CALCULO VECTORIAL PROBLEMAS RESUELTOS

TERCERA EDICIN

DE JERROLD E. MARSDEN Y ANTHONY J. TROMBA

PREPARADO POR KAREN PAO Y FREDERICK SOON

Versin en espaol de Constancio Hernndez Garca

Universidad Autnoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa, Mxico

*TODO LO QUE QUIERES SABER PARA HACER LA TAREA

A ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA Argentina Brasil Chile Cobmbia Ecuador Espaia

Estados Unidos Mxico Per Puerto Rico Venezuela

Versin en espaol de la obra Study Guide for Vector Calculus, Third Edition, by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba, prepared by Karen Pao and Frederick Soon, publi- cada originalmente en ingls por W. H. Freeman and Company, E.U.A. O 1988 por W. H. Freeman and Company.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Imagen generada por compirtador de la superjicie mnima de Enneper: La imagen fue creada por James ? Hoflman en la University of Massachusetts, Amherst, con las instalaciones del Geometry Analysis Numerics and Graphics Group. Copyright 1986 por James ? Hofl~nan.

ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA M;ilahia 7363-2'G, 13uciios Aires 1425, Argciiiiiin Ave. 13rigadciro Liiis Aiitoiiio 2344, Coiijiiiito 1 14,

SBo I'aiilo 01407, So I':iulo, Brasil Casilla 70060, Saiitiago 7, Chilc A p i a d o ACrco 74 1-943, Saiiia F dc Bogoti, Coloiiibia Espnlicr 3 bajo, Madrid 78014. Espalia 7 Jacob Way, Rcadiiig, Mnssachiiseils 01867, E.U.A. Apnriatlo l'osial23-013, Mxico, D.F. 14000, Mfxico A11;trfado I'ostnl 79853, K f o Picdr.is, I'iicrio Rico 00939 Apartado Postal 5 1454, Caracas 1050-A, Vciiczucla

O 1993 por Addison-Wesley Iberoamericana, S. A. Wilmington, Delaware, E.U.A.

Impreso en Estados Unidos. Printed in U.S.A.

ISBN 0-201 -62564-4

Captulo 1 Captulo 2 Captulo 3 Captulo 4 Captulo 5 Captulo 6 Captulo 7 Captulo 8 Captulo 9 Apndice

Cmo usar este libro vii Agradecimientos vii La geometra del espacio euclidiano 1 Diferenciacin 27 Funciones con valores vectoriales 63 Derivadas de orden superior; mximos y mnimos 81 Integrales dobles 105 Integral triple, frmula de cambio de variable y aplicaciones 125 Integrales sobre trayectorias y superficies 157 Teoremas integrales del anlisis vectorial 187 Ejemplos de exmenes 21 1 Respuestas a los ejemplos de exmenes 219

CMO USAR ESTE LIBRO El propsito de esta gua de estudio es ayudar a entender el clculo vectorial. Hemos or- ganizado los captulos y secciones de manera que correspondan al libro Clcrrlo vectorial de Marsden y Tromba, tercera edicin. Cada seccin contiene objetivos, recomenda- ciones para el estudio y (lo ms importante) soluciones de los ejercicios seleccionados. Adems, hemos escrito cuatro ejemplos de exmenes.

Los objetivos son un resumen corto de lo que debes aprender en cada seccin y de lo que debes entender antes de pasar a la siguiente. Los objetivos tambin deberan ayudarte a repasar para los exmenes.

Las recomendaciones para el estudio son definiciones y hechos que debes tener presentes cuando hagas las tareas. Tambin contienen advertencias sobre los errores ms comunes.

En las soluciones hemos elegido algunos ejercicios y se han trabajado. Algunas veces te pedimos que verifiques algo o que completes algn detalle, pero la mayora de nuestras soluciones son tan completas como es posible. Sin embargo, no trabajamos los problemas de modo que los puedas copiar y presentarlos como tu trabajo. Eso es trampa. Nosotros (as como tus profesores) pensamos que las matemticas no son un deporte para expectadores. Para entender qu pasa debes hacer ejercicios. Si te has perdido (o te has dormido en clase, como alguno de nosotros siempre hizo), trabajar sobre las soluciones detalladas puede ayudarte a encontrar el camino de regreso. Si te sientes inseguro antes de los exmenes, la mejor manera de estudiar es hacer ejercicios y problemas adicionales y comparar tus respuestas con las nuestras. Si eres estudioso y quieres hacer ejercicios adicionales, no tienes por qu hacerlos a ciegas ya que hemos proporcionado muchas soluciones.

Aun si slo hojeas nuestro pequeo libro diez minutos antes del examen, idebes sentirte ms seguro respecto al clculo vectorial!

Te deseamos mucho xito.

AGRADECIMIENTOS

Deseamos agradecer a los profesores Marsden y Tromba que nos dieran la oportunidad de escribir este libro. Damos las gracias de manera muy especial al profesor Marsden, quien nos permiti usar su Macintosh Plus y todos los programas y accesorios nece- sarios, ley meticulosamente el manuscrito e hizo muchas correcciones y sugerencias valiosas. Tambin queremos agradecer a Andrew Hwang, quien proporcion muchas de las soluciones y a Sean Bates por sus contribuciones.

Karen Pao Frederick Soon

EUCLIDIANO

1.1 Vectores en el espacio tridimensional

OBJETIVOS 1. Poder realizar las siguientes operaciones con vectores: suma, resta y multiplicacin

por un escalar.

2. Dados un vector y un punto, saber encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto y que tiene la misma direccin del vector.

3. Dados dos puntos, encontrar la ecuacin de la recta que pasa a travs de stos.

RECOMENDACIONES PARA EL ESTUDIO

1. Notacin sobre espacios. El smbolo R o R' representa al conjunto de todos los puntos de la recta real o a un espacio de dimensin 1. R2 es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que estn en el plano, un espacio de dimensin 2. R3 representa al conjunto de todas las ternas ordenadas (x, y, z) que estn en un espacio de dimensin 3. En general, el "exponente" en R" indica cuntas componentes tiene cada vector.

2. Vectores y escalnres. Un vector tiene longitud (magnitud) y direccin. Los escalares son slo nmeros. Los escalares no tienen direccin. Dos vectores son iguales si y slo si tienen la misma longitud y direc- cin. Sus grficas no necesitan partir del mismo punto. Los vectores de la figura son iguales.

3. Notacin vectorial. Un vector se denota a menudo con letra negrilla, letra subra- yada, una flecha sobre la letra, o con n-adas (xl, x2, . . . , x,,). El elemento xi de la n-ada se llama i-sima componente. iOJO!, la n-ada puede representar un punto o

1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 3

8. Rectas. (a) La recta que pasa por a en la direccin de v es I(t) = a + tv. sta se llama forma punto-direccin de la ecuacin de la recta porque la nica informacin necesaria es el punto a y la direccin v. (b) La recta que pasa por a y b es I(t) = a + t(b - a). sta se llama forma punto- punto de la ecuacin de la recta. Para ver si la direccin es correcta, debes hacer t = O y obtener el primer punto. Haz t = 1 y obtn el segundo punto.

9. Co~ijurlto de generadores de un espacio. Si todos los puntos de un espacio se pueden escribir de la forma Xivi + X2v2 + . . . + X,,v,,, donde Xi son escalares, entonces los vectores vi, . . . , v,, generan el espacio dado. Por ejemplo, los vectores i y j generan al plano xy.

10. Derriostraciones geomtricas. Una demostracin se puede simplificar con el uso de vectores. Trata de comparar los mtodos vectoriales con los no vectoriales haciendo el ejemplo 7 sin vectores.

&

11. Resolircin (/e problenlas. Como los vectores tienen magnitud y direccin, se pueden representar gr3ficamente. Por lo tanto, con frecuencia es til hacer un diagrama con objeto de visualizar un problema vectorial.

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

1. Debemos resolver las ecuaciones siguientes:

Obtenemos x = 4 y y = 17, de manera que (-21,23) - (4,6) = (-25, 17).

4. Convertimos -4i + 3j en (-4, 3, O), de manera que

En el eje y los puntos tienen coordenadas (0.0,~) ( O , Y , ~ ) de la forma (O, y, O), por lo tanto, debemos ..-.-.-.-. . . ... .. v restringir los valores de x y z a O.

En el eje z los puntos tienen coordenadas de la forma (O, 0, z), por lo tanto, debemos restringir los valores de x y y a O.

X En el plano xz los puntos tienen coorde- nadas de la forma (x, O, z), Por lo tanto, debemos restringir el valor de y a O.