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Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 1
METODO SIMPLEX
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 2
Contenido EL MTODO SIMPLEX ................................................................................................... 3
Procedimiento del Mtodo Simplex para la Forma Matricial ......................................... 3 Ejemplo: .......................................................................................................................... 5 Formato general de la tabla para el Mtodo Simplex ..................................................... 9
Ejemplo: ...................................................................................................................... 9 Forma tabular del libro de Mokthar Bazara .................................................................. 11 Identificar B inversa en la tabla optima. ..................................................................... 11
MTODO DE LA M ..................................................................................................... 13 Ejemplo: ........................................................................................................................ 14
MTODO DE LAS DOS FASES .................................................................................... 16 Ejemplo: ........................................................................................................................ 17
DEGENERACIN ........................................................................................................... 20 Ejemplo: ........................................................................................................................ 20
CICLAJE .......................................................................................................................... 21 Ejemplo: ........................................................................................................................ 22
METODO LEXICOGRAFICO ........................................................................................ 24 Ejemplo: ........................................................................................................................ 24
SOLUCIN ILIMITADA ................................................................................................ 26 Ejemplo: ........................................................................................................................ 26
SOLUCIN MLTIPLE ................................................................................................. 26 Ejemplo: ........................................................................................................................ 26
CONVERSIN DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIN A UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIN ............................................................................................................ 28 PROCEDIMIENTO SIMPLEX REVISADO .................................................................. 29
Ejemplo 1: ..................................................................................................................... 30 Ejemplo 2: ..................................................................................................................... 32 Ejemplo 3: ..................................................................................................................... 34
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TEORA DEL MTODO SIMPLEX EL MTODO SIMPLEX Es un procedimiento general para encontrar la solucin ptima a problemas de Programacin Lineal. Este mtodo logra la solucin ptima en un nmero finito de pasos, la demostracin de esto es lo que se pretende realizar. Para el desarrollo de ste mtodo son necesarias algunas definiciones: Solucin: Cualquier conjunto de variables jx que satisfacen las restricciones del problema ( bAx = ). Solucin factible: Cualquier solucin que satisface la no-negatividad de las restricciones ( 0jx ). Solucin bsica: En un sistema de m ecuaciones lineales con n variables bAx = ( nm < ) cuyo rango mAR =)( ; una solucin es obtenida haciendo mn - variables igual a cero y resolviendo para las m variables restantes, siempre y cuando el determinante de los coeficientes de estas m variables no seas cero. Las m variables se llaman variables bsicas (la solucin resultante a este sistema, se le llama solucin bsica). Solucin bsica factible: Es una solucin bsica en la cual todas las m variables bsicas son mayores o iguales que cero ( 0jx ). Degeneracin: Una solucin bsica bAx = es degenerada si una o ms variables bsicas son iguales a cero (ms de mn - variables iguales a cero). Procedimiento del Mtodo Simplex para la Forma Matricial Primero Partiendo de un problema de Programacin Lineal que se encuentra en la forma estndar, se determinan las matrices A, b, B, Cj, CB, y XB Donde: A es la matriz de coeficientes de las variables en las restricciones b es el lado derecho de las restricciones (limitaciones ) B es la matriz que proporciona la Solucin Inicial Bsica Factible y esta formada por las columnas de las variables bsicas, es decir aquellas que estn en solucin. Cj son los coeficientes de las variables en la funcin objetivo CB son los coeficientes de las variables bsicas en la Funcin Objetivo. XB son los valores de las variables bsicas que dan la solucin al problema. Segundo Se obtiene B Inversa ( B-1 ). Ya sea por el Mtodo de Cofactores o por el Mtodo de
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Gauss-Jordan Tercero Se obtiene XB, donde
bBX B1-= BB XCZ =
Cuarto Determinar la variable que entra en la base de solucin Se obtienen los Zj-Cj para las variables No-bsicas donde
jBj YCZ = y jj aBY-
-= 1 Las Yj de las variables bsicas forman las columnas de la matriz identidad y las Zj-Cj de las variables bsicas son cero. Las Yj son las columnas actualizadas a las transformaciones de rengln de la matriz A para generar la columna de la matriz identidad que aporta la columna de la variable que entra en solucin. Para un problema de Maximizacin Entra la variable que tenga el ms negativo Zj-Cj y se alcanza la solucin ptima cuando todos los valores sean positivos en el anlisis de Zj-Cj Para un problema de Minimizacin Entra la variable que tenga el ms positivo Zj-Cj y se alcanza la solucin ptima cuando todos los valores sean negativos en el anlisis de Zj-Cj Cj-Zj es el beneficio que se tendr en Z por cada unidad de valor que tenga la variable que entra en solucin (Xr) Quinto Determinar la variable que sale de solucin Se analiza cada columna de las variables No-bsicas junto con el valor de las variables bsicas XB. Sale de solucin aquella variable que tenga el
>=
> 0,.....,,0,
2
2
1
1ir
r
B
r
Bir
ir
Bi YdondeY
X
Y
XMinYdonde
Y
XMin ,
donde r corresponde a la columna de la variable que entra en la solucin Sexto La columna de la variable que entra en solucin deber aportar la columna de la matriz identidad.
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En la matriz B la columna de la variable que tuvo el
ir
Bi
Y
XMin abandona la base de
solucin y entra en su lugar la columna de la variable r. Sptimo Regresar al paso 2, hasta que se cumpla el criterio de optimizacin, considerado en el paso 4. Ejemplo:
0,
1025
1553
:a sujeto ,35Max
cannica Forma
21
21
21
21
++
+=
xx
xx
xx
xxZ
holgura de lesson variab ,y 0,,
1025
1553
:a sujeto ,35Max
estndar Forma
434321
421
321
21
xxxxxx
xxx
xxx
xxZ
=++=++
+=
[ ]0035=jC que las columnas de 3a y 4a forman las Dado
columnas de la matriz identidad ( 3x y 4x son variables bsicas), hacemos que:
31 ab = y 42 ab =
=
10
01B
=-
10
011B
0 10
15
10
15
10
0121
24
131 ====
=
== - xx
xx
xxbBx
B
B
B
El valor de la funcin objetivo Z es:
[ ] 010
1500 =
== BBxCZ
Analizando la variable que entra en solucin:
=
10
15b
=
1025
0153A
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21
11
11
1 5
3
5
3
10
01
y
yaBy
=
== -
22
12
21
2 2
5
2
5
10
01
y
yaBy
=
== -
[ ] 05
30011 =
== yCz B [ ] 02
50022 =
== yCz B
0 0, rjrj
Bi yy
xMin 1 2
1 2
, , 0B B rjj j
x xy
y y
> =
Min21
4
510
510
,3
15y
x
=
Ser el valor de la variable entrante en la solucin en la tabla siguiente, por lo que 4x sale de solucin. (Donde r es la fila en cuestin y j corresponde a la variable que entra en solucin.) y el prximo valor Z ( Z mejorada) ser:
10)05(5
100)( 11
21
4 =-+=-+= zcy
xZZ
el jj zc - es una razn de cambio, por cada unidad que tenga la variable entrante a la solucin, la funcin objetivo se ver mejorada en jj zc - unidades. ahora si 31 ab = y 12 ab = tenemos:
=
50
31B
-=-
510
5311B
0 2
9
10
15
510
53142
21
131 ====
=
-== - xx
xx
xxbBx
B
B
B
El valor de la funcin objetivo Z es:
( ) 102
950 =
== BBxCZ
Analizando la variable que entra en solucin:
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22
12
21
2 52
519
2
5
510
531
y
yaBy
=
-== -
24
14
41
4 51
53
1
0
510
531
y
yaBy
-=
-== -
[ ] 252
5195022 =
== ycz B , [ ] 151
535044 =
-== ycz B
13222 -=-=- cz , 10144 =-=- cz se toma nuevamente aquella variable que tenga el jj cz - ms negativo, correspondiendo a 2x salir de solucin. Se analiza ahora la variable que abandonar la solucin;
=rj
Br
y
xMin
12
3
5199
0,52
2,
5199
y
xyij
=
>
por lo que 3x sale de solucin. y el prximo valor de Z ( Z mejorada) ser:
22 2
12
235 ( ) 10 45 19(3 2)19
xZ Z c z
y= + - = + - =
Nuevamente continuando con este proceso iterativo, ahora haciendo 21 ab = y 12 ab = , tenemos:
=
52
35B y
-
-=-
195192
1931951B
0 ,1920
1945
10
15
195192
19319543
21
121 ====
=
-
-== - xx
xx
xxbBx
B
BB
Ahora el valor de la funcin objetivo es:
( ) 19/23519/29
19/4553 =
== BB xCZ
Analizando la variable que entra en solucin:
23
13
31
3 192
195
0
1
195192
193195
y
yaBy
-
=
-
-== -
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24
14
41
4 195
193
1
0
195192
193195
y
yaBy
-=
-
-== -
[ ] 19519101915192
1955333 =-=
-
== yCz B
[ ] 19161925199195
1935344 =+-=
-== yCz B
195019533 =-=- cz 19160191644 =-=- cz encontramos que como todos los valores de jj cz - son mayores que cero, entonces ninguna otra variable entrar en solucin ya que sta es ptima. As la solucin ptima ser:
[ ] 192351920
194553 =
== BB xCZ
por lo que 2x y 1x son variables bsicas
=
1920
1945Bx , ya que con estos valores la
funcin objetivo es ptima ( *2 3 51 9
Z = ).
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Formato general de la tabla para el Mtodo Simplex
jc 1c 2c 3c L nc
BC BX b 1x 2x 3x L nx rjBr yx | | | |
1a 2a 3a L na
| | | |
*Z jz
jj cz -
=BX Vector que representa la Solucin Bsica Factible. =BC Vector formado por los componentes de C correspondientes a la Solucin Bsica
Factible. =jc Vector de costos (coeficientes de las jx en la Funcin Objetivo).
BBj XCz =
jBBjj cXCcz -=- =rjy Componente del vector que va a formar parte de la nueva Solucin Bsica
Factible. =b Valor de las variables bsicas (en solucin). =*Z Valor actual de la Funcin Objetivo.
Ejemplo: Resolviendo el ejemplo anterior por la forma tabular, tenemos;
0,
1025
1553
:a sujeto ,35Max
21
21
21
21
++
+
xx
xx
xx
xx
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Tabla 1 (Tabla Inicial)
solucinen Entra
00350
0000
solucin de Sale 5101025100
3150153150
0035
1
*44
3
4321
x
cz
zZ
xx
x
ybxxxxbXC
c
jj
j
rjBB
j
-
---
Tabla 2
solucinen Entra
101010
1025
5151052125
solucin de Sale 1945531519090
0035
2
*1
33
4321
x
cz
zZ
x
xx
ybxxxxbXC
c
jj
j
rjBB
j
-
--
-
Tabla 3 (Tabla Final)
jj
j
rjBB
j
cz
zZ
x
x
ybxxxxbXC
c
-
--
19161950019235
191619500
1951920119205
1931951019453
0035
*1
2
4321
como todos los jj cz - son 0 la solucin es ptima.
03 =x , 19452 =x , 19201 =x y 19235* =Z
En resumen, se observa que:
1. En la fila zj-cj las posiciones que corresponden a las variables bsicas tienen valor cero
2. Las columnas de las variables bsicas forman la matriz identidad
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Forma tabular del libro de Mokthar Bazara
Z 1x 2x 3x 4x 5x (L.D.)
jj cz - 1 -5 -3 0 0 0 Fila de jj cz -
3x 0 3 5 1 0 15
4x 0 5 2 0 1 10 Interpretacin de la tabla del simplex
Z BX nX b
Z 1 0 NB CNBC -
-1 bBCB1-
BX 0 1 NB1- bB 1-
bBNXBX
bBCZ
XX
bNXBX
XCXCZ
Z
NB
B
NB
NB
NNBB
11
1
y
:desde
0,
0
:a sujeto Min
--
-
=+
=
=+
=--
Identificar B inversa en la tabla optima. En la tabla final (ptima) para calcular las columnas que forman la 1-B ( B inversa) estas correspondern a las columnas de las variables que en la tabla inicial aportarn las columnas para formar la matriz identidad. En el caso del problema usado como ejemplo
=
52
35
12
B
xx
-
-=-
195192
193195
1
43
B
xx
Otro ejemplo en el que se tengan en solucin las siguientes variables, obtenemos su inversa.
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Inicio
Leer el Problema Determinar si es un problema de Maximizacin o de Minimizacin
Aadir las Variables de Holgura y/o Artificiales para presentar el problema en la Forma Estndar
Escribir la Funcin Objetivo correspondiente Crear la tabla del Simplex correspondiente
Proceso de Solucin de un Problema de Programacin Lineal por el Mtodo Simplex
Problema de: Maximizacin; Son todos los valores de Zj-Cj 0 ? Minimizacin; Son todos los valores de Zj-Cj 0 ?
Solucin Optima Maximizacin: Cuando todos los valores de Zj-Cj 0. Minimizacin: Cuando Todos los valores de Zj-Cj 0. Obtener de la tabla los valores de las variables y de la funcin objetivo Z.
Determinar la variable que entra en solucin: Para un problema de : Maximizacin; Entra la variable que en la fila de Zj-Cj tenga el valor mas negativo. Minimizacin; Entra la variable que en la fila de Zj-Cj tenga el valor mas positivo. Determinar la variable que sale de solucin: Divida cada elemento del rengln de b entre el elemento correspondiente (mayor que cero) del rengln de la variable que entra en solucin; y abandonara la solucin aquella variable en XB que corresponda al cociente menor. Establezca como elemento pivote aqul que se encuentre en el cruce del rengln de la variable entrante y la columna de la variable saliente. Genere en esta posicin la unidad y ceros en los elementos restantes de la columna de la variable entrante ( en este proceso de Gauss-Jordan se actualiza la tabla).
Si No
Continuar el proceso
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MTODO DE LA M Este mtodo es utilizado cuando existe la necesidad de introducir variables artificiales (xa s) con el objeto de generar una solucin bsica factible. Aplicando el Mtodo Simplex para su solucin, la funcin objetivo Z se ve alterada, ya que la contribucin de las variables artificiales (coeficientes de las variables artificiales) es: - M para un problema de maximizacin. + M para un problema de minimizacin. Donde M es un valor muy grande (mucho mayor que cualquier coeficiente de las variables en la funcin objetivo) por ejemplo: M >>> 0. Como las variables artificiales no tienen ningn significado en el problema. Son definidas como un artificio (ya que es una conveniencia matemtica para lograr la matriz identidad y as una solucin inicial bsica factible), y por lo cual ninguna variable artificial deber formar parte de una solucin bsica factible. Para eliminar las variables artificiales de la solucin, se les asigna en la funcin objetivo original coeficientes, tales que haga su presencia no atractiva en la base. Para ilustrar esto, suponga que deseamos resolver el siguiente problema de Programacin Lineal, donde b 0. Maximice CX Sujeto a: Ax = b x 0. Si una conveniente base no es conocida, se introduce un vector artificial xa, lo que conduce al siguiente sistema: Ax + Xa = b x, Xa 0 La solucin inicial bsica factible est dada por xa = b y x = 0. Para mostrar que se desea tener un vector artificial mayor que cero, la funcin objetivo es modificada de la forma que una penalizacin alta es pagada para cualquier solucin. Minimice CX + MXa. Sujeto a: Ax + Xa = b x, Xa 0 El mtodo simplex por s mismo, trata de eliminar las variables artificiales de la base, y entonces continua tratando de encontrar la solucin optima a el problema original.
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Ejemplo: Minimizar Z = x1 - 2x2 Sujeto a: x1 + x2 2 -x1 + x2 1 x2 3 x1 y x2 0 transformando a la forma estndar tenemos : Minimizar Z = x1 - 2x2 - 0x3 - 0x4 + 0x5 + Mx6 + Mx7 Sujeto a: x1 + x2 - x3 +x6 = 2 -x1 + x2 -x4 +x7 =1 x2 +x5 = 3 donde : Xh son variables de holgura. Xa Son variables artificiales. M es un nmero positivo muy grande. Tabla 1
Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 M X6 2 1 1 -1 0 0 1 0 M X7 1 -1 1 0 -1 0 0 1 0 X5 3 0 1 0 0 1 0 0 0 2M -M -M 0 M M Z= 3M -1 2+2M -M -M 0 0 0
Tabla 2
Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 M X6 1 2 0 -1 1 0 1 -1 -2 X2 1 -1 1 0 -1 0 0 1 0 X5 2 1 0 0 1 1 0 -1 2M+2 -2 -M M+2 0 M -2-M Z= -2+M 1+2M 0 -M M+2 0 0 -2-2M
Sale X7 de solucin
Sale X6 de solucin
Entra X2 en solucin
Entra X1 en solucin
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Tabla 3 Cj 1 -2 0 0 0 M M
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 1 X1 1/2 1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2 -2 X2 3/2 0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2 0 X5 3/2 0 0 1/2 1/2 1 -1/2 3/2 1 -2 1/2 5/2 0 -1/2 -3/2 Z= -5/2 0 0 1/2 5/2 0 -1/2-M -3/2-M
Tabla 4
Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X4 1 2 2 -1 1 0 1 -1 -2 X2 2 1 1 -1 0 0 1 0 0 X5 1 -1 -1 1 0 1 -1 0 -2 -2 2 0 0 -2 0 Z= -4 -3 0 2 0 0 -2-M -M
Tabla 5
Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X4 2 1 0 0 1 1 0 -1 -2 X2 3 0 1 0 0 1 0 0 0 X3 1 -1 0 1 0 1 -1 0 0 -2 0 0 -2 0 0 Z= -6 -1 0 0 0 -2 -M -M
Como todos los zj-cj son 0 para todas las variables no-bsicas. Esta tabla nos indica que esta solucin es ptima. Teniendo el resultado siguiente x4 = 2, x2 = 3, x3 = 1 y las variables restantes son iguales a cero. Con un valor optimo de la funcin objetivo Z de -6.
Sale X1 de solucin
Sale X5 de solucin
Entra X4 en solucin
Entra X3 en solucin
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MTODO DE LAS DOS FASES El problema del ejemplo anterior fue manejado en la forma regular despus de que las variables artificiales haban sido aadidas. Existe una complicacin en el mtodo de la M, en el cual se debe asignar un valor M sin especificar exactamente qu valor es. Si un valor numrico especfico fuera asignado a la M, este deber ser mucho mayor que cualquier otro nmero que aparece en la funcin objetivo y probablemente no satisfaga todas las condiciones. Su propsito sera el de proveer una penalizacin para eliminar las variables artificiales de la base, ya que ellas realmente no pueden formar parte de la solucin en un problema de la vida real. Un enfoque para evitar estas dificultades est incorporado o considerado en el mtodo de dos fases. La primera fase consiste en convertir todas las variables artificiales en cero, para obtener una solucin bsica factible para las variables reales del problema. La segunda fase consiste en optimizar la funcin objetivo actual Z, iniciando de una solucin bsica factible que puede o no contener variables artificiales a nivel cero. FASE I Se inicia con una solucin bsica factible formada con algunas variables artificiales y con la finalidad de eliminar las variables artificiales. Se asigna a cada coeficiente de la variable artificial en la funcin objetivo un valor de la unidad (positiva o negativa, dependiendo de si es un problema de Minimizacin o de Maximizacin respectivamente) en lugar del valor M. A todas las variables restantes se les asigna un coeficiente cero (sin importar los coeficientes actuales del problema). Entonces en lugar de considerar la funcin objetivo actual. Se optimiza la funcin: Z = is =1( 1) XAi = (XA1 XA2 XA3......XAs) donde XA son las s variables artificiales (XA 0) La fase I termina despus de haber aplicado el Mtodo Simplex, cuando: 1).- Z* = 0 Una o ms variables estn en la base a un nivel positivo. El problema original tiene una solucin no factible. 2).- Z* = 0 Ninguna variable artificial est en la base. Se ha encontrado una solucin bsica factible al problema original. 3).- Z* 0 Una o ms variables artificiales estn en la base a un nivel cero (es decir que la b correspondiente a la variable artificial es igual a cero).
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Se ha encontrado una solucin factible al problema original. Debido a que algunas variables artificiales estn en la base a un nivel cero, posiblemente haya redundancia en las ecuaciones restrictivas. La fase I termina cuando los elementos zj - cj son 0 para un problema de Maximizacin y para un problema de Minimizacin. ANTES DE INICIAR LA FASE II a) Elimine todas las columnas correspondientes a las variables artificiales no bsicas. b) Cheque redundancia (ecuaciones redundantes) en el problema original. El sistema de
ecuaciones original es Ax = b. Si una restriccin (ecuacin) puede ser obtenida como una combinacin lineal de las otras, la restriccin es redundante. Para localizar la existencia de ecuaciones redundantes observe en la tabla final de la fase I (despus de haber eliminado las columnas correspondientes a las variables artificiales no bsicas) si existe alguna fila cuyos elementos sean todos cero a excepcin de un elemento 1 que corresponda a la columna de una variable artificial bsica, entonces esto indicar que la fila es redundante, por lo tanto elimine la fila y la columna.
c) Elimine las variables artificiales en la base, en la tabla final de la fase I, estas variables estarn representadas por columnas que tienen elementos cero a excepcin de un uno en la fila donde b=0. Seleccione uno de los elementos diferentes de cero en esta fila (debe de existir alguno, de otra forma esta fila se hubiera eliminado en el paso b). Este elemento eljalo como pivote, transformando su columna correspondiente a tener el elemento 1 en el pivote, y cero en el resto de la columna (es decir, se genera en esa columna el vector necesario para eliminar la variable artificial de la solucin.)
FASE II La primera tabla de la fase II, es la ltima tabla de la fase I, sufriendo los siguientes cambios; se reemplazan los coeficientes de la funcin objetivo por los coeficientes originales de las variables reales y despus se calculan las filas zj y zj-cj. Una vez que se han realizado estos cambios, se aplica el Mtodo Simplex nuevamente para optimizar la funcin objetivo Z. Ejemplo: Minimizar Z = -X1 Sujeto a: X1 + X2 - X3 + X4 - X5 +2X6 = 2 2X1 - X2 - X3 - 2X4 + X5 - X6 = 3 3X1 - 2X3 - X4 +X6 = 5 X1, X2, X3, X4, X5, X6 0 Expresndolo en la forma estndar, tenemos:
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Minimizar Z = -X1 Sujeto a: X1 + X2 - X3 + X4 - X5 +2X6 +X7 = 2 2X1 - X2 - X3 - 2X4 + X5 - X6 + X8 = 3 3X1 - 2X3 - X4 +X6 + X9 = 5 Xs 0, para toda X. Donde X7, X8 Y X9 son variables artificiales.
FASE I Tabla 1
Cj 0 0 0 0 0 0 1 1 1 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 1 X7 2 1 1 -1 1 -1 2 1 0 0 1 X8 3 2 -1 -1 -2 1 -1 0 1 0 1 X9 5 3 0 -2 -1 0 1 0 0 1 6 0 -4 -2 0 2 1 1 1 Zj Z= 6 0 -4 -2 0 2 0 0 0 Zj-Cj
Tabla 2
Cj 0 0 0 0 0 0 1 1 1 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 1 X7 .5 0 1.5 -.5 2 -1.5 2.5 1 -.5 0 0 X1 1.5 1 -.5 -.5 -1 .5 -.5 0 .5 0 1 X9 .5 0 1.5 -.5 2 -1.5 2.5 0 -1.5 1 0 3 -1 4 -3 5 1 -2 1 Zj Z= 0 3 -1 4 -3 5 0 -3 0 Zj-Cj
Tabla 3
Cj 1 -2 0 0 0 0 1 1 1 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 0 X6 .2 0 .6 -.2 .8 -.6 1 .4 -.2 0 0 X1 1.6 1 -.2 -.6 -.6 .2 0 .2 .4 0 1 X9 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 Zj Z= 0 0 0 0 0 0 0 -2 -2 0 Zj-Cj
Como todos los elementos en Zj-Cj son 0, la fase I esta terminada. El valor mnimo de la fase I es cero y por esto el problema es factible. Una solucin factible para el problema original es (1.6, 0, 0, 0, 0, .2). Para establecer la tabla de la fase II; elimine las columnas 7
Sale X8 de solucin
Sale X7 de solucin
Entra X1 en solucin
Entra X6 en solucin
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 19
y 8, asigne los coeficientes originales en la funcin objetivo y calcule las entradas de la fila Zj-Cj (en la variable artificial cero).
Cj -1 0 0 0 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X9 0 X6 .2 0 .6 -.2 .8 -.6 1 0 -1 X1 1.6 1 -.2 -.6 -.6 .2 0 0 0 X9 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 .2 .6 .6 -.2 0 0 Zj Z= 0 0 .2 .6 .6 -.2 0 0 Zj-Cj
Como todos los elementos en la tercera fila son cero, excepto por un 1 que representa la variable artificial X9, la fila es eliminada por ser redundante. Cheque en el problema original y encontrar que la tercera ecuacin es la suma de las dos primeras ecuaciones. Se elimina la fila 3 y la columna 7 (X9).
Cj -1 0 0 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 X6 .2 0 .6 -.2 .8 -.6 1 -1 X1 1.6 1 -.2 -.6 -.6 .2 0 -1 .2 .6 .6 -.2 0 Zj Z= 0 0 .2 .6 .6 -.2 0 Zj-Cj
Fin FASE I, principio de la FASE II FASE II
Cj -1 0 0 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 X4 .25 0 .75 -.25 1 -.75 1.25 -1 X1 1.75 1 -.25 -.75 0 .25 -.75 -1 -.25 .75 0 .25 -.75 Zj Z= 1.75 0 -.25 .75 0 .25 -.75 Zj-Cj
La columna muestra que el problema es ilimitado (los elementos en la columna correspondiente a la variable entrante son 0, yrj 0), por tanto la solucin es ilimitada (Z = -a ).
Entra X3 en solucin
Sale X6 de solucin
Entra X4 en solucin
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
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i
DEGENERACIN Una solucin bsica a Ax = b es degenerada si una o ms de las variables bsicas son cero ( si alguna XB = 0). Una solucin bsica factible representa a b como una combinacin lineal de m columnas de A. Cualquier base que incluya alguna columna de A que sea dependiente de la columna de b determinar una solucin degenerada. Para saber en la tabla si existe degeneracin, es suficiente con observar en la columna de b y saber si existe uno o ms elementos iguales a cero. Cuando la degeneracin se presenta, el proceso de seleccin de la variable saliente, en la mnima razn XBr/Yrk puede no ser nica. Vector saliente de la base:
, 0BiBr i ikrk ik
xxy
y y
=
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 21
Tabla 1 Cj 0 1 0 0 -M
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 -M X5 1 1 1 -1 0 1 0 X4 1 1/3 1 0 1 0 -M -M M 0 -M Zj Z= -M M M+1 -M 0 0 Cj-Zj
Tabla 2
Cj 0 1 0 0 -M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 1 X2 1 1 1 -1 0 1 0 X4 0 -2/3 0 1 1 -1 1 1 -1 0 1 Zj Z= 1 -1 0 1 0 -1-M Cj-Zj
Tabla 3
Cj 0 1 0 0 -M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 1 X5 1 1/3 1 0 1 0 0 X4 0 -2/3 0 1 1 -1 1/3 1 0 1 0 Zj
Z= 1 -1/3 0 0 -1 -M Cj-Zj La solucin ptima es degenerada, ya que en XB hay una variable a nivel cero. Tenindose que x2 = 1, x3 = 0 y Z* = 1. CICLAJE Cuando la degeneracin se presenta, la funcin objetivo puede no cambiar cuando hay un cambio de una solucin bsica factible a otra. Entonces no se puede estar seguro que una base no se repita. En efecto, se puede caer en la situacin en la cual se ciclaje el problema, repitindose las mismas secuencias de bases solucin, y nunca alcanzar la solucin optima.
Sale X5 de solucin
Sale X4 de solucin
Entra X2 en solucin
Entra X3 en solucin
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Ejemplo: Minimizar Z = -2X4 -3X5 + X6 +12X7 Sujeto a : X1 - 2X4 - 9X5 + X6 + 9X7 = 0 X2 +1/3X4 + X5 - 1/3X6 - 2X7 = 0 X3 + 2X4 + 3X5 - X6 - 12X7 = 2 Xs 0, para toda X. Tabla 1
Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X1 0 1 0 0 -2 -9 1 9 0 X2 0 0 1 0 1/3 1 -1/3 -2 0 X3 2 0 0 1 2 3 -1 -12 0 0 0 0 0 0 0 Z= 0 0 0 0 2 3 -1 -12
Tabla 2
Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X1 0 1 9 0 1 0 -2 -9 -3 X5 0 0 1 0 1/3 1 -1/3 -2 0 X3 2 0 -3 1 1 0 0 6 0 -3 -3 1 -3 1 6 Z= 0 0 -3 0 1 0 0 -6
Tabla 3
Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -2 X4 0 1 9 0 1 0 -2 -9 -3 X5 0 -1/3 -2 0 0 1 1/3 2 0 X3 2 -1 -12 1 0 0 3 15 -1 -12 0 -2 -3 3 15 Z= 0 -1 -12 0 0 0 2 3
Sale X2 de solucin
Sale X1 de solucin
Sale X5 de solucin
Entra X5 en solucin
Entra X4 en solucin
Entra X7 en solucin
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Tabla 4 Cj 0 0 0 -2 -3 1 12
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -2 X4 0 -2 -2 0 1 9 1 0 12 X7 0 -1/3 -2 0 0 1 1/3 1 0 X3 2 0 -6 1 -2 -3 1 12 0 -6 0 -2 -3 2 12 Z= 0 0 -6 0 0 -3 1 0
Tabla 5
Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -2 X6 0 -2 9 0 1 9 1 0 12 X7 0 1/3 1 0 -1/3 -2 0 1 0 X3 2 2 3 1 -1 -12 0 0 2 3 0 -3 -15 1 12 Z= 0 2 3 0 -1 -12 0 0
Tabla 6
Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 1 X6 0 1 0 0 -2 -9 1 0 0 X2 0 1/3 1 0 -1/3 -2 0 1 0 X3 2 1 0 1 -6 0 -3 1 0 0 -2 -9 1 0 Z= 0 1 0 0 1 -6 0 -12
Como X1 entra a la base, la nueva base estar formada por (X1, X2, X3), la cual ya fue obtenida en la tabla 1, tenindose como resultado que el problema se ha ciclado.
Sale X4 de solucin
Sale X7 de solucin
Sale X6 de solucin
Entra X6 en solucin
Entra X2 en solucin
Entra X1 en solucin
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METODO LEXICOGRAFICO
El problema de ciclaje puede ser resuelto utilizando una regla que rompa los empates en ( Brx / rjy ) para determinar la variable que abandona la solucin. Esta regla es denominada lexicogrfica y su procedimiento es el siguiente: Si cuando se realiza la prueba para determinar el vector correspondiente a la variable que sale de la base de solucin, se tiene un empate, divida cada fila potencial (en empate) entre su similar en fila de la columna pivote.
tjtntjttjt
kjknkjkkjk
ijinijiiji
tjBttntjtt
kjBkknkjkk
ijBiinijii
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
yxaaaa
yxaaaa
yxaaaa
LLLLLL
LLLLLL
1
1
1
*
21
21
21
21
21
21
La columna sealada con * es la columna pivote (corresponde a la variable que entra en solucin). Como las filas son linealmente independientes ningn par de filas divididas son idnticas. Encuentre la primera columna donde se rompa el empate. Ignorar todas las filas que no tengan el valor ms bajo. Si nicamente una fila queda, esta ser la fila pivote, si quedan ms pruebe en las columnas adicionales. Ejemplo: Trabjese el ejemplo de ciclaje cubierto previamente y prtase de las tablas 2
1 2 3 4 5 6 7
1
5
3
0 0 0 2 3 1 12
0 0 1 9 0 1 0 2 9 0 1
3 0 0 1 0 1 3 1 1 3 2 0 1 3
0 2 0 3 2 1 0 0 6 2 1
0 3 0 1 3 1 6
0 0 3 0 1 0 0 6
j
B B Br rj
j
j j
c
c x b x x x x x x x x y
x
x
x
Z z
z c
- -
- -- - -
-- -- - -
Entra en Solucin X7
Existe un empate entre estas 2 filas por lo que se debern analizar con el mtodo lexicogrfico para determinar la variable que deber abandonar la solucin.
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fila segunda312131
11310
311
310
fila primera19121011019117654321
----
xxxxxxx
Analizando de izquierda a derecha encontramos que en la primera columna se rompe el empate ya que la fila 2 es menor que la fila 1 (0 es menor que 1), por lo que sale de solucin 5x .
jj
j
rjBrBB
j
cz
zZ
x
x
x
yxxxxxxxxbxc
c
--------
---------
--
01300600
12262060
12013016020
613103002
311106100
12132000
3
4
1
7654321
jj
j
rjBrBB
j
cz
zZ
x
x
x
yxxxxxxxxbxc
c
------
-----------
--
00001000
12132100
12013016021
600113022
304010120
12132000
6
4
1
7654321
Como todos los elementos en la fila jj cz - son menores o iguales que cero la solucin es ptima. Observe que en la fila jj cz - existen 6 elementos iguales que cero,
por lo que existir una solucin mltiple. ( 3=m Si existen ms de m elementos en la fila jj cz - iguales que cero, existe una solucin bsica factible mltiple). Es decir que cualquiera de las variables no-bsicas que tienen un valor cero en la fila jj cz - puede entrar a formar parte de la solucin y el valor de la funcin objetivo Z no cambiar.
Entra 6x en solucin Sale de solucin 3x
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
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SOLUCIN ILIMITADA Esta ocurre cuando el espacio de soluciones factibles no est acotado y la funcin a optimizar puede mejorar indefinidamente. Esta situacin se refleja en que todos los elementos en la columna correspondiente a la variable elegida a entrar en la solucin (menor vector Zj - Cj 0, para un problema de Maximizacin) son no positivos (yrj 0). Ejemplo: Max Z=X1-X2+X3 Sujeto a: X1 + X2 + 2X3 4 X1 - 2X2 + X3 2 Xs 0 F.O. Max Z=X1-X2+X3 X1 + X2 + 2X3 - X4 = 4 X1 - 2X2 + X3 + X5 = 2 Xs 0 En cierta tabla encontramos qu
La Y4
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
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Max Z = 40 X1 + 1000 X2 Sujeto a: 10 X1 + 5 X2 + X3 250 4 X1 + 10 X2 + X4 200 2 X1 + 3 X2 + X5 900 X1, X2 0 X3, X4, X5 Variables de holgura
Entra en solucin x2 y sale x4
Como todos los valores Xbr son 0 se tiene la solucin optima Z* = 2000 X3* = 150 X2* = 20 X5* = 80 Como Z1 C1 =0 y corresponde a una variable no bsica, entonces existe una solucin optima mltiple. Esto significa que puede entrar X1 en solucin y el valor de la funcin objetivo Z
* no cambia
Cj 40 100 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 0 X3 250 10 5 1 0 0 50 0 X4 200 4 10 0 1 0 20 0 X5 900 2 3 0 0 1 300 0 0 0 0 0 Zj -4 -100 0 0 0 Zj-Cj
Cj 40 100 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 0 X3 150 8 0 1 -1/2 0 150/8
100 X2 20 2/5 1 0 1/10 0 50 0 X5 840 4/5 0 0 -3/10 1 1050 40 100 0 10 0 Zj 0 0 0 10 0 Zj-Cj
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 28
Solucin ptima Z* = 2000 X1* = 150/8 X2* = 50/4 X5* = 1650/2 CONVERSIN DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIN A UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIN Sea f una serie de puntos en la regin de soluciones bsicas factibles, eljase una tal que: Min f = f*, entonces f* f y si pasamos f al lado izquierdo tenemos : f* - f 0 y multiplicando a la expresin por -1 -f* -(-f) 0, -f* f, adems - f -f* de esto obtenemos que : Max (-f) = -f*, por lo tanto sustituyendo en 1 tenemos: Max (-f) = - Min f.
Cj 40 100 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 40 X3 150/8 1 0 1/8 -1/16 0 100 X2 50/4 0 1 -1/20 1/8 0
0 X5 650/2 0 0 1/50 -2/5 1 40 100 0 15/9 0 Zj 0 0 0 15/9 0 Zj-Cj
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 29
PROCEDIMIENTO SIMPLEX REVISADO
Este mtodo requiere una menor cantidad de clculos, ya que realiza clculos nicamente en los vectores de aquellas variables no-bsicas y registra en memoria lo relativo a las variables bsicas, 1-B , 1-BcB , Bx y BB xc (as como todos los valores iniciales cj, aij y b i).
Pasos: Determinar las variables bsicas y formar B. Obtener 1-B . Obtener jjjj cwacz -=- . Donde
1-= BcW B Si 0- jj cz para un problema de minimizacin o 0- jj cz para un problema de maximizacin la solucin es ptima y es el fin del proceso. Si esto no se cumple contine el proceso.
Determinar la variable que entra en solucin (sea esta kx ) usando WA-C para toda variable no-bsica ( jji caw - ).
Se analiza Bikj
xy
(para toda i) para determinar que la variable sale de solucin,
sea sta fx . Ahora actualice la columna ka para que sta aporte la columna de
la matriz identidad que aportaba la variable saliente fx . Regresar al principio del proceso, realizar los clculos necesarios para sacar de
la base a fx y meter a la misma kx (actualice la columna ka para que esta
aporte la columna de la matriz identidad que aportaba la variable saliente fx ). Procedimiento: Si BB XcZ = donde ABX B
1-= , entonces ABcZ B1-= equivale a jBj aBcz
1-= y
si 1-= BcW B entonces ahora CZCWA -=- equivale a jjjji czcaw -=- .
Base de la inversa
Lado derecho
1W=c BB- CBXB
B-1
XB
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 30
Tablas en el proceso
kx
W BB XC kk cz -
1-B
Bm
B
B
x
x
x
M2
1
mk
k
k
y
y
y
M2
1
Ejemplo 1:
Max 21 35 xxZ +=
Sujeto a:
0,
1025
1553
21
21
21
++
xx
xx
xx
As:
1 2 3 4
3 5 1 0
5 2 0 1
x x x x
A
=
[ ]0035 =C
=
10
15 b
Analizando para todas las variables no-bsicas:
[ ] [ ] [ ] 353525
5300
21
-=-
=-=- CWAcz
xx
jj
por lo que entra en solucin 1x .
Tabla 1
1y
0 0 0 5-
10
01
10
15
4
3
x
x
5
3
4 Sale x Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 4x ) se tiene:
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 31
1
3
2510
9531
1010
x
x-
Analizando para todas las variables no-bsicas:
[ ] [ ] [ ]
2 4
5 00 1 3 0 1 1
2 1j j
x x
z c WA C
- = - = - = -
por lo que entra en solucin 2x .
Tabla 2
1
3
2510
9531
1010
x
x-
2
3
1
19 5 Sale
2 5
y
x
-
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 3x ) se tiene:
1920195192
1945193195
192351916195
--
Analizando para todas las variables no-bsicas:
[ ] [ ] [ ] ,19161950010
011916195
43
=-
=-=- CWAcz
xx
jj
Como todos los valores son mayores que cero la solucin ptima se ha alcanzado.
Solucin ptima:
1945
1920
19325
2
1
===
x
x
Z
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 32
Ejemplo 2: Mtodo de la M
Min 21 23 xxZ +=
Sujeto a:
0,
3
634
33
21
21
21
21
+++
xx
xx
xx
xx
3
634
3 3
521
7421
6321
=++=+-+=+-+
xxx
xxxx
xxxx
76 y xx son variables artificiales
As:
=
0 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1- 0 3 4
0 1 0 0 1- 1 3
x 7654321
A
xxxxxx
[ ]MMC 00023=
=
3
6
3
b
Analizando para todas las variables no-bsicas:
[ ] [ ]
[ ] [ ][ ]MMMMCWAczcaBC
MMMMCWAczcaBC
MMCWAczcaBC
xxxx
jjjjB
jjjjB
jjjjB
----=-=-=-
---=-=-=-
-
=-=-=-
-
-
-
2437
002347
0023
0 0 1 1
1-0 3 4
0 1- 1 3
0
1
1
1
4321
Entra en solucin 1x por tener el valor ms positivo.
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 33
Tabla 1
1y
0MM M9 37 -M
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
6
3
5
7
6
x
x
x
1
4
3
6 Sale x
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 6x ) se tiene:
21031
20134
10031
320134
--
++- MMM
Analizando para todas las variables no bsicas:
[ ] [ ]
2 3 4 6
1
1
1 -1 0 1
4 3 1 0 4 0 -1 0 2 0 0
1 0 0 0
5 3 1 4 3
B j j j j
B j j j j
x x x x
C B a c z c WA C M M M
C B a c z c WA C M M
-
-
- = - = - = - + -
- = - = - = + -[ ] [ ][ ]1
1 4 3 2 0 0
5 3 1 4 3 1 4 3 1B j j j j
M M M
C B a c z c WA C M M M M-- - - -
- = - = - = - - - - + Entra en solucin 2x por tener el valor ms positivo.
Tabla 2 2y
21031
20134
10031
320134
--
++- MMM
5
7
1
x
x
x
32
35
31
135 -M
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 7x ) se tiene:
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 34
5
2
1
5615251
5605354
5305153
52105351
x
x
x
--
-
Analizando para todas las variables no-bsicas:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
3 4 6 7
1
1
1
-1 0 1 0
1 5 3 5 0 0 -1 0 1 0 0
0 0 0 0
1 5 3 5 1 5 3 5 0 0
B j j j j
B j j j j
B j
x x x x
C B a c z c WA C M M
C B a c z c WA C M M
C B a
-
-
-
- = - = - = -
- = - = - = - - -
- [ ] 1 5 3 5 1 5 3 5j j jc z c WA C M M= - = - = - - - -
Se ha alcanzado la solucin ptima por ser todos los valores negativos.
Solucin ptima:
1
2
5
21 5
3 5
6 5
6 5
Z
x
x
x
====
Ejemplo 3:
Mtodo de las 2 Fases
Max 4321 2 xxxxZ -+-= Sujeto a:
0,,,
2332
64
4321
4321
4321
-++-++
xxxx
xxxx
xxxx
233 2
6 4
764321
54321
=+--++=+-++
xxxxxx
xxxxx
0,,,,,, 7654321 xxxxxxx donde 65 y xx son variables de holgura y 7x es una variable artificial.
FASE I As:
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 35
=
1 1- 0 3- 3 1 2
0 0 1 1- 1 4 1
7654321
A
xxxxxxx [ ]1-000000=C
=
2
6b
Analizando para todas las variables no-bsicas:
[ ] [ ]
[ ]033-1-2-
1-00001 3- 3 1 2
0 1- 1 4 11-0
64321
=-=-
-
=-=-
CWAcz
CWAcz
xxxxx
jj
jj
Por lo que entra en solucin 3x .
Tabla 1
3y
0 1- -2 3-
10
01
2
6
7
5
x
x
3
1
7 Sale x
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 7x ) se tiene:
0 0 0
31
31
0
1 -
32
316
3
5
x
x
Analizando para todas las variables no-bsicas:
[ ] [ ] [ ]
1 2 4 6 7
1 4 -1 0 00 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
2 1 -3 -1 1j j
x x x x x
z c WA C
- = - = - - - =
Como todos los valores son iguales a cero se ha alcanzado el final de la Fase I. FASE II Ahora [ ]0 0 1-1 2-5=C y se recalcula la tabla con los valores verdaderos de las jc .
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 36
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
1 2 4 6
13
13 72 1 1 13 3 3 3 3 3
1 4 -1 00 5 -2 -1 0
2 1 -3 1
-1 5 -2 -1 0 0
j j
j j
x x x x
z c WA C
z c WA C -
- = - = -
- = - = - = -
Entra 1x en solucin por tener el valor ms negativo.
Tabla 2
1y
310 32 313
31
31
0
1 -
32
316
3
5
x
x
32
31
3 Sale x
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 3x ) se tiene:
250 - 5
21
21
0
1 -
1
5
1
5
x
x
Analizando para todas las variables no-bsicas:
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]252132132125215-215252
5
6432
0 1-2-5
0 1-1 2-1 3-3 1
0 1- 1 40
----
-
=-=-=-
-
=-=-
CWAcz
CWAcz
xxxx
jj
jj
Entra 4x en solucin por tener el valor ms negativo.
4y
2/50 5 13-
2
21
21
0
1 -
1
5
1
5
x
x
23
21
- 5
Sale x
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 5x ) se tiene:
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 37
413 - 70
13
12
--
16
10
1
4
x
x
Analizando para todas las variables no-bsicas:
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]403430 1-2-541-148
0 1-1 2-1- 3-3 1
0 1- 1 4413
6432
=-=-=-
-
-=-=-
CWAcz
CWAcz
xxxx
jj
jj
Como todos los valores son mayores que cero la solucin ptima se ha alcanzado.
Solucin ptima:
16
10
70
1*
4*
*
===
x
x
Z
Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I
M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 38
Cmo calcular la reduccin de costos de las variables bsicas? z -c Waj j j jc= - donde j corresponde a las variables no-bsicas Cmo calcular la columna de yj asociada a la variable xj que entra en solucin?
1y =B a k k-
Cmo actualizar 1B , W, c ,x B
-B ?
a) Seleccione la variable entrante xk
b) Seleccione la variable saliente xr , },, ,
min , > 0 Bir i kr k i k
xxy
y y
=
c) Agregue la columna de xk
kx W BB XC kk cz -
1-B
Bm
B
B
x
x
x
M2
1
mk
k
k
y
y
y
M2
1
d) Pivotee en yr,k
kx Nueva W Nuevo BB XC 0
Nueva 1-B kNueva x
0
1 fila r
0
M