma derivada)
l Y que sólo 15 lo son para la lógica moderna
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Los modos válidos
l Los medievales idearon una serie de palabras mnemotécticas para referirse a los modos válidos en cada figura
l Cada palabra contiene las vocales A, E, I y O en el mismo orden en aparecen en premisas y conclusión:
1ª figura 2ª figura 3ª figura 4ª figura 1º modo Barbara Cesare Darapti Bamalip 2º modo Celarent Camestres Felapton Calemes 3º modo Darii Festino Disamis Dimatis 4º modo Ferio Baroco Datisi Fesapo 5º modo Bocardo Fresison 6º modo Ferison
El método diagramático
l Un diagrama de Venn se compone de 3 círculos que se cortan entre sí
l Cada círculo representa uno de los 3 términos del silogismo
l Las zonas comunes a dos círculos representan los objetos que caen bajo ambos términos
F
G H
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Universales en diagramas
l Representaremos siempre las proposiciones universales antes que las particulares
l Para las proposiciones de tipo A, “todo F es G”, indicaremos en el diagrama que las zonas de F que están fuera de G están vacías, y escribiremos un “0” en esas zonas
l En las de tipo E, “ningún F es G”, indicaremos que las zonas comunes a F y G están vacías, y las marcaremos igualmente con “0”
Validez de Celarent
Ningún H es G Todo F es H Luego ningún F es G
l Representamos la 1ª premisa
F
G H
0
0
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Validez de Celarent
Ningún H es G Todo F es H Luego ningún F es G
l Representamos la 1ª premisa
l A continuación representamos la 2ª
F
G H
0
0
0
0
Validez de Celarent
Ningún H es G Todo F es H Luego ningún F es G
l Representamos la 1ª premisa
l A continuación representamos la 2ª
l Y la conclusión está ya también representada
l Luego el modo es válido
F
G H
0
0
0
0
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Particulares en diagramas
l Representaremos las proposiciones de tipo I, “algún F es G”, indicando que la zona común a F y G no está vacía, y para ello escribiremos “X” en esa zona
l Y para las de tipo O, “algún F no es G” indicaremos que la zona de F que está fuera de G no está vacía, y la marcaremos igualmente con “X”
Validez de Disamis
Algún H es G Todo H es F Luego algún F es G
l Representamos primero la 2ª premisa
F
G H
0 0
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Validez de Disamis
Algún H es G Todo H es F Luego algún F es G
l Representamos primero la 2ª premisa
l Después representamos la 1ª
F
G H
0 0
X
Validez de Disamis
Algún H es G Todo H es F Luego algún F es G
l Representamos primero la 2ª premisa
l Después representamos la 1ª
l La conclusión está ya también representada
l Luego el modo es válido
F
G H
0 0
X
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Discrepancias sobre validez
l El método diagramático coincide con la lógica de predicados en declarar válidos únicamente 15 modos silogísticos
l Los otros 4 modos tradicionalmente válidos objeto de discusión son aquellos que tienen las dos premisas universales, y la conclusión particular: – Darapti, Felapton, Bamalip y Fesapo
Invalidez de Fesapo
Ningún G es H Todo H es F Luego algún F no es G
l Representamos la 1ª premisa
F
G H
0
0
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Invalidez de Fesapo
Ningún G es H Todo H es F Luego algún F no es G
l Representamos la 1ª premisa
l A continuación representamos la 2ª
F
G H
0
0
0
Invalidez de Fesapo
Ningún G es H Todo H es F Luego algún F no es G
l Representamos la 1ª premisa
l A continuación representamos la 2ª
l La conclusión no queda representada
l Luego es inválido
F
G H
0
0
0
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Importe existencial
l Para que esos 4 modos resulten válidos hemos de añadir la presuposición implícita en el cuadrado de las oposiciones de la lógica tradicional:
– Que el término sujeto no es vacío: el importe existencial de las categóricas (que no presupone la lógica de predicados)
l En la práctica, para ello será suficiente tener en cuenta la subalternación de A y de I, y representar entonces las proposiciones de tipo A junto con las subalternas de tipo I que ellas implican
Validez de Fesapo
Ningún G es H Todo H es F Luego algún F no es G
l Representemos en el diagrama anterior la subalterna de la segunda premisa: Algún H es F
F
G H
0
0
0
X
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Validez de Fesapo
Ningún G es H Todo H es F Luego algún F no es G
l Representemos en el diagrama anterior la subalterna de la segunda premisa: Algún H es F
l Ahora la conclusión sí está representada
l Y el modo resulta válido
F
G H
0
0
0
X
Ejemplo
l Un ejemplo (ahora en Darapti) claramente inválido: Todos los unicornios tienen un cuerno Todos los unicornios son caballos Luego, algunos caballos tienen un cuerno
l En la medida que en nuestros razonamientos cabe utilizar términos vacíos, no debe aceptarse ese modo como universalmente válido (sólo lo es supuesto que existan unicornios)
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Historia y valor de la silogística
l La primera formulación de la silogística se debe a Aristóteles, y constituyó el cuerpo central de la lógica desde el siglo V a. C. hasta finales del siglo XIX, con la aparición de la lógica de predicados de Frege
l La silogística sigue siendo plenamente válida bajo la hipótesis del importe existencial de las categóricas (o de que los términos no son vacíos); y por ello puede considerarse como una pequeña parte de la lógica de predicados
l Pero, fuera de su ámbito, cabe decir que sus reglas son simplemente falsas (y como un cuchillo de cocina frente a un bisturí)
Silogística y lógica de predicados
l Al reconocer únicamente las cuatro formas categóricas, la lógica tradicional padecía una grave incapacidad para expresar otras variedades de proposiciones más complejas
l La notación de cuantificadores y variables, en cambio, aumenta enormemente nuestra capacidad de análisis lógico
l La silogística tradicional es a la lógica de predicados actual lo que la mecánica newtoniana a la teoría de la relatividad: hoy disponemos de una explicación mucho más amplia y más profunda, que no quita su valor a la anterior en su más reducido ámbito de aplicación
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Aristóteles y Gottlob Frege
John Venn
