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I.E.S. HUERTA ALTA. DPTO. MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS. 2º BACH CIENCIAS
CÁLCULO DE DERIVADAS
1) Calcula la derivada de las siguientes funciones:
2b)
3254
a)x
xseny
xx
lny =+
−=
Solución:
( ) ( )325432
54a) +−−=
+−= xlnxlnx
xlny
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )32·54
2332·54542325
322
545
'+−
−=+−−−+−=
+−
−−=
xxxxxx
xxy
34
2 2·2··'b)
xxsenxxcos
xxxsenxxcos
y−=−=
2) Calcula la derivada de las siguientes funciones:
( )13b)12
3a) 2
5
−=−
= xcosyx
y xx
·
Solución:
( )( )
( )[ ]( ) 2
5
2
55
12
23·125·3
12
3·2123·3·5'a)
−−−=
−−−=
x
lnx
x
xlny
xxx
b) y ' = 3x · ln 3 · cos (x2 − 1) − 3x · sen (x2 − 1) · 2x == 3x · [ln 3 · cos (x2 − 1) − 2x · sen (x2 − 1)]
3) Calcula la derivada de las siguientes funciones:
( )3 3 1b)11
a) −=+−= xcosyee
lnyx
x
Solución:
a) y = ln (1 − ex) − ln (1 + ex)
x
x
xx
xxxx
x
x
x
x
ee
eeeeee
ee
ee
y21
2)1(·)1(
)1(·)1(·11
'−
−=+−
−−+−=+
−−
−=
3 32
32
3 32
23
)1(
)1(·
)1(3
3·)1('b)
−
−−=−
−−=xcos
xsenx
xcos
xxseny
1
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4) Calcula la derivada de las siguientes funciones:
( )4b)4a) 23 −== xlogyxcosarcy ·
Solución:
xxxxy
−−=
−
−=
1·
2
12
1·4
'a)
( )4·3
2'b)
2 −=
xln
xy
5) Calcula la derivada de las siguientes funciones:
( ) 3 5 2b)125a) +=−= xyxarctgy ·
Solución:
( ) ( ) 22 121
10
121
2·5'a)
−+=
−+=
xxy
( )3 25
4
2·3
5'b)
+=
x
xy
6) Aplica la derivación logarítmica para derivar y = x cos x
Solución:
f (x) = x cos x
ln f (x) = cos x · ln x
( )( ) x
xcosxlnxsenxfxf 1
··' +−=
( ) ( )
+−=
+−=
xxcos
xlnxsenxxxcos
xlnxsenxfxf xcos ····'
7) Deriva logarítmicamente la siguiente función y = (cos x)x
Solución:
f (x) =(cos x)x
ln f (x) = x · ln cos x
2
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( )( ) xtgxxcosln
xcosxsen
xxcoslnxfxf
··' −=−+=
f' (x) = f (x) · (ln cos x − x tg x) = (cos x)x · (ln cos x − x tg x)
8) Aplica la derivación logarítmica para derivar y = (x + 1)x 2
Solución:
f (x) = (x + 1)x 2
ln f (x) = x2 · ln (x + 1)
( )( ) ( )
11
·1·2' 2
+++=
xxxlnx
xfxf
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
+++=
+
++=1
1·2·11
1·2·'22 2
xx
xlnxxxx
xlnxxfxf x
9) Mediante la derivación logarítmica, calcula la derivada de y = (ln x)x.
Solución:
f (x) = (ln x)x
ln f (x) = x · ln (ln x)
( )( ) ( ) ( )
xlnxlnln
xlnxxxlnln
xfxf 1
1
·' +=+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+=
+=
xlnxlnlnxln
xlnxlnlnxfxf x 1
·1
·'
10)Aplica la derivación logarítmica para derivar:
x
xy
= 2
Solución:
( ) ( )
=→
=
xlnxxfln
xxf
x2
·2
3
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( )( ) 1
22
2
·2' 2
−
=
−
+
=
xln
x
xxx
lnxfxf
( ) ( )
−
=
−
= 1
2·
21
2·'
xln
xxlnxfxf
x
11)Calcula la derivada de la siguiente función implícita: xy − 2x + 3y = 4.
Solución:
y + xy ' − 2 + 3y ' = 0
( )3
2'23·'
+−=→−=+
xy
yyxy
12)Halla la derivada de la siguiente función implícita: x3 + 6xy + y3 = 8.
Solución:
3x2 + 6y + 6xy ' + 3y2 · y ' = 0
3y ' · (2x + y2) = −3 · (x2 + 2y)
( )2
2
22
'yxyx
y++−=
13)Dada la función implícita x2 − 3xy − 2y2 = 4, calcula su derivada.
Solución:
2x − 3y − 3xy ' − 4yy ' = 0
2x − 3y = y ' · (3x + 4y)
yxyx
y4332
'+−=
14)Halla y ' sabiendo que: x2 + y2 = x2 · y2.
Solución:
2x + 2yy '= 2xy2 + 2x2yy '
4
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2yy ' · (1 − x2) = 2x · (y2 − 1)
)1(·
)1(·'
2
2
xy
yxy
−−=
15)Calcula la derivada de la siguiente función implícita: 4x2 + 9y2 = 36.
Solución:
8x + 18yy ' = 0
yx
y188
'−=
16)Sabiendo que la derivada de f (x) = cos x es f' (x) = −sen x, calcula la derivada de f−1 (x) = arc cos x.
Solución:
f' (x) = −sen x
( ) ( )21
1
1
1)(
1
))(('
1'
xxcosarcsenxffxf
−
−=−
== −−
17)Teniendo en cuenta que la derivada de la función f (x) = tg x es f' (x) = 1 + tg2x, halla la derivada de f−1 (x) = arc tg x.
Solución:
( ) ( )221
1
11
))((11
))(('1
'xxgtarctgxff
xf+
=+
== −−
18)Conocida la función f(x) = ln x y su derivada x1
)x('f = , calcula la
derivada de x1 e)x(f =−
Solución:
( ) ( ) x
x
e
exff
xf === −−
11
))(('1
'1
1
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19)Dada la función f (x) = ex y conocida su derivada f' (x) = ex. Halla la derivada de la función f −1 (x) = ln x.
Solución:
( ) ( )xexff
xfxln
11
))(('
1'
11 === −
−
20)Conocida la función f (x) = x5 y su derivada f' (x) = 5x4. Calcula la derivada de 51 x)x(f =−
Solución:
( ) ( )5 41
1
·5
1))(('
1'
xxffxf == −
−
21)Demuestra que todas las derivadas de orden para de la función
=2x
cos)x(f se anulan para el valor x = π.
Solución:
( )
−=22
1I xsenxf
( )
−=24
1II xoscxf
( )
+=28
1III xsenxf
( )
+=216
1IV xoscxf
...
En general, las derivadas de orden par son de la forma:
( ) constante. una es donde ,2
·2 kx
coskxf n
=
.02
pues , en todas anulan se tanto, Por =
ππ= cosx
22)Prueba que la función f (x) = ln cos x, verifica la siguiente igualdad:
6
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( ) ( )xfexf
2
1−=''
Solución:
( ) xtgxcosxsen
xf −=−='
( )xcos
xf2
1'' −=
f (x) = ln cos x → ef (x) = cos x
( ) .1
'' tanto, Por)(2 xfe
xf−=
7