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Dinmica 2015-1
Sesin 1
Tema:
Cinemtica de la Partcula en
Movimiento Absoluto
Emprendedores sin fronteras
1
CLASIFICACION DE LA
DINAMICA
1.5 1.6
PARTES DE ESTUDIO DE LA CINEMATICA
Un automvil se mueve en lnea recta sobre una carretera, donde
X = 0,4t3 + 8t + 10 (m), a partir de su estado inicia en t = 0, determine:
a.- El tiempo que le toma al vehculo alcanzar la velocidad de 88i (m/s)
b.- Cual es el recorrido durante este tiempo.
c.- Cual es la aceleracin cuando el vehculo alcanza la rapidez de 88 m/s.
En el movimiento rectilneo de un vehculo se sabe que a = -2x + 1, siendo sus
condiciones de frontera V0 = 4 m/s, x0 = 5 m, t0 = 0 s; determine:
a.- La rapidez cuando x = 0,5 m.
b.- El tiempo cuando x = 0,5 m
c.- La posicin X cuando t = 1 s
En este capitulo explicaremos como se puede localizar un punto en el espacio a
partir de un sistema de referencia.
Determinaremos la Posicion, velocidad y aceleracion de una particula en el espacio,
em forma absoluta.
Una posicion esta determinada por un conjunto de coordenadas, sean
rectangulares, cilindricas o esfericas.
CINEMATICA DE LA
PARTICULA EN EL ESPACIO
Una Posicion en el espacio
Puntos crticos
MOVIMIENTO CURVILINEO DE UNA PARTICULA
Cuando una partcula no se desplaza en lnea recta, se dice que la
partcula describe un movimiento curvilneo. Tanto en el plano como en
el espacio, existen tres procedimientos de descripcin del movimiento
de una partcula:
Procedimiento vectorial
Procedimiento natural
Procedimiento de coordenadas
( )r r t
Procedimiento vectorial
Vector posicin:
(en el plano)
( )R R t (en el espacio)
Velocidad Media:
2 1
2 1
m
r r rv
t t t
(para t pequeos)
0t
r drv Lim r
t dt
Rapidez instantnea (v)dS
v Sdt
m
va
t
Magnitud de la aceleracin tangencial instantnea (at )
2
2
dv d ra v r
dt dt
2
2
dv d Sa v S
dt dt (Donde S es el arco recorrido)
2 t n t n
va a a ve e
Queremos demostrar que:
MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
Se utiliza en el plano y en el espacio, pero es de mas utilidad practica en problemas
de movimiento plano.
tv veVelocidad de la partcula:
Donde es el radio de curvatura
.tt
de dsa ve v
dt ds
2 tt
dea ve v
ds
dS d
Del grafico tenemos que:
d
d
dS
1t te e Tambin de:
0t tt t
de dee e
dS dS
Lo que indica que:
/ / n
t tt
de dee
dS dSe
te
t te de
t te de
te
tde
t tde e d d
.t t n nde de e d e Tambin:
1ddS d
dS
Como:
Por L.A.:
tn
tn
dee
dS
de de
dS dS
1 t
nt
n n
de de e
dS d
dee
dS S
Entonces:
2 tt
dea ve v
ds En:
2
t n
va ve e
ne
/ / ntde e
2 0 0t
ttt
de
dSe
dee
dS
rv re r e Vector Velocidad:
Vector Aceleracin:
2 ( ) ( 2 )ra r r e r r e
Donde:
2( )ra r r
( 2 )a r r
MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COMPONENTES
RADIAL Y TRANSVERSAL
Es til para aplicaciones en problemas de movimiento plano:
Vector posicin: rr re
Donde:
rv r v r
a
ra
a
De la figura tenemos algunas propiedades importantes:
t
v aa
v
n
v aa
v
3v
v a
2 2
t na a a
3/2
2
2
2
1 ( )dy
dx
d y
dx
R Xi Yj Zk
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
La ampliacin de dos dimensiones (x,y) a tres dimensiones (x,y,z) no ofrece
dificultad especial. Simplemente basta aadir la coordenada z y sus dos
derivadas temporales a las expresiones bidimensionales, de forma que el
vector de posicin R, la velocidad v y la aceleracin a se expresan de la
siguiente manera:
X Y Z
v Xi Yj Zk
v v i v j v k
X Y Z
X Y Z
a Xi Yj Zk
a v i v j v k
a a i a j a k
R
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO
EN COORDENADAS CILINDRICAS (r, , Z)
La posicin de la partcula P se define utilizando las
coordenadas cilndricas (a)
Descomponindose en trminos de sus vectores unitarios: , ,re e k
Siendo R el vector posicin: rR re zk
r
dRv re r e zk
dt
22
2 ( ) ( 2 )r
dv d Ra r r e r r e zk
dt dt
rv r v r zv z
2
ra r r 2a r r Za z
2 2 2
r zv v v v
2 2 2
r za a a a
Primero determinaremos las
variaciones de respecto del
tiempo:
4rad
8 /rad s
0
Con h = 4 m = cte. lo
reemplazamos en Z y
determinamos las variaciones
de z respecto del tiempo:
2 2 2z Cos Para = /4
4 2 ( )z Sen Para = /4 32 /z m s
28 2 ( ) 4 2 ( )z Cos Sen
2z m
0z Para = /4
r264r z
De la figura obtenemos:
8 .R m cte
Para z = 2m: 7,7459r m
1/2
264r z
1/2
2
2
1 ( )64 .( 2 . )
2 64
z zr z z z
z
8, 2623 /r m s
: 2 32 /Para z m z m s
2 22
2
{ ( )}64 [( ( ) (z) ] [ ( )]
64
64
z zz z z z z
zr
z
2 2 2
3/22 2
( ) (z) ( )
64 64
z z z zr
z z
0z Con:
Obtenemos:
2141,011 /r m s
La velocidad en coordenadas cilndricas es:
rv re r e zk
8,2623 /rv r m s
(7,7459)(8) 61,9672 /v r m s
32 /zv z m s
Ordenando la informacin:
2
7,7459
8,2623 /
141,011 /
r m
r m s
r m s
4
8 /
0
rad
rad s
2
32 /
0
z m
z m s
z
Luego determinamos cada componente de esta velocidad:
De igual manera calcularemos las componentes de la aceleracin en coordenadas
cilndricas:
2
7,7459
8, 2623 /
141,011 /
r m
r m s
r m s
4
8 /
0
rad
rad s
2
32 /
0
z m
z m s
z
2 ( ) (2 )ra r r e r r e zk 2 2( ) ( 141,011 7,7459(8)ra r r
2636,7486 /ra m s
2 2( 8,2623)(8) (7,7459)(0)a r r
2132,1968 /a m s
0za z
0za
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO
EN COORDENADAS ESFERICAS (R, , )
Las expresiones de la posicin y velocidad son fciles; pero de la aceleracin es mas
complicada a causa de la geometra adicional necesaria. Obsrvese que el sentido
del vector eR es el que tendra el movimiento del punto B, si R aumentara, pero
manteniendo constantes y . Asimismo, el sentido de e, es el que tendra B si aumentara, pero mantenindose constantes R y . Finalmente, el sentido de e es el
que tendra el movimiento de B si aumentara pero mantenindose constantes R y
.
RR Re
RR Re
R R R
dRv v e v e v e Re R Cos e R e
dt
Donde:
Rv R v R Cos v R
EXPRESIONES MATEMATICAS DE LA POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION
DE LA PARTICULA EN COORDENADAS ESFERICAS
2
2
R R
dv d Ra a e a e a e
dt dt
22 2
Rv v v v
Donde: 2 2 2
Ra R R R Cos
2( )2
Cos d Ra R Sen
R dt
221 ( )d Ra R Sen Cos
R dt
2 2a R Cos R Cos R Sen
22a R R R Sen Cos
22 2
Ra a a a
Rv R
v R Cos
v R
Transformacion de CoordenadasNos sirven para determinar velocidades y aceleraciones en un Sistema en base a
otros conocidos.
Considerando que las ecuaciones de transformacion son lineales, utilizando el
algebra matricial, definiremos los 6 casos de transformacion:
Caso I.- De coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas:
re
e
Haciendo una vista de Planta:
r
O
y
x
Xv
Yv
re
e
0r x y zv v Cos v Sen v
xv Cos
xv Sen
yv Cos
yv Sen
0x y zv v Sen v Cos v
0 1z x y zv ov v v
Donde:
cos 0
cos 0
0 0 1
r x
y
z z
v sen v
v Sen v
v v
]][[][ ),,(),,( zyxzr vTv
100
0cos
0cos
Sen
sen
T
]][[][ ),,(),,( zyxzr aTa
Siendo:
En forma similar:
En forma simplificada:
cos 0
cos 0
0 0 1
r x
y
z z
a sen a
a Sen a
a a
Transformacion de Coordenadas
]][[][ ),,(1
),,( zrzyx vTv
Caso II.- De coordenadas cilindricas a coordenadas rectangulares:
]][[][ ),,(1
),,( zrzyx aTa
100
0
01
CosSen
SenCos
T
Transformacion de Coordenadas
]][[][ ),,(),,( zrR vTv
CosSen
SenCos
T
0
010
0
Caso III.- De coordenadas cilindricas a coordenadas esfericas:
]][[][ ),,(),,( zrR aTa
Transformacion de Coordenadas
]][[][ ),,(1
),,( Rzr vTv
CosSen
SenCos
T
0
010
01
Caso IV.- De coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas:
]][[][ ),,(1
),,( Rzr aTa
Transformacion de Coordenadas
Caso V.- De coordenadas rectangulares a coordenadas esfericas:
CosSenSenCosSen
CosSen
SenSenCos
TT 0
coscos
]][][[][ ),,(),,( zyxR vTTv
]][][[][ ),,(),,( zyxR aTTa
Transformacion de Coordenadas
Caso VI.- De coordenadas esfericas a coordenadas rectangulares:
CosSen
SenSenCosCosSen
SenCosSenCosCos
TT
0
11
]][][[][ ),,(11
),,( Rzyx aTTa
]][][[][ ),,(11
),,( Rzyx vTTv
PROBLEMA DE APLICACIN
1
BLOQUE A (4 puntos) El avin se mueve en una trayectoria
rectilnea donde su rapidez en A es
252 km/hr y su aceleracin constante
es de 2 m/s2. Para un tiempo de 60 s
determine:
a.- La componente rv de la velocidad
de P.(m/s)
b.- La componente v de la velocidad
de P.(m/s)
c.- La componente Rv de la velocidad de P.(m/s)
d.- La componente v de la velocidad de P.(m/s)
0 70 2(60) 190 /Pv v at m s
Pv
Pa
22 /Pa m s cte 2 2
0 0
1 10 70(60) (2)(60)
2 2S S v t at
7800S m
15 Y
Z
Yv
190 15 183,5259Yv Cos
Zv
190 15 49,1756 /Zv Sen m s
7534,22142,5114
300
68,288
0
3
tg
2 2(7534,2214) (30
810
0
9
0)
,5309
r
r m
0
0
0 0 1
r X
Y
z Z
v Cos Sen v
v Sen Cos v
v v
68,2883 68,2883 0 0
68,2883 68,2883 0 183,5259
0 0 1 49,1756
r
z
v Cos Sen
v Sen Cos
v
170,506 /rv m s 67,8929 /v m s
S
Pv
Pa15 Y
Z
Yv190 15 183,5259Yv Cos
Zv
190 15 49,1756 /Zv Sen m s
2018,78850,24894
8109,53
13,979
09tg
2 2(7534,2214) (30
810
0
9
0)
,5309
r
r m
cos cos
0
R X
Y
Z
v Cos Sen Sen v
v Sen Cos v
v Sen Cos Sen Sen Cos v
cos13,979. 68,2883 13,979.Sen 68,2883 13,979 0
68,2883 68,2883 0 183,5259
13,979. 68, 2883 13,979. 68,2883 13,979 49,1756
Rv Cos Cos Sen
v Sen Cos
v Sen Cos Sen Sen Cos
177,3355 /Rv m s 6,5307 /v m s
0Xv
2 2(2018,7885) (8109,5309)
8357,0328R m
R
RESULTADOS BLOQUE A
Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES EVALUACION
a Vr 170,506 m/s
b V 67,8929 m/s
c vR 177,3355 m/s
d v 6,5307 m/s
PROBLEMA DE APLICACIN
2
Un nio se desliza por un tobogn acutico AB. La descripcin del movimiento en
coordenadas cilndricas es R = 4m, = at2 y z = h(1 - t2); cuando el nio se encuentra
en B, calcule:
a.- La magnitud de la velocidad vR.(m/s)
b.- La magnitud de la aceleracin aR.(m/s2)
c.- La magnitud de la aceleracin a.(m/s2)
d.- La magnitud de la aceleracin a.(m/s2)
Luego z derivando y reemplazando:
1.- Observamos que la trayectoria de la
partcula se hace a travs de un cilindro:
23 3z t
4
0
0
r m cte
r
r
2.- De la expresin:
2
0
3(2) 6 /
6 /
z
z t m s
z m s
Para z = 0 determinamos el tiempo t
20 3 3 1t t s
3.- De la expresin:2at En B: = rad 2at
2(1)a a 2t
2 2 /t rad s
22 2 /rad s 22 /
2 /
rad
rad s
rad s
0rv r
6 /zv z m s
26 /Za z m s
4
0
0
r m
r
r
2
0
6 /
6 /
z
z m s
z m s
22 /
2 /
rad
rad s
rad s
4(2)(3,1416) 25,1328 /v r m s
2 2 24(2 ) 157,9144 /ra r r m s
22 4(2 ) 25,1328 /a r r m s
Determinando las expresiones de la velocidad y
aceleracin en coordenadas cilndricas:
Ahora en velocidades realizaremos la transformacin de
coordenadas cilndricas a esfricas donde en B: = 0
0
0 1 0
0
R r
z
v Cos Sen v
v v
v Sen Cos v
0 0 0 0
0 1 0 25,1328
0 0 0 6
Rv Cos Sen
v
v Sen Cos
1 0 0 0
0 1 0 25,1328
0 0 1 6
Rv
v
v
0Rv 6 /v m s 25,1328 /v m s
Ahora en aceleraciones realizaremos la transformacin de
coordenadas cilndricas a esfricas donde en B: = 0
0
0 1 0
0
R r
z
a Cos Sen a
a a
a Sen Cos a
0 0 0 157,9144
0 1 0 25,1328
0 0 0 6
Ra Cos Sen
a
a Sen Cos
1 0 0 157,9144
0 1 0 25,1328
0 0 1 6
Ra
a
a
2157,9144 /Ra m s 26 /a m s
225,1328 /a m s
Las barquillas del Tiovivo del Parque de Atracciones se mueven con una
frecuencia angular N = 11,2 RPM constante para = (/6)t, para t = 1 sCalcule en coordenadas esfricas:
1.- La velocidad radial.(m/s)
2.- La velocidad transversal en .(m/s)3.- La velocidad transversal en .(m/s)
4.- La aceleracin radial.(m/s2)
5.- La aceleracin transversal en .(m/s2)6.- La aceleracin transversal en .(m/s2)
El problema se puede resolver por dos mtodos:
1.- Coordenadas cilndricas
2.- Coordenadas esfricas
1 Forma de Solucin: Coordenadas esfricas:
4,6m
R
2 2 2(4,6) (9,2) 2(4,6)(9,2) (90 )oR Cos
De la figura utilizando la Ley de Cosenos:
1,1728 /N rad s
0
2 105,8 84,64R Sen Para t = 1 s 6rad
R = 12,17 m(1)
2 84,646 6
RR Cos t
1,5768 /R m s
Derivando (1) respecto de t:
2 84,646 6
RR Cos t
Nuevamente derivando (2):
(2):
2 22( . ) ( ) (84,64)6 6
R R R Sen t
Para t = 1 s:
20,6809 /R m s
Ahora determinaremos
el ngulo y
4,6m
R
9,2Sen(/6)t
9,2Cos(/6)tZ
r
9,26
4,6 9,26
Cos tZ
tgr
Sen t
40,8932
Para t = 1 s:
Derivando la tg:
2
2
(4,6 (9,2 ))(9,2( ) ) ( 9,2 )(9,2( ) )6 6 6 6 6 6
(4,6 (9,2 ))6
Sen t Sen t Cos t Cos t
Sec
Sen t
0,37588 /ra s
1,5768 /Rv R m s
12,17(1,1728) ( 40,8932 )v R Cos Cos
12,17(0,37588)v R
10,7893 /v m s
4,5744 /v m s
Reemplazando datos para el calculo de las aceleraciones tenemos:
2 2 2
Ra R R R Cos
2 2a R Cos R Cos R Sen
22a R R R Sen Cos
2 2 2( 0,6809) (12,17)(0,37588) (12,17)(1,1728) ( 40,8932)Ra Cos
211,9657 /Ra m s
2(1,5768)(1,1728) ( 40,8932 ) 12,17(0) ( 40,8932 ) 2(12,17)(1,1728)(0,37588) ( 40,8932 )a Cos Cos Sen
215,8917 /a m s
22a R R R Sen Cos COMPLICADO CALCULAR:
2 Forma de Solucin: Coordenadas Cilndricas:
4,6m
R
9,2Sen(/6)t
Z
9,2Cos(/6)t
rR re zk
4,6 9,26
r Sen t
( )9,26 6
r Cos t
2( ) 9,26 6
r Sen t
Para t = 1 s
9,2r m
4,17171 /r m s
21,2611 /r m s
9,26
z Cos t
( )9,26 6
z Sen t
2( ) 9,26 6
z Cos t
Para t = 1 s 7,9674z m
2,4085 /z m s22,1843 /z m s
Tambin:2rad
1,1728 /N rad s cte 0
2 21,2611 (9,2)(1,1728) 13,9153 /ra m s
2(9,2)(0) 2(4,1717)(1,1728) 9,7851 /a m s
2,4085 /Zv m s4,1717 /rv m s 10,7897 /v m s
22,1843 /Za m s
Z
rR
v
v
v
CosSen
SenCos
v
v
v
0
010
0
Anlisis de velocidades:
4085,2
7897,10
1717,4
7559,006546,0
010
6546,007559,0
v
v
vR
0,7559(4,17171) ( 0,6546)(2,4085) 1,5767 /Rv m s
10,7897 /v m s
0,6546(4,17171) (0,7559)(2,4085) 4,5513 /v m s
Z
rR
a
a
a
CosSen
SenCos
a
a
a
0
010
0
Anlisis de aceleraciones:
1843,2
7851,9
9153,13
7559,006546,0
010
6546,007559,0
a
a
aR
20,7559( 13,9153) ( 0,6546)(2,1843) 11,9484 /Ra m s 29,7851 /a m s
20,6546( 13,9153) (0,7559)(2,1843) 7,4578 /a m s
PROBLEMA DE APLICACIN
2
En el instante mostrado el rociador de agua
est girando con =2 rad/s = 3 rad/s2 .
Si la tobera se halla en el plano vertical y el
agua fluye por ella a razn constante de 3 m/s
y la tobera gira con respecto al eje Z con
= 5 rad/s y =8 rad/s2
Calcular:
1.- La magnitud de la velocidad del agua en la salida. (m/s)
2.- La magnitud de la aceleracin del agua en la salida ,en el eje X. (m/s2)
3.- La magnitud de la aceleracin del agua en la salida ,en el eje Y. (m/s2)
4.- La magnitud de la aceleracin del agua en la salida ,en el eje Z.(m/s2)
De la figura :
Recopilando los datos a utilizar
20
3
2.0
smR
smR
mR
2
4
2
3
rad
rad
s
rad
s
2
2
5
8
rad
rad
s
rad
s
CALCULO DE LA VELOCIDAD
0.2(2) 0.4 /v R m s
3 /Rv R m s
cos
0.2(5) (45 ) 0.7071
v R
mv Coss
RRv v e v e v e
En coordenadas esfricas, la velocidad est dada por:
Calculando el modulo :
smvvvV
r1080.3222
3.1080 /v m s
smV 1080.34.07071.03 222
CALCULO DE ACELERACIONES
RRa a e a e a e
CosRRRar22
SenRCosRCosRa 22
2 2 20 0.2(2 ) 0.2(5 ) 45Ra Cos
En coordenadas esfricas la aceleracin est dada por:
23.3 /Ra m s
2/5161.19 sma
2/1.15 sma
CosSenRRRa22
22(3)(2) 0.2(3) 0.2(5 ) 45 45a Sen Cos
2(3)(5) 45 0.2(8) 45 2(0.2)(5)(2) 45a Cos Cos Sen
Aplicamos transformacin de coordenadas
esfricas a coordenadas cartesianas segn
la ecuacin:
]][][[][ ),,(11
),,( rzyx aTTa
cos0
coscos
coscoscos11
sen
sensensen
sensen
TT
1.15
5161.19
3.3
7071.007071.0
7071.007071.0
010
z
y
x
a
a
a
resolviendo:
3438.8
0106.13
5161.19
z
y
x
a
a
a
Reemplazando datos:
Finalmente
N Variable Cantidad Unidades
01. VA 3.1080 m/s
02. aAx 19.5161 m/s
03. aAy 13.0106 m/s
04. aAz 8.3438 m/s
THE END!
Higher Education:
Lets make it all that it can be and needs to be!Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser!
Profesor: M.Sc Tito Vilchez