Simetría rotacional y traslacional en

el problema de dos cuerpos

P. H. Rivera*

Facultad de Ciencias Físicas

Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú

Ciudad Universitaria, 1 de setiembre del 2015

*priverar@unmsm.edu.pe

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1. Representaciones en el espacio de posi-

ción de L̂ en coordenadas esféricas

El operador de momento angular es el operador generador de las rotaciones

que se producen sobre los autoestados de posición. Por este motivo, es impres-

cendible de expresar el operador de momento angular en las bases del operador

de posición. Es más conveniente expresar esto en coordendas esféricas.

R̂(dφk)|r, θ, φ〉 = |r, θ, φ + dφ〉 (1)

el correspondiente biunívoco a los kets son los bras dados por

〈r, θ, φ|R̂†(dφk) = 〈r, θ, φ + dφ| . (2)

Puesto que los operadores de rotación son unitarios, R̂R̂† = 1, R̂† es la

2

inversa de R̂, por consiguiente

〈r, θ, φ|R̂(dφk) = 〈r, θ, φ − dφ| (3)

luego, desarrollando en serie de Taylor, tenemos

〈r, θ, φ|R̂(dφk)|α〉 = 〈r, θ, φ − dφ|α〉

= 〈r, θ, φ|α〉 − dφ∂〈r, θ, φ|α〉

∂φ. (4)

Por otro lado,

〈r, θ, φ|R̂(dφk)|α〉 = 〈r, θ, φ|

1 −i

ℏL̂zdφ

|α〉 . (5)

Comparando las dos últimas ecuaciones, obtenemos

〈r, θ, φ|L̂z|α〉 =ℏ

i

∂

∂φ〈r, θ, φ|α〉 , (6)

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aquí se aprecia que la componente z del momento angular orbital es represen-

tado en el espacio de posición por

L̂z →ℏ

i

∂

∂φ, (7)

comparando con el operador de momento lineal, se observa que posee la misma

estructura matemática,

p̂x =ℏ

i

∂

∂x. (8)

Ojo, aquí ambos están definidos como operadores diferenciales en el espacio

de posición. Y esto tiene profundas consecuencias. Veamos.

Consideremos que |α〉 =∑

clm|l, m〉, donde |l, m〉 es el autoestado de L̂z,

osea L̂z|l, m〉 = mℏ|l, m〉,

〈r, θ, φ|L̂z|l, m〉 =ℏ

i

∂

∂φ〈r, θ, φ|l, m〉

= mℏ〈r, θ, φ|l, m〉 , (9)

4

∂

∂φ〈r, θ, φ|l, m〉 = im〈r, θ, φ|l, m〉 ⇒

∂〈r, θ, φ|l, m〉

〈r, θ, φ|l, m〉= im∂φ ⇒

ln〈r, θ, φ|l, m〉 = imφ ⇒ 〈r, θ, φ|l, m〉 ∝ exp[imφ] (10)

con el requerimiento de que

exp[imφ] = exp[im(φ + 2π)] (11)

solo si se cumple que

m = 0, ±1, ±2, . . . (12)

esto es congruente con las afirmaciones realizadas sobre los valores que toma m

son desde −l hasta +l con intervalos enteros. Por lo que los valores que toma

l = 0, 1, 2, . . ., incluye a la molécula diatómica. Esto implica que valores semi-

enteros no son permitidos para la cuantización del momento angular orbital.

Pero sí, para el momento angular intrínsico.

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Las representaciones espaciales de las otras componentes L̂x y L̂y se deter-

minan mediante el siguiente procedimiento,

L̂ = r̂ × p̂ → r ×ℏ

i∇ = rur ×

ℏ

i

ur

∂

∂r+ uθ

1

r

∂

∂θ+ uφ

1

r sen θ

∂

∂φ

=ℏ

i

uφ

∂

∂θ− uθ

1

sen θ

∂

∂φ

, (13)

la relación que existe entre los vectores unitarios del sistema cartesiano y los

vectores unitarios del sistema esférico (revisar cualquier libro de física mate-

mática) está dado por

ur = sen θ cos φ i + sen θ sen φ j + cos θ k (14)

uθ = cos θ cos φ i + cos θ sen φ j − sen θ k (15)

uφ = − sen φ i + cos φ j , (16)

6

reemplazando en la Ec.(13),

L̂ →ℏ

i

− sen φ∂

∂θi + cos φ

∂

∂θj − cos θ cos φ

1

sen θ

∂

∂φi − cos θ sen φ

1

sen θ

∂

∂φj

+ sen θ1

sen θ

∂

∂φk

=ℏ

i

−

sen φ∂

∂θ+ ctgθ cos φ

∂

∂φ

i+

cos φ∂

∂θ− ctgθ sen φ

∂

∂φ

j +∂

∂φk

(17)

de aqui se establece que

L̂x →ℏ

i

− sen φ∂

∂θ− ctgθ cos φ

∂

∂φ

(18)

L̂y →ℏ

i

cos φ∂

∂θ− ctgθ sen φ

∂

∂φ

(19)

7

El operador L̂2 está dado por

L̂2 → −ℏ2

1

sen θ

∂

∂θ

sen θ∂

∂θ

+1

sen2 θ

∂2

∂φ2

, (20)

esta es la parte angular del laplaciano en coordenadas esféricas, como se puede

apreciar para el hamiltoniano

〈r|p̂2

2µ+ V (|r̂|)|α〉 =

−ℏ

2

2µ∇

2 + V (r)

〈r|α〉 = E〈r|α〉 (21)

donde el lapaciano en coordendas esféricas se escribe como

−ℏ

2

2µ

∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r+

1

r2

1

sen θ

∂

∂θ

sen θ∂

∂θ

+1

sen2 θ

∂2

∂φ2

+ V (r)

〈r|α〉

= E〈r|α〉 . (22)

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2. Las autofunciones de momento angular

orbital

Cualquiera sea el sistema coordenado de análisis de un vector, la magnitud

del vector permanece invariante. Por tanto, en coordenadas esféricas cuando

se rota un vector su dirección cambia pero no la magnitud, esto significa que

la representación espacial del vector depende de las coordendas θ y φ, osea

〈θ, φ|l, m〉, solo depende de θ y φ. A la representación espacial de un vector

de estado que depende solo de θ y φ se le suele llamar de armónicos esféricos

y se denotan por

〈θ, φ|l, m〉 = Yl,m(θ, φ) , (23)

expresado en términos de estas funciones, las autofunciones de energía se rees-

criben como

〈r, θ, φ|E, l, m〉 = R(r)Yl,m(θ, φ) (24)

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además consideramos que los armónicos esféricos están dados como dos fun-

ciones angulares

Yl,m(θ, φ) = Θl(θ)Φm(φ) (25)

y estas son soluciones de la ecuación diferencial dada por la Ec.(22), usando el

método de separación de variables y dividiendo entre R(r)Θl(θ)Φ(φ) obtene-

mos

−ℏ

2

2µR(r)

∂2R(r)

∂r2+

2

r

∂R(r)

∂r

+ V (r)

−~

2

2µr2

1

Θl(θ) sen θ

∂

∂θ

sen θ∂Θl(θ)

∂θ

+1

Φm(φ) sen2 θ

∂2Φm(φ)

∂φ2

= E (26)

Las autofunciones son ortogonales

〈n′, l′, m′|nlm〉 = δn′nδl′lδm′m (27)

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