Introducción a Funciones1

¿Qué es una función?

Gráficas de funciones

Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio

promedio

Transformaciones de funciones

Funciones cuadráticas; máximos y mínimos

Modelado con funciones

Combinación de funciones

Funciones uno a uno y sus inversas

Una función f es una regla que asigna a cada elemento, llamado f(x), en un conjunto B.

Introducciòn a Funciones 2

Introducciòn a Funciones 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

C ol umnas 1

C ol umnas 2

Nor te

2

W(onzaS) C(w) dólares

0<w<_1 0.37

Verbal (con palabras):

P(t) es la “población del mundo en el instante t”

Algebraicamente:

Por medio de una fórmula:

A(r)=πr

Visual:

Por medio de una gráfica:

Numérica:

Por medio de una tabla de valores:

Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados : {(x.ƒ(x))|xє A}

En otras palabras, la gráfica de ƒ es el conjunto de los puntos (x,y) tales que y= ƒ(x); es decir, la gráfica de la ecuación y = ƒ(x).

La gráfica de una función ƒ da un cuadro del comportamiento o “historia de vida” de la función. Se puede leer el valor de ƒ (x) de la gráfica como la altura de la gráfica arriba del punto x.

Introducciòn a Funciones 4

Una función ƒ de la forma ƒ(x) = mx + b se llama función lineal por que su gráfica es de la ecuación:

y = mx + b, que representa una recta con pendiente m y ordenada al origen b.

Un caso especial de una función lineal se presenta cuando la pendiente m = 0.

La función ƒ(x) = b, donde b es un determinado número, se llama función constante porque todos sus valores horizontal y= b son el mismo número, a saber, b. Su gráfica es la recta.

Introducciòn a Funciones 5

F(x)=3F(x)=2x+1

Una curva en el plano coordenado es la gráfica de una función si y sólo si ninguna línea vertical corta la curva más de una vez.

Introducciòn a Funciones 6

Introducciòn a Funciones 7

F(x)=bF(x)=mx+b

Funciones lineales: F(x)=mx+b

F(x)=x2 f(x)=x3

f(x)=x4

f(x)=x5

Introducciòn a Funciones 8

F(x)=(x) ^(1/2) f(x)=(x) ^(1/3)

f(x)=(x) ^(1/5)f(x)=(x) ^(1/4)Introducciòn a Funciones 9

f(x)=1/x f(x)=1/x2

Introducciòn a Funciones 10

f(x)=|x|

x

y

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

-5

0

5

10

15

20

25

30

Función entero máximo

Introducciòn a Funciones 11

ƒ Es creciente en un intervalo I si ƒ(x1) < ƒ(x2) siempre que x1 < x2 en I.

ƒ Es decreciente en un intervalo I si ƒ(x1) > ƒ(x) siempre que x1 > x2 en I.

Introducciòn a Funciones12

La tasa de cambio de promedio de la función y=ƒ(x) entre x= a y x= b es

Introducciòn a Funciones 13

f(a)

f(b)

b-a

f(b)-f(a)

y=f(x)

a b

La tasa de cambio de promedio es la pendiente de la recta secante entre x= ay x=b en la gráfica de ƒ, es decir, la recta que pasa por (a.ƒ(a)) y (b.ƒ(b)).

Introducciòn a Funciones 14

DESPLAZAMIENTOS VERTICALES DE GRÁFICAS

Introducciòn a Funciones 15

Sumar una constante a una función desplaza su gráfica en dirección vertical: hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si la constante es negativa

Suponga que c > 0.

Para gráficar y = ƒ(x) + c, desplace c unidades hacia arriba la gráfica de y = ƒ(x).

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10

12

14

16

18

20

22

c

y=f(x)+c

y=f(x)

Introducciòn a Funciones 16

x

y

-5 -4 -3 -2 -10 1 2 3 4 5-15

-10

-5

05

10

15

20

Para graficar y=f(x)-c, desplace c unidades hacia debajo de la grafica de y=f(x)

c

y=f(x)-c

y=f(x)

Introducciòn a Funciones 17

Introducciòn a Funciones 18

x

y0

2 4 6 8 10 12 1405

10

15

20

y=f(x) c

y=f(x-c)

a) Para graficar y = ƒ(x – c), desplace la gráfica de y = ƒ(x) a la derecha c unidades.

• Supóngase que c > 0.

Introducciòn a Funciones 19

x

y0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2205

10

15

20

25

30

35

40

c

y=f(x+c)

y=f(x)

b) Para graficar y = ƒ(x + c), desplace la gráfica de y = ƒ(x) a la izquierda c unidades.

Introducciòn a Funciones 20

Introducciòn a Funciones 21

Para graficar y = -ƒ(x), refleje la gráfica de y = ƒ(x) en el eje x.

Introducciòn a Funciones 22

Para graficar y = ƒ(-x), refleje la gráfica de y = ƒ(x) en el eje y.

Introducciòn a Funciones 23

Introducciòn a Funciones24

Si c > 1, alargue verticalmente la gráfica de y =ƒ(x) por un factor de c.

• Para graficar y = cƒ(x):

Introducciòn a Funciones 25

Si 0< c < 1, acorte verticalmente la gráfica de y = ƒ(x) por un factor c.

Introducciòn a Funciones26

Introducciòn a Funciones 27

Si c > 1,acorte la gráfica de y = ƒ(x) horizontalmente por un factor del 1/c.

• La gráfica de y = ƒ(cx):

Introducciòn a Funciones 28

Si 0 < c < 1, alargue la gráfica de y =ƒ(x) horizontalmente por un factor de 1/c.

Introducciòn a Funciones 29

Introducciòn a Funciones 30

ƒ es par si ƒ(-x) = ƒ(x) para toda x en el dominio de ƒ.

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y

• Sea ƒ una función.

Introducciòn a Funciones 31

ƒ es impar si ƒ(-x) = -ƒ(x) para toda x en el dominio de ƒ.

f(x)

Introducciòn a Funciones 32

Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo. Para una función que representa la ganancia de un negocio, se estaría interesado en el valor máximo: para una función que representa la cantidad de material en un proceso de manufactura, se estaría interesando en el valor mínimo.

Introducciòn a Funciones 33

Una función cuadrática ƒ(x) = ax + bx + c se puede expresar en la forma estándar

ƒ(x) = a(x – h) + k

complementando el cuadrado. La gráfica de ƒ es una parábola con vértice (h,k); la parábola se abre hacia arriba si a < 0.

Introducciòn a Funciones 34

22

2

f(x)=a (x-h) +k, a > 02 f(x)=a (x-h) +k, a<02

Vértice (h, k)

Vértice (h, k) Vértice (h, k)

hh

k k

Sea ƒ una función cuadrática con forma estándar ƒ(x) = a(x – h) + k. El valor máximo o mínimo de ƒ ocurre en x = h.

Si a > 0, entonces el valor mínimo de ƒ(h) = k.

Si a < 0, entonces el valor máximo de ƒ(h) = k.

Introducciòn a Funciones 35

2

f(x)=a (x-h) 0+k, a > f(x)=a (x-h) <0+k, a2 2

Mínimo Máximo

Mínimo

h

k

Máximo

h

k

El valor máximo o mínimo de una función cuadrática ƒ(x) = ax + bx + c ocurre en:

x=-b/2ª Si a > 0, entonces el valor mínimo es ƒ(-

b/2a). Si a < 0, entonces el valor máximo es

ƒ(-b/2a).

Introducciòn a Funciones 36

Muchos de los procesos estudiados en las ciencias físicas y sociales requieren entender como varían una cantidad respecto a otra. Hallar una función que describe la dependencia de una cantidad en otra se llama modelado.

Introducciòn a Funciones 37

1. Exprese el modelo en palabras. Identifique la cantidad que quiere modelar y exprésela, en palabras, como una función de otras cantidades en el problema.

2.Elija la variable. Identifique las variables empleadas para expresar la función en el paso 1. asigne un símbolo, como x, a una variable y exprese las otras variables en términos de este símbolo.

3.Establezca el modelo. Exprese la función en el lenguaje del álgebra al escribirla como una función de la única variable elegida en el paso 2.

4.Use el modelo. Emplee la función para contestar las preguntas planteadas en el problema.

Introducciòn a Funciones38

Álgebra de funciones. Sean ƒ y g funciones con dominios A y B. Entonces las funciones ƒ + g,

ƒ – g, ƒg y ƒ/g se define como sigue.

(ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x) Dominio A B (ƒ – g)(x) = ƒ(x) – g(x) Dominio A B (ƒg)(x) = ƒ(x)g(x) Dominio A B (ƒ/g) (x) = ƒ(x)g(x)/g(x) Dominio {x Є A B І g = 0 }

Introducciòn a Funciones

39

υ

υ

υ

υ

Dada dos funciones ƒ y g, la función compuesta ƒ º g (denominada también la composición de ƒ y g) está definida por:

(ƒ º g)(x) = ƒ(g(x))

El dominio de ƒ º g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g(x) está en el domino de ƒ. En otras palabras (ƒ º g)(x) se define siempre que g(x) y ƒ(g(x)) estén definidas. Se puede ilustrar ƒ º g por medio de un diagrama de flecha

Introducciòn a Funciones 40

La inversa de una función es una regla que actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondiente. Así, la inversa “deshace” o invierte lo que ha hecho la función. No todas las funciones tienen inversas; las que sí la tienen se llaman funciones uno a uno.

Introducciòn a Funciones 41

Una función con dominio A se llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tenga la misma imagen, es decir,

ƒ(x1) = ƒ (x2) siempre que x1 = x2.

Una forma equivalente de escribir la condición de una función uno a uno es ésta:

Si ƒ(x1) = ƒ(x2), entonces x1 = x2

Introducciòn a Funciones 42

Una función es uno a uno si y sólo si ninguna recta horizontal cruza su gráfica más de una vez.

Introducciòn a Funciones 43F(x)=x es uno a uno

3

f(x)=x no es uno a uno2

Sea ƒ una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa ƒ tiene dominio B y rango A y está definida por ƒ (y) = x ƒ(x) = y

Para cualquiera y en B

Esta definición establece que si ƒ envía x a y, entonces ƒ envía y de nuevo a x si ƒ no fuera uno a uno, entonces ƒ no estaría definida de manera única).

Introducción a Funciones 44

-1

Sea ƒ una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa ƒ satisface las siguientes propiedades de cancelación.

A la inversa, cualquier función ƒ que satisface estas ecuaciones es la inversa de ƒ.

45

-1

-1

Introducción a Funciones