Portico Traslacional

Ejercicio nº 4 + 5 : El pórtico simple desplazable

8 m

4 m

A D

BC

I

2 I

I

3 t/m2 t

Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)

El problema se puede afrontar en primera aproximación, utilizando una de las dos ayudas que se tienen en todos los casos:

A/ Método de las secciones.

B/ Método de superposición.

En este caso aplicaremos el método de superposición, descomponiendo el estado real en la suma de dos estados parciales que pueden tener realidad física o no (en este caso sí):

1/ acción gravitatoria que resulta ser un estado simétrico de forma y carga.

+

2/ Acción de viento que resulta ser un estado simétrico de forma y antimétrico de carga.

3 ecuaciones generales de equilibrio y 6 incógnitas → Grado Hiperestático = 3 (método de las fuerzas)

8 mA D

BC

I

2 I

I

3 t/m2 t

8 mA D

BC

I

2 I

I

3 t/m

8 mA D

BC

II

2 t

= +Estado 1 Estado 2Estado Real

2 I

1

Ejercicio nº 4: El pórtico simple (estado I)

Barra L A I K M.E.P.Izda Dchanº m. bxh EI

21

3

864

1EI

mt

1EI

1EI

I

I

2II

30x30

30x30

60x30 -16,00 +16,00

8 mA D

I

2 I

I

-16,00 +16,001/2

1/2

1/2

1/2

+8,00 +4,00-10,00

+8,00

+4,00

-10,00

-5,00

-5,00

+1,25

+2,50

+2,50

+1,25-0,62-0,31

-0,63

-0,31

+0,15

+0,16

+0,08

-10,66+10,63

+10,66

+5,33

-10,63

-5,31


De la estructura croquizada de peso propio despreciable se pide: diagramas de solicitaciones a escala y acotados.

ETAPA I : M.E.P. y factores de reparto.

K2 = EI → r2 = .5

Nudo C: K3 = EI → r3 = .5___________ _________

Σ Kj = 2EI Σ rj = 1

K1 = EI → r1 = .5

Nudo B: K2 = EI → r2 = .5__________ _________

Σ Kj = 2EI Σ rj = 1

ETAPA II : Equilibrio de nudos. Se liberan los nudos uno a uno, se equilibra y transmite en su caso.

Se comienza por el nudo más desequilibrado.

8 mA D

BC

I

2 I

I

3 t/m

Estado 1

2

Ejemplo nº 4: estructura de dos nudos.(método matricial).


Paso 1º/ Todos los nudos giran en sentido positivo:

Método Matricial.

Dos nudos sin desplazamientos. Grado hiperestático por el método de los desplazamientos = 2.

Las incógnitas son: “αB” y “αC”.

Paso 2º/ Momentos en extremo de barra:

B C2

3 t/m

+M = + 16 mt2c_+M = - 16 mt2b_

B C2

B+

B

M = K *2c C2M = * K *2b C21/2

M = K *2b B2 M = * K *2c B21/2

C2

C+

C

D

3

M = K *3c C3

3

C

D

M = * K *3d C31/2

B

A

1

M = K *1b B1

1

B

A

M = * K *1a B11/2

Barra L A I K M.E.P.Izda Dchanº m. bxh EI

21

3

864

1EI

mt

1EI

1EI

I

I

2II

30x30

30x30

60x30 -16,00 +16,00

8 mA D

BC

I

2 I

I

3 t/m

A D

2 I

I

B C

1

2

I 3

B C

Estado 1

3




K1 + K2

*αB =

+16

Vector ?Matriz rigidez Vector cargas nudos

Paso 4º/ Cálculo del vector de incógnitas (giro de nudos)

αB αC

αB

αCK2 + K3

1/2 K2

1/2 K2 αC–16

1 + 1

*αB =

+16

αB αC

αB

αC1 + 1

½ * 1

½ * 1 αC–16

B C2

3 t/m

+M = + 16 mt2c_+M = - 16 mt2b_

B C2

B+

B

M = K *2c C2M = * K *2b C21/2

M = K *2b B2 M = * K *2c B21/2

C2

C+

C

D

3

M = K *3c C3

3

C

D

M = * K *3d C31/2

B

A

1

M = K *1b B1

1

B

A

M = * K *1a B11/2

Paso 3º/ Equilibrio de momentos en los nudos: ΣMB= 0 y ΣMC = 0

4





1 + 1

*αB =

+16

αB αC

αB

αC1 + 1

½ * 1

½ * 1 αC–16

B C2

3 t/m

+M = + 16 mt2c_+M = - 16 mt2b_

B C2

B+

B

M = K *2c C2M = * K *2b C21/2

M = K *2b B2 M = * K *2c B21/2

C2

C+

C

D

3

M = K *3c C3

3

C

D

M = * K *3d C31/2

B

A

1

M = K *1b B1

1

B

A

M = * K *1a B11/2

Paso 4º/ Cálculo vector incógnitas (giro de nudos): αB = +10,6666/EI αC = –10,6666/EI

Paso 5º/ Momentos definitivos en extremo de barra: Condiciones de contorno:

( )

( )

1

1

2

2

3

0,00 1* 0 * 10,6666 5,33

0,00 1* 10,6666 * 10,66

16,00 1* 10,6666 * 10,6666 10,66

16,00 1* 10,6666 * 10,6666 10,66

0,00 1* 10,6666 * 10

12

0

121

0 ,2

A

B A

B

C

C D

M mt

M mt

M mt

M mt

M

α

α

⎛ ⎞= + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + + = +

⎛ ⎞= − + + + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + − + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + − + = −

)

)

)

)

3

66

0,00 1* 0 * 10,666612

5,33D

mt

M mt⎛ ⎞= + + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

)

)

Paso 3º/ Equilibrio de momentos en los nudos: ΣMB= 0 y ΣMC = 0

αA= αD = 0 δ = 0

ΣMB = 0

ΣMC = 0

5

Ejercicio nº 4: El pórtico simple Diagramas (estado 1)



4,00

12,00

-4,00

-12,00 12,00

4,00

-4,00

-12,00

Equilibrio

nudo Bfuerzas

Equilibrio

nudo Cfuerzas

-12,00

-12,00 -12,00

-12,00

nudo B nudo C

-10,66 -10,66

+10,66

+5,33

-10,66

-5,33

2

M. F.

A D

8 m.

B C

1 3

12,00

12,004,00 2

4,00 4,00

4,00

V.

A D

8 m.

B C

1 3

-12,00

2

-4,00

-12,00

C

C

C

N.

4,00

12,00

-4,004,00

4,00

4,00

1 3

12,00

12,00 12,00

4,00

4,00

-4,002

A D

8 m.

B C

1 3

+13,33

6

Ejemplo nº 5: el pórtico simple desplazable.(estado 2).


8 mA D

BC

II

2 t

Estado 2

2 I


ETAPA IV :.

8 mA D

I

2 I

I

-100,00 1/2

1/2

1/2

1/2

-100,00

-100,00

-100,00

+50,00 +25,00+37,50+18,80

+50,00

+25,00

+37,50

+18,75

-9,40 -4,70

-4,7

-9,40

+2,35+59,40

+2,35

+1,17

-60,15

-80,00 -79,70

-59,40

+60,15

A

I

B 2

3

D

C2 t.

1M 3M

1M 3M

d1 d3

IVa

= 0 t.

= 4 t.

= 35,038

(-59,40 - 79,70) / 4 = 34,775 (-60,15 - 80,0) / 4 = 35,038

2t -34,775 - 35,038 = 0 ? = +0,0286479595491... S de fuerzas cortantes + F ext. = 0

2

2 t.

Visos.

VIIVIVa

Barra 1Corte

Barra 3Corte= 0 t.

= 4 t.

= 34,775

isos.

VIIV

ETAPA III :.

ETAPA V :.

d 1= d 3 = α

7

Ejercicio 5 , diagramas de viento (V1= viento hacia la derecha)

A D

I

2 I

I

1/2

1/2

1/2

1/2

+1,70-1,72

-2,29 -2,28

-1,70 +1,72

Valores en mt.

A D8 m.

B C

1 3

2

M. F.

A D8 m.

B C

1 3

0,432

1 1

V.

A

D8 m.

B C

1 3

+0,43

2

-1,00

-0,4

T

N.

+1,70

+1,70

-1,72

+1,70

-2,28 -2,29

1 1

C

C


Diagramas de viento

Momentos Etapa IV α 8 mA D

BC

II

2 t

Estado 2

2 I

8

Ejemplo nº 5: pórtico simple desplazable.(método matricial).


Paso 1º/ Todos los nudos giran = se desplazan en sentido positivo, es decir, dan lugar a M +:

Método Matricial.

Dos nudos sin desplazamientos. Grado hiperestático por el método de los desplazamientos = 3.

Las incógnitas son: “αB” “αC” y “Δ”.

Paso 2º/ Momentos en extremo de barra:8 m

A D

BC

II

2 t

Estado 2

2 I

d1 d3

1M 3MC

B

I 3

1M 3M

A D

2

2 t.

ETAPA III :.

d 1= d 3 = Δ

C2

C+

B C2

B C2

B+

B

M = K *2c C2M = * K *2b C21/2

M = K *2b B2 M = * K *2c B21/2

B

A

1

M = K *1b B1

1

B

A

M = * K *1a B11/2

C

D

3

M = K *3c C3

3

C

D

M = * K *3d C31/2

d =1

B

M = * K * / L1a 11,5 1

M = * K * / L1a 11,5 1

1

d =3

C

M = * K * / L3d 31,5 3

M = * K * / L3c 31,5 3

3

DA

9



A D

BC

II

2 t

Estado 2

2 IPaso 3º/ Equilibrio de momentos en los nudos:

ΣMB= 0 ΣMC = 0 y ΣFh = 0


1 + 1

*αB

=0,00

αB αC

αB

αC ½ * 1 αC0,00

Hay que introducir en el método matricial la ecuación de equilibro del dintel

1 + 1

½ * 1

Δ1,5*K1/L1

Δ1,5*K3/L3

1,5*K1/L1 1,5*K3/L3 3(K1+K3)/L2 Δ –2,00

ΣMB = 0

ΣMC = 0

ΣFh = 0

B

A

1

M = K *1b B1

1

B

A

M = * K *1a B11/2

C

D

3

M = K *3c C3

3

C

D

M = * K *3d C31/2

d =1

B

M = * K * / L1a 11,5 1

M = * K * / L1a 11,5 1

1

d =3

C

M = * K * / L3d 31,5 3

M = * K * / L3c 31,5 3

3

DA

1,5*K1/L1 1,5*K3/L3 3 K3/L323 K1/L1

2

2

+2 t.

1,5 K * / L1 1 1,5 K * / L3 3

+ 0,425 t

3 ( K +K ) / h3

+ 0,425 t

1 12

cortante de giro B cortante de giro C

2,85 t_

CORTANTE PISOB

B C

C

isos.= 0 t.V isos.= 0 t.V

* Δ

10




2

*αB

=0,00

αB αC

αB

αC 0,5 αC0,002

0,5

Δ0,375

Δ0,375

0,375 0,375 0,375 Δ –2,00

ΣMB = 0

ΣMC = 0

ΣFh = 0

B

A

1

M = K *1b B1

1

B

A

M = * K *1a B11/2

C

D

3

M = K *3c C3

3

C

D

M = * K *3d C31/2

d =1

B

M = * K * / L1a 11,5 1

M = * K * / L1a 11,5 1

1

d =3

C

M = * K * / L3d 31,5 3

M = * K * / L3c 31,5 3

3

DA

1,5*K1/L1 1,5*K3/L3 3 K3/L323 K1/L1

2

Paso 4º/ Cálculo vector de incógnitas: αB = αC= +1,1439/EI Δ = –7,6190/EI


αA= αD = 0

( )

1

1

2

2

3

0,00 1* 0 * 1,1439 * 7,6190 / 4 2,29

0,00 1* 1,1439 * * 7,6190 / 4 1,71

0,00 1* 1,1439 * 1,1439 *0 / 8 1,71

0,00 1* 1,1439 * 1,1439 *0 / 8 1,7

1 1,52

0 1,5

1 1,521 1,52

1

A

B A

B

C

M mt

M mt

M mt

M mt

M

α

⎛ ⎞= + + + + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + + + − = −

⎛ ⎞= + + + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠( )

3

0,00 1* 1,1439 * * 7,6190 / 4 1,71

0,00 1* 0 * 1,1439

0 1,5

1 1 *,52

7,6190 / 4 2, 29

C D

D

mt

M mt

α= + + + + − = −

⎛ ⎞= + + + + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

+2t

11

Ejemplo nº 6 = 4 + 5: pórtico simple completo.(método matricial).


Paso 1º/ Todos los nudos giran o se desplazan en sentido positivo, es decir, dan lugar a M +:

Método Matricial.. Las incógnitas son: “αB” “αC” y “Δ”.


d1 d3

1M 3MC

B

I 3

1M 3M

A D

2

2 t.

d 1= d 3 = Δ

Estado 2

A D

2 I

I

B C

1

2

I 3

B C

Estado 1

C2

C+

B C2

B C2

B+

B

M = K *2c C2M = * K *2b C21/2

M = K *2b B2 M = * K *2c B21/2

B

A

1

M = K *1b B1

1

B

A

M = * K *1a B11/2

C

D

3

M = K *3c C3

3

C

D

M = * K *3d C31/2

d =1

B

M = * K * / L1a 11,5 1

M = * K * / L1a 11,5 1

1

d =3

C

M = * K * / L3d 31,5 3

M = * K * / L3c 31,5 3

3

DA

3 t/m

+M = + 16 mt2c_+M = - 16 mt2b_8 m

A D

BC

I

2 I

I

3 t/m2 t

Estado Real

12

Ejemplo nº 6: pórtico simple completo.(superposición).



2

*αB

=+16,00

αB αC

αB

αC 0,5 αC–16,002

0,5

Δ0,375

Δ0,375

0,375 0,375 0,375 Δ –2,00

ΣMB = 0

ΣMC = 0

ΣFh = 0

B

A

1

M = K *1b B1

1

B

A

M = * K *1a B11/2

C

D

3

M = K *3c C3

3

C

D

M = * K *3d C31/2

d =1

B

M = * K * / L1a 11,5 1

M = * K * / L1a 11,5 1

1

d =3

C

M = * K * / L3d 31,5 3

M = * K * / L3c 31,5 3

3

DA

1,5*K1/L1 = 0,375

1,5*K3/L3 = 0,375

3 K3/L32 =

0,18753 K1/L1

2 = 0,1875

Paso 4º/ Cálculo de incógnitas: αB = +11,8095/EI αC= -9,5238/EI Δ = -7,6190/EI


αA= αD = 0

+2t

( )

1

1

2

2

0,00 1* 0 * 11,8095 * 7,6190 / 4 3,05

0,00 1* 11,8095 * * 7,6190 / 4 8,95

16,00 1* 11,8095 * 9,5238 *0 / 8 8,95

16,00 1* 9,5238 * 11,8

1 1,52

0 1,5

1

095 *0

1,52

1 1 852

/,

A

B A

B

C

M mt

M mt

M mt

M

α

⎛ ⎞= + + + + − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + + + − = +

⎛ ⎞= − + + + − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + − + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )3

3

12,38

0,00 1* 9,5238 * * 7,6190 / 4 12,38

0,00 1* 0 * 9,5238 * 7,6

0 1,

190 / 4 7

5

1 1,52

,62

C D

D

mt

M mt

M mt

α= + − + + − = −

⎛ ⎞= + + − + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

13

Ejercicios 5 + 6 , diagramas definitivos o de Cross


Ejercicios nº 4 + 5:

Acción gravitatoria + acción viento

-------------------------------------------------

Acciones permanentes: carga gravitatoria.

G Carga permanentes.

+

Q Carga variable.

Acción variable:

V 1 sobrecarga viento V1.


A D

8 m.

B C

1 3

-8,96 -12,38

+12,38

+3,05

-8,96

-7,62

2

M. F.

A D

8 m.

B C

1 3

11,57

12,433,00 2

3,00 5,00

5,00

V.

A D

8 m.

B C

1 3

-11,57

2

-5,00

-12,43

C

C

C

N.

5,00

11,57

-5,00

3,00

3,00

3,00

1 3

12,43

12,00 12,43

5,00

5,00

-5,002

3,00

11,57

-3,00

-11,57 12,43

5,00

-5,00

-12,43

Equilibrio

nudo Bfuerzas

Equilibrio

nudo Cfuerzas

-11,57

-11,57 -12,43

-12,43

nudo B nudo C

+13,33

2,00

Ejercicios 6 = 4 + 5 , diagramas definitivos o de Cross

14

Pórtico simple: Combinación de Acciones

Diagramas para dimensionado y/o armado

Pórtico simple

Acción gravitatoria + acción viento

------------------------------------------------

Acciones permanentes: carga gravitatoria.

G Carga permanentes.

Q Carga variable.

Acción variable:

V 1 sobrecarga viento V1.

V 2 sobrecarga viento V2 .

Envolvente de solicitaciones

A D

8 m.

B C

1 3

-12,38 -12,38

+12,38

+7,62

-12,38

-7,62

2

M. F.

A D

8 m.

B C

1 3

12,43

12,435,00 2

5,00 5,00

5,00

V.

A D

8 m.

B C

1 3

-12,43

2

-5,00

-12,43

C

C

C

N.

+13,33

Pórtico simple: Combinación de Acciones

Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)15

Características de la matriz de rigidez y sobre el método matricial.



2

*αB

=+16,00

αB αC

αB

αC 0,5 αC–16,002

0,5

Δ0,375

Δ0,375

0,375 0,375 0,375 Δ –2,00

ΣMB = 0

ΣMC = 0

ΣFh = 0

B

A

1

M = K *1b B1

1

B

A

M = * K *1a B11/2

C

D

3

M = K *3c C3

3

C

D

M = * K *3d C31/2

d =1

B

M = * K * / L1a 11,5 1

M = * K * / L1a 11,5 1

1

d =3

C

M = * K * / L3d 31,5 3

M = * K * / L3c 31,5 3

3

DA

1,5*K1/L1 = 0,375

1,5*K3/L3 = 0,375

3 K3/L32 =

0,18753 K1/L1

2 = 0,1875

1º/ Es un invariante estructural, una vez formulado representa a la estructura y a cualquier otra que sea geométricamente semejante (igual relación de rigideces en los nudos).

2º/ Si se quiere analizar otra hipótesis de carga es suficiente con cambiar el vector de cargas.

+2t

a/ Submatriz de giros y trasmisiones en la diagonal principal as sumas de rigideces en nudos

b/ Submatriz de M.E.P. en los nudos debidos a desplazamientos de planta.

c/ Submatriz de fuerzas que equilibran la suma de momentos en los extremos de los pilares debidas a los giros.

d/ Submatriz de fuerzas (rigidez de planta) que equilibran la suma de momentos en los extremos de los pilares debidas al desplazamiento de la planta correspondiente..

4º/ La matriz de rigidez es simétrica, y suponiendo giros y desplazamientos + todos los números que la componen son positivos.

y las demás casillas contienen las trasmisiones oportunas, si corresponde.

3º/ La matriz de rigidez tiente cuatro submatrices:

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Resumen Simplificaciones de Simetría de forma y carga


El eje de simetría corta a la estructura por:

1/ Un nudo con 2 barras.2/ El centro de una barra perpendicular a la directriz.3/ Un nudo con viga continua sobre pilar

Esquema de simetría


1/ Un nudo con 2 barras.El giro del nudo es nulo<> equivale a un empotramiento para la etapa II de Cross..2/ El centro de una barra perpendicular a la directriz.Se utiliza una rigidez virtual equivalente al 50% de la rigidez real. (sólo cambia los factores de reparto).

3/ Un nudo con viga continua sobre un pilar.El giro del nudo es nulo. Una viga empotra a la otra <> equivale a un empotramiento y el pilar sólo toma la solicitación axil.

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Resumen Simplificaciones de Antisimetría de carga



1/ Un nudo con 2 barras.2/ El centro de una barra perpendicular a la directriz.3/ Un nudo con viga continua sobre pilar

Esquema de Antisisimetría

El eje de antisimetría corta a la estructura por:

1/ Un nudo con 2 barras.No hay oposición al giro, una barra no empotra a la otra. Se coloca una articulación en el nudo A, y la rigidez de la barra 1 es 3EI/L.

2/ El centro de una barra perpendicular a la directriz.Se utiliza una rigidez virtual equivalente al 150% de la rigidez real. (sólo cambian los factores de reparto).

3/ Un nudo con viga continua sobre un pilar.Como el eje de antisimetría corta longitudinalmente al pilar, queda medio pilar. Se utiliza la rigidez correspondiente ½ pilar.

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Ejercicio nº 7: El pórtico simple con simplificaciones


1+ 0,5

αB

αBΣMB = 0

Paso 4.1º/ Cálculo de incógnitas: αB = +10,6666 αC= -10,6666 Δ = 0,00


αA= αD = 0

8 mA D

BC

I

2 I

I

3 t/m2 t

8 mA D

BC

I

2 I

I

3 t/m

8 mA D

BC

II

2 t

= +Estado 1 Estado 2Estado Real

2 I

* αB = +16,00

Paso 3.1º/ (Estado 1).

Momentos en extremo de barra del estado 1 con simplificaciones de simetría:

Paso 3.2º/ (Estado 2).

Momentos en extremo de barra del estado 1 con simplificaciones de antisimetría:

1+1,5*

αB =0,00

αB

αB

Δ0,375

Δ 0,375 0,1875 Δ -1,00

ΣMB = 0

ΣFh = 0

Paso 4.2º/ Cálculo de incógnitas: αB = +1,1429 αC= +1,1429 Δ = -7,6190

Paso 4º/ Superponiendo resultados: αB = +11,8095/EI αC= – 9,5238/EI Δ = -7,6190/EI

( )

1

1

2

2

0,00 1* 0 * 11,8095 * 7,6190 / 4 3,05

0,00 1* 11,8095 * * 7,6190 / 4 8,95

16,00 1* 11,8095 * 9,5238 *0 / 8 8,95

16,00 1* 9,5238 * 11,8

1 1,52

0 1,5

1

095 *0

1,52

1 1 852

/,

A

B A

B

C

M mt

M mt

M mt

M

α

⎛ ⎞= + + + + − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + + + − = +

⎛ ⎞= − + + + − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + − + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )3

3

12,38

0,00 1* 9,5238 * * 7,6190 / 4 12,38

0,00 1* 0 * 9,5238 * 7,6

0 1,

190 / 4 7

5

1 1,52

,62

C D

D

mt

M mt

M mt

α= + − + + − = −

⎛ ⎞= + + − + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

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Portico Traslacional

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