Calculo 1 derivadas

UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR

2

FUNO QUADRTICA (ou polinomial do 2o grau) y = a . x2 + b . x + c, com a 0

1) a2

b x: temos,ca4b doconsideran e 0cxbxa Se 22

===++

2)

a

bxx

a

cxx

: temos0cxbxa Se21

212

=+

=

=++

3) )xx()xx(acxbxa 212 =++

4) Vrtice da parbola: V(xv, yv), onde: 2 x x

a2b

x 21V+

=

= e a4

)x(fy vV

==

5) Decomposio de polinmios: )rx(...)rx()rx()rx(a)x(P n321n = 6) Fatoraes especiais: )aax...axaxx()ax(ax 1n2n23n2n1nnn +++++= Teorema da decomposio polinomial:

)(...)()(... 21012211 nnnnnn rxrxrxaaxaxaxaxa +++++ , com 0na )...()( 1221 ++++= nnnnnn aaxaxxaxax

)...()( 1221 n nn nn nn nnn aaxaxxaxax ++++=

MDULO OU VALOR ABSOLUTO:

3

FUNO EXPONENCIAL: 1a 0 a ay x >= e,

Propriedades das potncias:

1) 43421n termos

x ... x = xxn 2) nmnm xxx =+ 3) n

mnm

x

xx =

4) 1

n

n

xx = 5) nmm xx = )( n 6) n

m

n m xx =

7) )0(10 = aa

FUNO LOGARTMICA:

+==

>>=

+..2,7182818.11lim e :onde ,log x ln

,logx

x

x

e

x

a

x

0 x e 1a e 0 a y

Propriedades logartmicas:

1) ( ) ( ) ( )B log A log BA log aaa += 2) ( ) ( )B log A log BA

log aaa =

2) ( ) ( ) A log n A log n aa = 4) base) de mudana como (conhecida B logA log

loga

a=

AB

5) xaxa

=log

e por consequncia xe x =ln

GEOMETRIA ANALTICA: 1) Duas retas no verticais r e s so paralelas se, e somente se os seus coeficientes angulares forem

iguais, isto :

sr mmsr =// 2) Duas retas no verticais r e s so perpendiculares se, e somente se o produto de seus coeficientes

angulares for igual a menos um, isto :

1 = sr mmsr ou r

sm

msr1

=

A equao de uma circunferncia de centro C(xc, yc) e raio r

dado por: 222 )()( ryyxx cc =+ .

Considerando a circunferncia com centro na origem,

temos: 222 )0()0( ryx =+ 222 ryx =+ .

22 xry =

3) Equao fundamental da reta: )x-(x p= myy p , em que: x

ytgm

== .

4

TRIGONOMETRIA - Definies, Relao Fundamental e Algumas Consequncias

(01) hipco

hipotenusaoposto cateto

==sen (02) hipca

hipotenusaadjacente cateto

cos ==

(03) ca

co

adjacente catetooposto cateto

==tg ou

cos

sentg = (04)

seng coscot = ou

tgg 1cot =

(05)

cos

1sec = (06)

sen

1 cossec =

(07) 1 cos 22 =+ sen (08) 22 s tg 1 ec=+

(09) 22 secctg1 osco =+

(10) Soma de arcos:

+=

=+

=

+=+

bsen asen b cos a cos)(cosbsen asen b cos a cos)(cosa cosbsen b cos a )(a cosbsen b cos a )(

baba

senbasensenbasen

(11) Arcos duplos:

=

=

cossen2 2 cos 2cos 22

sen

sen

(12) Relao fundamental trigonomtrica e consequncias:

==

=+

2222

22

cos1cos11cos

senesen

sen

(13) Consequncia da relao fundamental trigonomtrica e arcos duplos:

=

+=

2cos21

21

2cos21

21

cos

2

2

sen

(14) Transformao de soma em produto:

+=

+=+

+

=

+=+

2

2 2coscos

2 cos

2 cos2coscos

2 cos

2 2

2 cos

2 2

qpsen

qpsenqp

qpqpqp

qpqpsenqsenpsen

qpqpsenqsenpsen

(15) Lei dos Senos e Lei dos Cossenos:

+=

==

AcbcbaCsen

c

Bsenb

Asena

cos2

222

)

Definio de limites:

5

CAPITULO II DERIVADAS

1.1 Introduo

O Clculo Diferencial e Integral, criado por Leibniz e Newton no sculo XVII, tornou-se logo de incio um instrumento precioso e imprescindvel para a soluo de vrios problemas relativos Matemtica e a Fsica. Na verdade, indispensvel para investigao no-elementar tanto nas cincias naturais como humanas.

O formalismo matemtico do Clculo que primeira vista nos parece abstrato e fora da realidade, est internamente relacionado com o raciocnio utilizado pelas pessoas em geral na resoluo de problemas cotidianos.

Muitos fenmenos fsicos envolvem grandezas que variam, entre eles podemos citar:

- A velocidade de uma partcula; - O nmero de bactrias em uma cultura; - O fluxo de uma corrente eltrica; - A voltagem de um sinal eltrico, entre outros.

A derivada uma ferramenta matemtica utilizada para analisar e estudar as taxas segundo as quais variam estas grandezas.

Observamos na natureza inmeras taxas de variaes. Algumas delas so:

- A potncia: a taxa de variao do trabalho em relao ao tempo; - A taxa de variao do raio de uma artria em relao concentrao de lcool na corrente

sangunea; - A taxa da variao da concentrao de um reagente em relao ao tempo (utilizado por qumicos

taxa de reao) - A taxa de variao do custo de produo de um determinado produto em relao quantidade ou

em relao ao tempo, entre outros.

Veremos neste curso que todas estas taxas de variao podem ser analisadas e interpretadas como inclinaes (coeficiente angular) de retas tangentes. Sempre que solucionarmos um problema de reta tangente estaremos solucionando uma grande variedade de problemas envolvendo taxas de variaes como as citadas anteriormente.

Texto adapatado dos Professores: Devanil Antonio Francisco e Elaine Cristina Ferruzzi

6

PRINCIPAIS REGRAS DE DERIVAO

(Neste quadro, u e v so funes derivveis de x. Por outro lado, k, a, m e n so constantes.)

FUNO DERIVADA 1. y = k y = 0 2. y = x y = 1 3. uky = '' uky = 4. y = u v y = u v 5. y = u1 u2 u3 . . . um y = u1 u2 u3 . . . um 6. nuy = '' 1 uuny n = 7. vuy = ''' vuvuy +=

8. v

uy = ( 0v ) 2''

'

v

vuvuy =

9. y = au, (a > 0 e a 1) aauy u ln'' = 10. y = eu ueuy = '' 11. ualogy = ,(a > 0 e a 1e u

> 0) aln u'

'

=

uy

12. ,lnuy = (u > 0) u

' u ' y =

13. y = vu u ln vu ' v 'u 1-vu v ' +=y , (u > 0) 14. y = sen u uuy cos'' = 15. y = cos u usenuy = '' 16. y = tg u uuy 2sec'' = 17. y = cotg u uuy 2seccos'' = 18. y = sec u utguuy = sec'' 19. y = cossec u uguuy cotseccos'' = 20. y = arc sen u

y ' =u '

1 - u 2

21. y = arc tg u y ' = 2u + 1

' u

22. y = arc cos u y ' =2u - 1

'u

23. y = arc cotg u y ' = 2u + 1

'u

24. y = arc sec u y ' =

1 - u u'

2

u

25. y = arc cossec u y ' =

1 - u u'

2

u

Definio de Derivada geral: x

)x(f)xx(flim)x( ' f0x

+=

Definio de Derivada em um ponto p: px

)p(f)x(flim (p)' fpx

=

7

1.2. UMA DEFINIO

Sejam f uma funo e p um ponto do seu domnio. Limites do tipo

pxpfxf

px

)()(lim

ocorrem de modo natural tanto na geometria como na fsica.

2. BREVE HISTRICO

Newton e Leibniz criaram, cada qual em seu pas e quase ao mesmo tempo, as bases do clculo diferencial.

O desenvolvimento do clculo diferencial ocorreu a partir de dois problemas concretos: Como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto dessa curva? Como obter a velocidade e a acelerao de um mvel, em um dado instante, conhecendo a sua

equao horria?

3. RAZO INCREMENTAL

Sejam x1 e x2 dois valores bem prximos de uma varivel x e y1 = f(x1) e y2 = f(x2) os valores da funo y = f(x) correspondentes a x1 e x2, respectivamente.

Chamamos de acrscimo da varivel x diferena 12 xxx = e acrscimo da funo y diferena )x(f)f(xyou yyy 1212 == em que f(x1) e f(x2) so chamados, respectivamente, de valor

inicial e valor acrescido da funo y.

Exemplo: Sejam y = x2, x1 = 1,2 e x2 = 1,3.

Para

==

==

69,1y temos3,144,1y temos2,1

22

11

x

x

Assim

====

25,01,0x-

12

12

yyyxx

Chamamos de Razo Incremental (RI) ou Razo dos Acrscimos ao quociente (razo):

varivelda inicial valor - varivelda acrescido valorfuno da inicial valor - funo da acrescido valor

xx

yyx

yRI12

12=

==

Assim, para o nosso exemplo, temos:

5,21,025,0

2,13,144,169,1

x

yRI ==

==

8

Utilizando a disposio seguinte podemos escrever a RI de uma forma geral.

Valor inicial Valor acrescido Varivel x xx + Funo f(x) )xx(f +

Ento:

x

f(x)-x)f(xRIou x)xx(

)x(f)xx(fRI +=+

+=

4. DERIVADA DE UMA FUNO

Definio: Seja y = f(x) definida e contnua em um intervalo I. Denomina-se derivada da funo f(x) funo f ' (x) onde:

x

)x(f)xx(flim)x( ' f0x

+=

supondo existir o limite.

Utilizaremos tambm as seguintes notaes para indicar a derivada da funo y:

f D y, D ,dxdf

,

dxdy

,'y xx

Exemplos:

1) Se == )x('fx)x(f ??

11limx

xlimx

xxxlimx

)x(f)xx(flim)x('f0x0x0x0x

===

+=

+=

1(x)' fxf(x) Se ==

2) Consideremos a funo f(x) = x2 e calculemos a sua derivada.

Temos: 2)xx()xx(f +=+ , assim:

xxxx

xxxxx

x

xxxxf

xxx2)2(lim)(2lim)()(lim)('

0

222

0

22

0=+=

++

=

+

=

Portanto, x2)x(' f =

9

3) Se ??(x)f'k ,k)x(f ==

como: f(x) = k; k)xx(f =+ , temos:

0x

0limx

kklimx

)x(f)xx(flim)x('f0x0x0x

==

=

+=

0(x)'ff(x) Se == k

Ou seja, a derivada de uma constante zero.

4) Mostre que: se 1)(')( == nn xnxfxxf Soluo:

*

0

)(lim)()(lim)(' =

+=

+

= x

xxx

x

xfxxfxf

nn

axx

* Fazendo xxu += , temos: xuxxux = e0 , logo:

112211221......limlim)('

=++++=++++=

=n

parcelasn

nnnnnnnn

xu

nn

xuxnuxxxxxuxuxuu

xu

xuxf 44444 344444 21

Nota: Futuramente, provaremos que est ltima frmula vlida para todo n .

5. DERIVADA DE UMA FUNO EM UM PONTO p

A derivada de uma funo f em um ponto p de seu domnio definida e representada por f '(p), em que:

px)p(f)x(flim (p)' f

px

=

desde que exista o limite.

Nota: A derivada de f, em p, o coeficiente angular da reta tangente ao grfico de f no ponto de abscissa x = p

Exemplos:

1) Consideremos a funo f(x) = x2 e calculemos a sua derivada na abscissa p = 1.

6)3x( lim3x3xlim

3x)3(f)x(flim)3(' f

3x

22

3x3x=+=

=

=

Portanto, 6)3(' f =

Nota: Poderamos ter primeiramente encontrado f ' (x) (exemplo 1 anterior) e depois, por substituio, f ' (3).

2) Seja f(x) = x2, calcule: a) f ' (1) Resposta: 2

b) f ' (-3) Resposta: - 6

10

3) Seja f(x) = x , calcule f ' (2). Resposta: 22

1

4) Considere nxxf =)( e calcule ).(' af

Soluo:

11221...limlim)()(lim)('

=++++=

=

=n

parcelasn

nnnn

ax

nn

axaxanaaxaxx

ax

ax

ax

afxfaf 44444 344444 21

5) Mostre que ||)( xxf = no derivvel em .0=p Soluo:

==

=

0se,10se,1||

0|0|||

0)0()(

x

x

x

x

x

x

x

fxf

ento:

11lim0

)0()(lim00

==

+ xx x

fxf e 11lim

0)0()(lim

00==

xx x

fxf

Portanto, 0

)0()(lim0

x

fxfx

no existe, pois os limites laterais so diferentes.

Assim, f no diferencivel em .0 Como )0('f no existe, o grfico de ||)( xxf = no admite reta tangente em )).0(,0( f

11

6. APLICAES SIMPLES DAS DERIVADAS GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

Exemplos:

1) Mostre que a taxa de variao da rea de um crculo em relao ao seu raio em umericamente igual ao permetro do crculo?

Soluo:

Inicialmente, lembremos da geometria plana que: rPDP

crculoimetro

ermetro pipi 2== e 2rAcrculo pi= .

Assim, considerando a funo:

)(2)(')( 2 rPrrArrA === pipi (c.q.d)

2) Mostre que a taxa de variao do volume de uma esfera em relao ao seu raio em umericamente igual rea da superfcie esfrica.

Soluo: Inicialmente, lembremos da geometria espacial que a rea e o volume da esfera so dados, respectivamente, por:

24 rAesfera pi= e 3

34

rVesfera pi= .


)(4)('34)( 23 rArrVrrV === pipi (c.q.d)

3) Mostre que a taxa de variao do volume de um cilindro em funo do seu raio, considerando uma altura fixa em umericamente igual a rea lateral do cilindro.

Soluo: Inicialmente, lembremos da geometria espacial que a rea lateral e o volume do cilindro so dados, respectivamente, por:

hrAlateral pi2= e hrVcilindro2pi= .


)(2)(')( 2 rAhrrVhrrV lateral=== pipi (c.q.d)

4) Mostre que a taxa de variao do volume de um cilindro em funo da sua altura, considerando um raio fixo em umericamente igual a rea da base do cilindro.

Soluo: Inicialmente, lembremos da geometria espacial que a rea da base e o volume do cilindro so dados, respectivamente, por:

2rAbase pi= e hrVcilindro

2pi= .


)(2)(')( 2 rArhVhrhV base=== pipi (c.q.d)

12

7. OUTRAS APLICAES SIMPLES DAS DERIVADAS

Exemplos:

1) Suponha um trabalhador que possui o salrio composto por uma parte fixa (um salrio mnimo) a outra parte comissionada em 2% sobre os valores de vendas. Determine a taxa de variao do seu salrio e faa uma interpretao do resultado encontrado.

Soluo:

02,0%2100

2)('100

2380)( ===+= vSvvS

Interpretao: A cada 100 reais vendidos o seu salrio recebe um incremento (aumento) de 2 reais, assim, 0,02=2% a taxa de variao salarial.

2) Um homem pretende cercar um lote retangular situado margem de um rio. No necessrio cercar ao longo do rio. Se ele tiver 800 metros de cerca e quiser que a rea cercada seja mxima, determine as dimenses do desejado lote.

Soluo:

3) Um fazendeiro deseja construir um depsito em forma de prisma reto de base quadrada, aberto em cima e com capacidade para 64 3m . Determine as dimenses de modo que o material necessrio para construir seja mnimo. Resposta: Atotal = 2x2 + 4xh e h = 64/x2 => dimenses: 4 m x 4 m x 4 m

Soluo:

13

8. INTERPRETAO GEOMTRICA DA DERIVADA

O valor em umrico da derivada de uma funo y = f(x) no ponto de coordenadas (x0, y0) o coeficiente angular da reta tangente curva no ponto.

Portanto, a equao da reta tangente no ponto de abscissa x0 :

)( 00 xxmyy =

ou

)( 00 xxtgyy =

ou

)()(' 000 xxxfyy =

Derivada de uma funo y = f(x) em um ponto x = x0

Considere a figura a seguir, que representa o grfico de uma funo y = f(x), definida em um intervalo de nmeros reais.

Observando essa figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razo incremental da funo y = f(x), quando x varia de (x0) para (x0 + x0):

)()(

0

000

0

0 tgx

xfxxfx

y=

+

=

14

Se voc no entendeu porque o quociente anterior igual tg , revise a trigonometria:

ca

co

adjacenteCatetoopostoCateto

tg ==

Assim, define-se a derivada da funo y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razo incremental anterior, quando x0 tende a zero, e representada por f '(x0) ou seja:

)(')()(limlim 00

0000

0

00 00

xfx

xfxxfx

yxx

=

+

=

Notas:

1) A derivada de uma funo y = f(x), pode ser representada tambm pelos smbolos y' ou dy/dx.

2) Para os smbolos anteriores faz-se as seguintes leituras:

f': f linha e y': y linha

dy/dx: derivada da funo y em relao a varivel independente x

Observe que quando x0 0, o ponto Q no grfico anterior, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura, definindo a reta r, que forma um ngulo com o eixo horizontal (eixo dos x ou das abscissas), e nesse caso, o ngulo QPS = tende ao valor do ngulo .

Ora, quando x0 0, j vimos que o quociente y0 / x0 representa a derivada da funo y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente y0 / x0 representa, como sabemos da trigonometria, a tangente do ngulo QPS = , onde P o vrtice do ngulo. Quando x0 0, o ngulo QPS = , tende ao ngulo .

Assim, no difcil concluir que a derivada da funo y = f(x) no ponto x = x0, igual em umericamente tangente do ngulo . Esta concluso ser muito til no futuro. Podemos escrever ento:

f'(x0) = tg

Concluso: A derivada de uma funo y = f(x) em um ponto x = x0, coincide em umericamente com o valor da tangente trigonomtrica do ngulo formado pela tangente geomtrica curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0.

Existem frmulas para o clculo das derivadas das funes as quais sero mostradas no decorrer desta disciplina mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma funo simples, usando a definio. Isto servir como um timo exerccio introdutrio, que auxiliar no entendimento pleno da definio anteriormente dada.

Exemplo:

1) Calcule a derivada da funo y = x2, no ponto x = 10.

Soluo: Temos neste caso:

15

y = f(x) = x2

f(x + x) = (x + x)2 = x2 + 2x. x + ( x)2

f(x + x) - f(x) = x2 + 2x. x + ( x)2 - x2 = 2x. x + ( x)2

y = f(x + x) - f(x) = x2 + 2x. x + (x)2 - x2 = 2x. x + ( x)2

Portanto,

xxxx

xxx

x

ydxdyy

xxx2)2(lim)(.2limlim '

0

2

00=+=

+

=

==

Observe que colocamos na expresso acima, x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido.

Portanto a derivada da funo y = x2 igual a y ' = 2x.

Logo, a derivada da funo y = x2, no ponto x = 10, ser igual a: y ' (10) = 2.10 = 20.

Qual a interpretao geomtrica do resultado anterior?

Ora, a derivada da funo y = x2, no ponto de abscissa x = 10, sendo igual a 20, significa que a tangente trigonomtrica da reta tangente curva y = x2, no ponto x = 10, ser tambm igual a 20, conforme teoria vista anteriormente.

Ora, sendo o ngulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x, ser um ngulo tal que tg = 20. Atravs de uma calculadora cientfica ou consultando uma tbua trigonomtrica, conclumos que 87 8' 15".

Ento, isto significa que a reta tangente curva de equao y = x2, no ponto de abscissa x = 10, forma com o eixo dos x um ngulo aproximadamente igual a 87 8' 15".

Usando o software Excel para fazer o grfico, temos:

Agora, calcule como exerccio inicial, usando a definio, a derivada da funo y = 5x no ponto de abscissa x = 1000. Resposta: 5.

87 8' 15"

16

9. PROPRIEDADES DAS DERIVADAS

1) Se f(x) e g(x) so funes tendo derivadas f ' (x) e g ' (x) respectivamente, ento

(x)' g(x)' f' )]x(g)x(f[ = Exemplo: h(x) = x2 + x

2) Seja f(x) uma funo tendo derivada ,K e (x)' f ento:

(x)' ' )]([ fkxfk =

Exemplo: h(x) = 5x2

3) Sejam f(x) e g(x) funes tendo derivadas f ' (x) e g ' (x) respectivamente, ento:

[f(x).g(x)]' = f ' (x) . g(x) + f(x) . g ' (x)

Exemplo: h(x) = x2.x

4) Sejam f(x) e g(x) funes tendo derivadas f ' (x) e g ' (x) respectivamente, ento:

2

'

)]([)(' )()( )('

)()(

xgxgxfxgxf

xgxf

=

Exemplo: h(x) = x2 / x

Em resumo: Sejam u = f(x), v = g(x) e k , ento:

1) ' v 'u ' v)(u =

2) ')'( ukuk =

3) '')'( vuvuvu +=

4) 0 v:que desde ,'''

2

=

v

vuvu

v

u

17

10. DERIVADAS DAS FUNES TRIGONOMTRICAS

Se f(x) = sen x f ' (x) = cos x Se f(x) = cos x f ' (x) = - sen x Se f(x) = tg x f ' (x) = sec2 x Se f(x) = cotg x f ' (x) = - cossec2 x Se f(x) = sec x f ' (x) = sec x . tg x Se f(x) = cossec x f ' (x) = - cossec x . cotg x

Demonstraes:

1) == )(')( xfxtgxf ??

Como xcos

xsentgx = , temos:

2][cos]'[coscos]'[)('

x

xxsenxxsenxf =

x

xsenxsenxx2cos

)(coscos = =

xsecxcos

1xcos

xsenxcos 222

22

==

+=

xSe 2sec(x)'fxtgf(x) ==

Agora, prove as demais derivadas trigonomtricas:

11. DERIVADAS DAS FUNES EXPONENCIAIS E LOGARTMICAS

Se f(x) = ax (a > 0 e a 1) f ' (x) = aa x ln Se f(x) = xalog (a > 0 e a 1 e x > 0) f ' (x) =

aln x1

Se f(x) = ex f ' (x) = ex Se f(x) = ln x f ' (x) =

x

1

Exemplos:

1) Calcule as derivadas das seguintes funes: a) xexxf = 2)( b)

1)(

+=

x

exf

x

DIGITAR FOLHAS DE CADERNO (NOTAS DE AULAS)

18

Teorema: Provar que nxy = tem derivada 1' = nxny para qualquer n real.

Soluo: Sendo nxy = ento, aplicando logaritmo neperiano (logaritmo de base ...718182,2=e ) em ambos os membros da equao, temos:

n x nyn n xyn n llll ==

Derivando os dois membros desta equao, supondo y funo de x, temos:

1- xn y 'y 1

y'

==x

ny

mas,

nxy =

logo,

11

1 '

===nnn xnxnx

xnxy

e, portanto,

1 '

=nxny

(c.q.d.)

para qualquer valor de n.

19

12. EQUAES DA RETA TANGENTE E DA RETA NORMAL

A equao da reta tangente ao grfico de f no ponto (p, f(p)) dada por:

p)-(p).(x ' f)p(fy =

Onde: f ' (p) = px

)p(f)x(flimpx

e f(p) o valor da funo f no ponto de abscissa x = p

Chama-se normal da curva em um ponto p, a reta que perpendicular tangente passando por esse ponto.

Da geometria analtica sabemos que, para duas retas serem perpendiculares em um ponto x, devemos ter:

s) reta( )(p' f1

r) reta( )(p' f =

onde resulta a equao da reta normal em p.

)px.()(p' f1)p(fy =

Exemplos:

1) Seja f(x) = x2. Determinar a equao da reta tangente ao grfico de f no ponto a) (1, f(1)) Resposta: y = 2x 1 b) (-1, f(-1)) Resposta: y = - 2x - 1

Soluo:

a) Como 2.(1)' f e2x (x)' fx)x(f 2 ===

Assim, y - 1 = 2 (x - 1) ou

y = 2x 1 a equao da reta tangente no referido ponto.

b) Como 2.(-1)' f e2x (x)' fx)x(f 2 ===

Assim, y - 1 = -2 (x + 1) ou

y = - 2x - 1 a equao da reta tangente no referido ponto.

20

Geometricamente, usando o software MatLab, temos:

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

eixo das abscissas, X

eix

o da

s o

rde

na

das

, Y

RETA TANGENTE AO GR FICO DA FUN O NO PONTO DADO

y = x2y = 2x - 1y =-2x - 1

Grfico da funo y = x2 e das retas tangentes pedidas nos itens a) e b).

2) Calculemos a equao da tangente e da normal curva y = x2 no ponto (1, 1).

Soluo:

Como 2.(1)' f onde2x (x)' fx)x(f 2 ===

Assim, y 1 = 2 (x - 1) ou y = 2x 1 a equao da tangente no referido ponto.

Logo, a equao da normal curva em (1, 1) dada por:

23

x21

-you )1x(211y +==

Geometricamente, usando o software MatLab, temos:

-3 -2 -1 0 1 2 3-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

y

y = x2y = 2x-1y = -1/2x + 3/2

Grfico da funo y = x2 e das retas tangente e normal no ponto de abscissa x = 1.

21

LISTA DE EXERCCIOS PROPOSTOS PARA A REVISO DOS CONCEITOS

Lembre-se: Para encontrar a equao da reta tangente utilizamos )( 00 xxmyy t = , onde (x0, y0) o ponto de tangncia e mt o coeficiente angular da reta.

1) Determine a equao da reta tangente ao grfico da funo, no ponto de abscissa dada: a) 2 = x em , 35)( = xxf Resposta: y =5x 3 b) 0 = x em ,532 2 + xxf(x) = Resposta: y = - 3x + 5 c) 1 xem ,13)( 3 =+= xxxf Resposta: y = 6x-3 d) 0 t em ,510tf(t) 2 =+= t Resposta: y = 5t e) 2 x em ,45)( 2 == xxxf Resposta: y = 16x 20 f) 1 x em 2x,-4 f(x) == Resposta: y = -2x+4

2) Determine a equao da reta tangente curva 12)( 2 += xxxf no ponto (0, 1). Resposta: 12 += xy

3) Determine a equao da reta tangente ao grfico da funo f(x) = sen x no ponto de abscissa x = 0 rad. Resposta: y = x.

4) Determine os pontos sobre a curva 1)( 23 += xxxxf onde a tangente horizontal. Resposta: (1, 0) e

2732

,

31

. Nota: Futuramente, veremos que esses pontos so candidatos a

pontos de mximos, mnimos ou ponto de inflexo da funo dada.

5) Quais os valores de x onde o grfico de 871232)( 23 += xxxxf tem tangentes horizontais? Resposta: x = 2 e x = -1

6) Mostre que a curva 356)( 3 += xxxf no tem reta tangente com inclinao 4. Resposta: Demonstrao.

22

13. INTERPRETAO FSICA DA DERIVADA

Velocidade Mdia e Velocidade Instantnea

Vamos utilizar uma historinha para ilustrar melhor os conceitos:

O sr. Mrio mora na cidade A e, nos fins de semana, vai visitar a irm que mora na cidade B, distante 200 quilmetros de A, e nesse percurso ele leva duas horas e meia. Na ltima vez, o sr. Mrio foi multado pela polcia rodoviria por excesso de velocidade. Ele tentou argumentar que, como percorre 200 km em duas horas e meia, a sua velocidade de 80 km e portanto no poderia ser multado. Por que os guardas rodovirios no lhe deram ouvidos?

A velocidade a que se refere o sr. Mrio a velocidade mdia:

horakmdecorridotempo

percorridadistnciavm /805,2

200===

A velocidade a que se refere o guarda rodovirio a velocidade instantnea, que provavelmente era maior do que 80 km/hora no instante em que ele passava pelo local, pois difcil manter uma velocidade constante em um percurso to longo.

Lembremos o que velocidade instantnea.

Seja s = s(t) a equao horria do movimento de um ponto material na reta em umrica, isto , s(t) indica a coordenada do ponto material no instante t. A velocidade mdia do ponto material no intervalo de tempo ],[ ttt + dada pela razo entre espao percorrido e o tempo decorrido.

t

tstts

t

svm

+=

=)()(

A velocidade instantnea do ponto material no instante t o limite da velocidade mdia t

s

quando

t tende para 0:

t

tstts

t

stvv

tt +

=

==

)()(limlim)(00

Consideremos a figura a seguir, onde o espao s depende do tempo t, isto , s = f(t).

f(t+t)

f(t)

t t+t t

S

Q

PS

t

23

Como sabemos atravs da fsica, a velocidade mdia de um corpo no intervalo de tempo t dada

por: .t

sVm

= Se fizermos t muito pequeno ( )0t teremos a velocidade do referido corpo em um instante t, denominado velocidade instantnea, a qual dada por:

.

)()(limlim00 dt

dst

tfttft

sv

tt=

+

=

=

Portanto, a velocidade instantnea de um corpo em um referido instante t nada mais do que a derivada da funo s = f(t).

Se o movimento no uniforme temos, em dois instantes distintos, duas velocidades distintas, ou seja, haver uma variao na velocidade. Em fsica a acelerao mdia dada por:

tv

am = onde a

acelerao instantnea, de maneira anloga velocidade instantnea, dada por:

.

dtds

vonde lim0

==

= dt

dvt

va

t

Ento ,22

dtsd

dtds

dtd

a =

= ou seja, a derivada de segunda ordem da funo s = f(t) exprime

exatamente a acelerao do movimento.

Exemplos:

1) Um objeto se move de modo que no instante t a distncia dada por s(t) = 3t4 2t. Qual a expresso da velocidade e da acelerao desse objeto, em um instante t qualquer e no instante t =1 seg.?

Soluo:

Como vimos .36ta sejaou dtdv

a(t) e 212t v(t)sejaou 23 ====dtds

v Em t = 1 seg., temos:

smv /102122112)1( 3 === e ./36136)1( 22 sma ==

2) Determine a velocidade e a acelerao no instante t = 3 seg. onde s(t) = 3t3 2t2 + 2t +4 a funo que informa a posio (em metros) de um corpo no instante t.

Soluo:

Temos: 24t-9t dtds

v 2 +== onde, no instante t = 3seg., a velocidade vale v=71 m/seg. e

4t18dtsd

a 2

2

=

= onde, no instante t = 3 seg., a acelerao vale a = 50 m/seg2.

3) Uma partcula se move segundo a equao s(t) = t3 2t2 + 5t 1 (s em metros e t em segundos). Em que instante a sua velocidade 9 m/s?

Soluo:

322

684

6644

648164044395439)(' 22 ====+===+= touttttttts

Portanto, no instante t = 2 segundos a sua velocidade de 9 m/s.

24

4) Um mvel se desloca em uma trajetria de equao t22t5S += , S em metros e t em segundos, determine a velocidade e a acelerao instantnea do mvel para t = 3 s.

Soluo: Sabemos que para encontrar a velocidade, basta derivar a funo do espao, assim,

210 +== tvdtdS

v

v = 10t +2 a expresso que nos fornece a velocidade instantnea para qualquer tempo.

Particularmente, no tempo 3 segundos, temos: v = 10. 3 + 2. Assim, v = 32 m/s

Agora, para encontrar a acelerao, basta derivar a velocidade, assim:

2/10 smadtdv

a ==

5) Um mvel se desloca em uma trajetria de equao ,2

2

00ta

tvSS ++= onde 0S a posio

inicial, 0v a velocidade inicial, t o tempo em segundos, a a acelerao e S a posio final em metros. Determine a velocidade e a acelerao instantnea do mvel.

Soluo: Utilizando as regras de derivao, e sabendo que a acelerao, a velocidade inicial e o espao inicial so constantes, temos:

tavdtdSta

vdtdS

+=

++= 00 220 .

Assim, tavdtdS

+= 0 a funo da velocidade, logo, a derivada do espao em relao ao tempo, nos

fornece a velocidade instantnea:

atvdtdS

+= 0

Agora, derivando a velocidade em relao ao tempo, temos:

adtdv

adtdv

=+= 0

logo, a derivada da velocidade em relao ao tempo, nos fornece a acelerao:

adtdv

=

25


1) Um corpo desloca-se sobre um plano inclinado atravs da equao s(t) = 5t2 2t (s em metros e t em segundos). Calcular a velocidade e a acelerao desse corpo aps 2 segundos da partida. Resposta: v(2) = 18 m/s e a(2) = a(t) = 10 m/s2

2) Um corpo abandonado do alto de uma torre de 40 m de altura atravs da equao s(t) = 6t2 2. Determinar a sua velocidade quando se encontra a 18 m do solo, onde s medido em metros e t em segundos. Resposta: v = 24 m/s

3) Dois corpos tem movimento em mesma reta segundo as equaes s1(t) = t3 + 4t2 + t 1 e s2(t) = 2t3 5t2 + t + 2. Determine as velocidades e posies desses corpos quando as suas aceleraes so iguais considerando s em metros e t em segundos.

Resposta: Dica: )('')('' 21 tsts = => v1 = 52 m/s, s1 = 65 m, v2 = 25 m/s e s2 = 14 m

4) Uma partcula descreve um movimento circular segundo a equao = 2t4 3t2 4 ( em radianos). Determine a velocidade e a acelerao angulares aps 4 segundos. Resposta: w = 488 radianos/segundos e = 378 radianos/ segundos2

5) Um mvel descreve uma trajetria segundo a equao 273)(

+

=

t

tts (s em centmetros e t em

segundos). Qual a sua velocidade e acelerao aps deslocar 2 cm? Resposta: 2/

1692

- ,/131

scmascmv ==

26

14. DERIVADAS SUCESSIVAS

Seja y = f(x) definida em um intervalo. A derivada f (x) tambm uma funo neste intervalo. Se f (x) for tambm derivvel, a sua derivada denominada derivada segunda da funo f(x) e representaremos por:

2

2

dxyd

ou (x)'' f e assim sucessivamente.

Denotaremos por n

nn

dxyd

ou (x)f a derivada de ordem n da funo y = f(x).

Exemplo:

1) Consideremos a funo y = 5x4 2x3 + 6x2 2x 8. Ento:

2x12x6x20dxdy 23

+= (derivada de 1a ordem)

12x12x60dxdy

dxd

dxyd 22

2

+=

= (derivada de 2a ordem)

12x120dx

yddxd

dxyd

2

2

3

3

=


120dx

yddxd

dxyd

3

3

4

4

=


0 ...... 66

5

5

=====n

n

dxyd

dxyd

dxyd

(derivada de 5a ordem ou superior)

15. VARIAO DO SINAL DE UMA FUNO

Uma funo crescente em um intervalo I, quando a sua derivada primeira for positiva nesse intervalo. Por outro lado, uma funo decrescente em um intervalo I, quando a sua derivada primeira for negativa nesse intervalo. Assim,

Se f ' (x) > 0 a funo crescente no intervalo I.

Se f ' (x) < 0 a funo decrescente no intervalo I.

16. CONCAVIDADE DE UMA FUNO

A concavidade da curva de uma funo f pode ser determinada por meio do sinal da derivada de segunda ordem de f, ou seja:

Se f '' (x) > 0 concavidade voltada para cima, no intervalo analisado.

Se f '' (x) < 0 concavidade voltada para baixo, no intervalo analisado.

27

17. MXIMOS E MNIMOS

A partir do sinal da derivada de segunda ordem de uma funo f, alm da concavidade, pode-se obter pontos de mximos ou mnimos, relativos a um certo intervalo desta funo. Sendo o grfico a seguir de uma funo f, qualquer, tem-se:

x1

r1

x2

r2

x3

r3

y = f(x)

x

y

x1 = abscissa de um ponto de mximo local. x2 = abscissa de um ponto de mnimo local. x3 = abscissa de um ponto de mximo local. As retas tangentes r1, r2 e r3 nos pontos de abscissas x1, x2 e x3 respectivamente, so paralelas ao eixo x, logo a derivada de f se anula para x1, x2 e x3, ou seja:

f ' (x1) = f ' (x2) = f ' (x3) = 0

Nota: Nos pontos de mnimo ou mximo relativo, a derivada primeira se anula.

Teste da derivada 2a

A fim de verificar se um ponto que anula a derivada primeira de uma funo, representa um ponto de mxima ou mnimo local, faz-se o teste da derivada de segunda ordem, ou seja:

10 passo: Deriva-se a funo. 20 passo: Iguala-se a derivada primeira a zero. 30 passo: Determinam-se as razes da derivada primeira. 40 passo: Teste da derivada de segunda ordem, ou seja:

f ''(p) > 0 p = abscissa de mnimo local

f ''(p) < 0 p = abscissa de mximo local

18 . PONTO DE INFLEXO

Se f ''(p) = 0 e f '''(p) 0, ento p = 0 abscissa de um ponto de inflexo.

-2 -1 .5 -1 -0 .5 0 0 .5 1 1 .5 2-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Teorema: Se uma funo f(x) derivvel em um ponto p, ento ela contnua nesse ponto.

Nota: Uma funo no possui derivada, nos pontos de descontinuidade.

28

19. ALGUMAS APLICAES DAS DERIVADAS

1) Se a posio de uma partcula definida por 235)( ttts = metros, onde t expresso em segundos, construa os seguintes grficos no intervalo [0, 20] segundos:

a) Da posio em relao ao tempo. b) Da velocidade em relao ao tempo. c) Da acelerao em relao ao tempo. Soluo: Usando o software MS-Excel para fazer os grficos: Nome do arquivo: Ex_Aplica_Der_Fisica.xls a) 235)( tttS =

Funo Posio x Tempo

S(t) = -3t2 + 5tR2 = 1

-1200-1000-800-600-400-200

0200

0 5 10 15 20t

S(t)

b) ttv 65)( = Funo: Velocidade x Tempo

V(t) = -6t + 5R2 = 1

-140-120-100

-80-60-40-20

020

0 5 10 15 20t

V(t)

c) 2/6 sma = Funo: Acelerao x Tempo

a = -6R2 =1

-7

-6

-5

-4

-3-2

-1

00 5 10 15 20

ta(t)

Nota: O R2 o coeficiente de correlao de Pearson ao quadrado, o mesmo obtido ao encontrarmos a linha de tendncia.

29

2) (HIBBELER, ANO ?? - Dinmica p.13) Uma bicicleta se move em uma pista retilnea de forma que sua posio descrita pelo grfico mostrado na figura a seguir.

a) Determine as equaes da velocidade e da acelerao (nos intervalos de tempo apropriados). b) Construa os grficos da velocidade em relao ao tempo e o grfico da acelerao em relao ao

tempo no perodo de .300 st

Resposta: a)

30

4) (HIBBELER, ANO ?? - Dinmica p.32) A trajetria de vo de um helicptero quando ele decola de A definida pela equaes paramtricas: )m(04,0e)m(2 32 tytx == , onde t o tempo expresso em segundos. Veja figura a seguir:

Determine a distncia do helicptero ao ponto A e os mdulos de sua velocidade e de sua acelerao quando t = 10 segundos. Resposta: Distncia = 204 m, v = 41,8 m/s e a = 4,66 m/s2.

5) Uma partcula move-se ao longo de uma linha reta de forma que sua posio definida por 23 23 += tts metros. Determine a velocidade instantnea quando t = 2 s. Resposta: v = 2 m/s

6) O movimento de um ponto material definido pela relao 9582 23 ++= tttx , onde x expresso em metros e t em segundos. Determine a posio, velocidade e a acelerao quando t = 3 segundos. Resposta: Posio = -32 m, v = 11 m/s e a = 20 m/s2.

7) O movimento de um ponto material definido por 1292 23 += ttx , onde x expresso em metros e t em segundos. Determine o instante, a posio e a acelerao quando v = 0. Resposta: t = 0 seg => x = 12 m e a = -18 m/s2. Por outro lado, t = 3 seg => x = -15 m e a = 18 m/s2

8) O movimento de um ponto material dado por 30102 += ttx onde x expresso em metros e t em segundos. Determine:

a) O instante em que a velocidade nula. Resposta: t = 5 seg. b) A posio do ponto quando t = 8 seg. Resposta: S = 14 m

9) O movimento de um ponto material dado por 28331 23 ++= tttx onde x expresso em metros

e t em segundos. Determine: a) O instante em que a velocidade nula. Resposta: 2 seg. e 4 seg. b) A posio do ponto onde a acelerao nula. Resposta: 8 m

10) (BEER, mecnica vetorial p.8) A posio de um ponto material que se desloca ao longo de uma reta definida por 40156 23 += tttx , onde x expresso em metros e t em segundos. Determine:

a) O instante no qual a velocidade ser nula. Resposta: t = 5 seg. b) A posio e a distncia percorrida pela partcula at este instante. Resposta: Posio = - 60 e

distncia percorrida = 100 m c) A acelerao da partcula neste instante. Resposta: a = 18 m/s2

11) Para uma partcula que se move sobre uma trajetria conhecida, sua posio determinada pela abscissa que uma funo do tempo t, chamada funo horria. Determine a velocidade e a acelerao das partculas cujas funes horrias so dadas a seguir, nos instantes indicados:

a) s 0= tem ,320)( 2ttS += Resposta: v(0) = 0 m/s e a(0) = 6 m / s2 b) s 2 = t em ,5t-100=S(t) 2 Resposta: v(2) = - 20 m/s e a(2) = -10 m/s2 c) s 2 = t em ,5t = S(t) 3 Resposta: v(2) = 60 m/s e a(2) = 60 m/s2

31

12) Um mvel desce um plano inclinado segundo a equao tts 612 2 += . Determine a sua velocidade instantnea no tempo 3 seg. Resposta: v = 78 m/s.

13) Um balonista deixa cair de um balo um saco de areia. Aps t segundos, o saco de areia est a 29,4100 t do solo. Determine a velocidade do saco de areia em t = 2 seg. Resposta: -19,6 m/s

14) Um projtil lanado verticalmente do solo com velocidade inicial de 112 m/s. Aps t segundos, sua distncia do solo de 29,4112 t metros. Determine a velocidade e a acelerao instantnea em t = 2 seg. Resposta: v(t) = - 19,6 m/s e a = -9,8 m/s2.

15) Um atleta percorre uma pista de 100 m de modo que a distncia S(t) percorrida aps t segundos ttts 8

51)( 2 += . Determine a velocidade do atleta quando t = 5 seg. Resposta: v(t) 10 m/s

16) A lei de Boyle afirma que se a temperatura permanece constante, a presso p e o volume v de um gs confinado esto relacionados por

v

cp = para alguma constante c. Se, para certo gs, c = 200

e v est aumentando, determine a taxa instantnea de variao de p em relao a v:

a) Para um volume v qualquer. Resposta: 200)(' 2vvp

=

b) Para um volume de 10. Resposta: -2(10)p' =

17) A relao entre a temperatura F na escala Fahrenheit e a temperatura C na escala Celsius dada por )32F(

95C = . Determine a taxa de variao de F em relao a C. Resposta: 8,1

59

' ==F

18) A lei de Charles para os gases afirma que se a presso permanece constante, ento a relao entre o volume V que um gs ocupa e sua temperatura T (em C) dada por .

273110

+= TVV

Determine a taxa de variao de T em relao a V. Resposta: 0

273)('V

VT = .

19) Mostre que a taxa de variao do volume de uma esfera em relao ao seu raio em umericamente igual rea da esfera. Lembre-se: 2esfera

3 4Ae34

rrVesfera pipi == . Resposta:

A4(r)'V 2 == rpi

20) Uma mancha de leo se alastra sempre circularmente. Determine a taxa na qual a rea A da superfcie da mancha varia em relao ao raio do crculo para:

a) r arbitrrio Resposta: rA pi2'= b) r = 200 m Resposta: pi400=A

21) Um balo est sendo inflado. Determine a taxa na qual seu volume V varia em relao ao raio r do balo para:

a) r arbitrrio Resposta: superfcie2 A4(r)'V == rpi b) r = 3 m Resposta: pi36(3)'V =

32

22) Uma partcula move-se segundo a trajetria 372)( 23 += ttts . Determine: a) A equao da velocidade. Resposta: v(t)= - 6t2 + 14t b) A equao da acelerao. Resposta: a(t) = - 12t + 14 c) A velocidade no instante t = 3 seg. Resposta: 12 m/s d) A acelerao no instante t = 1 seg. Resposta: 2 m/s2

23) A coordenada de posio de uma partcula movendo-se ao longo de uma linha reta dada por 6242)( 3 += ttts , onde s medido em metros a partir de uma origem e t est em segundos.

Determine: a) O tempo necessrio para a partcula alcanar uma velocidade de 72m/s a partir de sua condio

inicial em t = 0. Resposta: t = 4 s b) A acelerao da partcula quando v = 30m/s. Resposta: a = 36 m/s2 c) O deslocamento resultante durante o intervalo de t = 1 s at t = 4 s. Resposta: 54 m

24) A velocidade de uma partcula dada por 2008025)( 2 = tttv , onde v est em metros por segundo e t em segundos. Calcule a velocidade quando a acelerao nula. Resposta: v = -264 m/s

25) A posio de uma partcula dada por 50200402)( 23 += tttts , onde s est em metros e t em segundos. Determine o tempo no qual a velocidade se anula. Resposta: t = 10 seg. e t = 10/3 seg.

26) Seja a equao do espao dada por 16 23 += tts . Determine: a) O espao e a velocidade quando a acelerao nula. Resposta: S = -15 m e v = 12 m/s b) O espao e a acelerao quando a velocidade nula. Resposta: Para t = 0 s, S = 1 m e a = -12 m/s2 para t = 4 seg, S = -31 m e a = 12 m/s2.

27) Um avio est voando a 1.100 m de altura, conforme a figura a seguir.

Qual a taxa de variao da distncia entre o avio e o ponto fixo P em relao a quando =30? Resposta: A taxa de variao de aproximadamente -3.808.

28) (Adaptado de ANTON) Suponha que o sol passe diretamente sobre um prdio de altura 30 m e seja o ngulo que os raios solares fazem com o solo. Determine a taxa segundo o qual o comprimento da sombra do prdio est variando em relao , quando = 45. Resposta: -60 metros/rad.

Soluo:

sensentg

yysombra

alturatg cos30

cos

303030===== .

A derivada de y dada por:

230

'

seny = .

Logo, para = 45, temos:

604/2

30

22

30)45(

30)45(' 220 ==

==

seny metros/rad

33

29) A frequncia de vibrao de uma corda de um violino dada por T

Lf =

21

, onde L o

comprimento da corda, T sua tenso e sua densidade linear. Determine a taxa de variao da frequncia em relao:

a) Ao comprimento (T e so constantes). Resposta: T

LdLdf

= 221

b) tenso (L e so constantes). Resposta: TLdT

df

=

41

c) densidade linear (L e T so constantes). Resposta: T

Lddf

=

41

Soluo: Usando o software de manipulao algbrica Maple, temos: > restart: > f:=1/(2*L)*sqrt(T/p); # DEFININDO A FUNO A SER DERIVADA.

:= fTp

2 L

> df_dL:=diff(f,L); # DERIVADA DE f EM RELAO A L.

:= df_dL Tp

2 L2

> df_dT:=diff(f,T); # DERIVADA DE f EM RELAO A T.

:= df_dT 14 L Tp p

> df_dp:=diff(f,p); # DERIVADA DE f EM RELAO A L.

:= df_dp T4 L Tp p

2

30) Se a equao de movimento de uma partcula for dada por ( ) += t cosAs , dizemos que a partcula est em um movimento harmnico simples. Nestas condies, determine a velocidade da partcula no instante t. Resposta: )( += tsenAv

31) O deslocamento de uma partcula sobre uma corda vibrante dado pela equao ( )tsents pi10

4110)( += , onde s medido em centmetros e t em segundos. Determine a

velocidade da partcula aps t segundos. Resposta: scmttv /)10(cos2

5)( pipi

=

32) O movimento de uma mola sujeita a uma fora de atrito ou a uma fora de amortecimento (como um amortecedor de um carro), frequentemente modelado pelo produto de uma funo exponencial e uma funo seno ou cosseno. Suponha que a equao de movimento de um ponto sobre essa mola seja )2(2)( 5,1 tsenets t pi= onde s medido em centmetros e t em segundos. Determine a velocidade aps t segundos. Resposta: )]2(5,1)2(cos2[2)( 5,1 tsentetv t pipipi =

34

33) (HIBBELER ANO ?? - Dinmica p. 17, exerc. 1-40) Se a posio de uma partcula definida como 4

52 +

= tsens

pi, onde t expresso em segundos, determine a velocidade e a

acelerao no instante t. Resposta:

= ttv

5cos

52)( pipi e

= tsenta

552)(

2 pipi

34) O deslocamento de uma partcula dado por ,)32( 5,0 tets += estando s em metros e t em segundos. Determine o tempo no qual a acelerao nula. Resposta: 2/67,4 smt

Soluo: Usando o software de manipulao algbrica Maple, temos: > restart: > s:=(-2+3*t)*exp(-0.5*t); # DEFININDO A FUNO.

:= s ( ) + 2 3 t eeee ( )0.5 t

> v:=diff(s,t);# CALCULANDO A FUNO VELOCIDADE. := v 3 eeee ( )0.5 t 0.5 ( ) + 2 3 t eeee ( )0.5 t

> a:=diff(v,t);# CALCULANDO A FUNO ACELERAO, UMA FORMA. := a + 3.0 eeee ( )0.5 t 0.25 ( ) + 2 3 t eeee ( )0.5 t

> a:=diff(s,t$2);# CALCULANDO A FUNO ACELERAO, OUTRA FORMA. := a + 3.0 eeee ( )0.5 t 0.25 ( ) + 2 3 t eeee ( )0.5 t

> solve(a=0,{t});# DETERMINANDO, QUANDO A ACELERAO SER NULA { } = t 4.666666667

35) (STEWART ANO ?? p. 206) Se um tanque mantm 5.000 gales de gua, que escoa pelo fundo em 40 minutos, ento a Lei de Torricelli d o volume V de gua que restou no tanque depois de t

minutos como 2

401000.5

=

tV com 400 t . Determine a taxa segundo a qual a gua est

escoando do tanque depois de 5 minutos. Resposta: min/75,218 gdtdV

=

Soluo: Usando o software de manipulao algbrica Maple, temos: > restart:

> V:=5000*(1-t/40)^2; := V 5000

1

t40

2

> V_linha:=diff(V,t); := V_linha + 25025 t

4

> subs(t=5,V_linha); -875

4

> evalf(%); -218.7500000

36) Seja .)( xsenxf = Determine .3

'

pif Resposta: 1/2

35

20. ALGUMAS APLICAES DAS DERIVADAS AOS CIRCUITOS ELTRICOS

1) A voltagem de um certo circuito eltrico de 100 volts. Se a corrente (em ampres) I e a resistncia (em ohms) R, ento, pela lei de Ohms,

RI 100= . Se R est aumentando, determine a

taxa instantnea de variao de I em relao a R em: a) Qualquer resistncia R. b) Uma resistncia de 20 ohms. Soluo: a) Para encontrar a taxa instantnea da variao de I, basta deriv-la:

2210011000100RdR

dIR

RdRdI

RdRdI

=

==

b) Para R= 20, temos:

2d I 100 1dR 20 4

= =

Assim, quando R= 20 ohm a corrente est decrescendo taxa de 41

de ampre por ohm.

2) Duas bobinas acopladas tm auto-indutncia, onde o coeficiente de mtua induo L igual a 0,05 Henry (H) e a corrente 1i que percorre a bobina 2 igual a )400(5 tsen ampres (A). Determinar a tenso 2v na bobina 2, sendo .2 dt

diLv =

Soluo:

)400(cos100)400(cos400505,0)]400(5[05,02 tttsendtd

dtdiLv ==== (V)

3) Considere uma indutncia 02,0=L Henry (H) atravessada pela corrente ).300(cos10 ti = Determine a tenso induzida ).(tvL

Soluo: Sabendo-se que:

dtdiLtvL =)(

Assim, temos:

)300(60)300(3001002,0)]300(cos10[02,0)( tsentsentdtd

tvL ===

4) Considere uma capacitncia FC 20= qual aplicada uma tenso )50200(30)( 0+= tsentv . Determine a corrente ).(ti

Soluo: Sabendo-se que:

dtdvCti =)(

Assim, temos:

)50200(cos12,0)50200(cos2003000002,0)]50200(30[1020)( 0006 +=+=+= tttsendtd

ti

36

5) (Adaptado STEWART, ANO ?? - p.223, exerc. 69) O flash de uma cmara estoca carga em um capacitor e a dispara instantaneamente quando ativado. Os dados da Tabela a seguir descrevem a carga remanescente no capacitor (medida em microcoulombs, C ) no instante t , medido em segundos.

Tabela t Q

0,00 100 0,02 81,87 0,04 67,03 0,06 54,88 0,08 44,93 0,10 36,76

Utilizando-se um software de ajuste de curvas (linha de tendncia do Excel, por exemplo) encontramos a funo (ou o modelo matemtico) tetQ = 006,1001,100)( , como ilustra a figura a seguir.

Funo: Carga x Tempo

Q(t) = 100,01e-10,006tR2 = 1

0102030405060708090

100110

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10Tempo (t)

Carg

a [Q

(t)]

Sabendo que a derivada da carga representa a corrente eltrica que flui em um capacitor, determine a corrente quando t = 0,04s. Resposta: A63,670 Soluo: Usando o software de manipulao algbrica Maple, temos: > restart: > Q:=100.01*exp(-10.006*t); # DEFININDO A FUNO CARGA.

:= Q 100.01 eeee ( )10.006 t

> Q_linha:=diff(Q,t); # CALCULANDO A FUNO DERIVADA. := Q_linha 1000.70006 eeee ( )10.006 t

> subs(t=0.04,Q_linha); # AVALIANDO A FUNO DERIVADA NO PONTO DADO. 1000.70006 eeee ( )-0.40024

> evalf(%);# AVALIANDO A FUNO DERIVADA NO PONTO DADO. -670.6283401

37


1) A corrente em uma indutncia pura de 01,0=L H ).000.2(cos5 ti = Qual a tenso? Resposta: )90200(cos100)( 0+= ttv . Se julgar necessrio, procure intepretao com um engenheiro, ou

outro especialista da rea.

2) Duas bobinas acopladas possuem auto-indutncia, onde o coeficiente de mutua induo L igual 0,03 H e a corrente 1i que passa pela bobina 2 igual ).45300(cos7 0+= ti Determine a tenso na bobina 2. Resposta: )45300(63)( 0+= tsentv

3) Determine a tenso induzida em uma indutncia pura de L = 0,02 Henry sendo a corrente Atti )100(cos5,7)( = . Resposta: )000.1(150)( tsentv =

4) Considere um capacitor FC 30= ao qual aplicada uma tenso )50300(20)( 0+= tsentv . Obtenha a corrente )(ti . Resposta: )50300(cos18,0)( 0+= tti

5) A quantidade de carga Q em Coloumbs que passa atravs de um ponto em um fio at o instante t (medido em segundos) dada por .262)( 23 ++= ttttQ Determine a corrente quando t = 0,5 s. Resposta: Ai 75,4=

38

21. ALGUMAS APLICAES DAS DERIVADAS MECNICA

1) (BEER, 1980 Mecnica Vetorial, p. 51ss) O brao AO (veja a figura a seguir) de 0,9 m de comprimento gira ao redor de O e seu movimento est definido pela relao ,15,0 2t= onde est expresso em radianos e t em segundos. O cursor B desliza ao longo do brao, sendo que seu deslocamento em relao a O dado por 212,09,0 tr = , onde r expresso em metros e t em segundos. Determine a velocidade e a acelerao total do cursor B aps o brao AO ter girado 30, ou seja, t = 1,869 s. Se julgar necessrio, procure intepretao com um engenheiro, ou especialista da rea.

Soluo:

Sabemos que: Mdulo da velocidade total: 22 )()( vvv r += Velocidade total: ivivv rr +=

Mdulo da acelerao total: 22 )()( aaa r += Acelerao total: iaiaa rr += Precisamos encontrar: a e a , v, rrv

Por outro lado, sabemos que:

= rvr (1)

= rv (2)

2

ra

=

rr (3)

+= rr 2a (4)

Onde:

r significa a primeira derivada de r em relao a t.

significa a primeira derivada de em relao a t.

r significa a segunda derivada de r em relao a t.

significa a segunda derivada de em relao a t.

De posse de r e , podemos encontrar

e , , rr :

Como: 212,09,0 tr = e 215,0 t=

= 30 t = 1,869

39

Temos:

24,0e24,0 ==

rtr e 3,0e3,0 ==

t

Agora, para t = 1,869 s, temos:

mr 4808,0= e rad524,0=

smr /448,0=

e srad /561,0=

2/24,0 smr =

e 2/3,0 srad=

Velocidade:

Utilizando as frmulas (1) e (2), vamos a:

smrvr /448,0==

e

smrv /269,0561,04808,0 ===

Desta forma, temos:

- Mdulo da velocidade total:

smvvv r /522,0)269,0()448,0()()( 2222 =+=+= - Velocidade:

iiivivv rrr +=+= 269,0448,0

Acelerao:

Por outro lado, utilizando as frmulas (3) e (4), vamos a:

222

r /391,0)561,0(48,024,0a smrr ==

=

e

2/358,0)561,0()448,0(23,04808,02a smrr =+=+=

Desta forma, temos:

- Mdulo da acelerao total:

22222 /531,0)358,0()391,0()()( smaaa r =+=+= - Acelerao:

iiiaiaa rrr =+= 358,0391,0

40

2) (HIBBELER ANO ?? - Dinmica, p.51 exerc. 1-20) Devido rotao de uma haste em forma de forquilha, a cavilha cilndrica mostrada na figura a seguir percorre uma ranhura, uma parte da qual tem a forma de um cardiide, )cos1(5,0 =r m , onde est em radianos. Se a velocidade da cavilha v = 4m/s e sua acelerao a = 30 m/s2 no instante em que = 180, determine a velocidade angular

e a acelerao angular

da haste.

Soluo: Para determinar

e

precisamos de

r e

r .

Determinando as derivadas temporais de r, termos:

( )cos15,0 =r ( ) = senr 5,0 ( ) ( ) += senr 5,0 cos5,0

Determinando estes resultados para = 180, temos: r = 1

0=

r

2

5,0

=

r

Sabendo que v = 4 e 22

+

=

rrv , temos:

sradrrv /404222

=

+=

+

=

De forma similar, para encontrar

, utilizamos a equao 22

2

++

=

rrrra

Da, temos:

( ) ( )( ) ( ) 22222222 /18243040214145,030 srad=

+=

++=

41

3) (BEER, 1980, Mecnica Vetorial p.53) O movimento bidimensional de um ponto material (figura a seguir) definido pelas relaes 232 2e2060 tttr == , onde r expresso e milmetros, t em segundos e em radianos. Determine a velocidade e a acelerao do ponto material quando:

(a) t = 0 s Resposta: riaev 1200 == (b) t = 1 s Resposta: iiaeiiv rr 64064016060 +=+=

4) (HIBBELER, ANO ?? - Dinmica p.49) A barra AO, mostrada na figura a seguir est girando em um plano horizontal de acordo com a equao 3t= . Ao mesmo tempo, o colar B est deslizando ao longo de AO no sentido de sair da barra e de acordo com a equao 2100tr = mm. Se em ambos os casos t expresso em segundos, determine a velocidade e a acelerao do colar quando t = 1 segundo.

Resposta: 22r

r

mm/s 1.930 a acelerao da mdulo,/}800.1i -700{amm/s361 v:e velocidadda mdulo,/}300i 200{

==+=

=+=

smmismmiv

5) (HIBBELER ANO ?? - Dinmica, p. 25 exerc. 1-9) A qualquer instante a posio horizontal do balo da figura a seguir definida por tx 8= m, onde t expresso em segundos. Se a equao

da trajetria ,101 2xy = determine:

a) A distncia do balo em relao estao A quando t = 2 s. Resposta: distncia: 30,2 m. b) O mdulo da velocidade quando t = 2 s. Resposta: Velocidade: 25,6 m/s. c) O mdulo da acelerao quando t = 2 s. Resposta: 12,8 m/s2.

42

6) (HIBBELER ANO ?? - Dinmica, p. 31, exerc. 1-73) O carrinho de um brinquedo de um parque de diverses percorre uma trajetria helicoidal com velocidade constante de forma que as equaes paramtricas que definem sua posio so )( tksencx = , t)(k cos c y = e

tbhz = , onde c, h e b so constantes. Determine o mdulo de sua velocidade e de sua acelerao. Resposta: 2222 , kcabkcv =+=

7) (HIBBELER Dinmica, p. 52 exerc. 1-141) Se uma partcula se move ao longo de uma trajetria em que tr cos2= m e

2t

= rad, onde t expresso em segundos, determine as

componentes radial e transversal de sua velocidade e de sua acelerao em funo do tempo. Resposta: 22222222 cos164,16cos44 ,cos4 tttsenatsenttaettsenvttv rr +====

8) (HIBBELER Dinmica, p. 52 exerc. 1-149) Uma partcula percorre ao longo de uma curva na forma de uma folha de um trevo de quatro folhas, definida pela equao 2cos5=r m. (como mostra a figura a seguir).

Se a velocidade angular da linha da coordenada radial 23t=

rad/s, onde t expresso em segundos, determine as componentes radiais e transversais da velocidade e da acelerao da partcula no instante em que 30= . Resposta: 22 /7,53,/4,89/87,4 ,/9,16 smasmaesmvsmv rr ====

9) A quantidade de gua em um tanque t minutos aps ele comear a ser esvaziado dada por ( ) .15100 2 galtw = Determine com que taxa a gua est fluindo no final de 5 minutos.

Resposta: 2.000 gal/min.

10) Determine a coordenada x do ponto sobre o grfico de 2xy = no qual a reta tangente paralela reta secante que corta a curva em x = -1 e x = 2. Resposta: x = 1/2

43

22. REGRA DE LHOSPITAL (LHPITAL ou LHPITAL) CLCULO DE LIMITES

Se )x(g)x(flim

px de tal forma que uma das indeterminaes

ou

00

constatada, ento cada funo

pode ser substituda por suas derivadas, isto :

Se )x(g)x(flim

px=

ou

00

(x) ' g(x) ' flim)x(g

)x(flimpxpx

=

Em resumo:

Forma indeterminada: um limite )()(lim

xgxf

da forma 00

ou

, no sentido de que lim f(x) = 0 e

lim g(x) = 0 ou lim f(x) = e lim g(x) = , respectivamente.

A regra de LHpital: se )()(lim

xgxf

cx uma forma indeterminada do tipo

00

ou

, ento:

)(')('lim)(

)(limxgxf

xgxf

cxcx =

Exemplos:

1)

=

00

2x4xlim

2

2x 42.2x2lim

010 -x 2lim

' ] 2 x[ ' ] 4 x[lim

2x4xlim

2x2x

2

2x

2

2x===

=

=

2)

=

00

x

xsenlim0x

10 cosx coslim1 x coslim

' ] x [ ' ] x sen [lim

x

xsenlim0x0x0x0x

=====

3)

+

+=

+ x

elimx

x +===

+++

x

x

x

x

x

xelim

1 elim

' ] x [' ] e [lim

4) 52

10 26x

01x8160x limx 23x

x019x20x lim535lim2

02

23

023

234

0==

+

+=

+

+=

+

+ xxx xx

xxx

5) 45

48185lim

1386lim 3

24

14

35

1

=

+=

+ x

xx

x

xxx

xx

6) [ ] 0)(lim1

)(x

1lim

1x

1

lim '

1' lnlim1

lnlimlnlim0

2

02

0000==

=

=

==

++++++ x

x

xx

x

x

xxx

xxxxxx


Resolva os exerccios do livro texto: GUIDORIZZI, 2001. v.1. pginas 256 e 257.

44

23. DERIVADA DA FUNO INVERSA

Sejam f uma funo inversvel e g = f 1. Assim, f ( g(x) ) = x, x Dom (g)

Exemplos: 1) f (x) = x +1 g (x) = f 1(x) = x 1 2) f (x) = ex g (x) = f 1(x) = ln x

Processo prtico para a determinao da funo inversa - Trocar x por y e y por x - Isolar y

Para o exemplo 1 teramos: yxyxxy =+=+= 111

Para o exemplo 2 teramos: { yeyxexexeyyyx

=====1

ln.lnlnln

Prova de que f ( g(x) ) = x Para o exemplo 1 teramos: 1)1()1( xxxf =+= , xf(g(x)) , = x Para o exemplo 2 teramos: )(ln ln xexf x == , xf(g(x)) , = x

Se f e g so derivveis, temos pela regra da cadeia que:

f (g(x)) = x ) g(x) (' 1(x)' 1(x) ' g . ) (x) (g ' fgf ==

Essa frmula utilizada para calcular a derivada da inversa da funo f, conhecendo f .

Utilizando a notao de Leibniz para a determinao da derivada da funo inversa

Consideremos a funo y = f(x) derivvel e inversvel. A derivada da funo inversa )(1 yfx = dada por:

dxdy1

dydx

=

Na qual: .0dxdy

Exemplos:

1) Se 2xy = yx = , logo: yx

dxdydy

dx2

1211 *

===

* yx =

2) Se xey = yx ln= , logo: yee

dxdydy

dxyx

1111 **ln

*

====

* yx ln= e ** u = ye ln ln u = ln ye ln ln u = ln y . ln e ln u = ln y u = y

ou

y1

e

1

dxdy1

dydx

x===

45

24. DERIVADA DO ARCO TANGENTE

A funo xtgy = ,

2,

2pipi

x estritamente crescente (e portanto inversvel) e contnua. Como sua imagem , a sua inversa a funo x tgarc , x .

Nota: O domnio da funo arc tg e a imagem o intervalo

pipi

22, .

Exemplos:

00 451 g 145 == tarctg

00 60 3 g 360 == tarctg

00 30

33

g 3303 == tarctg

Assim, considerando que a funo y = arc tg x seja derivvel em , calculemos dxdy

.

y = arc tg x

Temos: ysec

1dxdy

ou ysecdydx

donde x,y tg 22

===

Mas sec2 y = 1+ tg2 y = 1 + x2

e portanto: 2x11

' y+

=

25. DERIVADA DO ARCO SENO

A funo xy sen= ,

2,

2pipi

x estritamente crescente (e portanto inversvel) e contnua. Assim,

para cada x [-1, 1] existe um nico

2,

2pipiy tal que: xy =sen .

Nota: O domnio da funo arc sen o intervalo [-1, 1] e a imagem o intervalo

pipi

22, .

Exemplos:

2

1 sen 12

senpipi

== arc

00 sen 00 sen == arc

2

)1(- sen 12

senpipi

==

arc

Assim, considerando que a funo y = arc sen x seja derivvel em (-1 , 1), calculemos dxdy

.

2

x2

- sen x, arcy

46

26. DERIVADAS DE FUNES COMPOSTAS REGRA DA CADEIA

Consideremos as funes y = f(u) e u = g(x), tendo derivadas dudy

e dxdu

respectivamente.

Se u no nulo, ento podemos escrever o quociente x

y da seguinte maneira:

x

u

u

yx

y

=

onde: y e u so funes de x.

Logo, se 0x , temos: 0u .

Assim,

x

ulim.u

ylimx

u.

u

ylimx

ylim0x0x0x0x

==

ou

dxdu

.

dudy

dxdy

=

conhecida como regra da cadeia, na notao de Leibniz.

Isto nos leva a dizer: "A derivada da funo composta y = f [g (x)] o produto das derivadas das suas componentes".

Nota: Fazendo uma extenso nesta frmula, temos a derivada da composta para n funes derivveis. Por exemplo, para y = f{g [h (x)]}, temos:

dxdv

dvdu

dudy

dxdy

=

Exemplos:

1) Calcule a derivada da funo: y = (x2 + 8x)10 Soluo: Funes componentes: Potncia e Quadrtica

y = u10, u = x2 + 8x

dxdu

dudy

dxdy

= = 10 . u9 . (2x + 8) = 10. (x2 + 8x)9. (2x + 8)

2) Calcule a derivada da funo: y = (2x2 - 2)4 Soluo: Funes componentes: Potncia e Quadrtica

y = u4, u = 2x2 - 2

dxdu

dudy

dxdy

= = 4 . u3 . 4x = 4.(2x2 2)3. 4x = 16x.(2x2 2)3

47

3) y = sen x3 Soluo: y = sen u, u = x3

dxdu

.

dudy

dxdy

= = cos u. 3x2 = cos x3. 3x2 = 3x2 .cos x3

4) y = e2x Soluo: y = eu, u = 2x

dxdu

.

dudy

dxdy

= = eu. 2 = e2x .2 = 2 .e2x

5) y = ln (x2 + 3) Soluo: y = ln u, u = x2 + 3

dxdu

.

dudy

dxdy

= = x2.u

1=

3xx2

x2.3x

122 +

=

+

6) y = ln 2x2 Soluo: Preparemos inicialmente a funo: y = ln 2x2 = ln (x2 2) = ln (x2 2)

y = ln u, u = x2 - 2

dxdu

.

dudy

dxdy

= = x2.u

1.

21

=

2xx

x.2x

122

=

7) y = x3 . e-2x Soluo: Como: y = f. g y ' = f ' . g + f . g ' onde: f = x3 f ' = 3x2 g = e-2x g = eu, com u = -2x , logo g ' = (-2).e-2x y ' =

dxdy

= 3x2 . e-2x + x3 . (-2).e-2x = 3x2 . e-2x - 2x3 . e-2x = x2. e-2x (3 - 2x)

8) 4

1x1xy

+=

Soluo:

y = u4, u = 1x1x

+ e u ' = 2g

'g . fg '.f , onde: f = x + 1 e g = x - 1

dxdu

.

dudy

dxdy

= = .

1x1x

.4)1x(1).1x()1x.(1

.

1x1x

.43

2

3

+=

+

+

2)1x(2

= 5

3

)1x()1x(8

+

48

TEOREMA: Dada a funo g derivvel, temos:

[ eg(x) ] ' = g ' (x) . eg(x)

Prova: y = eu, u = g(x)

dxdu

.

dudy

dxdy

= = eu. g ' (x) = eg(x) .g ' (x) = g ' (x) . eg(x)

[ ln g(x) ] ' = )x(g)x( ' g

Prova: y = ln u, u = g(x)

dxdu

.

dudy

dxdy

= = )x(g)x( ' g)x( ' g.)x(g

1)x( ' g.u

1==

[sen (g(x) ] ' = g ' (x) . cos (g(x))

Prova: y = sen u, u = g(x)

dxdu

.

dudy

dxdy

= = cos u. g ' (x) = cos (g(x)) .g ' (x) = g ' (x) . cos (g(x))

[cos (g(x)) ] ' = - g ' (x) . sen (g(x))

Prova: y = cos u, u = g(x)

dxdu

.

dudy

dxdy

= = - sen u. g ' (x) = - sen (g(x)) .g ' (x) = - g ' (x) . sen (g(x))

[ (g(x))n ] ' = n. (g(x))n-1 . g ' (x)

Prova: y = un, u = g(x)

dxdu

.

dudy

dxdy

= = n.un-1 . g ' (x) = n. (g(x))n-1 . g ' (x)

49

LISTA DE EXERCCIOS PROPOSTOS PARA A REVISO DOS CONCEITOS Exerccio: DERIVE RESPOSTA a) y = sen 4x 1. 4 cos 4x b) y = cos 5x 2. 5 sen 5x c) y = e3x 3. 3e3x d) f(x) = cos 8x 4. 8 sen 8x e) y =sen t3 5. 3t2 cos t3 f) g(t) = ln (2t+1) 6.

122+t

g) x = esen t 7. e sen t cos t h) f(x) = )( cos xe 8. ex sen ex i) y = (sen x + cos x)3 9. 3(sen x + cos x)2 (cos x sen x) j) 13 += xy 10.

1x323

+

k) 311

+

=

x

xy 11. 32

2 1x1x

)1x(32

+

+

l) y = e-5x 12. 5e-5x m) x = ln (t2 +3t+9)

13. 9t3t

3t22 ++

+

n) f(x) = etg x 14. etg x sec2 x o) y = sen(cosx) 15. sen x cos (cos x) p) g(t) = (t2+3)4 16. 8t (t2 + 3)3 q) f(x) = cos(x2 + 3) 17. 2x sen (x2 + 3) r) xexy += 18.

x

x

ex2e1+

+

s) y = tg 3x 19. 3 sec2 3x t) y = sec 3x 20. 3 sec 3x tg 3x 21. y = xe3x 21. e3x (1+3x) 22. y = ex . cos 2x 22. ex (cos 2x 2 sen 2x) 23. y = e-x sen x 23. e-x (cos x sen x) 24. y = e-2t sen 3t 24. e-2t (3 cos 3t 2 sen 3t) 25. f(x) = 2xe + ln (2x + 1) 25.

1x22

xe22x

++

26. tttt

ee

ee)t(g

+

= 26. 2tt )ee(4

+

27. x2senx5cosy = 27.

x2sen2x cos5x cos 2 2x sen 5x sen 5

2+

28. f(x) = 3xx )ee( 2+ 28. )xe2e.()ee(3 22 xx2xx ++ 29. y = t3 e-3t 29. 3t2 e-3t(1 t) 30. y = (sen 3x + cos 2x)3 30. 3(sen 3x + cos 2x)2 (3 cos 3x 2 sen 2x) 31. x2 exy += 31.

xx

xx

ee2ee

+

32. y = x ln (2x + 1) 32. 1x2

x2)1x2ln(+

++

33. y = [ln (x2 + 1)]3 33.

1x)]1x[ln(x6

2

22

+

+

34. y = ln (sec x + tg x) 34. sec x

50

27. LISTA DE EXERCCIOS DE REVISO DOS CONCEITOS DE DERIVADAS

1) Calcule as derivadas: a) f(x) = 16x3 4x2 + 3 b) f(x) = (x2 + 3x + 3) . (x + 3) c)

2x4x2)x(f

3

+=

d) f(x) = ln (x2 + 8x + 1) e) 2x6)x(f += f) f(x) = x4 . e3x g) f(x) = sen4 x h) f(x) = 5 tg 2x

2) Derive as seguintes funes: a) f(x) = - 5x3 + 21x2 3x + 4 b) f(x) = (2x3 3x) (5 x2)3 c)

5x33)x(f

=

d) 7t21t5)t(s

=

3) Se a gua estiver sendo drenada de uma piscina e V litros for o volume de gua na piscina t minutos aps o escoamento, onde V = 250(1600 80t + t2), determine quo rpido a gua est fluindo da piscina 5 minutos aps o incio do escoamento.

4) Um atleta percorre uma pista de 100 m de modo que a distncia d(t) percorrida aps t segundos dada por t8t

51)t(d 2 += metros. Determine a velocidade do atleta.

a) no incio da corrida. b) quando t = 3s. c) na reta final.

5) Estima-se que um empregado de uma firma que faz molduras para quadros possa pintar y molduras x horas, aps comear o trabalho s 8 horas da manh e y=3x 8x2 x3 0 x4

a) Determine a taxa segundo a qual o empregado estar pintando as 10h. b) Determine o nmero de molduras que o empregado pinta entre 10h e 11h.

6) Determine a derivada das seguintes funes: a) 44 35 2 xxxy +=

b) 2xx2x3xy 2

2

+

+=

c) 1xx 2ey ++= d) y = sen 2x . cos x e) y = (2x2 - 4x +1 )8 f) x2x 27y +=

7) Escreva a equao da reta tangente ao grfico de f(x)=x2 no ponto de abscissa 1.

51

8) Determine a equao da reta "r" tangente ao grfico da funo f(x) = x2 + 7 e que seja paralela reta "s" de equao y = 2x + 3.

9) Determine a equao da reta tangente ao grfico de f(x) = x2 4x + 1, que perpendicular reta 2y + x 5 = 0.

10) Um corpo mvel percorre uma curva obedecendo funo horria 2tt)t(S += . Determine a sua velocidade no instante t = 4s.

11) Uma partcula se move em linha reta, de modo que seu espao S, em metros, dado em funo do tempo t, em segundos, pela equao t5

2t)t(S

3

+= . Obter:

a) A velocidade instantnea da partcula no instante t = 4s. b) A acelerao instantnea da partcula no instante t = 4s.

12) Se a derivada de um polinmio P(x) apresentar o seguinte grfico: a) P(x) ser crescente de 1 a 2 e decrescente de 2 a 3. b) P(x) ter trs zeros reais e distintos. c) P(x) apresentar um mximo para x = 2. d) P(x) se anular para x = 1. e) n.d.a.

13) Dada a funo y = 2x3 + 3x2 12x + 1, pode-se afirmar: a) tem mnimo no ponto de x = - 2. b) tem mximo no ponto de x = - 1. c) tem mximo no ponto de x = - 2 e mnimo no ponto de x = 1. d) no tem mximo nem mnimo. e) tem mnimo no ponto de x = - 2 e mximo no ponto de x = 1.

14) O maximante e o minimante da funo f : , definida por f(x) = x3 x2, so, respectivamente: a)

32

e 31

b) 31

e 32

c) 32

e 0 d) 1 e 0 e) 0 e 1

15) A funo f tal que f(x) = (x2 1)2 + 3 assume valor mnimo para: a) x = 1 e x = - 1 b) x = 0 e x = 1 c) x = 0 e x = - 1 d) x = 1 (somente) e) x = - 1 (somente)

16) A funo y = x3 3x tem um ponto de mnimo relativo para x igual a: a) 0 b) 1 c) 1 d) 3 e)

31

17) Certo artigo, se for vendido por x reais, produz um lucro de (x-4) reais. A quantidade de artigos vendidos por dia tambm depende de x: vale (20 x). Assim, o lucro total dirio L = (20 x) . (x 4). Nessas condies, qual o valor de x que produz o maior lucro dirio?

a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14

18) Desejando lucrar x reais em cada servio, um caminhoneiro consegue (80 x) encomendas por ms. Portanto, seu lucro mensal em reais L = x . (80 x). Qual o valor de x para que o lucro mensal L seja o maior possvel? R.: 40

a) 24 b) 28 c) 32 d) 36 e) 40

19) Esboce o grfico da funo f(x) = 2x + 3 e responda qual a taxa de variao mdia dessa funo quando x varia de 0 para 4? Resp.: [f(0)-f(4)]/[4-0] = 2

y

1 2 3 x

52

20) Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre uma distncia d (em metros) que varia com o tempo t (em segundos), de acordo com a equao d = f(t) = 4,9 t2. Qual a velocidade instantnea desse corpo no instante t = 10s?

21) Um mvel se desloca segundo a funo horria S(t) = 9 +2t + 2t2 4t3 (S em metros e t em segundos). Ache:

a) A funo velocidade instantnea. b) A funo acelerao instantnea. c) A acelerao instantnea desse mvel (em metros por segundo ao quadrado) no instante t = 2s.

22) A derivada da funo y = f(x) uma funo y' = f'(f), decrescente, e que se anula para x = 1; ento, podemos afirmar:

a) f(1) o valor mnimo de f(x). b) f(1) o valor mximo de f(x). c) x = 1 a abscissa do ponto de inflexo. d) f(1) tambm igual a zero. e) nada podemos afirmar sobre os extremos relativos de f(x).

23) A funo y = x3: a) tem valor mximo para x = 0. b) tem valor mnimo para x = 0. c) tem um extremo em x = 0. d) no tem mximo nem mnimo. e) no tem tangente no ponto x = 0.

24) Calcule pela definio a derivada da funo f(x) = 5 sen x no ponto P1 = (pi,0) e esboce o grfico.

25) Calcule a equao da reta tangente e da reta normal ao grfico da funo

+=

21

,1 1

1)( 12 Ppontonoxxf

26) Usando as regras de derivao, calcule a derivada das funes abaixo: a) )2()( 2xsenxxxf += b)

1t52t3)t(g

+

=

27) Usando a definio (de derivadas) px

pfxfx

xfxxfxf

x

+

=

)()()(p ' fou )()(lim)(' 0

, calcule a

derivada das seguintes funes nos pontos dados: a) f(x) = 2x2 3x + 4 ; P0 = (2, 6) b) )3 ,1(P ;

x

3)x(f 02 ==

c) 2) ,8(P ; t)t(f 03 ==

d)

= 0 ,

2P ; xcos)x(g 0

e) 0) ,2(P ; xsen3)x(f 0=

53

28) Determine a equao da reta tangente e da reta normal das funes abaixo, nos pontos dados e esboce o grfico.

a) 3) ,1(P ; x3)x(f 02 == b) 2) ,4(P ; 4x2)x(f 0 == c) 0) ,0(P ; xsen)x(g 0 == d) 4) ,0(P ; x4)x(h 02 == e) 2)- ,2(P ;3x -x)x(f 02 ==

29) Usando as regras de derivao, calcule a derivada (funo derivada) das funes abaixo: a) 5)x(f = b) 28x2x-x7y 34 ++= c) 1t2)t(f = d)

x41

x2x

3)x(f +=

e) 32 r5

r

4)r(f += f) 2x)-(1 . 1)-x2()x(f 2= g) 1)-(x . )3x-x(y 542= h)

1x24x3)x(f

+=

i) 2tt12t5)t(g

++

=

j) xcos

xsentgx)x(f ==

k) tcos

1tsec)t(g ==

l) tsentcosgtcot)t(h ==

m) x2 e 1)()( += xxf n) senxy = xe

o) 12e

e y

x

x

+=

p) xcos

e )x(f

x

=

q) xxf ln x)( 2 =

30) Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre uma distncia S(t) = 4,9t2 (S em metros, t em segundos).

a) Calcule a taxa de variao mdia de S em relao a t entre t1 = 1 e t2 = 5. b) Calcule a taxa de variao instantnea de S em relao a t para t = 1. c) Em que unidade se exprime esta taxa? Qual o seu significado fsico?

31) Calcule a taxa de variao mdia de f(x) entre x1 = 0 e x2 = pi/2. Qual a taxa de variao instantnea em x = 0?

32) A taxa de variao instantnea de v em relao a t em um instante t1, ou seja, a derivada v'(t1), a acelerao da partcula, neste instante. Determine a acelerao das partculas cuja a funo velocidade so dadas a seguir, nos instantes indicados.

a) 2 t; t320v 12 =+= b) 1 t; 4t5v 1 =+= c) 4 t; t2-t

3v 1 ==

54

USANDO O SOFTWARE DE MANIPULAO ALGBRICA MAPLE, OBTENHA A DERIVADA DAS SEGUINTES FUNES

1) f ( x ) = 5 x 3 - 8 x 2 + 31 x - 5787

2) f ( x ) = ( x 2 + 3 x ) . ( x 3 - 8 ) 3) f ( x ) = e

x

sen x

4) f ( x ) = sen2 x

5) f ( r ) = 43

3 pi r

6) f ( x ) = 2x 7) f ( x ) = x 3 . e 2 x 8) f ( x ) = 5 x 2 + 4 cos x 9) f ( x ) = 8 tg 2 x 10) f ( x ) = x

2 + 1

x - 12

11) f ( x ) = x + x + x

2

1

12) f ( x ) = ex

cos x

13) f ( r ) = pi r 2 14) f ( x ) = 4x 15) f ( x ) = x 2 . e 3 x 16) f ( x ) = 2 e x - 7 sen x 17) f ( x ) = 2 tg 8 x 18) f ( x ) = x

2 - 1

x + 12

19) f ( x ) = x + x + x

3

1

20) f ( x ) = 5 x + xx 1

21) f ( x ) = ( )43 log x

22) f ( x ) = ( )34 log x

23) f ( x ) = ( )ln x + 12 24) f ( x ) = ( )ln x 12 25) f ( x ) = 16 x 3 - 4 x 2 + 3 26) f ( x ) = 84x

27) y = 83 x

+ 2

4

3

28) f ( x ) = x + 2x + 12

29) f ( x ) = ( ) ( )x 2 + 3 . 3 x - 4 x6 30) y = x 65 + 2 x

31) f ( x ) = 3 x . x 32) f ( x ) = 4

5x

33) f ( x ) = x5 + 4 x 3 34) y = 2 x + 1

x + 42

35) y = x2 + 1x

+ x34

36) g ( x ) = ( 3 x4 + 1 ) ex

37) y = ( x2 + 8 x ) 10

38) h ( x ) = x 2 + 8 + logx 3x

39) x = ln ( t 2 + 3 t + 9 ) 40) y = x + 4

xsec

41) f ( x ) = cos ex 42) g ( x ) =

2

2 x + log 2 ( x2 + 1 )

43) y = sen w t2 ( w constante )

44) y = xx + 1

45) y = 3 x5 + 6 x - 2 46) y = x3 + 3 x2 + 1 47) y = 35

x + 3 x - 3

2

48) y = xx

3

+ x

49) y = 3 x + 1 50) g ( x ) = 32 x + 1 2 2 log ( x + 1 )+ 51) f ( x ) = 2

2x x

+ 32

52) y = x 3 53) u ( x ) = x3 e - 2 x 54) g ( x ) = cos t3 55) y = ln ( x2 + 3 ) 56) y = ( 3 x + 8 )2 57) f ( t ) = t

sen t

58) h ( x ) = 3 x3 tg x 59) g ( x) = 5 x - 2 + 4 60) y = arc tg 3 x 61) y = arc sen x2 62) g ( x ) = arc cos x2 63) y = x arc tg 3 x

55


FUNES EXPLCITAS E FUNES IMPLCITAS

As funes com as quais se trabalhou at agora tm sido apresentadas por equaes da forma ( )=y f x , nas quais a varivel dependente y esquerda dada explicitamente por uma expresso

direita envolvendo na varivel independente. Uma funo com esta aparncia dita estar em forma explcita. Por exemplo, as funes:

32 213 1 e 1

2 3+

= + + = =

xy x x y y xx

so todas na forma explcita.

s vezes, problemas prticos conduziro a equaes nas quais as funes no aparecem explicitamente em termos da varivel independente x , como nas equaes

2 3 3 2 36 5 e 2 3 2 = + + = +x y y x x y y x y

por exemplo. Como elas no esto resolvidas para y , tais equaes so ditas definir y implicitamente em funo de x , e a funo y dita esta em forma implcita.

Suponha que necessrio ter uma equao que define y implicitamente em funo de x e quer

encontrar a derivada dydx

. Por exemplo, caso queira determinar a inclinao de uma reta que tangente

ao grfico da equao em um ponto particular. Uma abordagem poderia ser a resoluo da equao explicitamente para y e ento deriv-lo usando as tcnicas j conhecidas. Infelizmente, no sempre possvel encontrar y explicitamente. Por exemplo, no h um modo bvio direto de encontrar y na

equao 2 32 3 2+ = +x y y x y . Contudo, mesmo quando possvel resolver explicitamente para y , a frmula resultante frequentemente complicada de derivar. Por exemplo, a equao

2 3 36 5 = +x y y x

Pode ser resolvida para y , fornecendo:

2 3 36 5 = +x y y x 3 2( 5) 6 = +y x x 1

332 2

6 6

5 5 + +

= =

x xy yx x

O clculo de dydx

para esta funo na forma explcita trabalhoso, pois envolve tanto a regra da cadeia

como a do quociente.

Felizmente, h uma tcnica simples, baseada na regra da cadeia, que pode ser usada para encontrar dydx

sem a necessidade de explicitar y . Ela conhecida como derivao implcita. Consiste em diferenciar ambos os lados da equao (no resolvida) em relao a x e ento resolver algebricamente para dy

dx. Segue exemplos ilustrando a tcnica.

57

Exemplos:

1) Determine dydx

, se 2 3 2 3 2+ = +x y y x y .

Soluo: Derivar ambos os lados da equao dada em relao a x . Como no se deve esquecer que y , na realidade, uma funo de x , temporariamente substitua y pelo smbolo ( )f x e comece reescrevendo a equao como

2 3 ( ) 2[ ( )] 3 2 ( )+ = +x f x f x x f x

Agora derive ambos os lados desta equao, termo a termo, em relao a x . Pela regra do produto,

2 2 2[ ( )] 2 ( ) '( ) 2 ( )= + = +d dfx f x x xf x x f x xf xdx dx

(1)

Pela regra da cadeia para potncias,

3 2{2[ ( )] } 6[ ( )] '( )=d f x f x f xdx

e pela regra do produto por constante,

(3 ) 3 e [2 ( )] 2 '( )= =d dx f x f xdx dx

Substituindo em (1), tm-se:

2 2'( ) 2 ( ) 6[ ( )] '( ) 3 2 '( )+ + = +x f x xf x f x f x f x (2)

Como ( ) e '( )= = dyf x y f xdx

, pode se reescrever (2) como

2 22 6 3 2+ + = +dy dy dyx xy ydx dx dx

Para concluir, resolva a equao isolando dydx


2 2( 6 2) 3 2+ = dyx y xydx

2 23 2

6 2

=

+

dy xydx x y

Comentrio: Note que a frmula para dydx

contm tanto a varivel independente x como a varivel

dependente y . Esta situao normal quando as derivadas so calculadas implicitamente. Como no se deve esquecer de usar a regra da cadeia para potncias ao aprender derivao implcita, foi sugerido no exemplo anterior que temporariamente substitusse y por ( )f x . To logo compreenda este processo, pode suprimir este passo e derivar a equao dada diretamente. Simplesmente no se esquea de que y , na realidade, uma funo de x e lembre-se de usar a regra da cadeia quando apropriado. Aqui est a forma como a soluo do exemplo anterior pode ser obtida sem a substituio de y por

( )f x .

58

2) Determine dydx

, se 2 3 2 3 2+ = +x y y x y .

Soluo: Derivar ambos os lados da equao tal como ela se encontra com relao a x . Lembre-se de que y , na realidade, uma funo de x e que ter que usar a regra da cadeia para derivar as potncias de y . Em particular,


Agora resolva para dydx

como anteriormente para obter

2 26 2 3 2+ = dy dy dyx y xydx dx dx

2 2( 6 2) 3 2+ = dyx y xydx

2 23 2

6 2

=

+

dy xydx x y

RESUMO DO PROCEDIMENTO PARA DERIVAO IMPLCITA Suponha que uma equao define y implicitamente em funo de x . Para encontrar dy

dx:

1. Derive ambos os lados da equao em relao a x . Lembre-se de que y na realidade uma funo de x e use a regra da cadeia quando derivar os termos contendo y .

2. Resolva algebricamente a equao derivada para dydx

.

Exemplo:

1) Determine dydx

, se 2 e 3=xy xy .

Soluo: Derivar ambos os lados da equao em relao a x (usando a regra do produto e a regra da cadeia). Assim,

2( ) 3 2 3 = + xyd dyxy e x y y

dx dx

de modo que 26 3 + = +

xydy dyx y e xy ydx dx

Agora resolva para dydx

para obter

26 3+ = +xy xydy dyxe ye xy ydx dx

26 3 = xy xydy dyxe xy y yedx dx

2( 6 ) 3 = xy xydyxe xy y yedx

23 (3 )

6 ( 6 )

= =

xy xy

xy xydy y ye y y edx xe xy x e y

Para simplificar ainda mais a resposta, pode substituir 2 e 3=xy xy ( da equao original) para obter

2 2

2(3 3 ) 3 (1 ) (1 )

3 ( 2) ( 2)(3 6 )

= = =

dy y y xy y xy y xydx xy xy x xyx xy y

Referncia: Texto adaptado do livro: HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Clculo: um curso moderno e suas aplicaes. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. Adaptao: Prof. Msc. Armando Paulo da Silva, UTFPR - Campus Cornlio Procpio.

59

DERIVADA DE FUNES IMPLCITAS

Quando x e y se relacionam implicitamente atravs da equao F(x, y) = 0 a derivada dxdy

obtida do

seguinte modo:

Derivamos F(x, y) em relao a x tomando y como funo de x.

Igualamos dx

y) F(x, d a zero.

Isolamos dxdy

na igualdade anterior.

Exemplo:

1) Sendo x4 3xy + y2 = 0, calcule dxdy

.

Soluo:

Temos: F(x, y) = x4 3xy + y2 onde: .2 34y) F(x, 3dxdyyy

dxdy

xxdx

d+

+=

Igualando a zero temos:

0dxdyy2y

dxdy

x3x4 3 =+

+

ou

0dxdyy2y3

dxdy

x3x4 3 =+

ou

3x4y3

dxdy)x3y2( =

e portanto:

x3y2x4y3

dxdy 3

=

Referncia: Texto adaptado do livro: RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. S. Clculo Diferencial e Integral. Vol. I, So Paulo: IBEC Instituto Brasileiro de Edies Cientficas Ltda, So Paulo, 1982. Adaptao: Prof. M. Sc. Jos Donizetti de Lima, UTFPR - Campus Pato Branco.


Ver nosso livro texto: GUIDORIZZI, 2001. v.1. pginas 191 e 192

60

UTILIZANDO O SOFTWARE MAPLE PARA CALCULAR DERIVADAS IMPLCITAS

Exemplos:

1) Determine dydx

, se 2 3 2 3 2+ = +x y y x y .

Soluo: Usando o software de manipulao algbrica Maple, temos: > restart: > f:=x^2*y+2*y^3=3*x+2*y;

:= f = + x2 y 2 y3 + 3 x 2 y

> f_linha:=implicitdiff(f,y,x); := f_linha 2 x y 3

+ x2 6 y2 2

2) Sendo x4 3xy + y2 = 0, calcule dxdy

.

Soluo: Soluo: Usando o software de manipulao algbrica Maple, temos: > restart: > f:=x^4-3*x*y+y^2=0;

:= f = + x4 3 x y y2 0

> dy_dx:=implicitdiff(f,y,x);

:= dy_dx 4 x3 3 y 3 x 2 y

61


62

DIFERENCIAL: INTERPRETAO DE dxdy

COMO UM QUOCIENTE

comum, pensarmos em dxdy

como uma simples notao para a derivada de )( xfy = . A seguir

interpretaremos dxdy

como um quociente entre dois acrscimos.

Inicialmente, vamos olhar para dx como um acrscimo em x e, em seguida, procuraremos uma interpretao para o acrscimo dy .

Sabemos que )( ' xf o coeficiente angular da reta tangente T, no ponto ) ,( f(x)x , e que dxdy

= )( ' xf . Se olharmos, ento, para dy como o acrscimo na ordenada da reta tangente T, correspondente ao

acrscimo dx em x , teremos dxdy

= )( ' xf .

Assim,

dxdy

= tgxf =)( ' ou dxxfdy ).( ' = Observe que

dxx = e )()( xfdxxfy +=

Onde: )()( xfdxxfy += o acrscimo que a funo sofre quando se passa de x a dxx + . O acrscimo dy pode ento ser olhado como um valor aproximado para y ; evidentemente, o erro

"" dyy que se comete na aproximao de y por dy ser tanto menor quanto menor for dx .

Fixado x , podemos olhar para a funo linear que a cada dx , associa dy , onde dxxfdy ).( ' = .Tal funo denomina-se diferencial de f em x , ou simplesmente, diferencial de

)( xfy = .

63

Exemplos: 1) Seja 2xy = . Relacione y com dy . Soluo:

2xy = xdxdy 2=

Assim, a diferencial de 2xy = dada por: dxxdy = 2

Calculo 1 derivadas

Documents

Transcript of Calculo 1 derivadas