Escuela Politécnica NacionalFacultad de Ciencias

Introducción a la teoría de juegos

Diego RecaldeDepartamento de Matemática

diego.recalde@epn.edu.ec

Sílabo

Capítulo 1: Introducción

1.1 Significado e historia de la Teoría de Juegos.

1.2 Ejemplos sencillos de juegos y primeras definiciones.

Sílabo

Capítulo 2: Un primer vistazo a la teoría

2.1 Reglas de un juego, notación.

2.2 Forma extensiva de un juego, conjuntos de información, estrategias.

2.3 Forma normal de un juego.

2.4 Función de utilidad de Von Neumann-Morgenstein.

2.5 Ejercicios de aplicación.

Capítulo 3: Juegos en forma estratégica

3.1 Juegos en forma estratégica.

3.2 La forma estratégica de las subastas.

3.3 Solución de estrategia dominada.

3.4 Ejercicios de aplicación.

Sílabo

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Capítulo 4: La idea de dominación de estrategias

4.1 Estrategias dominadas y no dominadas.

4.2 Eliminación iterativa de estrategias dominadas.

4.3 Definiciones formales.

4.4 Ejemplos de aplicación.

Sílabo

Capítulo 5: Equilibrio de Nash

5.1 El concepto de Equilibrio de Nash.

5.2 Relación con otros conceptos de solución de un juego.

5.3 Ejemplos y aplicaciones.

Sílabo

Capítulo 6: El modelo de Duopolio de Cournot y el Modelo de Stackelberg

6.1 El modelo básico.

6.1 Equilibrio de Nash de Cournot.

6.2 El modelo de Stackelberg.

6.3 Generalizaciones de los modelos.

6.4 Ejemplos y aplicaciones.

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Capítulo 7: Estrategias Mixtas

7.1 Definición y ejemplos.

7.2 Las estrategias mixtas pueden dominar algunas estrategias puras.

7.3 Las Estrategias Mixtas y el Equilibrio de Nash.

7.4 Ejemplos y Aplicaciones.

Capítulo 8: Juegos secuenciales

8.1 Inducción hacia atrás.

8.2 Información imperfecta.

8.3 Equilibrio perfecto en subjuegos.

8.4 Juegos repetidos.

8.5 Ejercicios y aplicaciones

Capítulo 9: Juegos Bayesianos

9.1 Juegos bayesianos estáticos y equilibrio bayesiano de Nash.

9.2 El principio de revelación.

9.2 Ejercicios y aplicaciones.

Capítulo I: Introducción

¿Qué es la teoría de juegos? ● La teoría de juegos es el estudio de problemas de

decisión multipersonales.● Los problemas de teoría de juegos se plantean

frecuentemente en Economía: una empresa para decidir toma en cuenta lo que harán las demás.

Diversas formas de juegos● Juegos no cooperativos:

– De suma nula o no nula.

– Forma normal o extendida.

– Con información perfecta o parcial

– Juegos estáticos o dinámicos.

– Juegos bayesianos, subastas.

● Juegos cooperativos– Forma estratégica.

– Con función característica.

– Juegos cooperativos combinatorios.

–

Un primer ejemplo.

Un profesor realiza una evaluación a sus estudiantes. El aula de clase tiene bancas que comparten dos estudiantes. El profesor diseña tantas evaluaciones como bancas en la clase.

Luego de la evaluación el profesor nota que los estudiantes copiaron. El profesor indignado, reparte una hoja a cada estudiante y les pide escribir secretamente: copié o no copié.

Ejemplos sencillos de juegos y primeras definiciones

Conjuntos de estrategias de cada estudiante:

El profesor asigna las calificaciones siguientes a cada par A, B de estudiantes que comparten una banca:● Si A escribe “no copié” y B “copié”, A recibe

un 10 y B un 3.● Si A y B escriben copié, ambos reciben un 7.

Ejemplos sencillos de juegos y primeras definiciones

● Si A y B escriben no copié, ambos reciben un 5.

A cada estrategia del jugador A (jugador B) le corresponde una fila (una columna) de la matriz de beneficios de cada jugador

Ejemplos sencillos de juegos y primeras definiciones

La “bimatriz” que junta las matrices de pagos de los jugadores se escribe como:

Ejemplos sencillos de juegos y primeras definiciones

Hipótesis de racionalidad:● Cada jugador observa un comportamiento racional,

en el sentido que maximiza su ganancia, de donde– Estrategias dominadas : si una alternativa le permite

ganar más que otra, la preferirá.

● Cada jugador sabe que el otro tiene un comportamiento racional.

● Cada jugador sabe que el otro sabe que tiene un comportamiento racional,

... y así sucesivamente.

Ejemplos sencillos de juegos y primeras definiciones

La pregunta inmediata es ¿cuál sería una buena estrategia en este caso, suponiendo que el alumno quiere maximizar su calificación? (comportamiento racional)

Ejemplos sencillos de juegos y primeras definiciones

Tomando en cuenta las hipótesis de racionalidad, ¿Qué estrategias tomarían los jugadores?

Regresar al juego

Ejemplos sencillos de juegos y primeras definiciones

Como es obvio, si B es un jugador racional escogería al igual que A la estrategia ``no copié''. Así los dos obtienen una ganancia de 5 aún cuando existe otra estrategia que beneficiaba a ambos: (copié, copié) .

Ejemplos sencillos de juegos y primeras definiciones

Ahora supongamos que los estudiantes no son codiciosos sino altruistas, es decir, si un alumno recibe un 10 a costa de que su pareja recibe un 3, el estudiante le dice al profesor, prefiero recibir un 6 en lugar de 10. La matriz de beneficios es la siguiente:

Ejemplos sencillos de juegos y primeras definiciones

Observe que en este caso ninguna estrategia es dominada. La mejor estrategia dependerá de la estrategia que yo asuma que tomará el otro jugador.

Este tipo de juegos se llaman ``juegos coordinados''.

Ejemplos sencillos de juegos y primeras definiciones

Ahora supongamos que A es condicioso pero B es altruista. La matriz de pagos sería la siguiente:

En este caso mi estrategia (jugador A) ``no copié'' domina a mi estrategia ``copié'', por lo tanto escogería la estrategia ``no copié''.

Ejemplos sencillos de juegos y primeras definiciones

Por último supongamos que A es un estudiante altruista pero B es codicioso. La matriz de pagos sería:

Ninguna estrategia de A domina estrictamente a otra. Sin embargo, la estrategia ``copié'' de B domina estrictamente a su estrategia ``no copié''. Como B es racional él jugará la estrategia `` no copié''. En ese caso A escogería la opción ``no copié''.

Ejemplos sencillos de juegos y primeras definiciones

● Observación: Si uno no tiene una estrategia dominada, ponte en el lugar de tu oponente para tratar de predecir lo que va a hacer. Por ejemplo tú en su lugar no escogerías una estrategia dominada.

Capítulo 2: Un primer vistazo a la teoría

2.1 Reglas de un juego

Cada juego es está gobernado por un conjunto de reglas que tienen que especificar cuatro cosas:● ¿Quienes juegan? Grupo de jugadores que

interactúan estratégicamente.● ¿Con qué juegan? Acciones, elecciones, estrategias

que cada jugador dispone. ● ¿Cuándo juega cada jugador? El orden de

participación.● ¿Cuánto ganan o pierden?

2.1 Reglas de un juego, definiciones

2.2 Forma normal de un juego

● Cada jugador escoge simultáneamente una estrategia.

● La combinación de estrategias escogidas determina los pagos de los jugadores.

Forma normal de un juego

● Los jugadores no necesariamente actúan simultáneamente (basta que cada jugador escoja su estrategia sin conocer las elecciones de los otros jugadores)

● Usualmente se usa esta representación para juegos estáticos ( los jugadores escogen su estrategia sin conocer la elección de los otros)

● También se puede usar esta representación para juegos secuenciales (sin embargo la forma extensiva resulta más conveniente).

Juegos en forma normal

● Usualmente se resume la información de un juego en forma normal usando una ¨bimatriz¨.

Ejemplo: sea el juego representado por la bimatriz:

Juegos en forma normal

Usando la notación dada, identifique los elementos del juego dado en forma normal.

2.3 Juegos en forma extensiva

Juegos en forma extensiva

● Estos juegos de describen por medio de árboles.

Ejemplo: Considere el siguiente juego que se realiza en dos etapas: