El Método Simplex Gráfico debe su denominación, al uso delplano cartesiano para representar las funciones lineales quemodelan la relación entre una variable independiente “x” conotra dependiente “y”.

Las funciones con las cuales trabaja la programación lineal, estánrelacionadas con procesos de producción a nivel de tiempos defabricación, cantidad de mano de obra, materiales, equiposutilizados y costos de operación entre muchos otros aspectos.

Todos los problemas de programación lineal incluidos los de tipografico, demandan la maximización o minimización de losdiferentes recursos invertidos, a fin de obtener el mayorbeneficio, como función de los objetivos que persiga tanto el áreadonde se presenta la problemática o necesidad como losdirectivos de la organización empresarial.

Suma, Resta, Multiplicación y División de Enteros y Fraccionario

Solución de Sistemas de Ecuaciones 2x2

Expresión Algebraica, Constante,

Variable

Conjunto, Función Lineal,

Ecuación, inecuación

Los modelos matemáticos de Programación lineal,tienen dos componentes:

1. Función Objetivo

Zmáx

o mín

= Ax1 + Bx2 + Cx3 + … + Zxn

Esta función determina el objetivo que quiere alcanzar la organización conla solución del problema o necesidad.Por ejemplo: Maximizar los ingresos o Minimizar los costos.

Las variables (X1, X2,…Xn) representan las “cantidades” optimas queresuelven el problema.

Los coeficientes (A, B,…Z) representan la UTILIDAD, o VENTA, o COSTO porUNIDAD, de cada producto.

2. Sistema de Inecuaciones o RestriccionesTipos de Procesos

Matriz de Factores y Variables Tecnológicas asociadas al proceso productivo

Tipode

Signo

Recursos Limitantes

Proceso 1 a11x1 + a12x2 + a13x3 + … a1nxn<>=

b1

Proceso 2 a21x1 + a22x2 + a23x3 + … a2nxn

<>=

b2

… … … … … … …

Proceso m am1x1 + am2x2 + am3x3 + … amnxn

<>=

bm

El sistema de inecuaciones lineales, representa los diferentes procesos y/o actividades que

delimitan el problema.

Las variables (X1, X2,…Xn) representan las “cantidades” optimas que resuelven el problema.

(a11, a12,…anm) son los factores tecnológicos asociados a cada proceso.

El signo ( >, <, = ) condiciona cada proceso y/o actividad.

(b1, b2,…bm) son la condición, restricción o limitante de recursos por proceso.

La compañía de muebles el cid, produce unalínea de comedores de cuatro puestosdenominada “Virginia”, para proyectos devivienda de interés social.

Con base en la información suministrada por losdepartamentos de producción y ventas, se sabeque:Los operarios de Corte y Ensamble, y Pintura yAcabado disponen de 680 horas y 140 horasrespectivamente a la semana para hacer sutrabajo.Fabricar una silla demanda 4 horas en Corte yEnsamble, y media hora en el otro proceso.Fabricar una mesa necesita de 5 y 2 horasrespectivamente.La utilidad neta por unidad vendida es de$50.000 para las mesas y $30.000 para las sillas.

Determine cuántas unidades de mesas y sillas sedeben fabricar, de manera que la compañía conesta línea logre la máxima utilidad.

Proceso Productivo

Tiempo de fabricación(hora/unidad)

Disponibilidadde tiempo

(hora/semana)Mesas Sillas

Corte y Ensamble

5 4 680

Pintura y Acabado

1.4 0.5 140

Utilidad neta($/unidad)

$ 50.000 $ 30.000

1. Lea cuidadosamente el problema, e identifique que le piden hacer.

… Este primer análisis permite definir las variables del problema.

Proceso Productivo

Tiempo de fabricación(hora/unidad)

Disponibilidad de tiempo

(hora/semana)Mesas Sillas

Corte y Ensamble

5 4 680

Pintura y Acabado

1.4 0.5 140

Utilidad neta($/unidad)

$ 50.000 $ 30.000

2. Identifique las actividades y sus factores limitantes.

Proceso Productivo

Tiempo de fabricación(hora/unidad)

Disponibilidad de tiempo

(hora/semana)Mesas Sillas

Corte y Ensamble

5 4 680

Pintura y Acabado

2 0.5 140

Utilidad neta($/unidad)

$ 50.000 $ 30.000

3. Ubique los coeficientes tecnológicos.

…..Tenga en cuenta que algunas veces requerirá de creatividad y lógica para definir los coeficientes

tecnológicos.

Proceso Productivo

Tiempo de fabricación(hora/unidad)

Disponibilidad de tiempo

(hora/semana)Mesas Sillas

Corte y Ensamble

5 4 680

Pintura y Acabado

2 0.5 140

Utilidad neta($/unidad)

$ 50.000 $ 30.000

4. Determine los coeficientes de la función objetivo.

5. Estructure el modelo matemático de programación lineal y grafique la solución.

ZMaximizar

Utilidades= 50.000( $ )*X( mesas )

mesa semana

+ 30.000( $ )*Y( sillas )silla semana

5(horas)*X( mesas )mesa semana

+ 4(horas)*Y( sillas )silla semana

≤ 680( horas )semana

2(horas)*X( mesas )mesa semana

+ 0.5(horas)*Y( sillas )sillas semana

≤ 140( horas )semana

Sujeto a:

6. Grafique y resuelva el problema6.1. Por cada ecuación haga CERO la variable “X” y

despeje la variable “Y”, luego, haga CERO la variable “Y” y despeje la variable “X”. Ubique los puntos en cada eje del plano cartesiano y trace la línea.

6.2. Determine la región solución teniendo en cuenta el signo de cada inecuación.

6.3. Ubique las coordenadas cartesianas de los vértices de la región solución, remplace en la función objetivo y defina para que coordenada se cumple la condición (para el caso maximizar las utilidades)

5X + 4Y ≤ 680

5(0) + 4Y ≤ 680

4Y ≤ 680

Y ≤ 6804

Y ≤ 170

Cantidad de sillas

Cantidad de mesas

5X + 4Y ≤ 680

5X + 4(0) ≤ 680

5X ≤ 680

X ≤ 6805

X ≤ 136

Cantidad de sillas

Cantidad de mesas

Cantidad de sillas

Cantidad de mesas

2X + 0.5Y ≤ 140

Y ≤ 280

X ≤ 70

Cantidad de sillas

Cantidad de mesas

2X + 0.5Y ≤ 140

Y ≤ 280

X ≤ 70

Cantidad de sillas

Cantidad de mesas

5X + 4Y ≤ 680

2X + 0.5Y ≤ 140Cantidad de sillas

Cantidad de mesas

5X + 4Y ≤ 680

2X + 0.5Y ≤ 140Z = 50.000X + 30.000Y

(0 , 0)

(70 , 0)

Óptimo (40 , 120)

(0 , 170) Z = 50.000(0) + 30.000(0)

Z = 50.000(70) + 30.000(0)

Z = 0

Z = 3´500.000

Z = 50.000(40) + 30.000(120)

Z = 5´600.000

Z = 50.000(0) + 30.000(170)

Z = 5´100.000

Cantidad de sillas

Cantidad de mesas