100408 ALGEBRA LINEAL ACT 6. TRABAJO COLABORATIVO No.1

“Vectores, Matrices y Determinantes”

RICARDO OVIEDO DURAN

CÓDIGO 13850945GRUPO 100408_36

Ing. DELFINA REYESTUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

CEAD BUCARAMANGA

BARRANCABERMEJA, Abril de 2014

INTRODUCCIÓN

Con este trabajo se pretende que el estudiante reconozca algunos aspectos que son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se presenta a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos.

En la unidad 1 del programa de Algebra Lineal se abordan temas como vectores, matrices y determinantes, y se explica los métodos de solución para estos sistemas.

Las matrices constituyen un instrumento muy poderoso para tratar con los modelos lineales. En esta unidad se hace la introducción a la teoría general de matrices, además se definen los determinantes estrechamente relacionados con ellas

OBJETIVOS

Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en la unidad 1 del programa de Algebra Lineal.

Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la componen.

Realizar las operaciones algebraicas básicas con matrices y sus propiedades.

Comprender e identificar la aplicación de los diferentes métodos para la resolución de los problemas propuestos.

DESARROLLO DE PROBLEMAS Y EJERCICIOS

1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:

a. |U| = 5; θ = 2250

U = (5cos2250 ) î + (5 Sen2250 ) ĵ

U = (−5 √22

) î + (−5 √22 ) ĵ

U = (- 5√2

2,−5√2

2 )

b. |v| = 3; θ = 600

v = (3cos600 ) î + (3 Sen600 ) ĵ

v = 3 (12 ) î + 3( √3

2¿ ĵ

v = 32 î +3√3

2 ĵ

v = (32,3√3

2)

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

1.1. 2u - 6 v = 2(- 5√22,−5√2

2 ) - 6(

32 ,3√3

2)

2u - 6 v = ( −5√2 , - 5 √2¿−( 9,9√3 )

2u - 6 v = ( −5√2−9 ,−5√2−9√3)

2u - 6 v = ( −7.07−9 ,−7.07−15.59)

2u - 6 v = ( −16.07 ,−22.66)

1.2. v - U = (32,3√3

2) - (- 5√2

2,−5√2

2 )

v - U = (32−(−5√2

2 ) , 3√32

−(−5√22

))

v - U = ( 32+ 5√2

2 ) ,( 3√32

+ 5√22 )

v - U = (1.5 +3.53 , 2.60 + 3.53)

v - U = (5.03 , 6.13)

1.3. 6v - 7 U = 6 (32 ,3√3

2) - 7(- 5√2

2,−5√2

2 )

6 v - 7U = (9 ,9√3 )+( 35√22

,35√2

2 ) 6 v - 7U = (9+24.75 ,15.59+24.75 )

6 v - 7U = (33.75 ,40.34 )

2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

2.1. U = 2 î + 9 ĵ y v = - 6 î + 9 ĵ

U . v = (2î + 9 ĵ) * (-6 î + 9 ĵ) cosθ = U .v

|U||v|

U . v = (2) (-6) + (9) (9) cosθ = 69

(√85 )(√117)

U . v = -12 +81 cosθ = 69

√9945

U . v = 69 cosθ = 0,6919

|U| = √(2)2+(9)2 = √4+81 =√85 θ = cos−1 (0,6919)

|v| = √(−6)2+(9)2 = √36+81 =√117 θ = 46,220

2.2. U = -5 î - ĵ y v = - 7 î - 4 ĵ

U . v = (-5î - ĵ) * (-7 î - 4 ĵ) cosθ = U .v

|U||v|

U . v = (-5) (-7) + (-1) (-4) cosθ = 39

(√26 )(√65)

U . v = 35 +4 cosθ = 39

√1690

U . v = 39 cosθ = 0,94868

|U| = √(−5)2+(−1)2 = √25+1 =√26 θ = cos−1 (0, 94868)

|v| = √(−7)2+(−4 )2 = √49+16 =√65 θ = 1 8 ,430

3. Dada la siguiente matriz, encuentre A−1 empleando para ello el método de Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso).

A= [ 2 8 0−3 0 −18 1 −3]

[ 2 8 0−3 0 −18 1 −3|

1 0 00 1 00 0 1 ] 1

2f 1 [ 1 4 0

−3 0 −18 1 −3|1

20 0

0 1 00 0 1 ] f 2+3 f 1

[1 4 00 12 −18 1 −3|1

20 0

32

1 0

0 0 1] f 3−8 f 1 [1 4 0

0 12 −10 −31 −3| 1

20 0

32

1 0

−4 0 1] f 2

12

[1 4 0

0 1−112

0 −31 −3| 12

0 0

18

112

0

−4 0 1] f 3+31 f 2[1 4 0

0 1−112

0 0−67

12|

12

0 0

18

112

0

−18

3112

1 ]−1267f 3

[1 4 0

0 1−112

0 0 1 |12

0 0

18

112

0

3134

−3167

−1267

] f 2+1

12f 3[1 4 0

0 1 00 0 1|

12

0 0

17134

367

−167

3134

−3167

−1267

] f 1−4 f 2

[1 0 00 1 00 0 1|

−1134

−1267

467

17134

367

−167

3134

−3167

−1267

] Entonces:

A−1 = [−1134

−1267

467

17134

367

−167

3134

−3167

−1267

]4. Emplee una herramienta computacional adecuada (por ejemplo, MAPLE, oCualquier software libre) para verificar el resultado del numeral anterior.

A−1 = [−1134

−1267

467

17134

367

−167

3134

−3167

−1267

]Para comprobarlo por la definición: A * A−1= I

A= [ 2 8 0−3 0 −18 1 −3]* A−1 = [

−1134

−1267

467

17134

367

−167

3134

−3167

−1267

]=II=[i11 i12 i13

i21 i22 i23

i31 i32 i33], donde:

i11= [2 8 0 ]∗[−1134171343

134]=−2

134+ 136

134+0=1

i21=[−3 0 −1 ]∗[−1134171343

134]= 3

134+0− 3

134=0

i12=[ 2 8 0 ]∗[−1267367

−3167

]=−2467

+ 2467

+0=0 i22=[−3 0 −1 ]∗[−12673

67−3167

]=3667

+0+ 3167

=1

i13=[ 2 8 0 ]∗[467−167

−1267

]= 867

− 867

−0=0 i23=[−3 0 −1 ]∗[467−167

−1267

]=−1267

+0+ 1267

=0

i31=[ 8 1 −3 ]∗[−113417134

3134

]= −8134

+ 17134

− 9134

=0

i32=[ 8 1 −3 ]∗[−12673

67−3167

]=−9667

+ 367

+ 9367

=0

i33=[ 8 1 −3 ]∗[467−167

−1267

]=3267

− 167

+ 3667

=1 , entonces, I=[1 0 00 1 00 0 1] por tanto es

correcta el resultado del punto anterior.

5. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la operación que lo va modificando. (Sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).

B=[−18500

0360

−1

93

−402

2−421

−3

111

−21

] −1 f 1 [18500

0360

−1

−93

−402

−2−4

21

−3

−111

−21

] f 2−8 f 1 [10500

0360

−1

−975−402

−21221

−3

−191

−21

]c3↔c5

-[10500

0360

−1

−191

−21

−21221

−3

−975−402

] f 3−5 f 1-[10000

0360

−1

−196

−21

−212121

−3

−9754102

] f 3−2 f 2-[10000

0300

−1

−19

−12−21

−212

−121

−3

−975

−10902

]f 5+

13f 2 -[1000

0

03000

−19

−12−24

−212

−1211

−975

−109027

] f 5+2 f 4-[10000

03000

−19

−12−20

−212

−1213

−975

−109027

] f 4−16f 3

-[1000003000

−19

−1200

−212

−1233

−975

−109109627

] f 5−f 4 -[1000003000

−19

−1200

−212

−1230

−975

−1091096536

]

|B|=−1∗−( 1∗3∗−12∗3∗536 )=−954

−1 f 1 c3↔c5

6. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes

(Recuerde: A−1= 1

DetA∗AdjA)

A=[−2 5 −13 0 −43 1 −5]

A=[−2 5 −13 0 −43 1 −5] c1↔c3 −[−1 5 −2

−4 0 3−5 1 3 ]−1 f 1¿

[ 1 −5 20 −20 11

−5 1 3 ] f 3+5 f 1 [1 −5 20 −20 110 −24 13]− f 2

20 [1 −5 2

0 1−1120

0 −24 13] f 3+24 f 2

−20 [1 −5 2

0 1−1120

0 0−15

] |A|=−20∗1∗1∗(−15 )=4

MATRIZ COFACTOR

B = [ A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33]

A11 = (−1)1+1 |M 11| = |M 11| = |0 −41 −5| = (−5∗0)– (1∗−4 )=4

A12 = (−1)1+2 |M 12| = - |M 12| = - |3 −43 −5| = -{(−5∗3 )−(3∗−4 ) }=3

A13 = (−1)1+3 |M 13| = |M 13| = |3 03 1| = (1∗3) – (3∗0)=3

A21 = (−1)2+1 |M 21| = |M 21| = - |5 −11 −5| = −{(−5∗5 )−(1∗−1 ) }=24

A22 = (−1)2+2 |M 22| = |M 22| = |−2 −13 −5| = (−5∗−2 )– (3∗−1 )=13

A23 = (−1)2+3 |M 23| =- |M 23| = - |−2 53 1| = −{(−2∗1 )−(3∗5 ) }=17

A31 = (−1)3+1 |M 31| = |M 31| = |5 −10 −4| = (−4∗5 )– (0∗−1 )=−20

A32 = (−1)3+2 |M 32| =|M 32| = - |−2 −13 −4| = −{(−4∗−2 )− (3∗−1 ) }=−11

A33 = (−1)3+3 |M 33| = |M 33| = |−2 53 0|= (0∗−2 ) – (3∗5 )=−15

B=[ 4 3 324 13 17

−20 −11 −15] Matriz Cofactor

Bt=[4 24 −203 13 −113 17 −15 ] Matriz transpuesta

Matriz Adjunta

adj A=Bt=[4 24 −203 13 −113 17 −15]

Matriz Inversa:

A−1= 1det A

∗¿ adj A

A−1=14∗[4 24 −20

3 13 −113 17 −15 ]

A−1=[ 1 6 −534

134

−114

34

174

−154

]

CONCLUSIONES

Con el desarrollo de este trabajo reconocimos y aplicamos los conceptos y de la Unidad 1 en los ejercicios, cuyo contenido puntual es la solución de matrices, vectores y determinantes.

Esta materia tiene una gran importancia, ya que nos permite resolver los diferentes enfoques empresariales en lo que respecta a su desarrollo financiero y que a través de matrices, sistemas lineales podremos evidenciar su funcionamiento y así tomar de decisiones, respecto al rumbo que deberá tomar una compañía en determinadas situaciones.

Bibliografía

Zúñiga Guerrero, Camilo Arturo. (2008). Protocolo del Curso Académico Álgebra Lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD.

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD. (2014). Plataforma del Curso Académico Álgebra Lineal – Foro Act. 6: Trabajo Colaborativo 1

http://www.resolvermatrices.com/