Metodo Simplex

Notas del Mtodo Simplex Investigacin de Operaciones I

M.C. Hctor Martnez Rubin Celis 1

METODO SIMPLEX



Contenido EL MTODO SIMPLEX ................................................................................................... 3

Procedimiento del Mtodo Simplex para la Forma Matricial ......................................... 3 Ejemplo: .......................................................................................................................... 5 Formato general de la tabla para el Mtodo Simplex ..................................................... 9

Ejemplo: ...................................................................................................................... 9 Forma tabular del libro de Mokthar Bazara .................................................................. 11 Identificar B inversa en la tabla optima. ..................................................................... 11

MTODO DE LA M ..................................................................................................... 13 Ejemplo: ........................................................................................................................ 14

MTODO DE LAS DOS FASES .................................................................................... 16 Ejemplo: ........................................................................................................................ 17

DEGENERACIN ........................................................................................................... 20 Ejemplo: ........................................................................................................................ 20

CICLAJE .......................................................................................................................... 21 Ejemplo: ........................................................................................................................ 22

METODO LEXICOGRAFICO ........................................................................................ 24 Ejemplo: ........................................................................................................................ 24

SOLUCIN ILIMITADA ................................................................................................ 26 Ejemplo: ........................................................................................................................ 26

SOLUCIN MLTIPLE ................................................................................................. 26 Ejemplo: ........................................................................................................................ 26

CONVERSIN DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIN A UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIN ............................................................................................................ 28 PROCEDIMIENTO SIMPLEX REVISADO .................................................................. 29

Ejemplo 1: ..................................................................................................................... 30 Ejemplo 2: ..................................................................................................................... 32 Ejemplo 3: ..................................................................................................................... 34



TEORA DEL MTODO SIMPLEX EL MTODO SIMPLEX Es un procedimiento general para encontrar la solucin ptima a problemas de Programacin Lineal. Este mtodo logra la solucin ptima en un nmero finito de pasos, la demostracin de esto es lo que se pretende realizar. Para el desarrollo de ste mtodo son necesarias algunas definiciones: Solucin: Cualquier conjunto de variables jx que satisfacen las restricciones del problema ( bAx = ). Solucin factible: Cualquier solucin que satisface la no-negatividad de las restricciones ( 0jx ). Solucin bsica: En un sistema de m ecuaciones lineales con n variables bAx = ( nm < ) cuyo rango mAR =)( ; una solucin es obtenida haciendo mn - variables igual a cero y resolviendo para las m variables restantes, siempre y cuando el determinante de los coeficientes de estas m variables no seas cero. Las m variables se llaman variables bsicas (la solucin resultante a este sistema, se le llama solucin bsica). Solucin bsica factible: Es una solucin bsica en la cual todas las m variables bsicas son mayores o iguales que cero ( 0jx ). Degeneracin: Una solucin bsica bAx = es degenerada si una o ms variables bsicas son iguales a cero (ms de mn - variables iguales a cero). Procedimiento del Mtodo Simplex para la Forma Matricial Primero Partiendo de un problema de Programacin Lineal que se encuentra en la forma estndar, se determinan las matrices A, b, B, Cj, CB, y XB Donde: A es la matriz de coeficientes de las variables en las restricciones b es el lado derecho de las restricciones (limitaciones ) B es la matriz que proporciona la Solucin Inicial Bsica Factible y esta formada por las columnas de las variables bsicas, es decir aquellas que estn en solucin. Cj son los coeficientes de las variables en la funcin objetivo CB son los coeficientes de las variables bsicas en la Funcin Objetivo. XB son los valores de las variables bsicas que dan la solucin al problema. Segundo Se obtiene B Inversa ( B-1 ). Ya sea por el Mtodo de Cofactores o por el Mtodo de



Gauss-Jordan Tercero Se obtiene XB, donde

bBX B1-= BB XCZ =

Cuarto Determinar la variable que entra en la base de solucin Se obtienen los Zj-Cj para las variables No-bsicas donde

jBj YCZ = y jj aBY-

-= 1 Las Yj de las variables bsicas forman las columnas de la matriz identidad y las Zj-Cj de las variables bsicas son cero. Las Yj son las columnas actualizadas a las transformaciones de rengln de la matriz A para generar la columna de la matriz identidad que aporta la columna de la variable que entra en solucin. Para un problema de Maximizacin Entra la variable que tenga el ms negativo Zj-Cj y se alcanza la solucin ptima cuando todos los valores sean positivos en el anlisis de Zj-Cj Para un problema de Minimizacin Entra la variable que tenga el ms positivo Zj-Cj y se alcanza la solucin ptima cuando todos los valores sean negativos en el anlisis de Zj-Cj Cj-Zj es el beneficio que se tendr en Z por cada unidad de valor que tenga la variable que entra en solucin (Xr) Quinto Determinar la variable que sale de solucin Se analiza cada columna de las variables No-bsicas junto con el valor de las variables bsicas XB. Sale de solucin aquella variable que tenga el

>=

> 0,.....,,0,

2

2

1

1ir

r

B

r

Bir

ir

Bi YdondeY

X

Y

XMinYdonde

Y

XMin ,

donde r corresponde a la columna de la variable que entra en la solucin Sexto La columna de la variable que entra en solucin deber aportar la columna de la matriz identidad.



En la matriz B la columna de la variable que tuvo el

ir

Bi

Y

XMin abandona la base de

solucin y entra en su lugar la columna de la variable r. Sptimo Regresar al paso 2, hasta que se cumpla el criterio de optimizacin, considerado en el paso 4. Ejemplo:

0,

1025

1553

:a sujeto ,35Max

cannica Forma

21

21

21

21

++

+=

xx

xx

xx

xxZ

holgura de lesson variab ,y 0,,

1025

1553

:a sujeto ,35Max

estndar Forma

434321

421

321

21

xxxxxx

xxx

xxx

xxZ

=++=++

+=

[ ]0035=jC que las columnas de 3a y 4a forman las Dado

columnas de la matriz identidad ( 3x y 4x son variables bsicas), hacemos que:

31 ab = y 42 ab =

=

10

01B

=-

10

011B

0 10

15

10

15

10

0121

24

131 ====

=

== - xx

xx

xxbBx

B

B

B

El valor de la funcin objetivo Z es:

[ ] 010

1500 =

== BBxCZ

Analizando la variable que entra en solucin:

=

10

15b

=

1025

0153A



21

11

11

1 5

3

5

3

10

01

y

yaBy

=

== -

22

12

21

2 2

5

2

5

10

01

y

yaBy

=

== -

[ ] 05

30011 =

== yCz B [ ] 02

50022 =

== yCz B

0 0, rjrj

Bi yy

xMin 1 2

1 2

, , 0B B rjj j

x xy

y y

> =

Min21

4

510

510

,3

15y

x

=

Ser el valor de la variable entrante en la solucin en la tabla siguiente, por lo que 4x sale de solucin. (Donde r es la fila en cuestin y j corresponde a la variable que entra en solucin.) y el prximo valor Z ( Z mejorada) ser:

10)05(5

100)( 11

21

4 =-+=-+= zcy

xZZ

el jj zc - es una razn de cambio, por cada unidad que tenga la variable entrante a la solucin, la funcin objetivo se ver mejorada en jj zc - unidades. ahora si 31 ab = y 12 ab = tenemos:

=

50

31B

-=-

510

5311B

0 2

9

10

15

510

53142

21

131 ====

=

-== - xx

xx

xxbBx

B

B

B

El valor de la funcin objetivo Z es:

( ) 102

950 =

== BBxCZ




22

12

21

2 52

519

2

5

510

531

y

yaBy

=

-== -

24

14

41

4 51

53

1

0

510

531

y

yaBy

-=

-== -

[ ] 252

5195022 =

== ycz B , [ ] 151

535044 =

-== ycz B

13222 -=-=- cz , 10144 =-=- cz se toma nuevamente aquella variable que tenga el jj cz - ms negativo, correspondiendo a 2x salir de solucin. Se analiza ahora la variable que abandonar la solucin;

=rj

Br

y

xMin

12

3

5199

0,52

2,

5199

y

xyij

=

>

por lo que 3x sale de solucin. y el prximo valor de Z ( Z mejorada) ser:

22 2

12

235 ( ) 10 45 19(3 2)19

xZ Z c z

y= + - = + - =

Nuevamente continuando con este proceso iterativo, ahora haciendo 21 ab = y 12 ab = , tenemos:

=

52

35B y

-

-=-

195192

1931951B

0 ,1920

1945

10

15

195192

19319543

21

121 ====

=

-

-== - xx

xx

xxbBx

B

BB

Ahora el valor de la funcin objetivo es:

( ) 19/23519/29

19/4553 =

== BB xCZ


23

13

31

3 192

195

0

1

195192

193195

y

yaBy

-

=

-

-== -



24

14

41

4 195

193

1

0

195192

193195

y

yaBy

-=

-

-== -

[ ] 19519101915192

1955333 =-=

-

== yCz B

[ ] 19161925199195

1935344 =+-=

-== yCz B

195019533 =-=- cz 19160191644 =-=- cz encontramos que como todos los valores de jj cz - son mayores que cero, entonces ninguna otra variable entrar en solucin ya que sta es ptima. As la solucin ptima ser:

[ ] 192351920

194553 =

== BB xCZ

por lo que 2x y 1x son variables bsicas

=

1920

1945Bx , ya que con estos valores la

funcin objetivo es ptima ( *2 3 51 9

Z = ).



Formato general de la tabla para el Mtodo Simplex

jc 1c 2c 3c L nc

BC BX b 1x 2x 3x L nx rjBr yx | | | |

1a 2a 3a L na

| | | |

*Z jz

jj cz -

=BX Vector que representa la Solucin Bsica Factible. =BC Vector formado por los componentes de C correspondientes a la Solucin Bsica

Factible. =jc Vector de costos (coeficientes de las jx en la Funcin Objetivo).

BBj XCz =

jBBjj cXCcz -=- =rjy Componente del vector que va a formar parte de la nueva Solucin Bsica

Factible. =b Valor de las variables bsicas (en solucin). =*Z Valor actual de la Funcin Objetivo.

Ejemplo: Resolviendo el ejemplo anterior por la forma tabular, tenemos;

0,

1025

1553

:a sujeto ,35Max

21

21

21

21

++

+

xx

xx

xx

xx



Tabla 1 (Tabla Inicial)

solucinen Entra

00350

0000

solucin de Sale 5101025100

3150153150

0035

1

*44

3

4321

x

cz

zZ

xx

x

ybxxxxbXC

c

jj

j

rjBB

j

-

---

Tabla 2

solucinen Entra

101010

1025

5151052125

solucin de Sale 1945531519090

0035

2

*1

33

4321

x

cz

zZ

x

xx

ybxxxxbXC

c

jj

j

rjBB

j

-

--

-

Tabla 3 (Tabla Final)

jj

j

rjBB

j

cz

zZ

x

x

ybxxxxbXC

c

-

--

19161950019235

191619500

1951920119205

1931951019453

0035

*1

2

4321

como todos los jj cz - son 0 la solucin es ptima.

03 =x , 19452 =x , 19201 =x y 19235* =Z

En resumen, se observa que:

1. En la fila zj-cj las posiciones que corresponden a las variables bsicas tienen valor cero

2. Las columnas de las variables bsicas forman la matriz identidad



Forma tabular del libro de Mokthar Bazara

Z 1x 2x 3x 4x 5x (L.D.)

jj cz - 1 -5 -3 0 0 0 Fila de jj cz -

3x 0 3 5 1 0 15

4x 0 5 2 0 1 10 Interpretacin de la tabla del simplex

Z BX nX b

Z 1 0 NB CNBC -

-1 bBCB1-

BX 0 1 NB1- bB 1-

bBNXBX

bBCZ

XX

bNXBX

XCXCZ

Z

NB

B

NB

NB

NNBB

11

1

y

:desde

0,

0

:a sujeto Min

--

-

=+

=

=+

=--

Identificar B inversa en la tabla optima. En la tabla final (ptima) para calcular las columnas que forman la 1-B ( B inversa) estas correspondern a las columnas de las variables que en la tabla inicial aportarn las columnas para formar la matriz identidad. En el caso del problema usado como ejemplo

=

52

35

12

B

xx

-

-=-

195192

193195

1

43

B

xx

Otro ejemplo en el que se tengan en solucin las siguientes variables, obtenemos su inversa.



Inicio

Leer el Problema Determinar si es un problema de Maximizacin o de Minimizacin

Aadir las Variables de Holgura y/o Artificiales para presentar el problema en la Forma Estndar

Escribir la Funcin Objetivo correspondiente Crear la tabla del Simplex correspondiente

Proceso de Solucin de un Problema de Programacin Lineal por el Mtodo Simplex

Problema de: Maximizacin; Son todos los valores de Zj-Cj 0 ? Minimizacin; Son todos los valores de Zj-Cj 0 ?

Solucin Optima Maximizacin: Cuando todos los valores de Zj-Cj 0. Minimizacin: Cuando Todos los valores de Zj-Cj 0. Obtener de la tabla los valores de las variables y de la funcin objetivo Z.

Determinar la variable que entra en solucin: Para un problema de : Maximizacin; Entra la variable que en la fila de Zj-Cj tenga el valor mas negativo. Minimizacin; Entra la variable que en la fila de Zj-Cj tenga el valor mas positivo. Determinar la variable que sale de solucin: Divida cada elemento del rengln de b entre el elemento correspondiente (mayor que cero) del rengln de la variable que entra en solucin; y abandonara la solucin aquella variable en XB que corresponda al cociente menor. Establezca como elemento pivote aqul que se encuentre en el cruce del rengln de la variable entrante y la columna de la variable saliente. Genere en esta posicin la unidad y ceros en los elementos restantes de la columna de la variable entrante ( en este proceso de Gauss-Jordan se actualiza la tabla).

Si No

Continuar el proceso



MTODO DE LA M Este mtodo es utilizado cuando existe la necesidad de introducir variables artificiales (xa s) con el objeto de generar una solucin bsica factible. Aplicando el Mtodo Simplex para su solucin, la funcin objetivo Z se ve alterada, ya que la contribucin de las variables artificiales (coeficientes de las variables artificiales) es: - M para un problema de maximizacin. + M para un problema de minimizacin. Donde M es un valor muy grande (mucho mayor que cualquier coeficiente de las variables en la funcin objetivo) por ejemplo: M >>> 0. Como las variables artificiales no tienen ningn significado en el problema. Son definidas como un artificio (ya que es una conveniencia matemtica para lograr la matriz identidad y as una solucin inicial bsica factible), y por lo cual ninguna variable artificial deber formar parte de una solucin bsica factible. Para eliminar las variables artificiales de la solucin, se les asigna en la funcin objetivo original coeficientes, tales que haga su presencia no atractiva en la base. Para ilustrar esto, suponga que deseamos resolver el siguiente problema de Programacin Lineal, donde b 0. Maximice CX Sujeto a: Ax = b x 0. Si una conveniente base no es conocida, se introduce un vector artificial xa, lo que conduce al siguiente sistema: Ax + Xa = b x, Xa 0 La solucin inicial bsica factible est dada por xa = b y x = 0. Para mostrar que se desea tener un vector artificial mayor que cero, la funcin objetivo es modificada de la forma que una penalizacin alta es pagada para cualquier solucin. Minimice CX + MXa. Sujeto a: Ax + Xa = b x, Xa 0 El mtodo simplex por s mismo, trata de eliminar las variables artificiales de la base, y entonces continua tratando de encontrar la solucin optima a el problema original.



Ejemplo: Minimizar Z = x1 - 2x2 Sujeto a: x1 + x2 2 -x1 + x2 1 x2 3 x1 y x2 0 transformando a la forma estndar tenemos : Minimizar Z = x1 - 2x2 - 0x3 - 0x4 + 0x5 + Mx6 + Mx7 Sujeto a: x1 + x2 - x3 +x6 = 2 -x1 + x2 -x4 +x7 =1 x2 +x5 = 3 donde : Xh son variables de holgura. Xa Son variables artificiales. M es un nmero positivo muy grande. Tabla 1

Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 M X6 2 1 1 -1 0 0 1 0 M X7 1 -1 1 0 -1 0 0 1 0 X5 3 0 1 0 0 1 0 0 0 2M -M -M 0 M M Z= 3M -1 2+2M -M -M 0 0 0

Tabla 2

Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 M X6 1 2 0 -1 1 0 1 -1 -2 X2 1 -1 1 0 -1 0 0 1 0 X5 2 1 0 0 1 1 0 -1 2M+2 -2 -M M+2 0 M -2-M Z= -2+M 1+2M 0 -M M+2 0 0 -2-2M

Sale X7 de solucin

Sale X6 de solucin

Entra X2 en solucin

Entra X1 en solucin



Tabla 3 Cj 1 -2 0 0 0 M M

CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 1 X1 1/2 1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2 -2 X2 3/2 0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2 0 X5 3/2 0 0 1/2 1/2 1 -1/2 3/2 1 -2 1/2 5/2 0 -1/2 -3/2 Z= -5/2 0 0 1/2 5/2 0 -1/2-M -3/2-M

Tabla 4

Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X4 1 2 2 -1 1 0 1 -1 -2 X2 2 1 1 -1 0 0 1 0 0 X5 1 -1 -1 1 0 1 -1 0 -2 -2 2 0 0 -2 0 Z= -4 -3 0 2 0 0 -2-M -M

Tabla 5

Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X4 2 1 0 0 1 1 0 -1 -2 X2 3 0 1 0 0 1 0 0 0 X3 1 -1 0 1 0 1 -1 0 0 -2 0 0 -2 0 0 Z= -6 -1 0 0 0 -2 -M -M

Como todos los zj-cj son 0 para todas las variables no-bsicas. Esta tabla nos indica que esta solucin es ptima. Teniendo el resultado siguiente x4 = 2, x2 = 3, x3 = 1 y las variables restantes son iguales a cero. Con un valor optimo de la funcin objetivo Z de -6.

Sale X1 de solucin

Sale X5 de solucin

Entra X4 en solucin

Entra X3 en solucin



MTODO DE LAS DOS FASES El problema del ejemplo anterior fue manejado en la forma regular despus de que las variables artificiales haban sido aadidas. Existe una complicacin en el mtodo de la M, en el cual se debe asignar un valor M sin especificar exactamente qu valor es. Si un valor numrico especfico fuera asignado a la M, este deber ser mucho mayor que cualquier otro nmero que aparece en la funcin objetivo y probablemente no satisfaga todas las condiciones. Su propsito sera el de proveer una penalizacin para eliminar las variables artificiales de la base, ya que ellas realmente no pueden formar parte de la solucin en un problema de la vida real. Un enfoque para evitar estas dificultades est incorporado o considerado en el mtodo de dos fases. La primera fase consiste en convertir todas las variables artificiales en cero, para obtener una solucin bsica factible para las variables reales del problema. La segunda fase consiste en optimizar la funcin objetivo actual Z, iniciando de una solucin bsica factible que puede o no contener variables artificiales a nivel cero. FASE I Se inicia con una solucin bsica factible formada con algunas variables artificiales y con la finalidad de eliminar las variables artificiales. Se asigna a cada coeficiente de la variable artificial en la funcin objetivo un valor de la unidad (positiva o negativa, dependiendo de si es un problema de Minimizacin o de Maximizacin respectivamente) en lugar del valor M. A todas las variables restantes se les asigna un coeficiente cero (sin importar los coeficientes actuales del problema). Entonces en lugar de considerar la funcin objetivo actual. Se optimiza la funcin: Z = is =1( 1) XAi = (XA1 XA2 XA3......XAs) donde XA son las s variables artificiales (XA 0) La fase I termina despus de haber aplicado el Mtodo Simplex, cuando: 1).- Z* = 0 Una o ms variables estn en la base a un nivel positivo. El problema original tiene una solucin no factible. 2).- Z* = 0 Ninguna variable artificial est en la base. Se ha encontrado una solucin bsica factible al problema original. 3).- Z* 0 Una o ms variables artificiales estn en la base a un nivel cero (es decir que la b correspondiente a la variable artificial es igual a cero).



Se ha encontrado una solucin factible al problema original. Debido a que algunas variables artificiales estn en la base a un nivel cero, posiblemente haya redundancia en las ecuaciones restrictivas. La fase I termina cuando los elementos zj - cj son 0 para un problema de Maximizacin y para un problema de Minimizacin. ANTES DE INICIAR LA FASE II a) Elimine todas las columnas correspondientes a las variables artificiales no bsicas. b) Cheque redundancia (ecuaciones redundantes) en el problema original. El sistema de

ecuaciones original es Ax = b. Si una restriccin (ecuacin) puede ser obtenida como una combinacin lineal de las otras, la restriccin es redundante. Para localizar la existencia de ecuaciones redundantes observe en la tabla final de la fase I (despus de haber eliminado las columnas correspondientes a las variables artificiales no bsicas) si existe alguna fila cuyos elementos sean todos cero a excepcin de un elemento 1 que corresponda a la columna de una variable artificial bsica, entonces esto indicar que la fila es redundante, por lo tanto elimine la fila y la columna.

c) Elimine las variables artificiales en la base, en la tabla final de la fase I, estas variables estarn representadas por columnas que tienen elementos cero a excepcin de un uno en la fila donde b=0. Seleccione uno de los elementos diferentes de cero en esta fila (debe de existir alguno, de otra forma esta fila se hubiera eliminado en el paso b). Este elemento eljalo como pivote, transformando su columna correspondiente a tener el elemento 1 en el pivote, y cero en el resto de la columna (es decir, se genera en esa columna el vector necesario para eliminar la variable artificial de la solucin.)

FASE II La primera tabla de la fase II, es la ltima tabla de la fase I, sufriendo los siguientes cambios; se reemplazan los coeficientes de la funcin objetivo por los coeficientes originales de las variables reales y despus se calculan las filas zj y zj-cj. Una vez que se han realizado estos cambios, se aplica el Mtodo Simplex nuevamente para optimizar la funcin objetivo Z. Ejemplo: Minimizar Z = -X1 Sujeto a: X1 + X2 - X3 + X4 - X5 +2X6 = 2 2X1 - X2 - X3 - 2X4 + X5 - X6 = 3 3X1 - 2X3 - X4 +X6 = 5 X1, X2, X3, X4, X5, X6 0 Expresndolo en la forma estndar, tenemos:



Minimizar Z = -X1 Sujeto a: X1 + X2 - X3 + X4 - X5 +2X6 +X7 = 2 2X1 - X2 - X3 - 2X4 + X5 - X6 + X8 = 3 3X1 - 2X3 - X4 +X6 + X9 = 5 Xs 0, para toda X. Donde X7, X8 Y X9 son variables artificiales.

FASE I Tabla 1

Cj 0 0 0 0 0 0 1 1 1 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 1 X7 2 1 1 -1 1 -1 2 1 0 0 1 X8 3 2 -1 -1 -2 1 -1 0 1 0 1 X9 5 3 0 -2 -1 0 1 0 0 1 6 0 -4 -2 0 2 1 1 1 Zj Z= 6 0 -4 -2 0 2 0 0 0 Zj-Cj

Tabla 2

Cj 0 0 0 0 0 0 1 1 1 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 1 X7 .5 0 1.5 -.5 2 -1.5 2.5 1 -.5 0 0 X1 1.5 1 -.5 -.5 -1 .5 -.5 0 .5 0 1 X9 .5 0 1.5 -.5 2 -1.5 2.5 0 -1.5 1 0 3 -1 4 -3 5 1 -2 1 Zj Z= 0 3 -1 4 -3 5 0 -3 0 Zj-Cj

Tabla 3

Cj 1 -2 0 0 0 0 1 1 1 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 0 X6 .2 0 .6 -.2 .8 -.6 1 .4 -.2 0 0 X1 1.6 1 -.2 -.6 -.6 .2 0 .2 .4 0 1 X9 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 Zj Z= 0 0 0 0 0 0 0 -2 -2 0 Zj-Cj

Como todos los elementos en Zj-Cj son 0, la fase I esta terminada. El valor mnimo de la fase I es cero y por esto el problema es factible. Una solucin factible para el problema original es (1.6, 0, 0, 0, 0, .2). Para establecer la tabla de la fase II; elimine las columnas 7

Sale X8 de solucin

Sale X7 de solucin

Entra X1 en solucin

Entra X6 en solucin



y 8, asigne los coeficientes originales en la funcin objetivo y calcule las entradas de la fila Zj-Cj (en la variable artificial cero).

Cj -1 0 0 0 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X9 0 X6 .2 0 .6 -.2 .8 -.6 1 0 -1 X1 1.6 1 -.2 -.6 -.6 .2 0 0 0 X9 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 .2 .6 .6 -.2 0 0 Zj Z= 0 0 .2 .6 .6 -.2 0 0 Zj-Cj

Como todos los elementos en la tercera fila son cero, excepto por un 1 que representa la variable artificial X9, la fila es eliminada por ser redundante. Cheque en el problema original y encontrar que la tercera ecuacin es la suma de las dos primeras ecuaciones. Se elimina la fila 3 y la columna 7 (X9).

Cj -1 0 0 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 X6 .2 0 .6 -.2 .8 -.6 1 -1 X1 1.6 1 -.2 -.6 -.6 .2 0 -1 .2 .6 .6 -.2 0 Zj Z= 0 0 .2 .6 .6 -.2 0 Zj-Cj

Fin FASE I, principio de la FASE II FASE II

Cj -1 0 0 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 X4 .25 0 .75 -.25 1 -.75 1.25 -1 X1 1.75 1 -.25 -.75 0 .25 -.75 -1 -.25 .75 0 .25 -.75 Zj Z= 1.75 0 -.25 .75 0 .25 -.75 Zj-Cj

La columna muestra que el problema es ilimitado (los elementos en la columna correspondiente a la variable entrante son 0, yrj 0), por tanto la solucin es ilimitada (Z = -a ).

Entra X3 en solucin

Sale X6 de solucin

Entra X4 en solucin



i

DEGENERACIN Una solucin bsica a Ax = b es degenerada si una o ms de las variables bsicas son cero ( si alguna XB = 0). Una solucin bsica factible representa a b como una combinacin lineal de m columnas de A. Cualquier base que incluya alguna columna de A que sea dependiente de la columna de b determinar una solucin degenerada. Para saber en la tabla si existe degeneracin, es suficiente con observar en la columna de b y saber si existe uno o ms elementos iguales a cero. Cuando la degeneracin se presenta, el proceso de seleccin de la variable saliente, en la mnima razn XBr/Yrk puede no ser nica. Vector saliente de la base:

, 0BiBr i ikrk ik

xxy

y y

=



Tabla 1 Cj 0 1 0 0 -M

CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 -M X5 1 1 1 -1 0 1 0 X4 1 1/3 1 0 1 0 -M -M M 0 -M Zj Z= -M M M+1 -M 0 0 Cj-Zj

Tabla 2

Cj 0 1 0 0 -M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 1 X2 1 1 1 -1 0 1 0 X4 0 -2/3 0 1 1 -1 1 1 -1 0 1 Zj Z= 1 -1 0 1 0 -1-M Cj-Zj

Tabla 3

Cj 0 1 0 0 -M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 1 X5 1 1/3 1 0 1 0 0 X4 0 -2/3 0 1 1 -1 1/3 1 0 1 0 Zj

Z= 1 -1/3 0 0 -1 -M Cj-Zj La solucin ptima es degenerada, ya que en XB hay una variable a nivel cero. Tenindose que x2 = 1, x3 = 0 y Z* = 1. CICLAJE Cuando la degeneracin se presenta, la funcin objetivo puede no cambiar cuando hay un cambio de una solucin bsica factible a otra. Entonces no se puede estar seguro que una base no se repita. En efecto, se puede caer en la situacin en la cual se ciclaje el problema, repitindose las mismas secuencias de bases solucin, y nunca alcanzar la solucin optima.

Sale X5 de solucin

Sale X4 de solucin

Entra X2 en solucin

Entra X3 en solucin



Ejemplo: Minimizar Z = -2X4 -3X5 + X6 +12X7 Sujeto a : X1 - 2X4 - 9X5 + X6 + 9X7 = 0 X2 +1/3X4 + X5 - 1/3X6 - 2X7 = 0 X3 + 2X4 + 3X5 - X6 - 12X7 = 2 Xs 0, para toda X. Tabla 1

Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X1 0 1 0 0 -2 -9 1 9 0 X2 0 0 1 0 1/3 1 -1/3 -2 0 X3 2 0 0 1 2 3 -1 -12 0 0 0 0 0 0 0 Z= 0 0 0 0 2 3 -1 -12

Tabla 2

Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X1 0 1 9 0 1 0 -2 -9 -3 X5 0 0 1 0 1/3 1 -1/3 -2 0 X3 2 0 -3 1 1 0 0 6 0 -3 -3 1 -3 1 6 Z= 0 0 -3 0 1 0 0 -6

Tabla 3

Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -2 X4 0 1 9 0 1 0 -2 -9 -3 X5 0 -1/3 -2 0 0 1 1/3 2 0 X3 2 -1 -12 1 0 0 3 15 -1 -12 0 -2 -3 3 15 Z= 0 -1 -12 0 0 0 2 3

Sale X2 de solucin

Sale X1 de solucin

Sale X5 de solucin

Entra X5 en solucin

Entra X4 en solucin

Entra X7 en solucin



Tabla 4 Cj 0 0 0 -2 -3 1 12

CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -2 X4 0 -2 -2 0 1 9 1 0 12 X7 0 -1/3 -2 0 0 1 1/3 1 0 X3 2 0 -6 1 -2 -3 1 12 0 -6 0 -2 -3 2 12 Z= 0 0 -6 0 0 -3 1 0

Tabla 5

Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -2 X6 0 -2 9 0 1 9 1 0 12 X7 0 1/3 1 0 -1/3 -2 0 1 0 X3 2 2 3 1 -1 -12 0 0 2 3 0 -3 -15 1 12 Z= 0 2 3 0 -1 -12 0 0

Tabla 6

Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 1 X6 0 1 0 0 -2 -9 1 0 0 X2 0 1/3 1 0 -1/3 -2 0 1 0 X3 2 1 0 1 -6 0 -3 1 0 0 -2 -9 1 0 Z= 0 1 0 0 1 -6 0 -12

Como X1 entra a la base, la nueva base estar formada por (X1, X2, X3), la cual ya fue obtenida en la tabla 1, tenindose como resultado que el problema se ha ciclado.

Sale X4 de solucin

Sale X7 de solucin

Sale X6 de solucin

Entra X6 en solucin

Entra X2 en solucin

Entra X1 en solucin



METODO LEXICOGRAFICO

El problema de ciclaje puede ser resuelto utilizando una regla que rompa los empates en ( Brx / rjy ) para determinar la variable que abandona la solucin. Esta regla es denominada lexicogrfica y su procedimiento es el siguiente: Si cuando se realiza la prueba para determinar el vector correspondiente a la variable que sale de la base de solucin, se tiene un empate, divida cada fila potencial (en empate) entre su similar en fila de la columna pivote.

tjtntjttjt

kjknkjkkjk

ijinijiiji

tjBttntjtt

kjBkknkjkk

ijBiinijii

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

yxaaaa

yxaaaa

yxaaaa

LLLLLL

LLLLLL

1

1

1

*

21

21

21

21

21

21

La columna sealada con * es la columna pivote (corresponde a la variable que entra en solucin). Como las filas son linealmente independientes ningn par de filas divididas son idnticas. Encuentre la primera columna donde se rompa el empate. Ignorar todas las filas que no tengan el valor ms bajo. Si nicamente una fila queda, esta ser la fila pivote, si quedan ms pruebe en las columnas adicionales. Ejemplo: Trabjese el ejemplo de ciclaje cubierto previamente y prtase de las tablas 2

1 2 3 4 5 6 7

1

5

3

0 0 0 2 3 1 12

0 0 1 9 0 1 0 2 9 0 1

3 0 0 1 0 1 3 1 1 3 2 0 1 3

0 2 0 3 2 1 0 0 6 2 1

0 3 0 1 3 1 6

0 0 3 0 1 0 0 6

j

B B Br rj

j

j j

c

c x b x x x x x x x x y

x

x

x

Z z

z c

- -

- -- - -

-- -- - -

Entra en Solucin X7

Existe un empate entre estas 2 filas por lo que se debern analizar con el mtodo lexicogrfico para determinar la variable que deber abandonar la solucin.



fila segunda312131

11310

311

310

fila primera19121011019117654321

----

xxxxxxx

Analizando de izquierda a derecha encontramos que en la primera columna se rompe el empate ya que la fila 2 es menor que la fila 1 (0 es menor que 1), por lo que sale de solucin 5x .

jj

j

rjBrBB

j

cz

zZ

x

x

x

yxxxxxxxxbxc

c

--------

---------

--

01300600

12262060

12013016020

613103002

311106100

12132000

3

4

1

7654321

jj

j

rjBrBB

j

cz

zZ

x

x

x

yxxxxxxxxbxc

c

------

-----------

--

00001000

12132100

12013016021

600113022

304010120

12132000

6

4

1

7654321

Como todos los elementos en la fila jj cz - son menores o iguales que cero la solucin es ptima. Observe que en la fila jj cz - existen 6 elementos iguales que cero,

por lo que existir una solucin mltiple. ( 3=m Si existen ms de m elementos en la fila jj cz - iguales que cero, existe una solucin bsica factible mltiple). Es decir que cualquiera de las variables no-bsicas que tienen un valor cero en la fila jj cz - puede entrar a formar parte de la solucin y el valor de la funcin objetivo Z no cambiar.

Entra 6x en solucin Sale de solucin 3x



SOLUCIN ILIMITADA Esta ocurre cuando el espacio de soluciones factibles no est acotado y la funcin a optimizar puede mejorar indefinidamente. Esta situacin se refleja en que todos los elementos en la columna correspondiente a la variable elegida a entrar en la solucin (menor vector Zj - Cj 0, para un problema de Maximizacin) son no positivos (yrj 0). Ejemplo: Max Z=X1-X2+X3 Sujeto a: X1 + X2 + 2X3 4 X1 - 2X2 + X3 2 Xs 0 F.O. Max Z=X1-X2+X3 X1 + X2 + 2X3 - X4 = 4 X1 - 2X2 + X3 + X5 = 2 Xs 0 En cierta tabla encontramos qu

La Y4



Max Z = 40 X1 + 1000 X2 Sujeto a: 10 X1 + 5 X2 + X3 250 4 X1 + 10 X2 + X4 200 2 X1 + 3 X2 + X5 900 X1, X2 0 X3, X4, X5 Variables de holgura

Entra en solucin x2 y sale x4

Como todos los valores Xbr son 0 se tiene la solucin optima Z* = 2000 X3* = 150 X2* = 20 X5* = 80 Como Z1 C1 =0 y corresponde a una variable no bsica, entonces existe una solucin optima mltiple. Esto significa que puede entrar X1 en solucin y el valor de la funcin objetivo Z

* no cambia

Cj 40 100 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 0 X3 250 10 5 1 0 0 50 0 X4 200 4 10 0 1 0 20 0 X5 900 2 3 0 0 1 300 0 0 0 0 0 Zj -4 -100 0 0 0 Zj-Cj

Cj 40 100 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 0 X3 150 8 0 1 -1/2 0 150/8

100 X2 20 2/5 1 0 1/10 0 50 0 X5 840 4/5 0 0 -3/10 1 1050 40 100 0 10 0 Zj 0 0 0 10 0 Zj-Cj



Solucin ptima Z* = 2000 X1* = 150/8 X2* = 50/4 X5* = 1650/2 CONVERSIN DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIN A UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIN Sea f una serie de puntos en la regin de soluciones bsicas factibles, eljase una tal que: Min f = f*, entonces f* f y si pasamos f al lado izquierdo tenemos : f* - f 0 y multiplicando a la expresin por -1 -f* -(-f) 0, -f* f, adems - f -f* de esto obtenemos que : Max (-f) = -f*, por lo tanto sustituyendo en 1 tenemos: Max (-f) = - Min f.

Cj 40 100 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 40 X3 150/8 1 0 1/8 -1/16 0 100 X2 50/4 0 1 -1/20 1/8 0

0 X5 650/2 0 0 1/50 -2/5 1 40 100 0 15/9 0 Zj 0 0 0 15/9 0 Zj-Cj



PROCEDIMIENTO SIMPLEX REVISADO

Este mtodo requiere una menor cantidad de clculos, ya que realiza clculos nicamente en los vectores de aquellas variables no-bsicas y registra en memoria lo relativo a las variables bsicas, 1-B , 1-BcB , Bx y BB xc (as como todos los valores iniciales cj, aij y b i).

Pasos: Determinar las variables bsicas y formar B. Obtener 1-B . Obtener jjjj cwacz -=- . Donde

1-= BcW B Si 0- jj cz para un problema de minimizacin o 0- jj cz para un problema de maximizacin la solucin es ptima y es el fin del proceso. Si esto no se cumple contine el proceso.

Determinar la variable que entra en solucin (sea esta kx ) usando WA-C para toda variable no-bsica ( jji caw - ).

Se analiza Bikj

xy

(para toda i) para determinar que la variable sale de solucin,

sea sta fx . Ahora actualice la columna ka para que sta aporte la columna de

la matriz identidad que aportaba la variable saliente fx . Regresar al principio del proceso, realizar los clculos necesarios para sacar de

la base a fx y meter a la misma kx (actualice la columna ka para que esta

aporte la columna de la matriz identidad que aportaba la variable saliente fx ). Procedimiento: Si BB XcZ = donde ABX B

1-= , entonces ABcZ B1-= equivale a jBj aBcz

1-= y

si 1-= BcW B entonces ahora CZCWA -=- equivale a jjjji czcaw -=- .

Base de la inversa

Lado derecho

1W=c BB- CBXB

B-1

XB



Tablas en el proceso

kx

W BB XC kk cz -

1-B

Bm

B

B

x

x

x

M2

1

mk

k

k

y

y

y

M2

1

Ejemplo 1:

Max 21 35 xxZ +=

Sujeto a:

0,

1025

1553

21

21

21

++

xx

xx

xx

As:

1 2 3 4

3 5 1 0

5 2 0 1

x x x x

A

=

[ ]0035 =C

=

10

15 b

Analizando para todas las variables no-bsicas:

[ ] [ ] [ ] 353525

5300

21

-=-

=-=- CWAcz

xx

jj

por lo que entra en solucin 1x .

Tabla 1

1y

0 0 0 5-

10

01

10

15

4

3

x

x

5

3

4 Sale x Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 4x ) se tiene:



1

3

2510

9531

1010

x

x-


[ ] [ ] [ ]

2 4

5 00 1 3 0 1 1

2 1j j

x x

z c WA C

- = - = - = -

por lo que entra en solucin 2x .

Tabla 2

1

3

2510

9531

1010

x

x-

2

3

1

19 5 Sale

2 5

y

x

-

Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 3x ) se tiene:

1920195192

1945193195

192351916195

--


[ ] [ ] [ ] ,19161950010

011916195

43

=-

=-=- CWAcz

xx

jj

Como todos los valores son mayores que cero la solucin ptima se ha alcanzado.

Solucin ptima:

1945

1920

19325

2

1

===

x

x

Z



Ejemplo 2: Mtodo de la M

Min 21 23 xxZ +=

Sujeto a:

0,

3

634

33

21

21

21

21

+++

xx

xx

xx

xx

3

634

3 3

521

7421

6321

=++=+-+=+-+

xxx

xxxx

xxxx

76 y xx son variables artificiales

As:

=

0 0 1 0 0 1 1

1 0 0 1- 0 3 4

0 1 0 0 1- 1 3

x 7654321

A

xxxxxx

[ ]MMC 00023=

=

3

6

3

b


[ ] [ ]

[ ] [ ][ ]MMMMCWAczcaBC

MMMMCWAczcaBC

MMCWAczcaBC

xxxx

jjjjB

jjjjB

jjjjB

----=-=-=-

---=-=-=-

-

=-=-=-

-

-

-

2437

002347

0023

0 0 1 1

1-0 3 4

0 1- 1 3

0

1

1

1

4321

Entra en solucin 1x por tener el valor ms positivo.



Tabla 1

1y

0MM M9 37 -M

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3

6

3

5

7

6

x

x

x

1

4

3

6 Sale x


21031

20134

10031

320134

--

++- MMM

Analizando para todas las variables no bsicas:

[ ] [ ]

2 3 4 6

1

1

1 -1 0 1

4 3 1 0 4 0 -1 0 2 0 0

1 0 0 0

5 3 1 4 3

B j j j j

B j j j j

x x x x

C B a c z c WA C M M M

C B a c z c WA C M M

-

-

- = - = - = - + -

- = - = - = + -[ ] [ ][ ]1

1 4 3 2 0 0

5 3 1 4 3 1 4 3 1B j j j j

M M M

C B a c z c WA C M M M M-- - - -

- = - = - = - - - - + Entra en solucin 2x por tener el valor ms positivo.

Tabla 2 2y

21031

20134

10031

320134

--

++- MMM

5

7

1

x

x

x

32

35

31

135 -M




5

2

1

5615251

5605354

5305153

52105351

x

x

x

--

-


[ ] [ ]

[ ] [ ]

3 4 6 7

1

1

1

-1 0 1 0

1 5 3 5 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0 0

1 5 3 5 1 5 3 5 0 0

B j j j j

B j j j j

B j

x x x x



C B a

-

-

-

- = - = - = -

- = - = - = - - -

- [ ] 1 5 3 5 1 5 3 5j j jc z c WA C M M= - = - = - - - -

Se ha alcanzado la solucin ptima por ser todos los valores negativos.

Solucin ptima:

1

2

5

21 5

3 5

6 5

6 5

Z

x

x

x

====

Ejemplo 3:

Mtodo de las 2 Fases

Max 4321 2 xxxxZ -+-= Sujeto a:

0,,,

2332

64

4321

4321

4321

-++-++

xxxx

xxxx

xxxx

233 2

6 4

764321

54321

=+--++=+-++

xxxxxx

xxxxx

0,,,,,, 7654321 xxxxxxx donde 65 y xx son variables de holgura y 7x es una variable artificial.

FASE I As:



=

1 1- 0 3- 3 1 2

0 0 1 1- 1 4 1

7654321

A

xxxxxxx [ ]1-000000=C

=

2

6b


[ ] [ ]

[ ]033-1-2-

1-00001 3- 3 1 2

0 1- 1 4 11-0

64321

=-=-

-

=-=-

CWAcz

CWAcz

xxxxx

jj

jj

Por lo que entra en solucin 3x .

Tabla 1

3y

0 1- -2 3-

10

01

2

6

7

5

x

x

3

1

7 Sale x


0 0 0

31

31

0

1 -

32

316

3

5

x

x


[ ] [ ] [ ]

1 2 4 6 7

1 4 -1 0 00 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

2 1 -3 -1 1j j

x x x x x

z c WA C

- = - = - - - =

Como todos los valores son iguales a cero se ha alcanzado el final de la Fase I. FASE II Ahora [ ]0 0 1-1 2-5=C y se recalcula la tabla con los valores verdaderos de las jc .



[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

1 2 4 6

13

13 72 1 1 13 3 3 3 3 3

1 4 -1 00 5 -2 -1 0

2 1 -3 1

-1 5 -2 -1 0 0

j j

j j

x x x x

z c WA C

z c WA C -

- = - = -

- = - = - = -

Entra 1x en solucin por tener el valor ms negativo.

Tabla 2

1y

310 32 313

31

31

0

1 -

32

316

3

5

x

x

32

31

3 Sale x


250 - 5

21

21

0

1 -

1

5

1

5

x

x


[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]252132132125215-215252

5

6432

0 1-2-5

0 1-1 2-1 3-3 1

0 1- 1 40

----

-

=-=-=-

-

=-=-

CWAcz

CWAcz

xxxx

jj

jj

Entra 4x en solucin por tener el valor ms negativo.

4y

2/50 5 13-

2

21

21

0

1 -

1

5

1

5

x

x

23

21

- 5

Sale x




413 - 70

13

12

--

16

10

1

4

x

x


[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]403430 1-2-541-148

0 1-1 2-1- 3-3 1

0 1- 1 4413

6432

=-=-=-

-

-=-=-

CWAcz

CWAcz

xxxx

jj

jj

Como todos los valores son mayores que cero la solucin ptima se ha alcanzado.

Solucin ptima:

16

10

70

1*

4*

*

===

x

x

Z



Cmo calcular la reduccin de costos de las variables bsicas? z -c Waj j j jc= - donde j corresponde a las variables no-bsicas Cmo calcular la columna de yj asociada a la variable xj que entra en solucin?

1y =B a k k-

Cmo actualizar 1B , W, c ,x B

-B ?

a) Seleccione la variable entrante xk

b) Seleccione la variable saliente xr , },, ,

min , > 0 Bir i kr k i k

xxy

y y

=

c) Agregue la columna de xk

kx W BB XC kk cz -

1-B

Bm

B

B

x

x

x

M2

1

mk

k

k

y

y

y

M2

1

d) Pivotee en yr,k

kx Nueva W Nuevo BB XC 0

Nueva 1-B kNueva x

0

1 fila r

0

M

Metodo Simplex

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