funciones completas.

Introducción a Funciones1

¿Qué es una función?

Gráficas de funciones

Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio

promedio

Transformaciones de funciones

Funciones cuadráticas; máximos y mínimos

Modelado con funciones

Combinación de funciones

Funciones uno a uno y sus inversas

Una función f es una regla que asigna a cada elemento, llamado f(x), en un conjunto B.

Introducciòn a Funciones 2


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

C ol umnas 1

C ol umnas 2

Nor te

2

W(onzaS) C(w) dólares

0<w<_1 0.37

Verbal (con palabras):

P(t) es la “población del mundo en el instante t”

Algebraicamente:

Por medio de una fórmula:

A(r)=πr

Visual:

Por medio de una gráfica:

Numérica:

Por medio de una tabla de valores:

Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados : {(x.ƒ(x))|xє A}

En otras palabras, la gráfica de ƒ es el conjunto de los puntos (x,y) tales que y= ƒ(x); es decir, la gráfica de la ecuación y = ƒ(x).

La gráfica de una función ƒ da un cuadro del comportamiento o “historia de vida” de la función. Se puede leer el valor de ƒ (x) de la gráfica como la altura de la gráfica arriba del punto x.


Una función ƒ de la forma ƒ(x) = mx + b se llama función lineal por que su gráfica es de la ecuación:

y = mx + b, que representa una recta con pendiente m y ordenada al origen b.

Un caso especial de una función lineal se presenta cuando la pendiente m = 0.

La función ƒ(x) = b, donde b es un determinado número, se llama función constante porque todos sus valores horizontal y= b son el mismo número, a saber, b. Su gráfica es la recta.


F(x)=3F(x)=2x+1

Una curva en el plano coordenado es la gráfica de una función si y sólo si ninguna línea vertical corta la curva más de una vez.



F(x)=bF(x)=mx+b

Funciones lineales: F(x)=mx+b

F(x)=x2 f(x)=x3

f(x)=x4

f(x)=x5


F(x)=(x) ^(1/2) f(x)=(x) ^(1/3)

f(x)=(x) ^(1/5)f(x)=(x) ^(1/4)Introducciòn a Funciones 9

f(x)=1/x f(x)=1/x2


f(x)=|x|

x

y

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

-5

0

5

10

15

20

25

30

Función entero máximo


ƒ Es creciente en un intervalo I si ƒ(x1) < ƒ(x2) siempre que x1 < x2 en I.

ƒ Es decreciente en un intervalo I si ƒ(x1) > ƒ(x) siempre que x1 > x2 en I.

Introducciòn a Funciones12

La tasa de cambio de promedio de la función y=ƒ(x) entre x= a y x= b es


f(a)

f(b)

b-a

f(b)-f(a)

y=f(x)

a b

La tasa de cambio de promedio es la pendiente de la recta secante entre x= ay x=b en la gráfica de ƒ, es decir, la recta que pasa por (a.ƒ(a)) y (b.ƒ(b)).


DESPLAZAMIENTOS VERTICALES DE GRÁFICAS


Sumar una constante a una función desplaza su gráfica en dirección vertical: hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si la constante es negativa

Suponga que c > 0.

Para gráficar y = ƒ(x) + c, desplace c unidades hacia arriba la gráfica de y = ƒ(x).

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10

12

14

16

18

20

22

c

y=f(x)+c

y=f(x)


x

y

-5 -4 -3 -2 -10 1 2 3 4 5-15

-10

-5

05

10

15

20

Para graficar y=f(x)-c, desplace c unidades hacia debajo de la grafica de y=f(x)

c

y=f(x)-c

y=f(x)


x

y0

2 4 6 8 10 12 1405

10

15

20

y=f(x) c

y=f(x-c)

a) Para graficar y = ƒ(x – c), desplace la gráfica de y = ƒ(x) a la derecha c unidades.

• Supóngase que c > 0.


x

y0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2205

10

15

20

25

30

35

40

c

y=f(x+c)

y=f(x)

b) Para graficar y = ƒ(x + c), desplace la gráfica de y = ƒ(x) a la izquierda c unidades.


Para graficar y = -ƒ(x), refleje la gráfica de y = ƒ(x) en el eje x.


Para graficar y = ƒ(-x), refleje la gráfica de y = ƒ(x) en el eje y.


Si c > 1, alargue verticalmente la gráfica de y =ƒ(x) por un factor de c.

• Para graficar y = cƒ(x):


Si 0< c < 1, acorte verticalmente la gráfica de y = ƒ(x) por un factor c.


Si c > 1,acorte la gráfica de y = ƒ(x) horizontalmente por un factor del 1/c.

• La gráfica de y = ƒ(cx):


Si 0 < c < 1, alargue la gráfica de y =ƒ(x) horizontalmente por un factor de 1/c.


ƒ es par si ƒ(-x) = ƒ(x) para toda x en el dominio de ƒ.

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y

• Sea ƒ una función.


ƒ es impar si ƒ(-x) = -ƒ(x) para toda x en el dominio de ƒ.

f(x)


Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo. Para una función que representa la ganancia de un negocio, se estaría interesado en el valor máximo: para una función que representa la cantidad de material en un proceso de manufactura, se estaría interesando en el valor mínimo.


Una función cuadrática ƒ(x) = ax + bx + c se puede expresar en la forma estándar

ƒ(x) = a(x – h) + k

complementando el cuadrado. La gráfica de ƒ es una parábola con vértice (h,k); la parábola se abre hacia arriba si a < 0.


22

2

f(x)=a (x-h) +k, a > 02 f(x)=a (x-h) +k, a<02

Vértice (h, k)

Vértice (h, k) Vértice (h, k)

hh

k k

Sea ƒ una función cuadrática con forma estándar ƒ(x) = a(x – h) + k. El valor máximo o mínimo de ƒ ocurre en x = h.

Si a > 0, entonces el valor mínimo de ƒ(h) = k.

Si a < 0, entonces el valor máximo de ƒ(h) = k.


2

f(x)=a (x-h) 0+k, a > f(x)=a (x-h) <0+k, a2 2

Mínimo Máximo

Mínimo

h

k

Máximo

h

k

El valor máximo o mínimo de una función cuadrática ƒ(x) = ax + bx + c ocurre en:

x=-b/2ª Si a > 0, entonces el valor mínimo es ƒ(-

b/2a). Si a < 0, entonces el valor máximo es

ƒ(-b/2a).


Muchos de los procesos estudiados en las ciencias físicas y sociales requieren entender como varían una cantidad respecto a otra. Hallar una función que describe la dependencia de una cantidad en otra se llama modelado.


1. Exprese el modelo en palabras. Identifique la cantidad que quiere modelar y exprésela, en palabras, como una función de otras cantidades en el problema.

2.Elija la variable. Identifique las variables empleadas para expresar la función en el paso 1. asigne un símbolo, como x, a una variable y exprese las otras variables en términos de este símbolo.

3.Establezca el modelo. Exprese la función en el lenguaje del álgebra al escribirla como una función de la única variable elegida en el paso 2.

4.Use el modelo. Emplee la función para contestar las preguntas planteadas en el problema.


Álgebra de funciones. Sean ƒ y g funciones con dominios A y B. Entonces las funciones ƒ + g,

ƒ – g, ƒg y ƒ/g se define como sigue.

(ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x) Dominio A B (ƒ – g)(x) = ƒ(x) – g(x) Dominio A B (ƒg)(x) = ƒ(x)g(x) Dominio A B (ƒ/g) (x) = ƒ(x)g(x)/g(x) Dominio {x Є A B І g = 0 }

Introducciòn a Funciones

39

υ

υ

υ

υ

Dada dos funciones ƒ y g, la función compuesta ƒ º g (denominada también la composición de ƒ y g) está definida por:

(ƒ º g)(x) = ƒ(g(x))

El dominio de ƒ º g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g(x) está en el domino de ƒ. En otras palabras (ƒ º g)(x) se define siempre que g(x) y ƒ(g(x)) estén definidas. Se puede ilustrar ƒ º g por medio de un diagrama de flecha


La inversa de una función es una regla que actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondiente. Así, la inversa “deshace” o invierte lo que ha hecho la función. No todas las funciones tienen inversas; las que sí la tienen se llaman funciones uno a uno.


Una función con dominio A se llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tenga la misma imagen, es decir,

ƒ(x1) = ƒ (x2) siempre que x1 = x2.

Una forma equivalente de escribir la condición de una función uno a uno es ésta:

Si ƒ(x1) = ƒ(x2), entonces x1 = x2


Una función es uno a uno si y sólo si ninguna recta horizontal cruza su gráfica más de una vez.

Introducciòn a Funciones 43F(x)=x es uno a uno

3

f(x)=x no es uno a uno2

Sea ƒ una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa ƒ tiene dominio B y rango A y está definida por ƒ (y) = x ƒ(x) = y

Para cualquiera y en B

Esta definición establece que si ƒ envía x a y, entonces ƒ envía y de nuevo a x si ƒ no fuera uno a uno, entonces ƒ no estaría definida de manera única).

Introducción a Funciones 44

-1

Sea ƒ una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa ƒ satisface las siguientes propiedades de cancelación.

A la inversa, cualquier función ƒ que satisface estas ecuaciones es la inversa de ƒ.

45

-1

-1

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