100408 ALGEBRA LINEAL ACT 6. TRABAJO COLABORATIVO No.1
“Vectores, Matrices y Determinantes”
RICARDO OVIEDO DURAN
CÓDIGO 13850945GRUPO 100408_36
Ing. DELFINA REYESTUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
CEAD BUCARAMANGA
BARRANCABERMEJA, Abril de 2014
INTRODUCCIÓN
Con este trabajo se pretende que el estudiante reconozca algunos aspectos que son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se presenta a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos.
En la unidad 1 del programa de Algebra Lineal se abordan temas como vectores, matrices y determinantes, y se explica los métodos de solución para estos sistemas.
Las matrices constituyen un instrumento muy poderoso para tratar con los modelos lineales. En esta unidad se hace la introducción a la teoría general de matrices, además se definen los determinantes estrechamente relacionados con ellas
OBJETIVOS
Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en la unidad 1 del programa de Algebra Lineal.
Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la componen.
Realizar las operaciones algebraicas básicas con matrices y sus propiedades.
Comprender e identificar la aplicación de los diferentes métodos para la resolución de los problemas propuestos.
DESARROLLO DE PROBLEMAS Y EJERCICIOS
1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:
a. |U| = 5; θ = 2250
U = (5cos2250 ) î + (5 Sen2250 ) ĵ
U = (−5 √22
) î + (−5 √22 ) ĵ
U = (- 5√2
2,−5√2
2 )
b. |v| = 3; θ = 600
v = (3cos600 ) î + (3 Sen600 ) ĵ
v = 3 (12 ) î + 3( √3
2¿ ĵ
v = 32 î +3√3
2 ĵ
v = (32,3√3
2)
Realice analíticamente, las operaciones siguientes:
1.1. 2u - 6 v = 2(- 5√22,−5√2
2 ) - 6(
32 ,3√3
2)
2u - 6 v = ( −5√2 , - 5 √2¿−( 9,9√3 )
2u - 6 v = ( −5√2−9 ,−5√2−9√3)
2u - 6 v = ( −7.07−9 ,−7.07−15.59)
2u - 6 v = ( −16.07 ,−22.66)
1.2. v - U = (32,3√3
2) - (- 5√2
2,−5√2
2 )
v - U = (32−(−5√2
2 ) , 3√32
−(−5√22
))
v - U = ( 32+ 5√2
2 ) ,( 3√32
+ 5√22 )
v - U = (1.5 +3.53 , 2.60 + 3.53)
v - U = (5.03 , 6.13)
1.3. 6v - 7 U = 6 (32 ,3√3
2) - 7(- 5√2
2,−5√2
2 )
6 v - 7U = (9 ,9√3 )+( 35√22
,35√2
2 ) 6 v - 7U = (9+24.75 ,15.59+24.75 )
6 v - 7U = (33.75 ,40.34 )
2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:
2.1. U = 2 î + 9 ĵ y v = - 6 î + 9 ĵ
U . v = (2î + 9 ĵ) * (-6 î + 9 ĵ) cosθ = U .v
|U||v|
U . v = (2) (-6) + (9) (9) cosθ = 69
(√85 )(√117)
U . v = -12 +81 cosθ = 69
√9945
U . v = 69 cosθ = 0,6919
|U| = √(2)2+(9)2 = √4+81 =√85 θ = cos−1 (0,6919)
|v| = √(−6)2+(9)2 = √36+81 =√117 θ = 46,220
2.2. U = -5 î - ĵ y v = - 7 î - 4 ĵ
U . v = (-5î - ĵ) * (-7 î - 4 ĵ) cosθ = U .v
|U||v|
U . v = (-5) (-7) + (-1) (-4) cosθ = 39
(√26 )(√65)
U . v = 35 +4 cosθ = 39
√1690
U . v = 39 cosθ = 0,94868
|U| = √(−5)2+(−1)2 = √25+1 =√26 θ = cos−1 (0, 94868)
|v| = √(−7)2+(−4 )2 = √49+16 =√65 θ = 1 8 ,430
3. Dada la siguiente matriz, encuentre A−1 empleando para ello el método de Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso).
A= [ 2 8 0−3 0 −18 1 −3]
[ 2 8 0−3 0 −18 1 −3|
1 0 00 1 00 0 1 ] 1
2f 1 [ 1 4 0
−3 0 −18 1 −3|1
20 0
0 1 00 0 1 ] f 2+3 f 1
[1 4 00 12 −18 1 −3|1
20 0
32
1 0
0 0 1] f 3−8 f 1 [1 4 0
0 12 −10 −31 −3| 1
20 0
32
1 0
−4 0 1] f 2
12
[1 4 0
0 1−112
0 −31 −3| 12
0 0
18
112
0
−4 0 1] f 3+31 f 2[1 4 0
0 1−112
0 0−67
12|
12
0 0
18
112
0
−18
3112
1 ]−1267f 3
[1 4 0
0 1−112
0 0 1 |12
0 0
18
112
0
3134
−3167
−1267
] f 2+1
12f 3[1 4 0
0 1 00 0 1|
12
0 0
17134
367
−167
3134
−3167
−1267
] f 1−4 f 2
[1 0 00 1 00 0 1|
−1134
−1267
467
17134
367
−167
3134
−3167
−1267
] Entonces:
A−1 = [−1134
−1267
467
17134
367
−167
3134
−3167
−1267
]4. Emplee una herramienta computacional adecuada (por ejemplo, MAPLE, oCualquier software libre) para verificar el resultado del numeral anterior.
A−1 = [−1134
−1267
467
17134
367
−167
3134
−3167
−1267
]Para comprobarlo por la definición: A * A−1= I
A= [ 2 8 0−3 0 −18 1 −3]* A−1 = [
−1134
−1267
467
17134
367
−167
3134
−3167
−1267
]=II=[i11 i12 i13
i21 i22 i23
i31 i32 i33], donde:
i11= [2 8 0 ]∗[−1134171343
134]=−2
134+ 136
134+0=1
i21=[−3 0 −1 ]∗[−1134171343
134]= 3
134+0− 3
134=0
i12=[ 2 8 0 ]∗[−1267367
−3167
]=−2467
+ 2467
+0=0 i22=[−3 0 −1 ]∗[−12673
67−3167
]=3667
+0+ 3167
=1
i13=[ 2 8 0 ]∗[467−167
−1267
]= 867
− 867
−0=0 i23=[−3 0 −1 ]∗[467−167
−1267
]=−1267
+0+ 1267
=0
i31=[ 8 1 −3 ]∗[−113417134
3134
]= −8134
+ 17134
− 9134
=0
i32=[ 8 1 −3 ]∗[−12673
67−3167
]=−9667
+ 367
+ 9367
=0
i33=[ 8 1 −3 ]∗[467−167
−1267
]=3267
− 167
+ 3667
=1 , entonces, I=[1 0 00 1 00 0 1] por tanto es
correcta el resultado del punto anterior.
5. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la operación que lo va modificando. (Sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).
B=[−18500
0360
−1
93
−402
2−421
−3
111
−21
] −1 f 1 [18500
0360
−1
−93
−402
−2−4
21
−3
−111
−21
] f 2−8 f 1 [10500
0360
−1
−975−402
−21221
−3
−191
−21
]c3↔c5
-[10500
0360
−1
−191
−21
−21221
−3
−975−402
] f 3−5 f 1-[10000
0360
−1
−196
−21
−212121
−3
−9754102
] f 3−2 f 2-[10000
0300
−1
−19
−12−21
−212
−121
−3
−975
−10902
]f 5+
13f 2 -[1000
0
03000
−19
−12−24
−212
−1211
−975
−109027
] f 5+2 f 4-[10000
03000
−19
−12−20
−212
−1213
−975
−109027
] f 4−16f 3
-[1000003000
−19
−1200
−212
−1233
−975
−109109627
] f 5−f 4 -[1000003000
−19
−1200
−212
−1230
−975
−1091096536
]
|B|=−1∗−( 1∗3∗−12∗3∗536 )=−954
−1 f 1 c3↔c5
6. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes
(Recuerde: A−1= 1
DetA∗AdjA)
A=[−2 5 −13 0 −43 1 −5]
A=[−2 5 −13 0 −43 1 −5] c1↔c3 −[−1 5 −2
−4 0 3−5 1 3 ]−1 f 1¿
[ 1 −5 20 −20 11
−5 1 3 ] f 3+5 f 1 [1 −5 20 −20 110 −24 13]− f 2
20 [1 −5 2
0 1−1120
0 −24 13] f 3+24 f 2
−20 [1 −5 2
0 1−1120
0 0−15
] |A|=−20∗1∗1∗(−15 )=4
MATRIZ COFACTOR
B = [ A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33]
A11 = (−1)1+1 |M 11| = |M 11| = |0 −41 −5| = (−5∗0)– (1∗−4 )=4
A12 = (−1)1+2 |M 12| = - |M 12| = - |3 −43 −5| = -{(−5∗3 )−(3∗−4 ) }=3
A13 = (−1)1+3 |M 13| = |M 13| = |3 03 1| = (1∗3) – (3∗0)=3
A21 = (−1)2+1 |M 21| = |M 21| = - |5 −11 −5| = −{(−5∗5 )−(1∗−1 ) }=24
A22 = (−1)2+2 |M 22| = |M 22| = |−2 −13 −5| = (−5∗−2 )– (3∗−1 )=13
A23 = (−1)2+3 |M 23| =- |M 23| = - |−2 53 1| = −{(−2∗1 )−(3∗5 ) }=17
A31 = (−1)3+1 |M 31| = |M 31| = |5 −10 −4| = (−4∗5 )– (0∗−1 )=−20
A32 = (−1)3+2 |M 32| =|M 32| = - |−2 −13 −4| = −{(−4∗−2 )− (3∗−1 ) }=−11
A33 = (−1)3+3 |M 33| = |M 33| = |−2 53 0|= (0∗−2 ) – (3∗5 )=−15
B=[ 4 3 324 13 17
−20 −11 −15] Matriz Cofactor
Bt=[4 24 −203 13 −113 17 −15 ] Matriz transpuesta
Matriz Adjunta
adj A=Bt=[4 24 −203 13 −113 17 −15]
Matriz Inversa:
A−1= 1det A
∗¿ adj A
A−1=14∗[4 24 −20
3 13 −113 17 −15 ]
A−1=[ 1 6 −534
134
−114
34
174
−154
]
CONCLUSIONES
Con el desarrollo de este trabajo reconocimos y aplicamos los conceptos y de la Unidad 1 en los ejercicios, cuyo contenido puntual es la solución de matrices, vectores y determinantes.
Esta materia tiene una gran importancia, ya que nos permite resolver los diferentes enfoques empresariales en lo que respecta a su desarrollo financiero y que a través de matrices, sistemas lineales podremos evidenciar su funcionamiento y así tomar de decisiones, respecto al rumbo que deberá tomar una compañía en determinadas situaciones.
Bibliografía
Zúñiga Guerrero, Camilo Arturo. (2008). Protocolo del Curso Académico Álgebra Lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD.
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD. (2014). Plataforma del Curso Académico Álgebra Lineal – Foro Act. 6: Trabajo Colaborativo 1
http://www.resolvermatrices.com/