Notas Completas

MICROECONOMÍA II(Notas de Clase)

Lic. Axel KicillofProfesor Adjunto

Lic. Luis A. TrajtenbergJefe de Trabajos Prácticos

Marzo 2002

Facultad de Ciencias EconómicasUniversidad de Buenos Aires

Nota Preliminar: Estas notas de clase fueron elaboradas para ser utilizadas en elcurso de Microeconomía II del Profesor Axel Kicillof dictado en la Universidad deBuenos Aires. El objeto de las mismas es facilitar el desarrollo del curso y desdeningún punto de vista pretenden reemplazar la bibliografía propuesta para lamateria. El alumno debe tener presente que las notas de clase tienen como objetivoprimordial facilitar la exposición de los temas por parte del docente. Finalmente, esposible obtener una copia de las notas de clase en la página web de la materia, asaber:

http://www.econ.uba.ar/micro2kicillof.htm

Versión Preliminar. Agradezco Comentarios.

Lic. Luis A. [email protected]@econ.uba.ar

Indice General

1 Matemática 11.1 Condiciones de Máximo……………………………………………………….11.2 Bibliografía…………………………………………………………………….4

2 Teoría del Consumidor 52.1 Dualidad en el Consumo………………………………………………………5

2.1.1 Bibliografía……………………………………………………………..112.2 La Ecuación de Slutsky………………………………………………………12

2.2.1 Bibliografía……………………………………………………………..182.3 La Ecuación de Slutsky: Algunas Extensiones………………………………19

2.3.1 Bibliografía……………………………………………………………..232.4 Teoría de la Preferencia Revelada e Integrabilidad…………………………..24

2.4.1 Bibliografía……………………………………………………………..31

3 Teoría del Productor 323.1 Modelo de Maximización de Beneficios……………………………………..32

3.1.1 La Función de Oferta.…………………………………………………..363.1.2 Principio de Le Chatelier: Corto Plazo vs Largo Plazo………………...373.1.3 Bibliografía……………………………………………………………..40

3.2 Modelo de Minimización de Costos………………………………………….413.2.1 Bibliografía……………………………………………………………..47

4 Teoría del Equilibrio General 484.1 Intercambio Puro……………………………………………………………..484.2 Equilibrio con Producción……………………………………………………514.3 Bibliografía…………………………………………………………………...56

5 Ejercicios 575.1 Aplicaciones a la Teoría del Consumidor……………………………………57

5.1.1 Función de Utilidad Cobb-Douglas…..………………………………575.1.2 Función de Utilidad Lineal (Kuhn-Tucker)……………………….….635.1.3 Función de Utilidad Lineal (Lagrange)………………………………70

6 Bibliografía 756.1 Principales Manuales de Microeconomía..…………………...……………....756.2 Publicaciones Científicas de Paul A. Samuelson…………………………….75

Microeconomía II: Matemática

Lic. Luis A. Trajtenberg Primer Cuatrimestre 2002

1

Condiciones de Máximo Condicionado:

El problema de optimización sujeto a restricción puede ser representado de lasiguiente manera:

( )( )

1 21 2

;

1 2

;

. . ; 0

x xMax F x x

s a G x x =

En este sentido,

(1) 1 1 2 2dF F dx F dx= × + ×

(2) 1 1 2 2 0G dx G dx× + × =

Reemplazando (2) en (1) nos queda la siguiente expresión:

11 2

1 2

dF GF F

dx G= − ×

La condición necesaria y suficiente para la existencia de un máximo es la siguiente:

2

21

0d F

dx<

Por consiguiente,

[ ] [ ] 1 111 1 12 2 21 1 22 2 2

1 2 2

dF G Gd F dx F dx F dx F dx F d

dx G G

= × + × − × + × × − ×

2 2 1 11 11 12 21 22 2 1

1 21 1 2

dx dx GdF Gd dx F F F F F d dx

dx Gdx dx G

= + × − + × × − ×

1 2 2 1 11 11 21 12 22 2 1

1 22 1 1 2

G dx dx GdF Gd dx F F F F F d dx

dx GG dx dx G

= − × + × − × × − ×

Asimismo, la ecuación (2) puede ser incorporada en la expresión precedente de lasiguiente manera:

2 1

1 2

dx G

dx G− =

Por tanto,



2

2

2 2 2 11 11 21 12 22 2 1

1 21 1 1

dx dx dxdF Gd dx F F F F F d dx

dx Gdx dx dx

= + × + × + × − ×

Asimismo,

1 1 1 2

2 2 1 2

G F F F

G F G Gλ− = − ⇒ = =

Por tanto,

2 1

1 2

dx G

dx G= −

En este sentido, es posible incorporar la información referida a la curva de nivel en elóptimo de la siguiente manera:

2

1 1 11 11 21 22 2 1

1 22 2

2F FdF G

d dx F F F F d dxdx GF F

= − × × + × − ×

Por consiguiente, es posible expresar la ecuación precedente de la siguiente manera:

2 2 11 11 2 21 1 2 22 1 2 12

1 22(1)

(2)

12

dF Gd dx F F F F F F F F d dx

dx GF

= × × − × × × + × −

Conclusión: si la expresiones (1) y (2) presentan signo negativo y signo positivorespectivamente, entonces el punto crítico se corresponde con un máximo.

Entonces, ¿cuál es el significado de la expresión contenida en (2)?

1 21 1

2 1

0G dx

d dx d dxG dx

= − >

En este sentido, la curva de nivel correspondiente a la restricción presupuestaria delindividuo es cóncava y, por consiguiente:

21

1

0dx

d dxdx

<

Asimismo, ¿cuál es el significado de la expresión contenida en (2)?

1 2

2 21 11 12 11 2 21 1 2 22 1

2 21 22

0

2

F F

H F F F F F F F F F F

F F F

= = × − × × × + ×



3

Es, efectivamente, el determinante del hessiano orlado. Por tanto, la condición demáximo establece la siguiente relación:

0H <



4

Referencias Bibliográficas:

Es posible consultar los Apéndices Matemáticos de los principales textos utilizados enel curso para facilitar la comprensión del alumno en torno a estos temas, a saber:

[1] Silberberg, Eugene; “The Structure of Economics: A Mathematical Analysis”.Second Edition. Editorial McGraw-Hill, Inc. 1990. ISBN: 0-07-057550-9.

[2] Mas-Colell, A. & Whinston, M. & Green, J.; “Microeconomic Theory”. OxfordUniversity Press, Inc., New York 1995. ISBN: 0-19-507340-1.

[3] Takayama, Akira; “Mathematical Economics”. Second Edition. Editor CambridgeUniversity Press, 1985. ISBN: 0-52-131498-4.

[4] Villar, Antonio; “Lecciones de Microeconomía”. Antoni Bosch Editor S.A., Inc.,Barcelona 1999. ISBN: 84-85855-87-6.

Microeconomía II: Teoría del Consumidor


5

Modelo de Maximización de Utilidad:

El problema primal que enfrenta el consumidor puede ser representado de la siguientemanera:

( )1 2

1 2;

;x x

MaxU x x

Sujeto a: p x y× =

La función lagrangiana puede ser representada de la siguiente manera:

( ) [ ]1 2 1 1 2 2;L U x x y p x p xλ= + × − × − ×

1 11

: 0L

U px

λ∂ − × =∂

2 22

: 0L

U px

λ∂ − × =∂

1 1 2 2: 0L

y p x p xλ

∂ − × − × =∂

En este sentido, las condiciones de primer orden del problema de optimizaciónestablecen la siguiente relación de igualdad:

1

1

U

pλ= 2

2

U

pλ=

Por tanto,

1 2 1 1

1 2 2 2

U U U p

p p U p= ⇒ =

Las funciones de demanda marshalianas resultantes del problema de optimizaciónpueden ser descriptas en forma implícita de la siguiente manera:

( )1 1 2; ;Mx f p p y=

( )2 1 2; ;Mx f p p y=

( )1 2; ;M f p p yλ =

Por consiguiente, la función de utilidad indirecta puede ser definida en el siguientesentido:



6

( ) ( )1 1 2 2 1 2; ; ; ; ;M MU U x p p y x p p y∗ =

La variación de la utilidad máxima con respecto a un cambio infinitesimal en el nivelde ingreso puede ser representado mediante un ejercicio de estática comparada de lasiguiente manera:

1 2

1 2

M M

M M

U U x U x

y x y x y

∗ ∗ ∗∂ ∂ ∂ ∂ ∂= × + ×∂ ∂ ∂ ∂ ∂

En este sentido, es posible reemplazar las condiciones de primer orden en la expresiónprecedente:

1 1M M

U U

x x

∗∂ ∂=∂ ∂

Si: 1

1

U

pλ= 2

2

U

pλ=

Entonces, la expresión correspondiente a la variación de la utilidad máxima conrespecto a un cambio infinitesimal en el nivel de ingreso queda reducida a la siguienteexpresión:

1 21 2

M MU x xp p

y y yλ λ

∗∂ ∂ ∂= × × + × ×∂ ∂ ∂

1 21 2

M MU x xp p

y y yλ

∗ ∂ ∂ ∂= × + × ∂ ∂ ∂

En este sentido, es posible incorporar en la expresión precedente información referidaa la restricción presupuestaria de la siguiente manera:

1 1 2 2M My p x p x= × + ×

1 21 21

M My x xp p

y y y

∂ ∂ ∂= = × + ×∂ ∂ ∂

Finalmente, la variación de la utilidad máxima con respecto a un cambio infinitesimalen el nivel de ingreso es equivalente a la utilidad marginal del ingreso.

U

yλ

∗∂ =∂

Por consiguiente, un incremento en el nivel de precios trae aparejado una disminuciónen la utilidad marginal del ingreso. Este resultado puede ser cotejado con lascondiciones de primer orden del problema de optimización del individuo.



7

La variación de la utilidad máxima con respecto a un cambio infinitesimal en el nivelde precios puede ser representada mediante el siguiente ejercicio de estáticacomparada:

1 2

1 1 1 2 2

M M

M M

U U x U x

p x p x p

∗ ∗ ∗∂ ∂ ∂ ∂ ∂= × + ×∂ ∂ ∂ ∂ ∂

En este sentido, es posible incorporar las condiciones necesarias de primer orden delproblema de optimización de la siguiente manera:

1 21 2

1 1 1

M MU x xp p

p p pλ λ

∗∂ ∂ ∂= × × + × ×∂ ∂ ∂

1 21 2

1 1 1

M MU x xp p

p p pλ

∗ ∂ ∂ ∂= × + × ∂ ∂ ∂

Es posible incorporar la información referida a la restricción presupuestaria en elóptimo de la siguiente manera:

1 1 2 2M My p x p x= × + ×

1 21 1 2

1 1 1

M MMy x x

x p pp p p

∂ ∂ ∂= + × + ×∂ ∂ ∂

1 21 1 2

1 1

0M M

M x xx p p

p p

∂ ∂= + × + ×∂ ∂

1 21 2 1

1 1

M MMx x

p p xp p

∂ ∂× + × = −∂ ∂

Por consiguiente, la expresión correspondiente a la variación de la utilidad máximacon respecto a un cambio infinitesimal en el nivel de precios queda reducida de lasiguiente manera:

11

MUx

pλ

∗∂ = × − ∂

Finalmente, obtenemos la expresión de la función de demanda marshaliana derivada apartir de la función de utilidad indirecta: “Identidad de Roy”.

11M

U

px

U

y

∗

∗

∂∂= −∂∂



8

Modelo de Minimización del Gasto:

El problema dual que enfrenta el consumidor puede ser representado de la siguientemanera:

1 21 1 2 2

;x xMin E p x p x= × + ×

s.a. ( )01 2;U U x x=

La función lagrangiana es definida de la siguiente manera:

( )01 1 2 2 1 2;L p x p x U U x xµ = × + × + × −

Las condiciones necesarias de primer orden del ejercicio de optimización son lassiguientes:

1 11

: 0L

p Ux

µ∂ − × =∂

2 22

: 0L

p Ux

µ∂ − × =∂

( )01 2: ; 0

LU U x x

µ∂ − =∂

En este sentido, las condiciones de primer orden del problema de optimizaciónestablecen la siguiente relación de igualdad:

1

1

p

Uµ= 2

2

p

Uµ=

Por consiguiente, el multiplicador de lagrange correspondiente al problema dual esequivalente al inverso del multiplicador de lagrange correspondiente al problemaprimal. Es decir,

1µλ

=

Por tanto,

1 2 1 1

1 2 2 2

p p U p

U U U p= ⇒ =

En este sentido, la condición de primer orden del problema primal es análoga a lacondición de primer orden del problema dual.



9

¿Cuál es la relación existente entre el problema dual y el problema primal?

Las condición de segundo orden del problema de optimización dual establece que eldeterminante hessiano resultante sea negativo:

2 2

1 2 ' '1 22 2 2

' '' ''1 11 122

1 1 1 2 ' '' ''2 21 222 2 2

22 2 1 2

0

0

L L

x xU U

L L LH U U U

x x x xU U U

L L L

x x x x

µ µ

µ µµ

µ µ

µ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ ∂ = = − − × − × ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − × − × ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Es decir,

0H−

<

En este sentido, el determinante de la matriz hessiana puede ser calculado de lasiguiente manera:

( ) ( ){ }2 2' ' '' ' '' ' ''1 2 12 2 11 1 122H U U U U U U Uµ µ µ

− = × − × × × − − × × + − × ×

( ) ( )2 2' ' '' ' '' ' ''1 2 12 2 11 1 122H U U U U U U Uµ µ µ

−= − × × × × + × × + × ×

Por tanto, es posible incorporar la información referida a las condiciones de primerorden del problema dual de la siguiente manera:

1

1

p

Uµ= 2

2

p

Uµ=

Por consiguiente,

2 2'' '' ''2 1

1 2 12 11 12

12

p pH p p U U U

µ µ µ−= − × × × × + × + ×

'' 2 '' 2 ''1 2 12 2 11 1 12

12H p p U p U p U

µ− = − × × × × − × − ×

Finalmente, es posible observar la íntima relación existente entre el problema dual yel problema primal:

1H H

µ− += − ×



10

En este sentido, la condición de segundo orden correspondiente al problema dual essatisfecha si y solo si la condición de segundo orden del problema primal essatisfecha.

La función de demanda compensada o hicksiana resultante del problema deoptimización puede ser descripta en forma implícita de la siguiente manera:

( )01 1 2; ;Hx f p p U=

( )02 1 2; ;Hx f p p U=

( )01 2; ;H f p p Uλ =

Sin embargo, la función de demanda marshaliana es equivalente a la función dedemanda hicksiana si y solo si el nivel máximo de utilidad alcanzado en el problemaprimal es igual al nivel de utilidad prefijado en el problema dual.

Es decir,

( )1 2

1 2;

;

. .

x xMaxU x x

Us a p x y

∗

× =

( )( )

( ) ( )1 21 2

; 01 2 1 2

1 2

; ; ; ; ; 1,2.

. . ;

x x M Hi i

MinC x xx p p y x p p U i

s a U U x x∗

⇒ = ==



11


Estas notas siguen el capítulo 10 del libro de Silberberg, a saber:

[1] Silberberg, Eugene; “The Structure of Economics: A Mathematical Analysis”.Second Edition. Editorial McGraw-Hill, Inc. 1990. Cap.10. ISBN: 0-07-057550-9.

Asimismo pueden consultar los siguientes textos, a saber:

[2] Henderson, J. M. & Quandt, R. E.; “Microeconomic Theory: A MathematicalApproach”. Editorial McGraw-Hill, Inc., New York 1980.

[3] Henderson, J. M. & Quandt, R. E.; “Teoría Microeconómica”. Tercera Edición enCastellano. Editorial Ariel S.A., Barcelona 1995. Cap.2. ISBN: 84-344-2004-X.

[4] Mas-Colell, A. & Whinston, M. & Green, J.; “Microeconomic Theory”. OxfordUniversity Press, Inc., New York 1995. Cap.3. ISBN: 0-19-507340-1.


[6] Villar, Antonio; “Lecciones de Microeconomía”. Antoni Bosch Editor S.A., Inc.,Barcelona 1999. Cap.5. ISBN: 84-85855-87-6.



12

La Ecuación de Slutsky: Dualidad en el Consumo

La ecuación de Slutsky tiene por objeto descomponer el efecto total sobre el nivel deconsumo frente a variaciones en los parámetros. Por tanto, la descomposición deSlutsky establece un vínculo estrecho entre las curvas de demanda marshalianas y lascurvas de demanda hicksianas o compensadas.

M H Mi i i

jj j

x x xx

p p y

∂ ∂ ∂= − ×∂ ∂ ∂

¿Cuál es la naturaleza de la ecuación de Slutsky? ¿Cómo es posible llegar a dichaexpresión?

( )1 2

1 2;

1 1 2 2

;

. .

x xMaxU x x

s a p x p x y× + × =

( ) [ ]1 2 1 1 2 2;L U x x y p x p xλ= + × − × − ×

Las condiciones de primer orden del problema primal son las siguientes:

1 11

: 0L

U px

λ∂ − × =∂

2 22

: 0L

U px

λ∂ − × =∂

1 1 2 2: 0L

y p x p xλ

∂ − × − × =∂

Por tanto, el teorema de la función implícita permite expresar las condiciones deprimer orden de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 2 1 2 1; ; ; ; ; ; ; 0M M MU x p p y x p p y p p y pλ − × ≡

( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 1 2 1 2 2; ; ; ; ; ; ; 0M M MU x p p y x p p y p p y pλ − × ≡

( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2; ; ; ; 0M My p x p p y p x p p y− × − × ≡

En este sentido, derivamos las condiciones de primer orden con respecto al nivel deingreso del individuo.Por consiguiente,

1 1 1 21

1 2

0M M M

M M

U x U xp

x y x y y

λ∂ ∂ ∂ ∂ ∂× + × − × =∂ ∂ ∂ ∂ ∂



13

2 1 2 22

1 2

0M M M

M M

U x U xp

x y x y y

λ∂ ∂ ∂ ∂ ∂× + × − × =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 21 21 0

M Mx xp p

y y

∂ ∂− × − × =∂ ∂

Expresamos matricialmente el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

11 11

1 2

2 2 22

1 2

1 2

0

0

10

M

M M

M

M M

M

xU Up

yx x

U U xp

x x y

p p

y

λ

∂∂ ∂ − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − × = ∂ ∂ ∂ − − − ∂ ∂

Por consiguiente, la expresión correspondiente a la variación de la cantidaddemandada de bienes frente a un cambio infinitesimal en el nivel de ingreso es lasiguiente:

1 2 12 1 22Mx p U p U

y H+

∂ × − ×=∂

En este sentido, es posible diferenciar el sistema de ecuaciones del problema primalcon respecto al nivel de precios de la siguiente manera:

1 1 1 21

1 1 2 1 1

0M M M

MM M

U x U xp

x p x p p

λλ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂× + × − + × = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 1 2 22

1 1 2 1 1

0M M M

M M

U x U xp

x p x p p

λ∂ ∂ ∂ ∂ ∂× + × − × =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 21 1 2

1

0M M

M x xx p p

y p

∂ ∂− + × − × = ∂ ∂

Nuevamente expresamos matricialmente el sistema de ecuaciones de la siguientemanera:



14

11 11

11 2

2 2 22

1 2 11

1 2

1

0

0

M

M MM

M

M MM

M

xU Up

px x

U U xp

x x px

p p

p

λ

λ

∂∂ ∂ − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − × = ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂

Por consiguiente, la expresión correspondiente a la variación de la cantidaddemandada de bienes frente a un cambio infinitesimal en el nivel de precios es lasiguiente:

22 1 12 1 1 22 21

1

M M MM p x U p x U px

p H

λ

+

− × × − − × × + ×∂ =∂

[ ] 21 2 12 1 221 2

1

MM Mx p U p Ux p

p H H

λ

+ +

− × × − ×∂ ×= −∂

En este sentido, es posible incorporar la información obtenida en el ejercicio deestática precedente y obtener la expresión correspondiente en el siguiente sentido:

21 1 2

11

M M MMx x p

xp y H

λ

+

∂ ∂ ×= − × −∂ ∂

Por consiguiente, la variación en la cantidad demandada frente a un pequeño cambioen el nivel de precios (efecto total) es equivalente a la suma entre el efecto ingreso(primer término) y un segundo término correspondiente al efecto sustitución.Por tanto, es necesario demostrar formalmente que el segundo término es,efectivamente, el efecto sustitución.En este sentido,

( )1 2

1 1 2 2;

1 2. . ;

x xMin E p x p x

s a U x x U ∗

= × + ×

=

( )1 1 2 2 1 2;L p x p x U U x xµ ∗ = × + × + × −

Las condiciones necesarias de primer orden del problema dual son las siguientes:

1 11

: 0L

p Ux

µ∂ − × =∂

2 22

: 0L

p Ux

µ∂ − × =∂



15

( )01 2: ; 0

LU U x x

µ∂ − =∂

Por tanto, el teorema de la función implícita permite expresar las condiciones deprimer orden de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )0 0 01 1 2 1 1 1 2 2 1 2; ; ; ; ; ; ; 0H H Hp p p U U x p p U x p p Uµ − × ≡

( ) ( ) ( )0 0 02 1 2 2 1 1 2 2 1 2; ; ; ; ; ; ; 0H H Hp p p U U x p p U x p p Uµ − × ≡

( ) ( )0 0 01 1 2 2 1 2; ; ; ; ; 0H HU U x p p U x p p U − ≡

En este sentido, diferenciamos el sistema de ecuaciones correspondiente a lascondiciones de primer orden del problema dual con respecto al nivel de precios.Por consiguiente,

1 211 12 1

1 1 1

1 0H H H

H Hx xU U U

p p p

µµ µ ∂ ∂ ∂− × × + × × + × = ∂ ∂ ∂

1 221 22 2

1 1 1

0H H

H x xU U U

p p p

µµ ∂ ∂ ∂− × × + × − × = ∂ ∂ ∂

1 21 2

1 1

0H Hx x

U Up p

∂ ∂− × + × = ∂ ∂

Expresamos matricialmente el sistema de ecuaciones precedente de la siguientemanera:

11 11

11 2

2 2 22

1 2 1

1 2

1

1

0

00

H

H H

H

H H

H

xU UU

px x

U U xU

x x p

U U

p

µ µ

µ µ

µ

∂∂ ∂ − × − × − ∂∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − × − × − × = ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂

Por consiguiente, la expresión correspondiente a la variación de la cantidaddemandada con respecto a un cambio infinitesimal en el nivel de precios es lasiguiente:

21 2

1

Hx U

p H−

∂ =∂



16

En este sentido, es posible incorporar la condición de primer orden del problema dualen la expresión precedente de la siguiente manera:

22 2

2 2 2 20

pp U Uµ

µ− × = ⇒ =

Por consiguiente, la expresión correspondiente a la variación de la cantidaddemandada frente a un cambio infinitesimal en el nivel de precios queda reducida a lasiguiente:

21 2

21

1Hx p

p Hµ−

∂ = ×∂

Si:1µλ

= y 1

H H H Hλµ− + − +

= − × ⇒ = − ×

Finalmente, obtenemos la siguiente expresión:

2 2 21 2 2

1

Hx p p

p H H

λ λλ

+ +

∂ × ×= − = −∂ ×

Conclusión: la variación en la cantidad demandada frente a un cambio infinitesimalen el nivel de precios trae aparejado un efecto sustitución y un efecto ingreso.

En este sentido, incorporamos la información precedente y obtenemos la ecuación deSlutsky de la siguiente manera:

1 1 11

1 1

M H MMx x x

xp p y

∂ ∂ ∂= − ×∂ ∂ ∂

Asimismo, es posible representar la ecuación de Slutsky en término de elasticidadesen el siguiente sentido:

1 1 1 1 1 11

1 1 1 1 1

M H Mx p x p x p yx

p x p x y x y

∂ ∂ ∂× = × − × × ×∂ ∂ ∂

1 111 11 1M H M

y

p xE E E

y

×= − ×

La proporción del gasto destinada al consumo del bien 1 es equivalente a la siguienteexpresión:

1 1p x

yα ×=



17

Por tanto, la ecuación de Slutsky expresada en término de elasticidades quedareducida a la siguiente expresión:

11 11 1M H M

yE E Eα= − ×



18








[5] Hicks, J. R.; “Valor y Capital”. Fondo de Cultura Económica, México.





19

Condición de Agregación de Engel:

La restricción presupuestaria del individuo puede ser definida de la siguiente manera:

1 1 2 2y p x p x= × + ×

La expresión correspondiente al diferencial total de la restricción presupuestaria es lasiguiente:

1 1 2 2dy p dx p dx= × + ×

En este sentido,

1 1 2 21 2

1 2

dy dx x dx xp p

dy dy x dy x= × × + × ×

1 1 2 21 2

1 2

dy dx x y dx x yp p

dy dy x y dy x y= × × × + × × ×

Por consiguiente,

1 1 1 2 2 2

1 2

dy dx y p x dx y p x

dy dy x y dy x y

× ×= × × + × ×

En este sentido, obtenemos una representación de la restricción presupuestaria entérmino de elasticidades.

1 1 2 21 21 y y

p x p xE E

y y

× ×= × + ×

Por tanto, la condición de agregación de Engel queda definida de la siguiente manera:

1 1 2 2 1y yE Eα α× + × =

Asimismo,

2 21

1

1 yy

EE

αα

− ×=

Si: 1 2 1,α α+ = entonces la expresión precedente queda reducida a la siguiente:

2 21

2

1

1y

y

EE

αα

− ×=

−

Conclusión:



20

2 1Si 1, entonces 1.y yE E= = Este resultado necesariamente es así debido a que el

individuo debe satisfacer su restricción presupuestaria con signo igual.

2 1Si 1, entonces 1.y yE E< > En este sentido, si uno de los bienes es inferior, entonces

el bien restante de ser superior de forma tal que el individuo satisfaga su restricciónpresupuestaria con signo igual. 2 1Y viceversa. Si 1, entonces 1.y yE E> <

La Ecuación de Slutsky: Algunas Extensiones

¿Cuál es la relación existente entre las elasticidades de los distintos tipos de bienes?

( )01 2;U U x x=

En equilibrio,

( ) ( )0 01 1 2 2 1 2; ; ; ; ;H H oU U x p p U x p p U =

Por tanto, la variación de la utilidad máxima alcanzada por el individuo frente a uncambio infinitesimal en el nivel de precios es la siguiente expresión:

01 2

1 1 1 2 1

H H

H H

U U x U x

p x p x p

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= × + ×∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 21 2

1 1

0H Hx x

U Up p

∂ ∂= × + ×∂ ∂

Las condiciones de primer orden del ejercicio de optimización dual son las siguiente:

1,2.i ip U iµ= × =

Por tanto, es posible incorporar la información precedente y obtener la siguienteexpresión:

1 1 2 2

1 1

0H Hp x p x

p pµ µ∂ ∂= × + ×∂ ∂

Es decir,

(1) 1 21 2

1 1

0H Hx x

p pp p− +

∂ ∂= × + ×∂ ∂

En este sentido, si existen únicamente dos bienes en la economía, entonces losmismos deben ser sustitutos.La función de demanda hicksiana puede ser definida en forma implícita de lasiguiente manera:



21

( )1 1 2; ;Hx f p p U=

Aplicando el teorema de Euler nos queda,

1 11 2 1

1 2

H HHx x

p p x np p

∂ ∂× + × = ×∂ ∂

Si la función de demanda hicksiana es homogénea de grado cero en precios, entoncesla expresión precedente queda reducida a la siguiente:

(2) 1 11 2

1 2

0H Hx x

p pp p

∂ ∂× + × =∂ ∂

En este sentido, es posible igualar ambas expresiones (1) y (2) de la siguiente manera:

1 2 1 11 2 1 2

1 1 1 2

H H H Hx x x xp p p p

p p p p

∂ ∂ ∂ ∂× + × = × + ×∂ ∂ ∂ ∂

Por consiguiente,

2 12 2

1 2

H Hx xp p

p p

∂ ∂× = ×∂ ∂

2 1

1 2

H Hx x

p p

∂ ∂=∂ ∂

Conclusión: los efectos cruzados existentes sobre las curvas de demanda hicksianasson idénticos entre sí.

¿Qué sucede en el caso de las curvas de demanda marshalianas?

Es posible apelar a la ecuación de Slutsky para responder a este interrogante. Porconsiguiente, la ecuación de Slutsky correspondiente para cada bien son lassiguientes:

1 1 12

2 2

M H MMx x x

xp p y

∂ ∂ ∂= − ×∂ ∂ ∂

2 2 21

1 1

M H MMx x x

xp p y

∂ ∂ ∂= − ×∂ ∂ ∂

En este sentido, es posible despejar en cada ecuación el efecto sustitución de lasiguiente manera:



22

1 1 12

2 2

H M MMx x x

xp p y

∂ ∂ ∂= + ×∂ ∂ ∂

2 2 21

1 1

H M MMx x x

xp p y

∂ ∂ ∂= + ×∂ ∂ ∂

Si los efectos cruzados de las curvas de demanda hicksianas son idénticos, entonces esposible igualar ambas expresiones de la siguiente manera:

1 1 2 22 1

2 1

M M M MM Mx x x x

x xp y p y

∂ ∂ ∂ ∂+ × = + ×∂ ∂ ∂ ∂

Conclusión: los efectos cruzados sobre las curvas de demanda marshaliana sonidénticos si y solo si el efecto ingreso es el mismo para cada bien.



23










24

El Problema de la Integrabilidad: Axioma de la Preferencia Revelada

Consideremos el siguiente conjunto de funciones de demanda marshalianas estimadaspor un econometrista:

( )1 11

;2

M yx p y

p=

×

( )2 22

;2

M yx p y

p=

×

¿Es posible que las funciones de demanda estimadas hayan sido derivadas por unafunción de utilidad? ¿Bajo qué condiciones un conjunto de relaciones de demanda esconsistente con el análisis de la utilidad del individuo?

1. Las funciones de demanda estimadas son homogéneas de grado cero en precios yen el nivel de ingreso.

2. Asimismo, la restricción presupuestaria es satisfecha con signo igual.

Es decir,

1 1 2 2M Mp x p x y× + × =

1 21 22 2

y yp p y

p p

× + × = × ×

2 2

y yy+ ≡

En este sentido, las cantidades consumidas por el individuo agotan completamente sunivel de ingreso.

Las funciones de demanda estimadas, ¿son consistentes con la matriz correspondientea los términos de Slutsky? Es necesario, por tanto, calcular la matriz correspondientea los términos de Slutsky.Los términos de Slutsky correspondientes a los efectos directos pueden ser calculadosde la siguiente manera:

1 1 11

1 1

H M MMx x x

xp p y

∂ ∂ ∂= + ×∂ ∂ ∂

2 2 22

2 2

H M MMx x x

xp p y

∂ ∂ ∂= + ×∂ ∂ ∂

En este sentido,



25

12 2

1 1 1 1 1

1

2 2 2 4

Hx y y y

p p p p p

∂ = − + × = −∂ × × × ×

22 2

2 2 2 2 2

1

2 2 2 4

Hx y y y

p p p p p

∂ = − + × = −∂ × × × ×

Por consiguiente, las funciones de demanda estimadas son consistentes con lostérminos de la matriz de Slutsky correspondiente a los efectos directos.

1

1

0Hx

p

∂ <∂

2

2

0Hx

p

∂ <∂

Los términos de Slutsky correspondientes a los efectos cruzados pueden sercalculados de la siguiente manera:

1 1 12

2 2

H M MMx x x

xp p y

∂ ∂ ∂= + ×∂ ∂ ∂

2 2 21

1 1

H M MMx x x

xp p y

∂ ∂ ∂= + ×∂ ∂ ∂

En este sentido,

1

2 2 1 1 2

10

2 2 4

Hx y y

p p p p p

∂ = + × =∂ × × × ×

2

1 1 2 1 2

10

2 2 4

Hx y y

p p p p p

∂ = + × =∂ × × × ×

Por consiguiente, las funciones de demanda estimadas son consistentes con lostérminos de la matriz de Slutsky correspondiente a los efectos cruzados.

1 2

2 1

H Hx x

p p

∂ ∂=∂ ∂

La matriz correspondiente a los términos de Slutsky puede ser descripta de lasiguiente manera:

1 1

1 2

2 2

1 2

H H

H H

x x

p pS

x x

p p

∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

∂ ∂



26

En este sentido, la condición necesaria para la existencia de una función de utilidadque sea capaz de derivar las funciones de demanda estimadas exige que la matrizprecedente sea semidefinida negativa.Por tanto,

(1) 1

1

0Hx

p

∂ <∂

2

2

0Hx

p

∂ <∂

(2)

2

1 2 1

1 2 2

0H H Hx x x

p p p

∂ ∂ ∂× − = ∂ ∂ ∂

Las primeras condiciones han sido verificadas más arriba. La segunda condiciónpuede ser calculada de la siguiente manera:

2 2

1 2 12 2

1 2 2 1 2 1 2

04 4 4

H H Hx x x y y y

p p p p p p p

∂ ∂ ∂× − = − × − − ≡ ∂ ∂ ∂ × × × ×

Conclusión: las funciones de demanda estimadas satisfacen todas las propiedadesusuales del análisis de la utilidad.

Entonces, ¿es suficiente que las funciones de demanda satisfagan las propiedadesusuales para garantizar la existencia de una función de utilidad?

Si existe una función de utilidad 1 2( ; )U x x capaz de generar las funciones de demandaestimadas, entonces a lo largo de una curva de indiferencia debe verificarse lasiguiente relación:

1 1 2 2 0dU U dx U dx= × + × =

Es decir,

21 2

1

0U

dx dxU

+ × =

En este sentido,

2 1

1 2

dx U

dx U= −

Por tanto, la expresión precedente establece que la tasa marginal de sustitución entredos bienes debe ser igual al cociente de utilidades marginales. Asimismo, la condiciónde tangencia establece que la tasa marginal de sustitución debe ser igual a los preciosrelativos (información objetiva).

1 1

2 2

U p

U p=



27

En este sentido, es posible reemplazar la información referida a las funciones dedemanda estimadas en la condición de tangencia:

( ) ( )1 1 1 11 1

; ;2 2

M y yx p y p x y

p x= ⇒ =

× ×

( ) ( )2 2 2 22 2

; ;2 2

M y yx p y p x y

p x= ⇒ =

× ×

Es decir, es posible incorporar la información referida a la función de demandainversa en la condición de tangencia de la siguiente manera:

1 2 2

2 1 1

2

2

U y x x

U x y x

×= × =×

Por consiguiente, la ecuación diferencial correspondiente a la tasa marginal desustitución deviene de la siguiente manera:

2 2

1 1

dx x

dx x= −

En este sentido, esta ecuación diferencial puede ser integrada mediante variablesseparables de la siguiente manera:

2 1

2 1

dx dx

x x= −∫ ∫

Por tanto,

2 1ln ln ln ( )x x F U= − +

Finalmente, la expresión correspondiente a la función de utilidad capaz de generar lasfunciones de demanda es la siguiente:

( ) 1 2F U x x= ×

En este sentido, la constante de integración ( )F U es el nivel arbitrario de indiferencia

elegido para el elemento de la pendiente 2 1 .dx dx

Corolario: el problema de la integrabilidad ha sido resuelto para el caso de dosvariables. En este sentido, si las funciones de demanda estimadas satisfacen laspropiedades usuales del análisis de la utilidad, entonces las mismas son integrables,es decir, es posible obtener la expresión correspondiente a la función de utilidad.

Demostración:

Sean las siguientes funciones de demanda,



28

( )1 1 1 2; ;Mx x p p y=

( )2 2 1 2; ;Mx x p p y=

Si, por un lado, las cantidades consumidas de bienes agotan completamente el nivelde ingreso y, por otro lado, las funciones de demanda son homogéneas de grado ceroen precios y nivel de ingreso, entonces:

1 1 2 2M Mp x p x y× + × ≡

( ) ( )1 2 1 2; ; ; ; 1, 2.M Mi ix tp tp ty x p p y i≡ =

Si las funciones de demanda son integrables, es decir, si existe una función de utilidadcapaz de generar las mismas, entonces los términos de Slutsky correspondientes a losefectos cruzados deben igualarse entre sí. Veamos si este es el caso:

La propiedad de homogeneidad de la expresión correspondiente a la función dedemanda marshaliana permite aplicar el teorema de Euler de la siguiente manera,

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 21 2 1 2

1 2

; ; ; ; ; ;; ;

M M Mi i i M

i

x p p y x p p y x p p yp p y n x p p y

p p y

∂ ∂ ∂× + × + × ≡ ×

∂ ∂ ∂

Por consiguiente,

( )1 1 11 2 1 1 2 2

1 2

0M M Mx x x

p p p x p xp p y

∂ ∂ ∂× + × + × + × × ≡∂

En este sentido,

1 1 1 11 1 2 2

1 2

0M M M M

M Mx x x xp x p x

p y p y

∂ ∂ ∂ ∂× + × + × + × ≡ ∂ ∂ ∂ ∂

Claramente es posible observar la analogía con los términos de Slutskycorrespondientes a los efectos directo y cruzado. Más específicamente,

(1) 1 11 2

1 2

0H Hx x

p pp p

∂ ∂× + × ≡∂ ∂

Asimismo, es posible tomar exáctamente la misma actitud frente a la función dedemanda correspondiente al bien 2 y obtener el siguiente resultado:

(2) 2 21 2

1 2

0H Hx x

p pp p

∂ ∂× + × ≡∂ ∂



29

Las ecuaciones (1) y (2) pueden ser generalizadas en el mismo sentido para el caso de“n” bienes y obtener la siguiente relación:

1

0, 1,.....,Hni

jj j

xp i n

p=

∂× ≡ =∂∑

Ahora consideremos la restricción presupuestaria del individuo y diferenciemos lamisma con respecto al precio del bien 1 y con respecto al nivel de ingreso.Es decir,

1 21 2 1

1 1

M MMx x

p p xp p

∂ ∂× + × ≡ −∂ ∂

1 21 2 1

M Mx xp p

y y

∂ ∂× + × ≡∂ ∂

Es posible multiplicar esta última expresión por 1Mx− de manera tal de poder igualar

ambas expresiones resultantes:

1 21 1 2 1 1

M MM M Mx x

p x p x xy y

∂ ∂− × × − × × ≡ −∂ ∂

Por consiguiente, sustituyendo este resultado en la expresión obtenidaprecedentemente llegamos a la siguiente:

1 2 1 21 2 1 1 2 1

1 1

M M M MM Mx x x x

p p p x p xp p y y

∂ ∂ ∂ ∂× + × ≡ − × × − × ×∂ ∂ ∂ ∂

En este sentido,

1 1 2 21 1 2 1

1 1

0M M M M

M Mx x x xp x p x

p y p y

∂ ∂ ∂ ∂× + × + × + × ≡ ∂ ∂ ∂ ∂

Son, efectivamente, los términos de Slutsky correspondientes a los efectos directos ycruzados. Es decir,

(3) 1 21 2

1 1

0H Hx x

p pp p

∂ ∂× + × ≡∂ ∂

Asimismo, es posible diferenciar la restricción presupuestaria con respecto al preciodel bien 2 y arribar a la misma conclusión.

(4) 1 21 2

2 2

0H Hx x

p pp p

∂ ∂× + × ≡∂ ∂



30

Las ecuaciones (3) y (4) pueden ser generalizadas en el mismo sentido para el caso de“n” bienes y obtener la siguiente relación:

1

0, 1,.....,Hni

ii j

xp j n

p=

∂× ≡ =∂∑

Conclusión: la relación obtenida mediante la generalización de las ecuaciones (1) y(2) y la relación obtenida mediante la generalización de las ecuaciones (3) y (4)establecen que la suma ponderada de los términos de Slutsky para cualquier bien soniguales a cero. Nota: los precios son los ponderadores.



31







[4] Mas-Colell, A. & Whinston, M. & Green, J.; “Microeconomic Theory”. OxfordUniversity Press, Inc., New York 1995. Cap.2 y 3. ISBN: 0-19-507340-1.

[5] Samuelson, Paul A.; “Consumption Theory in Terms of Revealed Preference”.(Economica, November 1948).

[6] Samuelson, Paul A.; “The Problem of Integrability in Utility Theory”.(Economica, November 1950).


Microeconomía II: Teoría del Productor


32

Teoría del Productor: Modelo de Maximización de Beneficios

La firma representativa maximiza la siguiente función de beneficios:

( )1 2 1 1 2 2,pf x x w x w xπ = − −

Las condiciones necesarias de primer orden para la maximización de beneficios sonlas siguientes:

( )1 21

1 1

,: 0

f x xp w

x x

π ∂∂ − =∂ ∂

( )1 22

2 2

,: 0

f x xp w

x x

π ∂∂ − =∂ ∂

Las condiciones suficientes de segundo orden para la maximización de beneficios sonlas siguientes:

2

21

0x

π∂ <∂

2

22

0x

π∂ <∂

2 2 2

2 21 2 1 2

0x x x x

π π π∂ ∂ ∂− >∂ ∂ ∂ ∂

En este sentido,

( )22 ,i j

i j i j

f x xp

x x x x

π ∂∂ =∂ ∂ ∂ ∂

Por consiguiente, las condiciones de segundo orden del problema de maximización debeneficios quedan reducidas de la siguiente manera:

( )21 2

21

,0

f x x

x

∂<

∂

( )21 2

22

,0

f x x

x

∂<

∂

( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 22 21 2 1 2

, , ,0

f x x f x x f x x

x x x x

∂ ∂ ∂− >

∂ ∂ ∂ ∂

Nuevamente las condiciones de primer orden del ejercicio de maximización debeneficios son las siguientes:

( )1 1 2 1, 0pf x x w− =



33

( )2 1 2 2, 0pf x x w− =

Es posible resolver el sistema de ecuaciones precedentes y obtener las expresionescorrespondientes a las variables de decisión del problema, a saber:

( )1 1 1 2, ,x x w w p∗=

( )2 2 1 2, ,x x w w p∗=

Las expresiones precedentes son una representación formal de las curvas de demandade factores productivos de la firma.

El interrogante es el siguiente: ¿cuál es el signo de las derivadas parciales y, por tanto,las proposiciones refutables del modelo de maximización de beneficios?

1

1

x

w

∗∂∂

1

2

x

w

∗∂∂

1x

p

∗∂∂

2

1

x

w

∗∂∂

2

2

x

w

∗∂∂

2x

p

∗∂∂

Es posible incorporar la representación formal de las curvas de demanda de factoresproductivos en las condiciones de primer orden del problema, es decir:

( ) ( )1 1 1 2 2 1 2 1, , , , , 0pf x w w p x w w p w∗ ∗ − ≡

( ) ( )2 1 1 2 2 1 2 2, , , , , 0pf x w w p x w w p w∗ ∗ − ≡

La respuesta de la firma frente a un cambio infinitesimal en el precio del primer factorpuede ser obtenida de la siguiente manera, a saber:

1 1 1 2

1 1 2 1

1 0f x f x

p px w x w

∗ ∗∂ ∂ ∂ ∂+ − ≡∂ ∂ ∂ ∂

2 1 2 2

1 1 2 1

0f x f x

p px w x w

∗ ∗∂ ∂ ∂ ∂+ ≡∂ ∂ ∂ ∂

En este sentido,

1 211 12

1 1

1x x

pf pfw w

∗ ∗∂ ∂+ ≡∂ ∂

1 221 22

1 1

0x x

pf pfw w

∗ ∗∂ ∂+ ≡∂ ∂



34

Matricialmente,

11 12 1 1

21 22 2 1

1

0

pf pf x w

pf pf x w

∗

∗

∂ ∂ = ∂ ∂

En este sentido, es posible resolver el sistema de ecuaciones y obtener finalmente larespuesta de la firma de la siguiente manera: (regla de cramer)

( )1 22 1

21 111 22 12

0x f x

w wp f f f

∗ ∗∂ ∂= ⇒ <∂ ∂−

( )2 21 2

21 111 22 12

?x f x

w wp f f f

∗ ∗∂ − ∂= ⇒ =∂ ∂−

La respuesta de la firma frente a un cambio infinitesimal en el precio del segundofactor, es decir 2 ,w puede ser obtenida de la siguiente manera, a saber:

1 1 1 2

1 2 2 2

0f x f x

p px w x w

∗ ∗∂ ∂ ∂ ∂+ ≡∂ ∂ ∂ ∂

2 1 2 2

1 2 2 2

1 0f x f x

p px w x w

∗ ∗∂ ∂ ∂ ∂+ − ≡∂ ∂ ∂ ∂

En este sentido,

1 211 12

2 2

0x x

pf pfw w

∗ ∗∂ ∂+ ≡∂ ∂

1 221 22

2 2

1x x

pf pfw w

∗ ∗∂ ∂+ ≡∂ ∂

Matricialmente,

11 12 1 2

21 22 2 2

0

1

pf pf x w

pf pf x w

∗

∗

∂ ∂ = ∂ ∂


( )1 12 1

22 211 22 12

?x f x

w wp f f f

∗ ∗∂ − ∂= ⇒ =∂ ∂−



35

( )2 11 2

22 211 22 12

0x f x

w wp f f f

∗ ∗∂ ∂= ⇒ <∂ ∂−

Aún cuando no sea posible obtener el signo de los efectos cruzados sobre la curva dedemanda de factores, es posible establecer la siguiente relación de reciprocidad:

1 2

2 1

x x

w w

∗ ∗∂ ∂=∂ ∂

Asimismo, ¿cuál es el comportamiento de la firma frente a una variación en el preciodel bien?

1 1 1 21

1 2

0f x f x

p p fx p x p

∗ ∗∂ ∂ ∂ ∂+ + ≡∂ ∂ ∂ ∂

2 1 2 22

1 2

0f x f x

p p fx p x p

∗ ∗∂ ∂ ∂ ∂+ + ≡∂ ∂ ∂ ∂

En este sentido,

1 211 12 1

x xpf pf f

p p

∗ ∗∂ ∂+ ≡ −∂ ∂

1 221 22 2

x xpf pf f

p p

∗ ∗∂ ∂+ ≡ −∂ ∂

Matricialmente,

11 12 11

21 22 22

pf pf fx p

pf pf fx p

∗

∗

− ∂ ∂ = −∂ ∂


( )1 1 22 2 12 1

211 22 12

?x f f f f x

p pp f f f

∗ ∗∂ − + ∂= ⇒ =∂ ∂−

( )2 2 11 1 12 2

211 22 12

?x f f f f x

p pp f f f

∗ ∗∂ − + ∂= ⇒ =∂ ∂−

Asimismo, ¿cuál es la variación del nivel de producción frente a un cambio en laconfiguración de parámetros de la economía?



36

La Función de Oferta:

El nivel de producción de la firma que maximiza beneficios puede ser obtenido de lasiguiente manera:

( )1 2,y f x x∗ ∗ ∗=

Las relaciones de demanda de factores de la firma son una función de los precios, esdecir:

( )1 2, , 1, 2i ix x w w p i∗= =

En este sentido,

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , , , , , ,y f x w w p x w w p y w w p∗ ∗ ∗ ∗ ≡ ≡

La respuesta de la firma en términos de nivel de producto frente a una variación en elnivel de precios puede ser obtenida de la siguiente manera:

1 2

1 2

y f x f x

p x p x p

∗ ∗ ∗∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Es decir,

1 21 2

y x xf f

p p p

∗ ∗ ∗∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂

Por consiguiente, la variación en el nivel de producto frente a un cambio en el nivelde precios es la siguiente:

( ) ( )1 22 2 12 2 11 1 12

1 22 211 22 12 11 22 12

y f f f f f f f ff f

p p f f f p f f f

∗ ∂ − + − + = +∂ − −

En este sentido,

( )2 2

1 22 12 1 2 2 112

11 22 12

2 0

y f f f f f f f y

p pp f f f

∗ ∗∂ − + − ∂= ⇒ >∂ ∂−

Demostrar la siguiente relación de reciprocidad1: (ejercicio)

1,2i

i

xyi

w p

∗∗ ∂∂ ≡ − =∂ ∂

1 Intenten demostrar esta relación uds mismos como ejercicio.



37

Principio de Le Chatelier: corto plazo vs largo plazo

Suponga la existencia de un factor fijo en el corto plazo, a saber:

02 2x x=

¿En qué medida las proposiciones refutables propias del modelo de maximización debeneficios se ven modificadas? Es decir, ¿cómo responde la firma frente a un cambioen la configuración de parámetros en un contexto en el cual existe un factor fijo?

( )0 01 2 1 1 2 2 ,Max pf x x w x w xπ = − −

En este sentido, el problema de maximización de beneficios presenta la particularidadde tener una única variable de decisión. Por consiguiente, la condición necesaria deprimer orden del problema es la siguiente:

( )01 1 2 1

1

: , 0pf x x wx

π∂ − =∂

Asimismo, la condición suficiente del problema de maximización de beneficios es lasiguiente:

2

1121

0pfx

π∂ = <∂

La curva de demanda del factor productivo representa la solución del problema demaximización de beneficios, es decir:

( )01 1 1 2, ,CPx x w p x=

En este sentido, es posible incorporar la expresión precedente en la condición deprimer orden del problema, a saber:

( )0 01 1 1 2 2 1, , , 0CPpf x w p x x w − ≡

La respuesta de la firma frente a una variación en el precio del factor productivopuede ser obtenida de la siguiente manera:

111

1

1CPx

pfw

∂ ≡∂

Es decir,

1 1

1 11 1

1 0

CP CPx x

w pf w

∂ ∂≡ ⇒ <∂ ∂



38

Aún cuando exista un factor fijo en el corto plazo, la pendiente de la curva resulta sernegativa. Sin embargo, ¿cuál es la diferencia entre el corto plazo y el largo plazo?

( )1 1 22

21 1 1111 22 12

1LP CPx x f

w w pfp f f f

∂ ∂− = −∂ ∂ −

Combinando términos nos queda:

( )2

1 1 122

1 1 11 11 22 12

0LP CPx x f

w w pf f f f

∂ ∂− = <∂ ∂ −

Conclusión: la curva de demanda del factor productivo es más elástica en el largoplazo y, por tanto, una variación en el precio del factor productivo trae aparejado unarespuesta más sensible de la firma en el largo plazo y una respuesta menos sensible enel corto plazo. Interprete económicamente.

Ejercicio Práctico:

Determine la diferencia entre la curva de oferta de corto plazo y la curva de oferta delargo plazo. Compare las mismas e interprete económicamente. Grafique.

Resolución:

Es posible establece la siguiente relación de identidad entre la curva de oferta de largoplazo y la curva de oferta de corto plazo:

( ) ( )( )1 2 1 2 1 2, , , , , ,CPy w w p y w p x w w p∗ ∗≡

La variación del nivel de producción frente a un cambio en el nivel de precios es lasiguiente:

202

CP CPy y y x

p p x p

∗ ∗ ∂ ∂ ∂ ∂≡ + ∂ ∂ ∂ ∂

20

2 2 2

CPy y x

w x w

∗ ∗ ∂ ∂ ∂≡ ∂ ∂ ∂

En este sentido,

2

2

y x

w p

∗ ∗∂ ∂= −∂ ∂

(condición de reciprocidad)

Por tanto,



39

2 202 2

CPx y x

p x w

∗ ∗ ∂ ∂ ∂≡ − ∂ ∂ ∂

Por consiguiente,

20 02 2 2

CP CP CPy y y y x

p p x x w

∗ ∗ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂≡ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2

202 2

( ) ( )

CP CPy y y x

p p x w

∗ ∗

+ −

∂ ∂ ∂ ∂≡ − ∂ ∂ ∂ ∂

Conclusión: la función de oferta en el largo plazo es más elástica que la función deoferta en el corto plazo.

CPy y

p p

∗∂ ∂>∂ ∂

Ejercicio Práctico:

Determine la diferencia entre la curva de demanda de factores productivos de cortoplazo y la curva de demanda de factores productivos en el largo plazo. Compare lasmismas e interprete económicamente. Grafique.

( ) ( )( )1 1 2 1 1 2 1 2, , , , , ,CPx w w p x w p x w w p∗ ∗≡



40





[2] Henderson, J. M. & Quandt, R. E.; “Microeconomic Theory: A MathematicalApproach”. Editorial McGraw-Hill, Inc., New York 1980. Cap.4.







41

Teoría del Productor: Modelo de Minimización de Costos

La firma representativa minimiza la siguiente función de costos condicionada al nivelde producción prefijado:

( )

( )

1 2 1 1 2 2

1 2

,

. ,

C x x w x w x

s a y f x x

= +

=

En este sentido,

( )1 1 2 2 1 2,L w x w x y f x xλ= + + −

Las condiciones de primer orden del problema de minimización de costos sujeto a unnivel de producto prefijado por la firma son las siguientes:

1 11

: 0L

w fx

λ∂ − =∂

2 22

: 0L

w fx

λ∂ − =∂

( )1 2: , 0L

y f x xλ

∂ − =∂

La condición de segundo orden del problema exige que el siguiente determinantehessiano sea negativo:

11 12 1

21 22 2

1 2

0

0

f f f

H f f f

f f

λ λλ λ

− − −= − − − <

− −

La solución del problema de minimización de costos está representada por la curva dedemanda de factores condicionada, a saber:

( )1 1 1 2, ,x x w w y∗=

( )2 2 1 2, ,x x w w y∗=

( )1 2, ,w w yλ λ ∗=

Interpretación del Multiplicador de Lagrange:



42

Es posible obtener la siguiente relación de equivalencia a partir de las condiciones deprimer orden del problema de minimización:

1 2

1 2

w w

f fλ ∗ = =

1 1 2 2 1 1 2 2f x f x w x w xλ λ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗+ = +

Asimismo,

1 1 2 2C w x w x∗ ∗ ∗= +

1 1 2 2

C

f x f xλ

∗∗

∗ ∗=+

1 2

1 2 1 1 2 2

w w C

f f f x f xλ

∗∗

∗ ∗= = =+

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

w x w x w x w x

f x f x f x f xλ

∗ ∗ ∗ ∗∗

∗ ∗ ∗ ∗

+= = =+

CCMg

y

∗∂=∂

( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2, , , ,C w x w w y w x w w y∗ ∗ ∗= +

1 21 2

C x xw w

y y y

∗ ∗ ∗∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂

Es posible incorporar las condiciones de primer orden del problema de minimizaciónen la expresión anterior de la siguiente manera:

1 21 2

C x xf f

y y yλ

∗ ∗ ∗∗ ∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂

Asimismo,

( )1 2, 0y f x x− =

Si evaluamos la condición precedente en el óptimo, entonces nos queda la siguienteidentidad:

( ) ( )( )1 1 2 2 1 2, , , , , 0y f x w w y x w w y∗ ∗− ≡



43

Es posible diferenciar la identidad con respecto al nivel de producción de la siguientemanera:

1 21 21 0

x xf f

y y

∗ ∗∂ ∂− − ≡∂ ∂

1 21 2 1

x xf f

y y

∗ ∗∂ ∂+ ≡∂ ∂

Por consiguiente, queda demostrado que el multiplicador de lagrange hace referenciaal costo marginal por producir una unidad más del bien. Es decir,

C

yλ

∗∗ ∂≡

∂

Análisis Estático Comparativo: ¿cuáles son las proposiciones refutables del modelode minimización de los costos de la firma?

El análisis de estática comparada en el modelo de minimización de costos y, por tanto,las proposiciones refutables del mismo pueden ser representadas por los signos de lassiguientes derivadas parciales:

, 1, 2i

j

xi j

w

∗∂ =∂

1, 2ixi

y

∗∂ =∂

1,2i

iw

λ ∗∂ =∂

y

λ ∗∂∂

El primer paso para el análisis estático comparativo consiste en incorporar la solucióndel problema en las condiciones de primer orden. Es decir,

( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 1 2 2 1 2, , , , , , , 0w w w y f x w w y x w w yλ ∗ ∗ ∗ − ≡

( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 1 2 2 1 2, , , , , , , 0w w w y f x w w y x w w yλ ∗ ∗ ∗ − ≡

( ) ( )1 1 2 2 1 2, , , , , 0y f x w w y x w w y∗ ∗ − ≡



44

La respuesta de la firma minimizadora de costos frente a una variación en el preciodel primer factor puede ser obtenida de la siguiente manera:

1 211 12 1

1 1 1

1 0x x

f f fw w w

λλ λ∗ ∗ ∗

∗ ∗∂ ∂ ∂− − − ≡∂ ∂ ∂

1 221 22 2

1 1 1

0x x

f f fw w w

λλ λ∗ ∗ ∗

∗ ∗∂ ∂ ∂− − − ≡∂ ∂ ∂

1 21 2

1 1

0x x

f fw w

∗ ∗∂ ∂− − ≡∂ ∂

Matricialmente,

11 12 1 1 1

21 22 2 2 1

1 2 1

1

0

0 0

f f f x w

f f f x w

f f w

λ λλ λ

λ

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗

− − − ∂ ∂ − − − − ∂ ∂ = − − ∂ ∂

Por consiguiente,

21 2 1

1 1

0x f x

w H w

∗ ∗∂ − ∂= − ⇒ <∂ ∂

2 1 2 2

1 1

0x f f x

w H w

∗ ∗∂ ∂= − ⇒ >∂ ∂

( )21 2 22 1

1 1

?f f f f

w H w

λλ λ∗∗ ∗−∂ ∂= − ⇒ =∂ ∂

La respuesta de la firma minimizadora de costos frente a una variación en el preciodel segundo factor puede ser obtenida de la siguiente manera:

1 211 12 1

2 2 2

0x x

f f fw w w

λλ λ∗ ∗ ∗

∗ ∗∂ ∂ ∂− − − ≡∂ ∂ ∂

1 221 22 2

2 2 2

1 0x x

f f fw w w

λλ λ∗ ∗ ∗

∗ ∗∂ ∂ ∂− − − ≡∂ ∂ ∂

1 21 2

2 2

0x x

f fw w

∗ ∗∂ ∂− − ≡∂ ∂

Matricialmente,



45

11 12 1 1 2

21 22 2 2 2

1 2 2

0

1

0 0

f f f x w

f f f x w

f f w

λ λλ λ

λ

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗

− − − ∂ ∂ − − − ∂ ∂ = − − − ∂ ∂

Por consiguiente,

1 1 2 1

2 2

0x f f x

w H w

∗ ∗∂ ∂= − ⇒ >∂ ∂

22 1 2

2 2

0x f x

w H w

∗ ∗∂ − ∂= − ⇒ <∂ ∂

23

2 2

?H

w H w

λ λ∗ ∗∂ ∂= − ⇒ =∂ ∂

En este sentido, es posible apreciar la siguiente relación de reciprocidad en el modelode minimización de costos de la firma, a saber:

1 2

2 1

x x

w w

∗ ∗∂ ∂=∂ ∂

La respuesta de la firma minimizadora de costos frente a una variación en el nivel deproducción puede ser obtenida de la siguiente manera:

1 211 12 1 0

x xf f f

y y y

λλ λ∗ ∗ ∗

∗ ∗∂ ∂ ∂− − − ≡∂ ∂ ∂

1 221 22 2 0

x xf f f

y y y

λλ λ∗ ∗ ∗

∗ ∗∂ ∂ ∂− − − ≡∂ ∂ ∂

1 21 2

2 2

1 0x x

f fw w

∗ ∗∂ ∂− − ≡∂ ∂

Matricialmente,

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

0

0

0 1

f f f x y

f f f x y

f f y

λ λλ λ

λ

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗

− − − ∂ ∂ − − − ∂ ∂ = − − ∂ ∂ −

Por consiguiente,

311 1 ?Hx x

y H y

∗ ∗∂ ∂= − ⇒ =∂ ∂



46

322 2 ?Hx x

y H y

∗ ∗∂ ∂= − ⇒ =∂ ∂

33 ?H

y H y

λ λ∗ ∗∂ ∂= − ⇒ =∂ ∂



47






[3] Henderson, J. M. & Quandt, R. E.; “Teoría Microeconómica”. Tercera Edición enCastellano. Editorial Ariel S.A., Barcelona 1995. Cap.4 y 5. ISBN: 84-344-2004-X.




Microeconomía II: Teoría del Equilibrio General


48

Teoría del Equilibrio General: Modelo de Intercambio Puro

Dos consumidores (i=1,2.) y dos mercancías (j=a,b.).

El problema que enfrenta el individuo puede ser representado formalmente de lasiguiente manera:

( )( )

1 2

1 2

;

1 2 0

1 1 1

2 2 2

;

. . ;

. .

. .

a aa a a a

x x

b b b b

a b

a b

MaxU U x x

s a U x x U

s a x x w

s a x x w

=

=

+ =

+ =

En este sentido,

( ) ( )1 2 0 1 2 1 1 1 2 2 2; ;a a a a b b b b b a b c a bL U x x U U x x w x x w x xλ λ λ = + × − + × − − + × − −

Las condiciones de primer orden del ejercicio de optimización son las siguientes:

1 1: 0a

ba a

UL

x xλ∂∂ − =

∂ ∂

2 2: 0a

ca a

UL

x xλ∂∂ − =

∂ ∂

1 1: 0b

a bb b

UL

x xλ λ∂∂ − × − =

∂ ∂

2 2: 0b

a cb b

UL

x xλ λ∂∂ − × − =

∂ ∂

Por consiguiente,

1a

ba

U

xλ ∂=

∂

2a

ca

U

xλ ∂=

∂

1b

b ab

U

xλ λ ∂= − ×

∂

2b

c ab

U

xλ λ ∂= − ×

∂

En este sentido, es posible combinar las condiciones de primer orden de la siguientemanera:

2 2a b

aa b

U U

x xλ ∂ ∂− =

∂ ∂ 1 1

a ba

a b

U U

x xλ ∂ ∂− =

∂ ∂



49

Igualando ambas expresiones, obtenemos la condición de optimalidad en el siguientesentido:

2 1 2 1a a b b

a a b b

U U U U

x x x x

∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂

Conclusión: la condición de optimalidad en el sentido paretiano establece laigualdad entre la tasa marginal de sustitución correspondiente a cada individuo.

• Versión Silberberg: Intercambio Puro.

Una economía de intercambio puro es aquella en la cual no existen oportunidades deproducción. Los agentes económicos de esta economía son consumidores que poseendotaciones iniciales de recursos. La actividad económica consiste simplemente en elintercambio y consumo de mercancías.

El modelo de equilibrio general pretende explicar la determinación de los precios ycantidades de equilibrio mediante la interacción de los individuos en el mercado.

Por consiguiente, el vector de consumo correspondiente al i-ésimo consumidor es elsiguiente:

( )1 2;i i ix x x=

1,2. (consumidores)

1,2. (mercancias)

i

j

==

El exceso de demanda del consumidor puede ser definido como la diferencia entre lacantidad consumida y la dotación inicial de recursos:

0ij ij ijE x x= −

Si la cantidad consumida es mayor a la dotación inicial de recursos, entonces elindividuo es un comprador neto.Si la cantidad consumida es menor a la dotación inicial de recursos, entonces elindividuo es un vendedor neto.

La renta del consumidor es igual al valor de su dotación inicial de recursos y, portanto, puede ser definida de la siguiente manera:

0

1

m

i j ijj

y p x=

= ×∑



50

Si el individuo vende toda su dotación inicial, entonces es posible expresar su renta enuna forma análoga a la vista en la teoría del consumidor:

1

m

i j ijj

y p x=

= ×∑

En este sentido, es posible expresar la restricción presupuestaria del individuo enfunción del exceso de demanda del consumidor:

( )0

1

m

i i j ij ijj

y y p x x=

− = × −∑

Por tanto, la suma de los valores del exceso de demanda del consumidor deben sernecesariamente igual a cero:

1

0m

j ijj

p E=

× =∑

Por consiguiente, el problema que enfrentan los consumidores en el mercado puedeser definido de la siguiente manera:

[ ]1 2, ,.....,i i i i imU U x x x=

Por tanto, es posible expresar el problema que enfrentan los consumidores en elmercado de la siguiente manera:

0 0 01 1 2 2

1

, ,.....,

. . 0

i i i i i i im im

m

j ijj

U U E x E x E x

s a p E=

= + + +

× =∑

En este sentido,

0 0 01 1 2 2

1

, ,.....,m

i i i i i im im j ijj

L U E x E x E x p Eλ=

= + + + + × × ∑

Las condiciones necesarias de primer orden del problema que enfrentan losconsumidores maximizadores de utilidad son las siguientes:

11 1

: 0i

i i

ULp

E Eλ∂∂ + × =

∂ ∂

22 2

: 0i

i i

ULp

E Eλ∂∂ + × =

∂ ∂



51

: 0im

im im

ULp

E Eλ∂∂ + × =

∂ ∂

1

: 0m

j ijj

Lp E

λ =

∂ × =∂ ∑

El análisis del intercambio puro trata de los problemas de fijación de precios yasignación de recursos en una sociedad en la cual individuos independientes entreunos y otros intercambian y consumen cantidades fijas de “m” bienes.Los individuos presentan una cierta dotación inicial de recursos y concurrenlibremente al mercado para comprar y vender mercancías a los precios vigentes. Portanto, dado los precios de mercado y las dotaciones iniciales, la función de utilidadordinal de cada consumidor determinará sus adquisiciones.

En este sentido, todos los consumidores estarán dispuestos a sacrificar parte de sudotación inicial en algunos bienes para incrementar sus stocks en el consumo de otrosbienes mientras pueda con ello aumentar su índice de utilidad.

Por tanto,

1

1

i i

i im m

pU U

E E p

∂ ∂ =∂ ∂

La condición de optimalidad es exáctamente la misma: el cociente de valoracionesmarginales debe ser igual a la relación de precios.

• Equilibrio con Producción: dos bienes y dos insumos.

( )( )

; ; ; ,

. . ,

. .

. .

y x y xy y

L L K K

x x

x y

x y

Max y F L K

s a G L K x

s a L L L

s a K K K

=

=+ =

+ =

En este sentido,

( ) ( ), ,y y x x L x y K x yV F L K x G L K L L L K K Kλ λ λ = + × − + × − − + × − −

Las condiciones de primer orden resultantes del problema son las siguientes:

: 0Ly

V F

L Lλ∂ ∂ − =

∂ ∂

: 0Ky

V F

K Kλ∂ ∂ − =

∂ ∂



52

: 0Lx

V G

L Lλ λ∂ ∂− × − =

∂ ∂

: 0Kx

V G

K Kλ λ∂ ∂− × − =

∂ ∂

y las restricciones son las siguientes:

( ): , 0x x

Vx G L K

λ∂ − =∂

: 0x yL

VL L L

λ∂ − − =∂

: 0x yK

VK K K

λ∂ − − =∂

Por consiguiente, la condición de optimalidad en la producción puede ser representadade la siguiente manera:

L

K

F F G G

L K L K

λλ

∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂

Conclusión: el cociente de productividades marginales debe ser igual para cada biena lo largo de la curva de contrato de producción.

La solución al sistema de ecuaciones correspondiente a las condiciones de primerorden del problema que enfrentan los productores en el mercado es la siguiente:

( ), ,y yL L x L K∗=

( ), ,y yK K x L K∗=

( ), ,x xL L x L K∗=

( ), ,x xK K x L K∗=

Efectivamente, las cantidades de factores demandadas por cada industria constituyenla solución al problema que enfrentan los productores en el mercado.Asimismo,

( ), ,x L Kλ λ ∗=

( ), ,L L x L Kλ λ ∗=



53

( ), ,K K x L Kλ λ ∗=

En este sentido, el nivel de producción óptimo de una industria para cada nivel deproducción de la otra industria existente en el mercado es el siguiente:

( ) ( ), , ,y yy F L K y x L K∗ ∗ ∗ ∗= =

Mediante el Teorema de la Envolvente es posible obtener la siguiente expresión:

y V

x xλ

∗∗∂ ∂= =

∂ ∂

0L K

G F G F G G

L L L K K Kλ λ λ∗ ∗ ∗∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − = − = − = − <

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Por consiguiente, el precio de los factores medido en términos de cantidades físicasson los siguientes:

L

y

Lλ

∗∗ ∂=

∂

K

y

Kλ

∗∗ ∂=

∂

La curva de posibilidades de producción describe el conjunto de planes de produccióneficiente. Una condición necesaria para la optimalidad en el sentido de Pareto esoperar sobre dicha curva.

• Dos Productores y dos Consumidores:

( )( )

( )

1 2 1 2

22 2

; ; ;

1 11 1 0

1 2

1 2

,

. . ;

. .

. .

. . , ,

x x y yMax U x y

s a U x y U

s a x x x

s a y y y

s a y y x L K∗

=+ =+ =

=

Las últimas tres restricciones del problema definen la curva de posibilidades deproducción. Es posible reducir las mismas en una única restricción de la siguientemanera:

( ) ( )1 2 1 2, , 0h x y h x x y y= + + =

Por consiguiente, el problema que enfrentan los consumidores y los productores en elmercado puede ser representado formalmente de la siguiente manera:



54

( )( )

( )

1 2 1 2

22 2

; ; ;

1 11 1 0

1 2 1 2

,

. . ,

. . , 0

x x y yMax U x y

s a U x y U

s a h x x y y

=

+ + =

En este sentido,

( ) ( ) ( )2 1 12 2 1 0 1 1, , ,L U x y U U x y h x yλ λ = + × − + ×

Las condiciones necesarias de primer orden resultantes del problema que enfrentasconsumidores y productores en el mercado son las siguientes:

2

2 2 2

: 0L U h

x x xλ∂ ∂ ∂+ × =

∂ ∂ ∂

2

2 2 2

: 0L U h

y y yλ∂ ∂ ∂+ × =

∂ ∂ ∂

1

11 1 1

: 0L U h

x x xλ λ∂ ∂ ∂− × + × =

∂ ∂ ∂

1

11 1 1

: 0L U h

y y yλ λ∂ ∂ ∂− × + × =

∂ ∂ ∂

Asimismo, las restricciones del problema que enfrentan los agentes son las siguientes:

( )1 10 1 1

1

: , 0L

U U x yλ

∂ − =∂

( ): , 0L

h x yλ

∂ =∂

Por consiguiente, la condición de optimalidad del problema que enfrentan losconsumidores y productores en el mercado es la siguiente:

1 2

1 2x x x

y y y

U U h

U U h= =

Más específicamente, el cociente x yh h representa la pendiente de la frontera de

posibilidades de producción.

Conclusión: la optimalidad paretiana en la producción y en el consumo establece,por un lado, que la valoración marginal de cada mercancía debe ser la misma para



55

todos los consumidores y, por otro lado, la valoración marginal del producto debeser igual al costo marginal de producir una unidad mas del mismo.

La frontera de utilidad puede ser obtenida como solución del sistema de ecuacionesdel ejercicio de optimización:

( )10i ix x U∗= ( )1

0i iy y U∗=

Finalmente, si incorporamos la información precedente en la función objetivo,entonces es posible derivar la siguiente relación:

( ) ( )2 2 2 12 2 0,U U x y U U∗ ∗ ∗= =

•••• Gráficamente:

P

A

O P

Nota: la optimalidad de Pareto en el consumo así como en la producción hacereferencia al vector de precios para el cual los deseos de oferentes y demandantes sonconsistentes entre sí.



56










Microeconomía II: Ejercicio Práctico


57

Ejercicio Práctico: Teoría del Consumidor

La relación de preferencias de un individuo puede ser representada mediante lasiguiente función de utilidad:

( )1 2 1 2; 0 1; 0 1.U x x x xα β α β= × < < < <

Por tanto, el problema de optimización que enfrenta el individuo puede serrepresentado de la siguiente manera:

Problema Primal:

1 21 2

;

1 1 2 2. .

x xMaxU x x

s a p x p x y

α β= ×

× + × =

En este sentido,

[ ]1 2 1 1 2 2L x x y p x p xα β λ= × + × − × − ×

Las condiciones de primer orden del problema de optimización sujeto a restricciónson las siguiente:

11 2 1

1

: 0L

x x px

α βα λ−∂ × × − × =∂

11 2 2

2

: 0L

x x px

α ββ λ−∂ × × − × =∂

1 1 2 2: 0L

y p x p xλ

∂ − × − × =∂

Por consiguiente, es posible desarrollar algebráicamente las condiciones de primerorden en el siguiente sentido:

2 1

1 2

x p

x p

αβ

× =

1 1 2 2y p x p x= × + ×

La condición de segundo orden del ejercicio de optimización sujeto a restricciónpuede ser representada de la siguiente manera:



58

( )( )

2 2 2

21 2

1 22 2 22 1 1

1 1 2 1 221 1 1 2 1 1 2

2 1 2 1 22 2 2

22 2 1 2

0

1

1

L L L

x xp p

L L LH p x x x x

x x x xp x x x x

L L L

x x x x

α β α β

α β α β

λ λ λ

α α α βλ

α β β β

λ

− − −

+− − −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− −∂ ∂ ∂= = − × − × × × × ×

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− × × × × − × ×

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

En este sentido, el determinante correspondiente al hessiano orlado es el siguiente:

( ) ( )2 2 1 1 2 21 1 2 1 2 1 2 2 1 21 2 1H p x x p p x x p x xα β α β α ββ β α β α α− − − −

+= × × − × × − × × × × × × + × × − × ×

0H+

>

Las curvas de demanda marshalianas correspondientes para cada bien son obtenidascomo resultado del ejercicio de optimización, es decir:

2 11 1 2 2

1 2

x p

p x p xx p

α αβ β

× = ⇒ × = × ×

En este sentido,

2 2 2 2y p x p xαβ

= × × + ×

2 2y p xα β

β += × ×

Por consiguiente,

( )2 22

;M yx y p

p

βα β

= ×+

Asimismo,

1 1 22

yy p x p

p

βα β

= × + × × +

1 1y p x yβ

α β= × + ×

+

1 1p x yα

α β× = ×

+



59

Por consiguiente,

( )1 11

;M yx y p

p

αα β

= ×+

Las curvas de demanda marshalianas presentan la siguiente propiedad: sonhomogéneas de grado cero en precios e ingreso. Este hecho es, efectivamente, unresultado del ejercicio de optimización.

Problema Dual:

1 21 1 2 2

;

01 2. .

x xMinG p x p x

s a U x xα β

= × + ×

= ×

En este sentido,

01 1 2 2 1 2V p x p x U x xα βµ = × + × + × − ×

Las condiciones de primer orden del ejercicio de minimización del gasto del individuoson las siguientes:

11 1 2

1

: 0V

p x xx

α βµ α −∂ − × × × =∂

12 1 2

2

: 0V

p x xx

α βµ β −∂ − × × × =∂

01 2: 0

VU x xα β

µ∂ − × =∂

Por consiguiente, es posible desarrollar algebráicamente las condiciones de primerorden en el siguiente sentido:

2 1

1 2

x p

x p

αβ

× =

01 2U x xα β= ×

La condición de segundo orden del ejercicio de minimización sujeto a restricciónpuede ser representada de la siguiente manera:



60

2 2 2

21 2

2 2 2

21 1 1 2

2 2 2

22 2 1 2

V V V

x x

V V VH

x x x x

V V V

x x x x

µ µ µ

µ

µ

−

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Y, por consiguiente:

( )( )

1 11 2 1 2

1 2 1 11 2 1 2 1 2

1 1 1 21 2 1 2 1 2

0

1

1

x x x x

H x x x x x x

x x x x x x

α β α β

α β α β α β

α β α β α β

α βα µ α α µ α ββ µ α β µ β β

− −

− − − −

−− − − −

− × × − × ×= − × × − × × − × × − × × × ×

− × × − × × × × − × × − × ×

En este sentido, el determinante correspondiente al hessiano orlado es el siguiente:

0H <

Las curvas de demanda marshalianas correspondientes para cada bien son obtenidascomo resultado del ejercicio de minimización, es decir:

2 1 21 2

1 2 1

x p p

x xx p p

α αβ β

× = ⇒ = × ×

En este sentido,

0 22

1

pU x

p

αα βα

β+

= × ×

Por consiguiente,

( )1

0 0 12 1 2

2

; ;H px p p U U

p

αα β

α β βα

++

= × ×

Asimismo,

2 1 12 1

1 2 2

x p p

x xx p p

α ββ α

× = ⇒ = × ×

En este sentido,

0 11

2

pU x

p

βα ββ

α+

= × ×



61

Por consiguiente,

( )1

0 0 21 1 2

1

; ;H px p p U U

p

βα β

α β αβ

++

= × ×

Las curvas de demanda hicksianas presentan la siguiente propiedad: son homogéneasde grado cero en precios. Este hecho es, al igual que en el caso anterior, un resultadodel ejercicio de minimización del gasto.

Conclusión: la función de gasto mínimo puede ser obtenida reemplazando lasfunciones de demanda hicksianas en la función objetivo.

( ) ( )1

0 0 0 2 11 1 2 2 1 2 1 2

1 2

; ; ; ; ;H H p pG x p p U x p p U U p p

p p

β αα β α β

α β α ββ α

+ +∗ +

= × × × + × ×

La función de utilidad indirecta puede ser diseñada mediante las funciones dedemanda marshalianas en el siguiente sentido:

( )1 11

;M yx y p

p

αα β

= ×+

( )2 22

;M yx y p

p

βα β

= ×+

Por consiguiente,

( ) ( )1 1 2 21 2

1 1; ; ;M MU x p y x p y y

p p

α βα βα β

α β α β∗ + = × × × × + +

Es posible demostrar el cumplimiento de la ecuación de Slutsky y, por tanto,establecer la íntima relación existente entre el problema primal y el problema dual.

1 1 11

1 1

M H MMx x x

xp p y

∂ ∂ ∂= − ×∂ ∂ ∂

Por tanto,

12

1 1

Mx y

p p

αα β

∂ = − ×∂ +

101 2

1 1 1

1Hx pU

p p p

βα β

α ββ αα β β

++

∂ = − × × × × ∂ +



62

1

1

1Mx

y p

αα β

∂ = ×∂ +

En este sentido,

10 2

121 1 1 1

1 1My pU x

p p p p

βα β

α βα β α αα β α β β α β

++

− × = − × × × × − × × + + +

En el óptimo, las cantidades deducidas mediante la curva de demanda marshalianacoincide con las deducidas mediante la curva de demanda hicksiana, es decir:

1 1M Hx x=

Por consiguiente,

1 10 02 2

21 1 1 1 1

1 1y p pU U

p p p p p

β βα β α β

α β α βα β α α αα β α β β β α β

+ ++ +

− × = − × × × × − × × × × + + +

1 10 02 2

1 1 1

y p pU U

p p p

β βα β α β

α β α βα αα β αβ β

+ ++ +

− × = − × × × − × × ×

( )1

0 2

1 1

y pU

p p

βα β

α β αα α ββ

++

− × = − + × × ×

( )1

0 2

1 1

y pU

p p

βα β

α β αα α ββ

++

× = + × × ×

10 2

1 1

y pU

p p

βα β

α βα αα β β

++

× = × × +

Finalmente, queda verificada la siguiente relación de equivalencia:

( ) ( )0 01 1 2 1 2 1 1 2; ; ; ; ; ;M Hx p p G p p U x p p U∗ ≡



63


La relación de preferencias de un individuo puede ser representada mediante unafunción de utilidad cuasilineal de la siguiente manera:

( ) ( )1 2 1 2; lnU x x x x= +

Por tanto, el problema de optimización que enfrenta el individuo puede serrepresentado de la siguiente manera:

Problema Primal:

( )1 2

1 2;

1 1 2 2

ln

. .

x xMaxU x x

s a p x p x y

= +

× + × ≤

En este sentido,

( ) [ ]1 2 1 1 2 2lnL x x y p x p xλ= + + × − × − ×

El ejercicio de optimización exige alcanzar un máximo respecto de las variables y unmínimo respecto del multiplicador. La restricción económica existente en el presenteejercicio es la siguiente:

1 20 0x x≥ ∧ ≥

El Teorema de Kuhn-Tucker para alcanzar un máximo establece las siguientesrelaciones:

1 11 1

2 22 2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

L Lx x

x x

L Lx x

x x

L L λ λλ λ

∂ ∂≤ ∧ × = ∧ ≥∂ ∂∂ ∂≤ ∧ × = ∧ ≥∂ ∂∂ ∂≥ ∧ × = ∧ ≥∂ ∂


11

1L

px

λ∂ = − ×∂

22 2

1Lp

x xλ∂ = − ×

∂

1 1 2 2

Ly p x p x

λ∂ = − × − ×∂



64

Por consiguiente,

1

22

1 1 2 2

(1) 1 0

1(2) 0

(3) 0

p

px

y p x p x

λ

λ

− × ≤ − × ≤ − × − × ≥

En este sentido, 2si 0,x → entonces la condición (2) no puede ser satisfecha desde

ningún punto de vista. Por tanto, 2 0.x >En este sentido,

2 22 2

Si 0 0 0L L

x xx x

∂ ∂> ⇒ × = = ∂ ∂

Por consiguiente, la sengunda condición es satisfecha con signo igual.

2 22 2

1 10 p p

x xλ λ− × = ⇒ = ×

La primera condición puede ser analizada de la siguiente manera:

11

11 0p

pλ λ λ≤ × ⇒ ≥ ⇒ >

Los precios son supuestos positivos y, por consiguiente, el multiplicadornecesariamente es positivo. En este sentido,

Si 0 0 0L Lλ λλ λ

∂ ∂ > ⇒ × = = ∂ ∂

Por consiguiente, la tercera condición es satisfecha con signo igual.

1 1 2 2 1 1 2 20 y p x p x y p x p x− × − × = ⇒ = × + ×

•Caso 1: 1 0x =

1 2 2Si 0 x y p x= ⇒ = ×

Por tanto, la función de demanda marshaliana correspondiente es la siguiente:

( )2 22

;M yx p y

p=

•Caso 2: 1 0x >



65

1 11 1

Si 0 0 0L L

x xx x

∂ ∂> ⇒ × = = ∂ ∂

En este sentido, es posible resumir las condiciones del problema de optimización de lasiguiente manera:

1 1pλ × =

22

1p

xλ × =

1 1 2 2y p x p x= × + ×

Por consiguiente,

12 1 2 2

2

p

x p p xp

= ⇒ = ×

( )1 1 1 1 1 1y p x p y p x= × + ⇒ = × +

Por tanto, la función de demanda marshaliana correspondiente al bien 1x es lasiguiente:

( )1 11

; 1M yx p y

p= −

Asimismo, la función de demanda marshaliana correspondiente al bien 2x es lasiguiente:

1 2 21

1y

y p p xp

= × − + ×

1 2 2y y p p x= − + ×

( ) 12 1 2

2

;M px p p

p=

Conclusión: si el nivel de ingreso del individuo es superior al nivel de precio del bien1, entonces las funciones de demanda marshalianas obtenidas precedentemente sonlas correspondientes. Es decir, 1 1si 0.y p x> ⇒ >Conclusión: si el nivel de ingreso del individuo es inferior al nivel de precio del bien2, entonces la función de demanda correspondiente es aquella para la cual severifica 1 0.x =



66

Corolario: las funciones de demanda correspondientes dependen exclusivamente dela configuración de parámetros de la economía.Corolario: la configuración de demandas son análogas en el punto en el cual el nivelde ingreso del individuo es equivalente al nivel de precios del bien 1. Es decir, 1.y p=

Problema Dual:

( )1 2

1 1 2 2;

01 2. . ln

x xMinG p x p x

s a U x x

= × + ×

≥ +

En este sentido,

( )01 1 2 2 1 2lnV p x p x U x xµ = × + × + × − −

El ejercicio de minimización exige alcanzar un mínimo respecto de las variables y unmáximo respecto del multiplicador. La restricción económica existente en el presenteejercicio es la siguiente:

1 20 0x x≥ ∧ ≥

El Teorema de Kuhn-Tucker para alcanzar un mínimo establece las siguientesrelaciones:

1 11 1

2 22 2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

V Vx x

x x

V Vx x

x x

V V λ µµ µ

∂ ∂≥ ∧ × = ∧ ≥∂ ∂∂ ∂≥ ∧ × = ∧ ≥∂ ∂∂ ∂≤ ∧ × = ∧ ≥∂ ∂


11

Vp

xµ∂ = −

∂

22 2

1Vp

x xµ∂ = − ×

∂

( )01 2ln

VU x x

µ∂ = − −∂

Por consiguiente,



67

( )

1

22

01 2

(1) 0

1(2) 0

(3) ln 0

p

px

U x x

µ

µ

− ≥ − × ≥ − − ≤

En este sentido, 2si 0,x → entonces la condición (2) no puede ser satisfecha desde

ningún punto de vista. Por tanto, 2 0.x >En este sentido,

2 22 2

Si 0 0 0V V

x xx x

∂ ∂> ⇒ × = = ∂ ∂

Por consiguiente, la sengunda condición es satisfecha con signo igual.

2 22 2

1 10 p p

x xµ µ− × = ⇒ × =

La primera condición puede ser analizada de la siguiente manera:

1 10 p pµ µ− ≥ ⇒ ≥

Los precios son supuestos positivos. Asimismo, 2 0.x > Por consiguiente, elmultiplicador necesariamente es positivo debido a la segunda condición. En estesentido,

Si 0 0 0V Vµ µµ µ

∂ ∂> ⇒ × = = ∂ ∂

Por consiguiente, la tercera condición es satisfecha con signo igual.

( ) ( )0 01 2 1 2ln 0 lnU x x U x x− − = ⇒ = +

•Caso 1: 1 0x =

( )01 2Si 0 lnx U x= ⇒ =

Por tanto, la función de demanda hicksiana correspondiente es la siguiente:

0

2H Ux e=

•Caso 2: 1 0x >



68

1 11 1

Si 0 0 0V V

x xx x

∂ ∂> ⇒ × = = ∂ ∂

En este sentido, es posible resumir las condiciones del problema de optimización de lasiguiente manera:

1p µ=

22

1p

xµ × =

( )01 2lnU x x= +

Por consiguiente,

1 12 2

2 2

p p

p xx p

= ⇒ =

0 11

2

lnp

U xp

= +

Por tanto, la función de demanda hicksiana correspondiente al bien 1x es la siguiente:

( )0 0 11 1 2

2

; ; lnH px p p U U

p

= −

Análogamente, es posible obtener la función de demanda hicksiana correspondiente albien 2x de la siguiente manera:

( )0 0 12

2

ln lnp

U U xp

= − +

( ) 12

2

ln lnp

xp

=

Es decir,

( ) 12 1 2

2

;H px p p

p=

Conclusión: si el nivel de utilidad prefijado en el problema dual es superior allogaritmo del cociente de precios, entonces las funciones de demanda hicksianascorrespondientes son aquellas obtenidas en el caso 2.



69

Es decir, 0 11

2

si ln 0.p

U xp

> ⇒ >

Conclusión: si el nivel de utilidad prefijado en el problema dual es equivalente allogaritmo del cociente de precios, entonces la función de demanda correspondiente esaquella para la cual se verifica 1 0.x =

Corolario: las funciones de demanda correspondientes dependen exclusivamente dela configuración de parámetros de la economía.Corolario: la configuración de demandas son análogas en el punto en el cual el nivelde utilidad prefijado en el problema dual es equivalente al logaritmo del cociente deprecios.



70


La relación de preferencias de un individuo puede ser representada formalmente de lasiguiente manera:

( ) ( )1 2 1 2; lnU x x x x= +

Las curvas de demanda marshalianas y hicksianas correspondientes a cada bienpueden ser obtenidas de la siguiente manera: (soluciones interiores)

•Problema Primal:

El problema que enfrenta el consumidor puede ser representado de la siguientemanera:

( )1 2

1 2;

1 1 2 2

ln

. .

x xMaxU x x

s a p x p x y

= +

× + × =

En este sentido,

( ) [ ]1 2 1 1 2 2lnL x x y p x p xλ= + + × − × − ×


11 1

1: 0

Lp

x xλ∂ − × =

∂

22

:1 0L

px

λ∂ − × =∂

1 1 2 2: 0L

y p x p xλ

∂ − × − × =∂

En este sentido, es posible combinar las condiciones de primer orden para así obtenerlas curvas de demanda marshalianas correspondientes a cada bien.

12 1 1

2 1

1

pp p x

p x= ⇒ = ×

1 1 2 2y p x p x= × + ×

Por tanto, es posible reemplazar la primera condición en la restricción presupuestariay obtener la siguiente expresión:

2 2 2My p p x= + ×



71

( )2 21 My p x= × +

En este sentido, la curva de demanda marshaliana correspondiente al bien 2x es lasiguiente expresión:

( )2 22

; 1M yx p y

p= −

En este sentido, la curva de demanda marshaliana correspondiente al bien 1x puedeser obtenida reemplazando la expresión precedente en la restricción presupuestaria:

1 1 22

1M yy p x p

p

= × + −

1 1 2My p x y p= × + −

Por consiguiente,

( ) 21 1 2

1

;M px p p

p=

•Problema Dual:

El problema que enfrenta el consumidor puede ser representado de la siguientemanera:

( )1 2

1 1 2 2;

01 2. . ln

x xMinG p x p x

s a U x x

= × + ×

= +

En este sentido,

( )01 1 2 2 1 2lnV p x p x U x xµ = × + × + × − −


11 1

: 0V

px x

µ∂ − =∂

22

: 0V

px

µ∂ − =∂

( )01 2: ln 0

VU x x

µ∂ − − =∂



72

En este sentido, es posible combinar las condiciones de primer orden para así obtenerlas curvas de demanda hicksianas correspondientes para cada bien.

1 1p xµ = × 2pµ =

( )01 2lnU x x= +

Por tanto,

21 1 2 1

1

p

p x p xp

× = ⇒ =

Por consiguiente, la curva de demanda hicksiana correspondiente al bien 2x puede serobtenida de la siguiente manera:

0 22

1

ln HpU x

p

= +

( )0 0 22 1 2

1

; ; lnH px p p U U

p

= −

En este sentido, la curva de demanda hicksiana correspondiente al bien 1x puede serobtenida reemplazando la expresión precedente en la restricción del individuo, esdecir:

( ) 01 2ln x U x= −

( ) 0 0 21

1

ln lnH px U U

p

= − −

( ) 21

1

ln lnH px

p

=

Y, por tanto, la expresión correspondiente a la curva de demanda hicksiana del bien

1x es la siguiente:

( ) 21 1 2

1

;H px p p

p=

Asimismo, es posible verificar el cumplimiento de la ecuación de Slutsky y laidentidad de Roy de la siguiente manera:

Primeramente, es necesario construir la función de utilidad indirecta mediante losresultados obtenidos en los ejercicios de optimización precedentes:



73

( ) 21 1 2

1

;M px p p

p=

( )2 22

; 1M yx p y

p= −

En este sentido,

1

2 1

1Mx

p p

∂ =∂

1 0Mx

y

∂ =∂

1

2 1

1Hx

p p

∂ =∂

En este sentido, la ecuación de Slutsky presenta la siguiente forma funcional:

1 1 12

2 2

M H MMx x x

xp p y

∂ ∂ ∂= − ×∂ ∂ ∂

1 1

1 1

p p=

Conclusión: el cumplimiento de la ecuación de Slutsky ha quedado verificado.

La función de utilidad indirecta puede ser obtenida reemplazando las curvas dedemanda marshalianas en la función de utilidad directa de la siguiente manera:

( ) ( )1 2 1 2; lnU x x x x= +

Por consiguiente,

21 2

1 2

; ln 1M M p YU x x

p p∗ = + −

Por consiguiente, es posible obtener los ingredientes necesarios para verificar elcumplimieno de la Identidad de Roy de la siguiente manera:

1 22

1 2 1 1

1U p p

p p p p

∗∂ = − × = −∂

Asimismo,



74

2

1U

y p

∗∂ =∂

21

1

M px

p− = −

En este sentido, la identidad de Roy presenta la siguiente forma funcional:

11

M U Ux

p y

∗ ∗∂ ∂= −∂ ∂

Y, por tanto,

2 2

1 2 11

1 1p p

p p pp= =

Conclusión: el cumplimiento de la identidad de Roy ha quedado verificado.

En este sentido, es posible clasificar cada bien en término de su elasticidad ingreso dela siguiente manera:

Elasticidad Ingreso:

iiy

i

x yE

y x

∂= ×∂

Por tanto,

11

1

0M

y M

x yE

y x

∂= × =∂

22

2 2 2 2

11

1

M

y M

x y y yE

y x p y p y p

∂= × = × = >∂ − −

Mientras la elasticidad ingreso correspondiente al bien 1 es nula, la elasticidad ingresocorrespondiente al bien 2 es mayor a la unidad (bien superior).

El resultado obtenido es compatible si y solo si la relación de preferenciasrepresentada mediante una función de utilidad es “cuasilineal”.

Microeconomía II: Bibliografía Marginalismo


75

Programa de Microeconomía II

Bibliografía Tentativa:

Libros de Texto: (obligatorio)

[1] Mas-Colell, Andreu & Whinston, Michael D. & Green, Jerry R.; “MicroeconomicTheory”. Published by Oxford University Press, Inc. 1995. ISBN: 0-19-507340-1.

[2] Villar, Antonio; “Lecciones de Microeconomía”. Antoni Bosch Editor. Barcelona1999. ISBN: 8-48-585587-6.

[3] Villar, Antonio; “Curso de Microeconomía Avanzada”. Antoni Bosch Editor.Barcelona 1999. ISBN: 8-48-585579-5.

Libros de Texto: (opcional)

[4] Silberberg, Eugene; “The Structure of Economics: A Mathematical Analysis”.Second Edition. Published by McGraw-Hill, Inc. 1990. ISBN: 0-07-057550-9.

[5] Takayama, Akira; “Mathematical Economics”. Second Edition. Published byCambridge University Press, 1985. ISBN: 0-52-131498-4.

Papers: (opcional)

[6] Patinkin, Don; “Dinero, Interés y Precios”. Capítulos 1 y 3. Editorial Aguilar.Madrid 1959.

[7a] Samuelson, Paul A.; “A Note on the Pure Theory of Consumer’s Behavior”.(Economica, February 1938).

[7b] Samuelson, Paul A.; “Teoría Pura de la Conducta del Consumidor”. En Capítulo5 de “Fundamentos del Análisis Económico”. Editorial El Ateneo. 1970.

[8] Samuelson, Paul A.; “The Numerical Representation of Ordered Classificationsand the Concept of Utility”. (The Review of Economic Studies, October 1938).

[9] Samuelson, Paul A.; “The Empirical Implications of Utility Analysis”.(Econometrica, October 1938).

[10] Samuelson, Paul A.; “The End of Marginal Utility: A Note on Dr. Bernadelli’sArticle”. (Economica, February 1939).

[11] Samuelson, Paul A.; “Comparative Statics and the Logic of EconomicMaximizing”. (The Review of Economic Studies, 1946-1947).

[12] Samuelson, Paul A.; “Some Implications of Linearity”. (The Review of EconomicStudies, 1947-1948).

Microeconomía II: Bibliografía Marginalismo


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[13] Samuelson, Paul A.; “Consumption Theory in Terms of Revealed Preference”.(Economica, November 1948).

[14] Samuelson, Paul A.; “The Problem of Integrability in Utility Theory”.(Economica, November 1950).

[15] Samuelson, Paul A.; “Consumption Theorems in Terms of Overcompensationrather than Indifference Comparisons”. (Economica, February 1953).

[16] Samuelson, Paul A.; “The St. Petersburg Paradox as a Divergent Double Limit”.(International Economic Review, January 1960).

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