Post on 06-Aug-2015
INTTRODUCCION
La vida esta llena de conflicto y competencia. Los numerosos ejemplos que
involucran adversarios en conflicto incluyen juegos de mesa, combates militares,
campañas políticas, competencias deportivas, campañas de publicidad y
comercialización entre empresas de negocios que compiten, entre otros. Una
característica básica en muchas de estas situaciones, es que el resultado final
depende, en primer lugar, de la combinación estratégica seleccionadas por los
dversarios.
La teoría de juegos es una teoría matemática que estudia las características
generales de las situaciones competitivas como estas de manera formal y
abstracta. Da una importancia especial a los procesos de toma de decisiones de
los adversarios.
Por ello este trabajo está diseñado para que el estudiante adquiera conocimientos
en la Teoría de Juegos su desarrollo, diseño y aplicación en las diferentes áreas.
Los contenidos incorporan en el proceso de formación destrezas y hábitos para el
trabajo profesional del Ingeniero Industrial, ya que este participará en la
planificación, estudio, dirección, evaluación y control de los diferentes métodos,
procesos y sistemas de producción de bienes y servicios útiles a la comunidad,
con el fin de optimizar el uso de recursos humanos y materiales; creando así, un
individuo de elevada calidad ciudadana y alto grado de competencia técnica.
OBJETIVO
“Aplicar la teoría de juegos para reducir el riesgo en la toma
de decisiones en situaciones competitivas”.
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 1
TEORIA DE JUEGOS
EJEMPLO # 1
ESTRATEGIA PURA:
“Compañía contra sindicato”
En el año 2011 el sindicato de La Iberica entro en huelga, exigiendo el
aumento de cuatro soles diarios, la instalación de un comedor, refrigerio
para los trabajadores del turno noche y un centro médico
Simulando el problema como si fuese un caso actual
Teniendo la suposición de hubiéramos formado parte del grupo de gerentes
que está a cargo determinar la estrategia que deben seguir durante las
negociaciones. Después de considerar la experiencia en otros años, se está
de acuerdo en que las estrategias factibles para la compañía son:
C1 = Negociaciones agresivas. (si o si)
C2 = Método lógico, de razonamiento.
C3 = Estrategia conciliatoria
C4 = Estrategia permisiva
¿Cuál es la mejor estrategia para la compañía?
Solución:
La respuesta dependió de la estrategia que elija el sindicato, la cual no se conoce.
Pero se puede suponer, por los antecedentes del sindicato, que puede usar uno
de los siguientes procedimientos:
U1 = Negociaciones agresivas.
U2 = Método lógico, de razonamiento.
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 2
U3 = Estrategia conciliatoria
U4 = Estrategia permisiva
Ahora hay que considerar las consecuencias de cada una de las estrategias,
condicionadas por el hecho de que el sindicato adopte una de sus estrategias
posibles. Con ayudar de un mediador externo, logramos construir la siguiente
tabla # 1:
Tabla # 1: “Ganancias condicionales del sindicato (costos para la
compañía en soles)”
Estrategia
s
del
Sindicato
Estrategias de la Compañía Mínimos
de las
filas
C1 C2 C3 C4
U1 0.5 2.5 3.5 4 4
U2 2 2.5 3 3.5 3.5
U3 1 2 2.5 3.5 3.5
U4 0.5 1 1.5 4 4
Máximos
de las
columnas
0 2.5 3.5 2
Haciendo uso de la estrategia Minimax, la compañía podría adoptar la estrategia
que minimice el mayor aumento de salarios que tendría que otorgar, sin importar
la acción del sindicato. Si el sindicato sigue esta regla, escogería la estrategia que
maximizara el aumento mínimo de los salarios.
En el ejemplo, la estrategia Minimax para la compañía es C3, con aumento de
salarios máximo de 12 centavos; para el sindicato sería U1, con aumento mínimo
de 12 centavos. En la tabla # 1, los 12 centavos son el máximo de la columna C3 y
el mínimo de la fila U1, por lo que es la solución de equilibrio para esta situación.
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 3
0.5
4
En términos de la teoría de juegos, 12 es el valor del juego. Las estrategias puras
(U1 , C3) proporcionan el equilibrio de este caso, ya que si la compañía usa C3 , la
mejor defensa del sindicato es U1 ; si el sindicato escoge U1 , C3 es la mejor
defensa de la compañía.
ESTRATEGIA MIXTA:
Ejemplo:
Siguiendo con el ejemplo de la “Compañía contra sindicato” si modificamos los
datos con sólo cambiar una de las cantidades y hacemos que la intersección de
C3 y U3 , fuese ahora + 19 centavos, en lugar de + 10 centavos (ver tabla # 2 ),
vemos que + 12 centavos ya no sería el máximo de la columna, como se muestra
en la tabla # 1. Ahora C2 es la estrategia que minimiza la pérdida máxima de la
compañía; el máximo del sindicato es aún U1 .Sin embargo, la intersección de
estas estrategias no es un punto de equilibrio, porque + 15 centavos no es el
máximo de la columna y el mínimo de la fila. Las estrategias puras (U1 , C2) ya no
son un par de equilibrio.
Tabla # 2: “Ganancias condicionales del sindicato (costos para la
compañía en centavos)”
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 4
Reducimos la tabla # 2 a las estrategias que se muestran en la tabla # 3. Esto se
hace por medio de la eliminación sucesiva de las estrategias dominadas .La
estrategia U4 del sindicato es dominada por U1, por lo cual puede U4 eliminarse. La
estrategia C1 de la compañía es dominada por C2 o C3; por lo tanto, también C1
puede eliminarse. Con lo anterior, queda la estrategia U2 del sindicato, dominada
por U1, y las únicas estrategias que quedan para el sindicato son U1 y U3. Al llegar
a ese punto, la estrategia C2 domina a C4y las únicas estrategias para la
compañía son C2 y C3, (Ver la tabla # 3).
Tabla # 2: “Estrategias no dominadas”
Ahora el objetivo es obtener una
estrategia mixta que mejore la posición de las dos partes con respecto a las
estrategias puras disponibles. Entonces, tenemos:
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 5
Estrategia
s
del
Sindicato
Estrategias de la Compañía Mínimos
de las
filas
C1
3
C2 C3 C4
4
U1 + 20 c. + 15 c. + 12 c. + 35 c.
U2 2 + 25 c. + 14 c. + 8 c. + 10 c. + 8 c.
U3 + 40 c. + 2 c. + 19 c. + 5 c. + 2 c.
U4 1 -5 c. + 4 c. + 11 c. 0 -5 c.
Máximos
de las
columnas
+ 40 c. + 19 c. + 35 c.
Estrategia
s
del
Sindicato
Estrategias de la
Compañía
C2 C3
U1 + 15 c. + 12 c.
U3 + 2 c. + 19 c.
+15 c.
+12 c.
A) Análisis de Probabilidades:
C2 C3 PO
U1 15 12 P1 17/20
U3 2 19 1- P1 3/20
QO Q1 1 – Q1
7/20 13/20
Valor de U1 = Valor de U3
V U1 = V U3
15 Q1 + 12 (1 – Q1) = 2 Q1 + 19 (1 – Q1)
15 Q1 + 12 – 12 Q1 = 2 Q1 + 19 – 19 Q1
12 + 3 Q1 = 19 – 17 Q1
20 Q1 = 7
Valor de C2 = Valor de C3
V C2 = V C3
15 P1 + 2 (1 – P1) = 12 P1 + 19 (1 – P1)
15 P1 + 2 – 2 P1 = 12 P1 + 19 – 19 P1
2 + 13 P1 = 19 – 7 P1
20 P1 = 17
B) Análisis de cruce de Probabilidades:
C2 C3 PO
U1 15 12 3 17/20
U3 2 19 17 3/20
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 6
Q1 = 7 20
P1 = 17 20
20
QO 13 7
7/20 13/20
Valor de juego para el Sindicato:
V = 15 (17/20) + 2 (3/20) = 13.05
V = 12 (17/20) + 19 (3/20) = 13.05
Valor de juego para la Compañía:
V = 15 (7/20) + 12 (13/20) = 13.05
V = 2 (7/20) + 19 (13/20) = 13.05
La cifra de 13.05 es una medida de la utilidad esperada y como tal, nos lleva a la
conclusión de que la estrategia mixta da como resultado el menor costo máximo
para la compañía y el mayor aumento mínimo para el sindicato (en función de la
utilidad esperada o, lo que es igual en este ejemplo, el valor monetario esperado).
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 7
EJEMPLO # 2
En la siguiente matriz de resultados para A y B, las cantidades son
utilidades que gana A y pierde B para cualquier intersección de estrategias:
B1 B2
A1 10 6
A2 8 12
A. ¿Cuál es la mayor ganancia mínima segura que puede obtener A si
sigue una estrategia pura?
B. ¿Cuál es la menor pérdida máxima en que puede incurrir B si sigue
una estrategia pura?
C. ¿Cuál es la estrategia mixta para A?
D. Si A y B usan estrategias mixtas ¿Cuál es el valor de juego?
Solución:
A. ¿Cuál es la mayor ganancia mínima segura que puede obtener A si
sigue una estrategia pura?
B1 B2 Min PO
A1 10 6 6 0
A2 8 12 8 Maximin 1
Max 10 12
Minimax
QO 1 0
La mayor ganancia mínima segura que puede obtener A es de 8; como
estrategia pura.
B. ¿Cuál es la menor pérdida máxima en que puede incurrir B si sigue
una estrategia pura?
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 8
B1 B2 Min PO
A1 10 6 6 0
A2 8 12 8 Maximin 1
Max 10 12
Minimax
QO 1 0
La menor pérdida máxima segura que puede incurrir B es de 10; como
estrategia pura.
C. ¿Cuál es la estrategia mixta para A?
B1 B2 PO
A1 10 6 P1 1 / 2
A2 8 12 1- P1 1 / 2
QO Q1 1 – Q1
3 / 4 1 / 4
Valor de A1 = Valor de A2
V A1 = V A2
10 Q1 + 6 (1 – Q1) = 8 Q1 + 12 (1 – Q1)
10 Q1 + 6 – 6 Q1 = 8 Q1 + 12 – 12 Q1
6 + 4 Q1 = 12 – 4 Q1
8 Q1 = 6
Valor de B1 = Valor de B2
V B1 = V B2
10 P1 + 8 (1 – P1) = 6 P1 + 12 (1 – P1)
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 9
Q1 = 3 4
10 P1 + 8 – 8 P1 = 6 P1 + 12 – 12 P1
8 + 2 P1 = 12 – 6 P1
8 P1 = 4
El estrategia mixta para A es de 1 / 2
D. Si A y B usan estrategias mixtas ¿Cuál es el valor de juego?
B1 B2 PO
A1 10 6 4 1 / 2
A2 8 12 4 1 / 2
QO 2 6
3 / 4 1 / 4
Valor de juego para el Sindicato:
V = 10 (1/2) + 8 (1/2) = 18/2 = 9
V = 6 (1/2) + 12 (1/2) = 18/2 = 9
Valor de juego para la Compañía:
V = 10 (3/4) + 6 (1/4) = 36/4 = 9
V = 8 (3/4) + 12 (1/4) = 36/4 = 9
El valor de juego es 9
EJERCICIO:
Dos bancos del sistema compiten por atraer el mayor número de cuenta
habientes en un poblado del occidente del país: Banco "Le cuido su pisto" el
primero, y Banco " Le Guardo su Plata" el segundo; para el logro de su objetivo
cada uno aplica las estrategias siguientes:
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 10
8
P1 = 1 2
1. Sorteo de electrodomésticos
2. Tasa de interés más alta
3. Sorteo de dinero en efectivo
Si el segundo banco ofrece sorteo de electrodomésticos atrae 200 cuenta
habientes más que el primero, cuando este ofrece lo mismo, 1000 más cuando el
primero ofrece tasa de interés mas alta y 800 menos cuando el primero ofrece
sorteo de dinero en efectivo. Si el segundo banco ofrece una tasa de interés más
alta atrae 1300 más cuando el primero ofrece sorteo de electrodomésticos, 700
más cuando el primero ofrece lo mismo y 900 menos cuando el primero ofrece
sorteo de dinero en efectivo. Si el segundo banco ofrece sorteo de dinero en
efectivo atrae 2000 menos cuando el primero ofrece sorteo de electrodomésticos,
1500 más cuando el primero ofrece tasa de interés más alta y 850 menos cuando
el primero ofrece lo mismo.
1. ¿Que banco es el ganador del juego?
2. ¿Qué estrategia debe aplicar cada banco?
3. ¿En un año cuantos meses debe aplicar cada estrategia?
4. ¿Cuántos cuenta habientes atrae más el banco ganador?
5. Si el primer banco ofrece sorteo de dinero en efectivo y el segundo sorteo
de electrodomésticos, el segundo atrae 800 cuenta habientes más que el
primero. ¿Cuales serán las nuevas respuestas?
R = BCO. "LE CUIDO SU PISTO"
C = BCO. "LE CUIDO SU PLATA"
Estrategias: X1 Y1 – sorteo de electrodomésticos
X2 Y2 – tasa de interés más alta
X3 Y3 – sorteo de dinero en efectivo
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 11
CONSTRUIR MATRIZ DE JUEGO
C CF
Y1 Y2 Y3 < FILA
X1 -200 -1300 2000 -1300 MAXMIN = 800
R X2 -1000 -700 -1500 -1500
X3 800 900 850 800
> COLUMNA 800 900 2000
MINMAX = 800
MAXMIN = MINMAX PUNTO DE SILLA = 800
800 = 800 VALOR DE JUEGO = 800
RESPUESTAS:
1. Favorece al Bco. "Le cuido su pisto".
C= Utiliza estrategias Y1 = sorteo de electrodomésticos
2. R = Utiliza estrategias X3 = sorteo dinero en efectivo
C = 12 meses
3. R = 12 meses
4. 800 Clientes
5. R => X3
C => Y1
C CF
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 12
Y1 Y2 Y3 < FILA
X1 -200 -1300 2000 -1300 MAXMIN = - 800
R X2 -1000 -700 -1500 -1500
X3 800 900 850 800
> COLUMNA 800 900 2000
MINMAX = 800
MAXMIN = MINMAX PUNTO DE SILLA = no hay
-800 = -200 VALOR DE JUEGO = si hay SIMPLEX
SIMPLEX
EN FUNCION "Y" (MAXIMIZACIÓN)
F.O.MAX = Y1 + Y2 + Y3
SUJETO A: (Restricciones)
1. –200Y1 + (-1300) Y 2 + 2000 Y 3 £ 1 Ü siempre será 1 porque la
probabilidad no
2. –1000Y1 - 700 Y 2 - 1500 Y 3 £ 1 puede ser mayor a 1
3. -800 Y1 + 900 Y2 + 850 Y 3 £ 1
CONVERTIR EN ECUACIONES AGREGANDO VARIABLES DE
HOLGURA
4. Y1; Y2 & Y3 ³ 0
5. –200Y1 + (-1300) Y 2 + 2000 Y 3 = 1 Ü siempre será 1 porque la
probabilidad no
6. –1000Y1 - 700 Y 2 - 1500 Y 3 = 1 puede ser mayor a 1
7. -800 Y1 + 900 Y2 + 850 Y 3 = 1
8. Y1; Y2 & Y3 ³ 0
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 13
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C
-200 -1300 2000 1 0 0 1
-1000 -700 -1500 0 1 0 1
-800 900 850 0 0 1 1
-1 -1 -1
EN FUNCIÓN "X" (MINIMIZACIÓN)
F.O.MINZ = X1 + X2 +X3
SUJETO A:
1. –200Y1 + (-1300) Y 2 + 2000 Y 3 £ 1
2. –1000Y1 - 700 Y 2 - 1500 Y 3 £ 1
3. -800 Y1 + 900 Y2 + 850 Y 3 £ 1
4. Y1; Y2 & Y3 ³ 0
CON LOS COEFICIENTES DE LAS DESIGUALDADES LA MATRIZ INICIAL
Y1 Y2 Y3 C
-200 -1300 2000 1
-1000 -700 -1500 1
-800 900 850 1
-1 -1 -1
DETERMINAR LA TRANSPUESTA
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 14
Y1 Y2 Y3 C
-200 -1300 2000 1
-1000 -700 -1500 1
-800 900 850 1
-1 -1 -1
CONSTRUIR PRIMER TABLERO SIMPLEX, AGREGÁNDOLE 1 MATRIZ
IDENTIDAD
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C
-200 -1300 2000 1 0 0 1 R/MAX
-1000 -700 -1500 0 1 0 1
-800 900 850 0 0 1 1
-1 -1 -1 0 0 0 0
MIN Z Þ VALOR DE
JUEGO
SE SUMA UNA CONSTANTE PARA ELIMINAR LOS SIGNOS NEGATIVOS
(EN ESTE 1500 Þ K 1500 QUE ES EL MÁS NEGATIVO)
E.P.
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 15
1300 200 3500 1 0 0 1 (1/3500)
500 800 0 0 1 0 1
700 2400 2350 0 0 1 1
-1 -1 -1 0 0 0 0
C.P.
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C
13/35 2/35 1 1/3500 0 0 1/350 (2350)(1)
500 800 0 0 1 0 1
-1210/7 15860/7 0 -47/70 0 1 23/70 (7/15860)
-22/35 -33/35 0 1/3500 0 0 1/3500
C.P.
1/3500 2/35 = 0.005
1 800 = 0.000125
23/70 15860/7 = 0.0000145
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C
298/793 0 1 6/19825 0 -1/39650 11/39650
444900/793 0 0 188/793 1 -280/793 701/793
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 16
-121/1576 1 0 -47/158600 0 7-15860 23/158600 (-2/35)(-80)
-111/1586 0 0 1/158600 0 33/79300 67/158600 (33/35)
A B C D
C.P. PARA COMPROBAR LA SUMA DE LAS VARIABLES (A+B+C)
DEBE SER IGUAL A & D
11/39650 / 298/793 = 0.0007382
= 0.00157
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C
1 0 793/298 3/3725 0 -1/14900 11/14900 (-444900/793)
(121/1586)(1111/1586)
0 0 222450/149 -32/149 1 -47/149 70/149
0 0 121/596 -7/29800 0 13/29800 0.00020134
0 0 1111/596 0.000570469 0 0.000369127 0.000939597
X1 X2 X3
A. VALOR DE JUEGO = 1/ Z = 1/0.000939597 = 1064.286072 –k = - 435.71
1500
GANA EL BANCO C (LE CUIDO SU PISTO)
B. ¿QUÉ ESTRATEGIAS VAN APLICAR C/U DE LOS COMPETIDORES?
C. R X1 = 0.00570469 sorteo electrodomésticos
X2 = 0
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 17
X3 = 0.00369127 sorteo de dinero en efectivo
C Y1 = 11/14900 sorteo de electrodomésticos
Y2 = 0.00201342 tasa de interés más alta
Y3 = 0
EL BANCO R PARA MINIMIZAR SUS MÁXIMAS PÉRDIDAS UTILIZARÁ
LAS ESTRATEGIAS SORTERO DE ELECTRODOMÉSTICOS Y SORTEO
DE DINERO EN EFECTIVO.
EL BANCO C PARA MAXIMIZAR SUS MÁXIMAS GANANCIAS UTILIZARÁ
LA ESTRATEGIA DE SORTEO DE ELECTRODOMÉSTICOS Y LA DE
TASA DE INTERÉS MÁS ALTA.
D. EN UN AÑO CUANTOS MESES APLICARÁ CADA ESTRATEGIA
EN FUNCIÓN DE "R"
ESTRATEGIA RESULTADOS DEL SIMPLEX
XN = XN (VJ) Valor de Juego: Se utiliza el valor que
resulte antes de restarle K
en función de "c"
Yn = Yn (VJ)
X1 = 0.0057069 (1064.286072) = 0.607142211
X2 = 0 estos deben sumar 1
X3 = 0.00369127 (1064.286072)=0.328
1.00
X1 = 61% Þ 7 mesas
X2 = 0
X3 = 39% Þ 5 meses
12 meses (1 año)
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 18
Y1 = 11/14900 (1064.286072) = 0.79 Þ 9 meses
Y2 = 0.000020 (1064.286072) = 0.21 Þ 3 meses
1. 12 meses
0.79 * 12 = 9
0.21 * 12 = 3
d. CUANTOS CUENTAHBIENTES MÁS ATRAE
436 CUENTAHABIENTES MÁS (ES EL V.J. FINAL)
ESTRATEGIA DE VON NEWMAN
El general Luis Valdivia López tenia la opción de llevar su producción para el
reconocimiento de sus nuevos clientes, en este caso le ofrece que lleve la
producción por tres rutas que son Y1, Y2, Y3 una vez localizado se verá cual de las
tres rutas escogidas por el general será la mejor.
1.- Función objetivo
Y1 Y2 Y3
4 7 2 1
5 8 3 1
2 1 4 1
[1 1 1]
Estandarizar
Max (Z) = Y1 + Y2 + Y3 + U1 + U2 + U3
2.- Restricciones
4Y1 + 7Y2 + 2Y3 <= 1
5Y1 + 8Y2 + 3Y3 <= 1
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 19
2Y1 + 1Y2 + 4Y3 <=1
3.- Solución Simplex
Cj 1 1 1 0 0 0 Ratiock kk b Y1 Y2 Y3 U1 U2 U3
0 U1 1,0 4 7 2,0 1,0 0,0 0,0 0,30 U2 1,0 5 8 3,0 0,0 1,0 0,0 0,20 U3 1,0 2 1 4,0 0,0 0,0 1,0 0,5
Zj -> 0 0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 El+Cj - Zj 1 1 1,0 0,0 0,0 0,0 <R+
0 U1 1,0 0 -9,0 -8,5 1,0 -0,5 0,0 -0,11 Y1 5,0 0 5,5 -13,0 0,0 1,0 -0,5 -0,40 U3 1,0 1 0,5 2,0 0,0 0,0 0,5 0,5Zj -> 0,6 0 5,5 -13 0,0 1,0 -0,5 El+
Cj - Zj -> 1,00 -4,50 14,00 0,00-
1,00 0,50 <R+0 U1 1,0 0,0 14,4 0,0 1,0 -1,0 0,0 indef1 Y1 5,0 -2,8 8,8 0,0 0,0 1,0 -1,0 -5,01 Y3 0,5 0,5 0,3 1,0 0,0 0,0 0,3 2,0Zj -> 5,5 2 9,0 1,0 0,0 1,0 -0,8 Cj - Zj -1 -8 0 0 -1 1 <=(S.O)
0 U1 1,0 -134 14,4 0,0 1,0 -1,0 0,0 0,01 Y1 5,0 12,0 8,8 0,0 0,0 1,0 0,0 0,40 U3 2,0 2,0 1,0 3,0 0,0 0,0 1,0 1,0Zj -> 7,0 12,0 8,8 0,0 0,0 1,0 0,0
Cj - Zj -
11,0 -7,8 1,0 0,0 -1,0 0,0 <=(S.O)0 U1 1,0 -192 14,40 0,0 1,0 -1,3 0,0 1 Y1 5,0 6,13 8,8 0,0 0,0 0,0 0,3 1 Y1 1,0 0,7 0,3 1,0 0,0 0,0 0,3 Zj -> 6,0 6,8 9,1 1,0 0,0 0,0 0,7 Cj - Zj -6 -8 0 0 0 -1 <=(S.O)
4.- Beneficio Neto
VB = ½ = 1/6 = 0.1667
VA = VB - Z
VA = 1-6
VA= -5
Si el general escoge la segunda ruta entonces la producción no llega bien a los
clientes y este tendrá una perdida de $.5’000.000.00
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 20
5.- Análisis
VB = ½ = 1/6 = 0.1667
VA = VB /Z
Optimizando las rutas escogidas para optimizar las ganancias llegando al
máximo rendimiento.
Y*= [ Y1 , Y2 , Y3] = [1 1 1]
G* = VY* = 0.17 [1 1 1] = [0.17 0.17 0.17 ]
X* = [X1 , X2 , X3]= [1 1 1]
Q *= VX* = 0.17[1 1 1]= [0.17 0.17 0.17]
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 21
CONCLUSIONES
El problema general de cómo tomar una decisión en un medio competitivo
es bastante común e importante.
La contribución general de la Teoría de Juegos es que proporciona un
marco conceptual básico para formular y analizar los problemas de cómo
tomar una decisión en situaciones sencillas.
Existe un gran abismo entre lo que la teoría puede manejar y la
complejidad de la mayor parte de las situaciones de competencia que
surgen en la practica.
Las herramientas conceptuales de la teoría de Juegos por lo general
desempeñan un papel suplementario cuando se aplican en las situaciones
de competencia que surgen en la práctica.
ANEXOS
Historia de la teoría de juegos
La primera discusión conocida de la teoría de juegos aparece en una carta escrita
por James Waldegrave en 1713. En esta carta, Waldegrave proporciona una
solución minimax de estrategia mixta a una versión para dos personas del juego
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 22
de cartas le Her. Sin embargo no se publicó un análisis teórico de teoría de juegos
en general hasta la publicación de Recherches sur les príncipes mathématiques
de la théorie des richesses, de Antoine Augustin Cournot en 1838. En este
trabajo, Cournot considera un duopolio y presenta una solución que es una
versión restringida del equilibrio de Nash.
Aunque el análisis de Cournot es más general que el de Waldegrave, la teoría de
juegos realmente no existió como campo de estudio aparte hasta que John von
Neumann publicó una serie de artículos en 1928. Estos resultados fueron
ampliados más tarde en su libro de 1944, The Theory of Games and Economic
Behavior, escrito junto con Oskar Morgenstern. Este trabajo contiene un método
para encontrar soluciones óptimas para juegos de suma cero de dos personas.
Durante este período, el trabajo sobre teoría de juegos se centró, sobre todo, en
teoría de juegos cooperativos. Este tipo de teoría de juegos analiza las estrategias
óptimas para grupos de individuos, asumiendo que pueden establecer acuerdos
entre sí acerca de las estrategias más apropiadas.
En 1950, aparecieron las primeras discusiones del dilema del prisionero, y se
emprendió un experimento acerca de este juego en la corporación RAND.
Alrededor de esta misma época, John Nash desarrolló una definición de una
estrategia óptima para juegos de múltiples jugadores donde el óptimo no se había
definido previamente, conocido como equilibrio de Nash. Este equilibrio es
suficientemente general, permitiendo el análisis de juegos no cooperativos
además de los juegos cooperativos.
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 23
La teoría de juegos experimentó una notable actividad en la década de 1950,
momento en el cual los conceptos base, el juego de forma extensiva, el juego
ficticio, los juegos repetitivos, y el valor de Shapley fueron desarrollados. Además,
en ese tiempo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teoría de juegos en la
filosofía y las ciencias políticas.
En 1965, Reinhard Selten introdujo su concepto de solución de los equilibrios
perfectos del subjuego, que más adelante refinó el equilibrio de Nash. En 1967
John Harsanyi desarrolló los conceptos de la información completa y de los
juegos bayesianos. Él, junto con John Nash y Reinhard Selten, ganaron el Premio
Nobel de Economía en 1994.
En la década de 1970 la teoría de juegos se aplicó extensamente a la biología, en
gran parte como resultado del trabajo de John Maynard Smith y su concepto
estrategia estable evolutiva. Además, los conceptos del equilibrio correlacionado,
la perfección del temblor de la mano, y del conocimiento común fueron
introducidos y analizados.5
En 2005, los teóricos de juegos Thomas Schelling y Robert Aumann ganaron el
premio Nobel de Economía. Schelling trabajó en modelos dinámicos, los primeros
ejemplos de la teoría de juegos evolutiva. Por su parte, Aumann contribuyó más a
la escuela del equilibrio.
En el 2007, Roger Myerson, junto con Leonid Hurwicz y Eric Maskin, recibieron el
premio Nobel de Economía por "sentar las bases de la teoría de diseño de
mecanismos."
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 24
La Teoría de Juegos
La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos
para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los
llamados juegos) y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores
estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y
observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos
pueden, en realidad, presentar estructuras de incentivos similares y, por lo tanto,
se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego.
Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el
comportamiento de la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en
muchos campos, desde la biología a la filosofía. Experimentó un crecimiento
sustancial y se formalizó por primera vez a partir de los trabajos de John von
Neumann y Oskar Morgenstern, antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todo
a su aplicación a la estrategia militar —en particular a causa del concepto de
destrucción mutua garantizada. Desde los setenta, la teoría de juegos se ha
aplicado a la conducta animal, incluyendo el desarrollo de las especies por la
selección natural. A raíz de juegos como el dilema del prisionero, en los que el
egoísmo generalizado perjudica a los jugadores, la teoría de juegos se ha usado
en economia, ciencias políticas, ética y filosofía. Finalmente, ha atraído también la
atención de los investigadores en informática, usándose en inteligencia artificial y
cibernética.
Aunque tiene algunos puntos en común con la teoría de la decisión, la teoría de
juegos estudia decisiones realizadas en entornos donde interaccionan. En otras
palabras, estudia la elección de la conducta óptima cuando los costes y los
beneficios de cada opción no están fijados de antemano, sino que dependen de
las elecciones de otros individuos. Un ejemplo muy conocido de la aplicación de la
teoría de juegos a la vida real es el dilema del prisionero, popularizado por el
matemático Albert W. Tucker, el cual tiene muchas implicaciones para
comprender la naturaleza de la cooperación humana. La teoría psicológica de
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 25
juegos, que se arraiga en la escuela psicoanalítica del análisis transaccional, es
enteramente distinta.
Los analistas de juegos utilizan asiduamente otras áreas de la matemática, en
particular las probabilidades, las estadísticas y la programación lineal, en conjunto
con la teoría de juegos. Además de su interés académico, la teoría de juegos ha
recibido la atención de la cultura popular. La vida del matemático teórico John
Forbes Nash, desarrollador del Equilibrio de Nash y que recibió un premio Nobel ,
fue el tema de la biografía escrita por Sylvia Nasar, Una mente brillante (1998), y
de la película del mismo nombre (2001). Varios programas de televisión han
explorado situaciones de teoría de juegos, como el concurso de la televisión de
Cataluña (TV3) Sis a traïció (seis a traición), el programa de la televisión
estadounidense Friend or foe? (¿Amigo o enemigo?) y, hasta cierto punto, el
concurso Supervivientes.
Tipos de juegos y ejemplos
La teoría clasifica los juegos en muchas categorías que determinan qué métodos
particulares se pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho, también cómo se
define "resolución" en una categoría particular). Las categorías comunes incluyen:
Juegos simétricos y asimétricos [editar]
Un juego simétrico es un juego en el que las recompensas
por jugar una estrategia en particular dependen sólo de
las estrategias que empleen los otros jugadores y no de
quién las juegue. Si las identidades de los jugadores
pueden cambiarse sin que cambien las recompensas de
las estrategias, entonces el juego es simétrico. Muchos de
los juegos 2×2 más estudiados son simétricos. Las
representaciones estándar del juego de la gallina, el
dilema del prisionero y la caza del ciervo son juegos simétricos.2
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 26
E F
E 1, 2 0, 0
F 0, 0 1, 2
Un juego
asimétrico
Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos donde no hay conjuntos de
estrategias idénticas para ambos jugadores. Por ejemplo, el juego del ultimátum y
el juego del dictador tienen diferentes estrategias para cada jugador; no obstante,
puede haber juegos asimétricos con estrategias idénticas para cada jugador. Por
ejemplo, el juego mostrado a la derecha es asimétrico a pesar de tener conjuntos
de estrategias idénticos para ambos jugadores.
Juegos de suma cero y de suma no cero
En los juegos de suma cero el beneficio total para
todos los jugadores del juego, en cada combinación
de estrategias, siempre suma cero (en otras
palabras, un jugador se beneficia solamente a
expensas de otros). El go, el ajedrez, el póker y el
juego del oso son ejemplos de juegos de suma cero,
porque se gana exactamente la cantidad que pierde
el oponente. Como curiosidad, el fútbol dejó hace
unos años de ser de suma cero, pues las victorias reportaban 2 puntos y el
empate 1 (considérese que ambos equipos parten inicialmente con 1 punto),
mientras que en la actualidad las victorias reportan 3 puntos y el empate 1.
La mayoría de los ejemplos reales en negocios y política, al igual que el dilema
del prisionero, son juegos de suma no cero, porque algunos desenlaces tienen
resultados netos mayores o menores que cero. Es decir, la ganancia de un
jugador no necesariamente se corresponde con la pérdida de otro. Por ejemplo,
un contrato de negocios involucra idealmente un desenlace de suma positiva,
donde cada oponente termina en una posición mejor que la que tendría si no se
hubiera dado la negociación.
Se puede analizar más fácilmente un juego de suma cero, y cualquier juego se
puede transformar en un juego de suma cero añadiendo un jugador "ficticio"
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 27
A B C
1 30, -30 -10, 10 20, -20
2 10, -10 20, -20 -20, 20
Un juego de suma cero
adicional ("el tablero" o "la banca"), cuyas pérdidas compensen las ganancias
netas de los jugadores.
La matriz de pagos de un juego es una forma conveniente de representación. Por
ejemplo, un juego de suma cero de dos jugadores con la matriz que se muestra a
la derecha.
Juegos cooperativos
Un juego cooperativo se caracteriza por un contrato que puede hacerse cumplir.
La teoría de los juegos cooperativos da justificaciones de contratos plausibles. La
plausibilidad de un contrato está muy relacionada con la estabilidad.
Dos jugadores negocian qué tanto quieren invertir en un contrato. La teoría de la
negociación axiomática nos muestra cuánta inversión es conveniente para
nosotros. Por ejemplo, la solución de Nash para la negociación demanda que la
inversión sea justa y eficiente.
De cualquier forma, podríamos no estar interesados en la justicia y exigir más. De
hecho, existe un juego no-cooperativo creado por Ariel Rubinstein consistente en
alternar ofertas, que apoya la solución de Nash considerándola la mejor, mediante
el llamado equilibrio de Nash.
Simultáneos y secuenciales
Los juegos simultáneos son juegos en los que los jugadores mueven
simultáneamente o en los que éstos desconocen los movimientos anteriores de
otros jugadores. Los juegos secuenciales (o dinámicos) son juegos en los que los
jugadores posteriores tienen algún conocimiento de las acciones previas. Este
conocimiento no necesariamente tiene que ser perfecto; sólo debe consistir en
algo de información. Por ejemplo, un jugador1 puede conocer que un jugador2 no
realizó una acción determinada, pero no saber cuál de las otras acciones
disponibles eligió.
La diferencia entre juegos simultáneos y secuenciales se recoge en las
representaciones discutidas previamente. La forma normal se usa para
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 28
representar juegos simultáneos, y la extensiva para representar juegos
secuenciales.
Juegos de información perfecta
Un juego de información imperfecta (las
líneas punteadas representan la ignorancia
de la parte del jugador 2)
Un subconjunto importante de los juegos
secuenciales es el conjunto de los juegos
de información perfecta. Un juego es de información perfecta si todos los
jugadores conocen los movimientos que han efectuado previamente todos los
otros jugadores; así que sólo los juegos secuenciales pueden ser juegos de
información perfecta, pues en los juegos simultáneos no todos los jugadores (a
menudo ninguno) conocen las acciones del resto. La mayoría de los juegos
estudiados en la teoría de juegos son juegos de información imperfecta, aunque
algunos juegos interesantes son de información perfecta, incluyendo el juego del
ultimátum y el juego del ciempiés. También muchos juegos populares son de
información perfecta, incluyendo el ajedrez y el go.
La información perfecta se confunde a menudo con la información completa, que
es un concepto similar. La información completa requiere que cada jugador
conozca las estrategias y recompensas del resto pero no necesariamente las
acciones.
En los juegos de información completa cada jugador tiene la misma "información
relevante al juego" que los demás jugadores. El ajedrez y el dilema del prisionero
ejemplifican juegos de información completa. Los juegos de información completa
ocurren raramente en el mundo real, y los teóricos de los juegos, usualmente los
ven sólo como aproximaciones al juego realmente jugado.
John Conway desarrolló una notación para algunos juegos de información
completa y definió varias operaciones en esos juegos, originalmente para estudiar
los finales de go, aunque buena parte de este análisis se enfocó en nim. Esto
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 29
devino en la teoría de juegos combinatoria. Descubrió que existe una subclase de
esos juegos
que pueden ser usados como números, como describió en su libro On Numbers
and Games, llegando a la clase muy general de los números surreales.
Juegos de longitud infinita (SuperJuegos)
Por razones obvias, los juegos estudiados por los economistas y los juegos del
mundo real finalizan generalmente tras un número finito de movimientos. Los
juegos matemáticos puros no tienen estas restricciones y la teoría de conjuntos
estudia juegos de infinitos movimientos, donde el ganador no se conoce hasta
que todos los movimientos se conozcan.
El interés en dicha situación no suele ser decidir cuál es la mejor manera de jugar
a un juego, sino simplemente qué jugador tiene una estrategia ganadora (Se
puede probar, usando el axioma de elección, que hay juegos —incluso de
información perfecta, y donde las únicas recompensas son "perder" y "ganar"—
para los que ningún jugador tiene una estrategia ganadora.) La existencia de tales
estrategias tiene consecuencias importantes en la teoría descriptiva de conjuntos
Aplicaciones
La teoría de juegos tiene la característica de ser un área en que la sustancia
subyacente es principalmente una categoría de matemáticas aplicadas, pero la
mayoría de la investigación fundamental es desempeñada por especialistas en
otras áreas. En algunas universidades se enseña y se investiga casi
exclusivamente fuera del departamento de matemática.
Esta teoría tiene aplicaciones en numerosas áreas, entre las cuales caben
destacar las ciencias económicas, la biología evolutiva, la psicología, las ciencias
políticas, la investigación operativa, la informática y la estrategia militar.
Economía y negocios
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 30
Los economistas han usado la teoría de juegos para analizar un amplio abanico
de problemas económicos, incluyendo subastas, duopolios, oligopolios, la
formación de
redes sociales, y sistemas de votaciones. Estas investigaciones normalmente
están enfocadas a conjuntos particulares de estrategias conocidos como
conceptos de solución. Estos conceptos de solución están basados normalmente
en lo requerido por las normas de racionalidad perfecta. El más famoso es el
equilibrio de Nash. Un conjunto de estrategias es un equilibrio de Nash si cada
una representa la mejor respuesta a otras estrategias. De esta forma, si todos los
jugadores están aplicando las estrategias en un equilibrio de Nash, no tienen
ningún incentivo para cambiar de conducta, pues su estrategia es la mejor que
pueden aplicar dadas las estrategias de los demás.
Las recompensas de los juegos normalmente representan la utilidad de los
jugadores individuales. A menudo las recompensas representan dinero, que se
presume corresponden a la utilidad de un individuo. Esta presunción, sin
embargo, puede no ser correcta.
Un documento de teoría de juegos en economía empieza presentando un juego
que es una abstracción de una situación económica particular. Se eligen una o
más soluciones, y el autor demuestra qué conjunto de estrategias corresponden al
equilibrio en el juego presentado. Los economistas y profesores de escuelas de
negocios sugieren dos usos principales.
Descriptiva
Un juego del ciempiés de tres fases.
El uso principal es informar acerca del
comportamiento de las poblaciones
humanas actuales. Algunos
investigadores creen que encontrar el
equilibrio de los juegos puede predecir cómo se comportarían las poblaciones
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 31
humanas si se enfrentasen a situaciones análogas al juego estudiado. Esta visión
particular de la teoría de juegos se ha criticado en la actualidad. En primer lugar,
se la critica porque los supuestos de los teóricos se violan frecuentemente. Los
teóricos de juegos pueden suponer jugadores que se comportan siempre
racionalmente y
actúan para maximizar sus beneficios (el modelo homo oeconomicus), pero los
humanos reales a menudo actúan irracionalmente o racionalmente pero buscando
el beneficio de un grupo mayor (altruismo).
Los teóricos de juegos responden comparando sus supuestos con los que se
emplean en física. Así, aunque sus supuestos no se mantienen siempre, pueden
tratar la teoría de juegos como una idealización razonable, de la misma forma que
los modelos usados por los físicos. Sin embargo, este uso de la teoría de juegos
se ha seguido criticando porque algunos experimentos han demostrado que los
individuos no se comportan según estrategias de equilibrio. Por ejemplo, en el
juego del ciempiés, el juego de adivinar 2/3 de la media y el juego del dictador, las
personas a menudo no se comportan según el equilibrio de Nash. Esta
controversia se está resolviendo actualmente.
Por otra parte, algunos autores aducen que los equilibrios de Nash no
proporcionan predicciones para las poblaciones humanas, sino que proporcionan
una explicación de por qué las poblaciones que se comportan según el equilibrio
de Nash permanecen en esa conducta. Sin embargo, la cuestión acerca de
cuánta gente se comporta así permanece abierta.
Algunos teóricos de juegos han puesto esperanzas en la teoría evolutiva de
juegos para resolver esas preocupaciones. Tales modelos presuponen o no
racionalidad o una racionalidad acotada en los jugadores. A pesar del nombre, la
teoría evolutiva de juegos no presupone necesariamente selección natural en
sentido biológico. La teoría evolutiva de juegos incluye las evoluciones biológica y
cultural y también modela el aprendizaje individual.
Normativa
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 32
Por otra parte, algunos matemáticos no ven
la teoría de juegos como una herramienta
que predice la conducta de los seres
humanos, sino como una sugerencia sobre
cómo deberían
comportarse. Dado que el equilibrio de Nash constituye la mejor respuesta a las
acciones de otros jugadores, seguir una estrategia que es parte del equilibrio de
Nash parece lo más apropiado. Sin embargo, este uso de la teoría de juegos
también ha recibido críticas. En primer lugar, en algunos casos es apropiado jugar
según una estrategia ajena al equilibrio si uno espera que los demás también
jugarán de acuerdo al equilibrio. Por ejemplo, en el juego adivina 2/3 de la media.
El dilema del prisionero presenta otro contraejemplo potencial. En este juego, si
cada jugador persigue su propio beneficio ambos jugadores obtienen un resultado
peor que de no haberlo hecho. Algunos matemáticos creen que esto demuestra el
fallo de la teoría de juegos como una recomendación de la conducta a seguir.
Biología
A diferencia del uso de la teoría de juegos
en la economía, las recompensas de los
juegos en biología se interpretan
frecuentemente como adaptación.
Además, su estudio se ha enfocado
menos en el equilibrio que corresponde a
la noción de racionalidad, centrándose en
el equilibrio mantenido por las fuerzas
evolutivas. El equilibrio mejor conocido en
biología se conoce como estrategia
evolutivamente estable, y fue introducido por primera vez por John Maynard
Smith. Aunque su motivación inicial no comportaba los requisitos mentales del
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 33
Cooperar Traicionar
Cooperar 2
2
0
3
Traicionar 3
0
1
1
El dilema del prisionero
Halcón Paloma
Halcón
(V-
C)/2
(V-C)/2
V
0
Paloma 0
V
V/
2
V/2
Halcón-Paloma
equilibrio de Nash, toda estrategia evolutivamente estable es un equilibrio de
Nash.
En biología, la teoría de juegos se emplea para entender muchos problemas
diferentes. Se usó por primera vez para explicar la evolución (y estabilidad) de las
proporciones de sexos 1:1 (mismo número de machos que de hembras). Ronald
Fisher sugirió en 1930 que la proporción 1:1 es el resultado de la acción de los
individuos tratando de maximizar el número de sus nietos sujetos a la restricción
de las fuerzas evolutivas.
Además, los biólogos han usado la teoría de juegos evolutiva y el concepto de
estrategia evolutivamente estable para explicar el surgimiento de la comunicación
animal (John Maynard Smith y Harper en el año 2003). El análisis de juegos con
señales y otros juegos de comunicación ha proporcionado nuevas
interpretaciones acerca de la evolución de la comunicación en los animales.
Finalmente, los biólogos han usado el problema halcón-paloma (también conocido
como problema de la gallina) para analizar la conducta combativa y la
territorialidad.
Informática y lógica
La teoría de juegos ha empezado a desempeñar un papel importante en la lógica
y la informática. Muchas teorías lógicas se asientan en la semántica de juegos.
Además, los investigadores de informática han usado juegos para modelar
programas que interactúan entre sí.
Ciencias políticas
La investigación en ciencias políticas también ha usado resultados de la teoría de
juegos. Una explicación de la teoría de la paz democrática es que el debate
público y abierto en la democracia envía información clara y fiable acerca de las
intenciones de los gobiernos hacia otros estados. Por otra parte, es difícil conocer
los intereses de los líderes no democráticos, qué privilegios otorgarán y qué
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 34
promesas mantendrán. Según este razonamiento, habrá desconfianza y poca
cooperación si al menos uno de los participantes de una disputa no es una
democracia. [1]
Filosofía
La teoría de juegos ha demostrado tener muchos usos en filosofía. A partir de dos
trabajos de W.V.O. Quine publicados en 1960 y 1967, David Lewis (1969) usó la
teoría de juegos para desarrollar el concepto filosófico de convención. De esta
forma, proporcionó el primer análisis del conocimiento común y lo empleó en
analizar juegos de coordinación. Además, fue el primero en sugerir que se podía
entender el
significado en términos de juegos de señales. Esta sugerencia se ha seguido por
muchos filósofos desde el trabajo de Lewis (Skyrms 1996, Grim et al. 2004).
Leon Henkin, Paul Lorenzen y Jaakko Hintikka iniciaron una aproximación a la
semántica de los lenguajes formales que explica con conceptos de teoría de
juegos los conceptos de verdad lógica, validez y similares. En esta aproximación
los "jugadores" compiten proponiendo cuantificaciones e instancias de oraciones
abiertas; las reglas del juego son las reglas de interpretación de las sentencias en
un modelo, y las estrategias de cada jugador tienen propiedades de las que trata
la teoría semántica –ser dominante si y sólo si las oraciones con que se juega
cumplen determinadas condiciones, etc.-.
En ética, algunos autores han intentado continuar la
idea de Thomas Hobbes de derivar la moral del interés
personal. Dado que juegos como el dilema del
prisionero presentan un conflicto aparente entre la
moralidad y el interés personal, explicar por qué la
cooperación es necesaria para el interés personal es
una componente importante de este proyecto. Esta
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 35
Ciervo Liebre
Ciervo 3, 3 0, 2
Liebre 2, 0 2, 2
La caza del ciervo
estrategia general es un componente de la idea de contrato social en filosofía
política (ejemplos en Gauthier 1987 y Kavka 1986).4
Finalmente, otros autores han intentado usar la teoría evolutiva de juegos para
explicar el nacimiento de las actitudes humanas ante la moralidad y las conductas
animales correspondientes. Estos autores han buscado ejemplos en muchos
juegos, incluyendo el dilema del prisionero, la caza del ciervo, y el juego del trato
de Nash para explicar la razón del surgimiento de las actitudes acerca de la moral
(véase Skyrms 1996, 2004; Sober y Wilson 1999).
INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 36