Sucesivas aproximaciones de la derivada primera

Derivadas de orden superior con diferencias hacia adelante

Derivadas de orden superior con diferencias hacia atrás

Derivadas de orden superior con diferencias centradas

Aca en estas 3 últimas tablas muestra la primer formula es usando 1 punto además del punto de interés, y la segunda fórmula de debajo de la anterior muestra usando 2 puntos además del punto de interés.(nota: le llaman mejorara porque cuanto mas punto o “terminos” tenga mejor será la aproximación)

FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ATRÁS. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA

FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ADELANTE. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR

Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA.

FORMULAS DE DIFERENCIAS FINITAS CENTRALES. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR POR LO TANTO ES MAS EXACTA

Primera Diferencia

Segunda Diferencia

Primera Diferencia

Segunda Diferencia

Primera Diferencia

Segunda Diferencia

Primera Diferencia

Segunda Diferencia

Acordate que primera diferencia es la que usa menos términos, segunda diferencia un termino mas.

RESUMEN DE FÓRMULAS DE DIFERENCIACIÓN

Lo que sigue es un resumen de las fórmulas de diferenciación que se pueden obtener a base de desarrollos en serie de Taylor.

 

Expresiones de Primeras Diferencias Centrales

(12)

 

Expresiones de Segundas Diferencias Centrales

(13)

 

Expresiones de Primeras Diferencias Hacia Adelante

(14)

 

Expresiones de Segundas Diferencias Hacia Adelante

(15)

 

Expresiones de Primeras Diferencias Hacia Atrás

(16)

 

Expresiones de Segundas Diferencias Hacia Atrás

(17)

EJEMPLO

Úsense aproximaciones de Diferencias Finitas Hacia Adelante, Hacia Atrás y Centradas para estimar la primera derivada de:

utilizando un tamaño de paso de = 0.5.

Repetir los cálculos usando = 0.25.

Nótese que la derivada se puede calcular directamente como:

y evaluando tenemos:

f'(0.5) = -0.9125

 

SOLUCIÓN:

Para = 0.5 se puede usar la función para determinar:

Xi-1 = 0.0 Yi-1 = 1.200

Xi = 0.5 Yi = 0.925

Xi+1 = 1.0 Yi+1 = 0.200

Estos datos se pueden utilizar para calcular la Diferencia Hacia Adelante:

la Diferencia Dividida Hacia Atrás será:

y la Diferencia Dividida Central:

Para = 0.25, los datos son:

Xi-1 = 0.25 Yi-1 = 1.10351563

Xi = 0.50 Yi = 0.92500000

Xi+1 = 0.75 Yi+1 = 0.63632813

que se usarán para calcular la Diferencia Dividida Hacia Adelante:

la Diferencia Dividida Hacia Atrás:

y la Diferencia Dividida Central:

Para los dos tamaños de paso, las aproximaciones por Diferencias Centrales son más exactas que las Diferencias Divididas Hacia Adelante o las Diferencias Divididas Hacia Atrás. También, como lo predijo el análisis de la serie de Taylor, la división del intervalo en dos partes iguales, divide a la mitad el error de las Diferencias Hacia Atrás o Hacia Adelante y a la cuarta parte el error de las Diferencias Centrales.