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MATERIA:
ANALISIS NUMERICO AVANZADOy
ANALISIS NUMERICO IIa
Profesor:Dr. Angel N. Menéndez
Ayudantes:Ing. Mariano Re
Ing. Pablo E. García
• Ecuaciones diferenciales en deriv. parciales
• Diferencias finitas-problemas parabólicos
• Diferencias finitas-problemas hiperbólicos
• Diferencias finitas-problemas elípticos
• Residuos ponderados-problemas elípticos
• Elementos finitos-problemas elípticos
• Elementos finitos-problemas evolucionarios
• Volúmenes finitos-problemas elípticos
• Elementos de contorno-problemas elípticos
TEMAS
Análisis Numérico Avanzado - Análisis Numérico IITemas
1/22
ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES
Análisis Numérico IIEcuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
2/22
ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES
Análisis Numérico IIEcuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
• Ecuaciones Tipo• Clasificación• Condiciones de Borde
3/22
Ecuación de Advección(Hiperbólica)
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo
0c cUt x∂ ∂
+ =∂ ∂
∆x
x
U
U
Qece
c(x,t)
c(x+∆x,t)
4/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo
U ( , ) ( )c x t f x Ut= −
Ecuación de Advección(Hiperbólica)
5/22
Ecuación de Difusión(Parabólica)
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo
2
2
c cDt x∂ ∂
=∂ ∂
∆x
x
F(x,t)
F(x+∆x,t)
Qece
c(x,t)
c(x+∆x,t)
6/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo
( , )2
xc x t AerfDt
=
Ecuación de Difusión(Parabólica)
7/22
Ecuación de Laplace(Elíptica)
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo
2 2
2 2 0c cx y∂ ∂
+ =∂ ∂
c1(x)
c2(x)
c4(y)
c3(y)
8/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo
( , ) y
n yL
x
n xc x y Ae senL
ππ−
=
Ecuación de Laplace(Elíptica)
9/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
Problema de 2º Orden2 2 2
2 2( , ) 2 ( , ) ( , )
, , , ,
u u uA x y B x y C x yx x y y
u uD x y ux y
∂ ∂ ∂+ +
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂= ∂ ∂ , uu
n∂∂
Condiciones de borde:
10/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
Condición de Unicidad
2
2
2
2
2
0
0
2
d uudX dYdt xxdt dt
dX dY u d udt dt x y dt y
A B C Duy
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2
2dY dX dY dXA B Cdt dt dt dt
∆ = − +
11/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
Clasificación
Tipo Curvas características
Hiperbólicas d > 0 Reales
Elípticas d < 0 Complejas
Parabólicas d = 0 Reales, pero coincidentes
2d B AC≡ −
12/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
Formas Normalizadas
2 2
2 2 , , , ,hd u u u uD v w uA w v v w
∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂
2v α β+=
Hiperbólicas:
2w α β−=
Coeficientes con signo opuesto
13/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
Elípticas:
Coeficientes con igual signo
2 2
2 2 , , , ,ed u u u uD v w uA w v v w
− ∂ ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂
2v α β+=
2w
iα β−
=
Formas Normalizadas
14/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
Parabólicas:
Un coeficientes nulo
2
2 , , , ,pu u uA D v w u
w v w∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂
v α β= = w x=
Formas Normalizadas
15/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
Más de dos Variables Independientes
Tipo Coeficientes de derivada de mayor orden
Hiperbólicas Todos no nulos y uno tiene signo distinto a los demás
Elípticas Todos no nulos y del mismo signo
Parabólicas Al menos uno nulo
16/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
Ecuaciones Hiperbólicas
2
, , , ,u u uG uα βα β α β
∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂
( , ) ( ) ( )u f gα β α β= +
Forma normal:
Forma elemental:2
0uα β∂
=∂ ∂
17/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
( ) ( ) ( )
( )
u t f gu df dgtn d n d n
α βα β
α β
= +∂ ∂ ∂ = +∂ ∂ ∂
Solución:
λ α≡
Sobre borde:
µ β≡
Ecuaciones Hiperbólicas
18/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
( , 0) ( )
( , 0) ( )
u x t a xu x t b xt
= =∂
= = ∂
2 2
2 2 2
1 0u ux c t∂ ∂
− =∂ ∂
1 1( , ) ( ) ( ) ( )2
x ct
x ct
u x t a x ct a x ct b dc
ξ ξ+
−
= + + − +
∫
Ejemplo:
Ecuaciones Hiperbólicas
19/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
Solución:
Condiciones de Cauchy sobre PA
Condiciones de Dirichlet o Neumann sobre PB
λ α≡µ β≡
Ecuaciones Hiperbólicas
20/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
Ejemplo:
( , 0) ( )
( , 0) ( )
o
o
u x y u xu x y N xy
= =∂ = =∂
2 2
2 2 0u ux y∂ ∂
+ =∂ ∂
0
( , ) Re ( ) ( )x iy
o ou x t u x iy i N dξ ξ+ = + +
∫
Condiciones de Cauchy sobre contorno abierto
(Forma normal)
Ecuaciones Elípticas
21/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
Ejemplo: (Forma normal)
1 0( , 0) ( )
0 0si x
u x t b xsi x
>= = = <
22
2
u uat x
∂ ∂=
∂ ∂
2
2/
42( , ) , 0x t
aau x t e d tξ
ξπ
−
−∞
= >∫
Condiciones de Dirichlet sobre contorno abierto
Ecuaciones Parabólicas
22/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
Condiciones de Contorno
Tipo Frontera Condiciones
Hiperbólicas abierta Cauchy ó Dirichlet/Neumann
Elípticas cerrada Dirichlet o Neumann
Parabólicas abiertaCI Dirichlet
CB Dirichlet o Neumann
1/56
DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA PARABOLICOS
Análisis Numérico IIDiferencias finitas – problemas parabólicos
2/56
DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA PARABOLICOS
Análisis Numérico IIDiferencias finitas – problemas parabólicos
• Método explícito centrado• Tipos de errores• Consistencia de un esquema numérico• Convergencia de la solución numérica• Estabilidad de la solución numérica• Problema de advección-difusión• Problemas bidimensionales• Método de las líneas
3/56
Problema Base
Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo Explícito Centrado
2
2 , 0 , 0u uD x L tt x
∂ ∂= < < >
∂ ∂
( , 0) ( )u x t f x= =
( 0, ) ( )u x t g t= =
( , ) ( )u x L t h t= =
4/56
Discretización
11 1
2
2, 0 , 0
n n n n nj j j j ju u u u u
D j N nt x
++ −− − +
= < < ≥∆ ∆
0 ( )j ju f x=
0 ( )n nu g t=
( )n nNu h t=
Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo Explícito Centrado
5/56
Cálculo
( ) ( )11 11 2 , 0 , 0n n n n
j j j ju r u r u u j N n++ −= − + + < < ≥
2
D trx∆
≡∆
Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo Explícito Centrado
6/56
Fuentes de Errores
DATOS(ENTRADA)
PROCESOPRECISION
RESULTADOS(SALIDA)
PROCESO DE CALCULO
PROCESO IDEAL
Exactos ExactosInf initoInf inita
Con errores Con erroresInf initoInf inita
ERRORES DE ENTRADA
ExactosFinito
ERRORES DE TRUNCAMIENTO
Con erroresInf inita
ERRORES DE REDONDEO
Exactos Inf initoFinita Con errores
Diferencias finitas – problemas parabólicosTipos de Errores
7/56
Errores Numéricos
Diferencias finitas – problemas parabólicosTipos de Errores
8/56
Errores de Truncamiento
Diferencias finitas – problemas parabólicosTipos de Errores
9/56
Errores de Discretización
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
1
1 12
( , ) ( , )
( , ) 2 ( , ) ( , )
n nj j
n n nj j j n
j
u x t u x tt
u x t u x t u x tD
xε
+
+ −
−∆
− +− ≡
∆2 4 2
2 42 4
, ,
( , )2 12n n
j j
nj
x t x t
u t u xD O t xt x
ε ∂ ∆ ∂ ∆= − + ∆ ∆∂ ∂
10/56
Consistencia
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
00
0nk
tx
ε∆ →∆ →
→
Método explícito centrado es consistente
2 4 22 4
2 4, ,
( , )2 12n n
j j
nj
x t x t
u t u xD O t xt x
ε ∂ ∆ ∂ ∆= − + ∆ ∆∂ ∂
11/56
Error de Truncamiento Local
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
( ) 11( , )nn n n n
j j je u x t u
++≡ −
n nj je tε≈ ∆
2 4 22 4
2 4, ,
( , )2 12n n
j j
nj
x t x t
u t u xe t D O t xt x
∂ ∆ ∂ ∆ = ∆ − + ∆ ∆∂ ∂
12/56
Error de Truncamiento Global
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
ˆ( , )n n nj j jE u x t u≡ −
1 max maxn n nj k k k kE E e+
∀ ∀≤ +
1 1,0maxn n m
j k m n kE t ε+ +∀ ≤ ≤≤
si r ≤ 1/2
13/56
No Consistencia
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
00
0tx
p∆ →∆ →
→
Esquema de DuFort-Frankel:1 1 1 1
1 122
n n n n n nj j j j j ju u u u u u
Dt x
+ − + −+ −− − − +
=∆ ∆
22 2 2 2 2
2,
( , , ), n
j
nj
x t
u tDp O t x p t pt x
ε ∂ ∆= + ∆ ∆ ∆ ≡
∂ ∆
,si no2 2
2 2
u u uD Dpt x t
∂ ∂ ∂= −
∂ ∂ ∂
14/56
Orden de Precisión
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
Esquema explícito centrado:
2 2 2( , ), nj O t x t xε = ∆ ∆ ∆ ∆
Esquema de DuFort-Frankel:
2( , )nj O t xε = ∆ ∆
15/56
Orden de Precisión
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
Esquema explícito centrado con máxima precisión (Douglas):
2 42
2 4
u uDt x
∂ ∂=
∂ ∂2 4
2 44
,
( ) ( , )2 6 n
j
nj
x t
D x uD t O t xx
ε ∆ ∂= ∆ − + ∆ ∆
∂2
6xtD
∆∆ = ⇒ 2 4( , )n
j O t xε = ∆ ∆
16/56
Condición de Borde de Neumann
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
2
2 , 0 , 0u uD x L tt x
∂ ∂= < < >
∂ ∂
( , 0) ( )u x t f x= =
( 0, ) ( )u x t g t= =
( , ) ( )u x L t h tx∂
= =∂
17/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
1 1 ( )2
n nnN Nu u h t
x+ −−
=∆
11 1
2
2, 0 , 0
n n n n nj j j j ju u u u u
D j N nt x
++ −− − +
= < ≤ ≥∆ ∆
Condición de Borde de Neumann
18/56
Convergencia
Diferencias finitas – problemas parabólicosConvergencia de la Solución Numérica
00
,
( , )
nj
n nj j
tx
x t fijos
u u x t∆ →∆ →
→
19/56
Convergencia Explícito Centrado
Diferencias finitas – problemas parabólicosConvergencia de la Solución Numérica
Si r ≤ 1/2 y es consistente ⇒ convergente
Condición r ≤ 1/2: estabilidad numérica
1 1,0maxn n m
j k m n kE t ε+ +∀ ≤ ≤≤
Si r ≤ 1/2:
20/56
Teorema de Lax
Diferencias finitas – problemas parabólicosConvergencia de la Solución Numérica
Si consistente y estable
⇒ convergente
21/56
Manifestación Inestabilidad Numérica
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
22/56
Condición de Estabilidad Numérica
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
0nj
nuδ
→∞→
:o on nj jSi u perturbada en uδ
23/56
Método de Von Neumann
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
n n nj j ju u uδ→ +
Reemplazar en ecuación en diferenciasy desarrollar a primer orden
jikxn n n ikj xju e eδ ξ ξ ∆= =
1
1n
n
ξξ
+
≤
24/56
Estabilidad de Esquema Explícito Centrado
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
[ ]1
1 2 1 cos( )n
nng r k xξ
ξ
+
≡ = − − ∆
1/ 2r⇒ ≤
25/56
Esquema de Richardson
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
1/ 22 2 41,2 2 ( / 2) 1 4 ( / 2)rsen k x r sen k xλ = − ∆ ± + ∆
24 ( / 2) 11 0
n rsen k xG
− ∆=
1 11 1
2
22
n n n n nj j j j ju u u u u
Dt x
+ −+ −− − +
=∆ ∆
Incondicionalmente inestable
26/56
Esquema de Du Fort - Frankel
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
( )1 11 11 1
22
n n n nn nj j j jj j u u u uu u
Dt x
+ −+ −+ −− + +−
=∆ ∆
Incondicionalmente estable
27/56
Esquema Implícito Ponderado
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
1 1 1 11 1 1 1
2 2
2 2(1 )
n n n n n n n nj j j j j j j ju u u u u u u u
Dt x x
θ θ+ + + +
+ − + − − − + − += + −
∆ ∆ ∆
[ ][ ]
1 2 (1 ) 1 cos( )1 2 1 cos( )
n r k xg
r k xθ
θ− − − ∆
=+ − ∆
28/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
Incondicionalmente estable si θ ≥ 1/2
[ ][ ]
1 2 (1 ) 1 cos( )1 2 1 cos( )
n r k xg
r k xθ
θ− − − ∆
=+ − ∆
L rm k==
Esquema Implícito Ponderado
29/56
Justificación de Implícitos
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
En problemas con escalas temporales disímeles
30/56
Ecuación de Advección-Difusión
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
2
2 , 0 , 0u u uU D x L tt x x
∂ ∂ ∂+ = < < >
∂ ∂ ∂
Es un problema parabólico
31/56
Esquema Explícito Centrado
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
2( , )nj O t xε = ∆ ∆
11 1 1 1
2
2,
20 , 0
n n n n n n nj j j j j j ju u u u u u u
U Dt x x
j N n
++ − + −− − − +
+ =∆ ∆ ∆
< < ≥
32/56
Estabilidad
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
[ ]1 2 1 cos( ) sen( )= − − ∆ − ∆ng r k x ip k x
2
D trx∆
≡∆
U tpx∆
≡∆
1/ 2, 2r p r⇒ ≤ ≤2
2
2, 2
x Dt tD U
∆∆ ≤ ∆ ≤
33/56
Restricción por Estabilidad
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
2xtD∆
∆ ≈
DxU
⇒∆ ≤
34/56
Upwinding
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
11 1 1
2
2,
0 , 0
n n n n n n nj j j j j j ju u u u u u u
U Dt x x
j N n
+− + −− − − +
+ =∆ ∆ ∆
< < ≥
Si U > 0:
( , )nj O t xε = ∆ ∆
35/56
Estabilidad Para Upwinding
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
2xt DU
x
∆∆ ≤
+∆
36/56
Método de Hirt
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
Ecuación verdadera para explícito centrado:
2 2
2 2
2 3 2 42 4
3 4
2
( , ) 03 12
u u u t uU Dt x x t
x u x uU D O t xx x
∂ ∂ ∂ ∆ ∂+ − +
∂ ∂ ∂ ∂∆ ∂ ∆ ∂
+ − + ∆ ∆ =∂ ∂
37/56
Condición de Courant
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
ecuación hiperbólica
2dx Ddt t
= ±∆
xt
∆≤∆
1/ 2r ≤
2 2
2 22u u u t uU Dt x x t
∂ ∂ ∂ ∆ ∂+ ≈ −
∂ ∂ ∂ ∂
38/56
Condición de Difusión
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
2
2U tD ∆
≥
2 2
22u u U t uU Dt x x
∂ ∂ ∆ ∂+ ≈ − ∂ ∂ ∂
2
2DtU
∆ ≤
39/56
Crank-Nicholson Centrado
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
2 2( , )nj O t xε = ∆ ∆
1 1 11 1 1 1
1 1 11 1 1 1
2 2
12 2 2
2 212
n n n n n nj j j j j j
n n n n n nj j j j j j
u u u u u uU
t x x
u u u u u uD
x x
+ + ++ − + −
+ + ++ − + −
− − −+ + ∆ ∆ ∆
− + − += + ∆ ∆
40/56
Pruebas
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
5U xPeD∆
≡ =
0,8U tCrx∆
≡ =∆
41/56
0,05U tCrx∆
≡ =∆
10U xPeD∆
≡ =
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
Pruebas
42/56
5U tCrx∆
≡ =∆
5U xPeD∆
≡ =
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
Pruebas
43/56
Performance
U xPeD∆
≡
U tCrx∆
≡∆
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
44/56
Problema Base
2 2
2 2 , 0 , 0 , 0u u uD x a y b tt x y
∂ ∂ ∂= + < < < < > ∂ ∂ ∂
( , , 0 ) ( , )u x y t f x y= =
( , ) ( , ) u s t g s t sobre contorno cerrado=
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
45/56
Explícito Centrado
11 1 1 1
2 2
2 2,
0 , 0 , 0
n n n n n n n nij ij i j ij i j ij ij ij
x y
u u u u u u u uD
t x y
i N j N n
++ − + − − − + − +
= + ∆ ∆ ∆ < < < < ≥
0 ( , )ij i ju f x y=
( , , ) n nij i ju g x y t sobre contorno=
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
46/56
Cálculo
( ) ( ) ( )11 1 1 11 2 2 ,
0 , 0 , 0
n n n n n nij x y j x i j i j y ij ij
x y
u r r u r u u r u u
i N j N n
++ − + −= − − + + + +
< < < < ≥
2 2, x yD t D tr r
x y∆ ∆
≡ ≡∆ ∆
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
47/56
Estabilidad
2, D ty x rx∆
∆ = ∆ ≡∆
yx ik j yik i xn niju e eδ ξ ∆∆=
2 21 42 2
∆ ∆ = − +
yn x k yk xg r sen sen
1/ 4r⇒ ≤
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
48/56
Implícito Centrado
1 1 1 1 1 1 11 1 1 1
2 2
1 1 1 12 2
2 2
2 2(1 )
n n n n n n n nij ij i j ij i j ij ij ij
n n n n n ni j ij i j ij ij ij
u u u u u u u uD
t x y
u u u u u uD
x y
θ
θ
+ + + + + + ++ − + −
+ − + −
− − + − += + ∆ ∆ ∆
− + − ++ − + ∆ ∆
1/ 2 : incondicionalmente estableθ ≥
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
49/56
Cálculo
( ) ( ) ( )1 1 1 1 11 1 1 11 2 2 n n n n n n
x y ij x i j i j y ij ij ijr r u r u u r u u u+ + + + ++ − + −+ + − + − + =
1: fuertemente implicitoθ =
Sistema algebraico acoplado en ambas direcciones
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
50/56
Direcciones Alternadas
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21 1 1 1
2 2
2 2/ 2
n n n n n n n nij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u u
Dt x y
+ + + ++ − + − − − + − +
= + ∆ ∆ ∆
1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 11 1 1 1
2 2
2 2/ 2
n n n n n n n nij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u u
Dt x y
+ + + + + + + ++ − + − − − + − +
= + ∆ ∆ ∆
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
51/56
Cálculo
( ) ( )( ) ( )
1/ 2 1/ 2 1/ 21 1
1 1
1
1
n n nx ij x i j i j
n n ny ij y ij ij
r u r u u
r u r u u
+ + ++ −
+ −
+ − +
= − + +
Sistemas algebraicos acoplados por dirección
( ) ( )( ) ( )
1 1 11 1
1/ 2 1/ 2 1/ 21 1
1
1
n n ny ij y ij ij
n n ny ij x i j i j
r u r u u
r u r u u
+ + ++ −
+ + ++ −
+ − +
= − + +
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
52/56
Estabilidad
[ ][ ]1 1 cos( ) 1 1 cos( )
1 1 cos( ) 1 1 cos( )y xn
x y
r k y r k xg
r k x r k y
− − ∆ − − ∆ =+ − ∆ + − ∆
Incondicionalmente estable
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
53/56
Desdoblamiento (Localmente 1D)1* 1* 1* 1*
1 12
1 12
2[
2(1 ) ]
n n n n nij ij i j ij i j
n n ni j ij i j
u u u u uD
t xu u u
x
θ
θ
+ + + ++ −
+ −
− − +=
∆ ∆− +
+ −∆
1 1* 1 1 11 1
2
1* 1* 1*1 1
2
2[
2(1 ) ]
n n n n nij ij ij ij ij
n n nij ij ij
u u u u uD
t yu u u
y
θ
θ
+ + + + ++ −
+ + ++ −
− − +=
∆ ∆
− ++ −
∆
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
54/56
Estabilidad
[ ] 1 1 cos( ) 1 1 cos( )nx yg r k x r k y = − − ∆ − − ∆
Mas estable que el de paso entero
1/ 2r⇒ ≤
0θ =Totalmente explícito:
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
55/56
2
2
u uDt x
∂ ∂=
∂ ∂
1 12
2j j j jdu u u uD
dt x+ −− +
=∆
Discretización Espacial
Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo de las Líneas
56/56
Nuevo Problema DiferencialdU AUdt
=
1
2
3
1
...
N
uu
U u
u −
=
2 1 0 ... 01 2 1 ... 00 1 2 ... 0... ... ... ... ...0 ... 0 1 2
A r
− − = − −
Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo de las Líneas
1/40
DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA HIPERBOLICOS
Análisis Numérico IIDiferencias finitas – Problemas Hiperbólicos
• Método explícito centrado• Métodos explícitos• Métodos implícitos• Difusión y Dispersión numéricas• Sistemas Hiperbólicos• Problemas bidimensionales• Ecuación de segundo orden• Problemas no lineales
2/40
Problema Base
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodo Explícito Centrado
0, 0 , 0 ( 0 )u uc x L t ct x
∂ ∂+ = < < > >
∂ ∂
( , 0) ( )u x t f x= =
( 0, ) ( )u x t g t= =
3/40
Discretización
11 1 0, 0 , 02
n n n nj j j ju u u u
c j N nt x
++ −− −
+ = < ≤ ≥∆ ∆
0 ( )j ju f x=
0 ( )n nu g t=
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodo Explícito Centrado
4/40
Estabilidad
1 seno( )ng ip k x= − ∆
U tpx∆
≡∆
Incondicionalmente inestable
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodo Explícito Centrado
5/40
Esquema con Upwinding
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
11 0
n n n nj j j ju u u u
ct x
+−− −
+ =∆ ∆
11(1 )n n n
j j ju p u pu+−= − + c tp
x∆
≡∆
( )2
22u u c uc x c tt x x
∂ ∂ ∂+ = ∆ − ∆
∂ ∂ ∂Hirt:
xtc∆
∆ ≤
( ),nj O t xε = ∆ ∆
(parabólico)
6/40
Condición de Courant
dx cdt
= ±xt
∆≤∆
xtc∆
∆ ≤
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
7/40
Esquema de Lax
( )11 1
1 1
12 0
2
n n nn nj j jj j
u u u u uc
t x
++ −
+ −− + −
+ =∆ ∆
11 1
1 1(1 ) (1 )2 2
n n nj j ju p u p u+
+ −= − + + c tpx∆
≡∆
co s( ) ( )ng x ip seno xκ κ= ∆ − ∆von Neuman:
xtc∆
∆ ≤
( )2,nj O t xε = ∆ ∆
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
8/40
Esquema de Lax-Wendroff
( )1/ 21/ 2 1
1
12 0
/ 2
n n nn nj j jj j
u u u u uc
t x
++ +
+− + −
+ =∆ ∆
2 2 41 4 (1 ) ( / 2)ng p p seno xκ= − − ∆
xtc∆
∆ ≤
( )2 2,nj O t xε = ∆ ∆
1 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 0
n n n nj j j ju u u u
ct x
+ + ++ −− −
+ =∆ ∆
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
9/40
Pruebas
1 /c m s=
c tpx∆
≡∆
t (hrs)
u(x,t=0)
1
N intervalos T
N
T
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
10/40
Esquema de Lax
1 /c m s=
0,90p =
18N =
4,5T hrs=
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
11/40
Esquema de Lax
1 /c m s=
0,90p =
9N =
4,5T hrs=
( 18)N =
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
12/40
Esquema de Lax
1 /c m s=
0,90p =
6N =
4,5T hrs=
( 18)N =
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
13/40
Esquema de Lax
1 /c m s=
0,90p =
20N =
4,5T hrs=
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
14/40
Esquema de Lax
1 /c m s=
0,66p =
20N =
3,3T hrs=
( 0,90)p =
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
15/40
Esquema de Lax
1 /c m s=
0,50p =
20N =
2,5T hrs=
( 0,90)p =
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
16/40
Esquema con Upwinding
1 /c m s=
0,66p =
20N =
3,3T hrs=
( )Lax
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
17/40
Esquema con Lax-Wendroff
1 /c m s=
0,66p =
20N =
3,3T hrs=
( )Lax
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
18/40
Esquema con Upwinding
1 /c m s=
1p =
20N =
5,0T hrs=
( )Lax
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
19/40
Esquema con Upwinding
1 /c m s=
1,03p =
20N =
5,14T hrs=
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
20/40
Esquema de la Rayuela
1 11 1 0
2 2
n n n nj j j ju u u u
ct x
+ −+ −− −
+ =∆ ∆
xtc∆
∆ ≤
( )2 2,nj O t xε = ∆ ∆
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
21/40
Upwinding Implícito
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Implícitos
1 1 11 0
n n n nj j j ju u u u
ct x
+ + +−− −
+ =∆ ∆
111
(1 )
n nj jn
j
u puu
p
+−+ +
=+
( ),nj O t xε = ∆ ∆
2
11 ( / 2) ( )
ngp seno x ip seno xκ κ
=+ ∆ − ∆
Incondicionalmente estable
22/40
Wendroff Implícito
1 1 1 11 1 1 11 0
2 2
n n n n n n n nj j j j j j j ju u u u u u u uc
t t x x
+ + + ++ + + + − − − −
+ + + = ∆ ∆ ∆ ∆
( )2 2,nj O t xε = ∆ ∆
Incondicionalmente estable
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Implícitos
23/40
Ecuación Verdadera (Hirt)
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosDifusión y Dispersión Numéricas
( )( , ) i x tu x t e κ βα −=
2
m
m mm
u u uct x x
µ∞
=
∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂∑
iAβ ω= +
22
1( 1)k k
kk
A κ µ∞
=
= −∑
1 22 1
1( 1)k k
kk
cω κ µκ
∞−
+=
= + −∑
24/40
Problema Base
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosSistemas Hiperbólicos
0h uHt x
∂ ∂+ =
∂ ∂
0u hgt x
∂ ∂+ =
∂ ∂
25/40
Esquema de Lax
( )11 1
1 1
12 0
2
n n nn nj j jj j
h h h u uH
t x
++ −
+ −− + −
+ =∆ ∆
( )11 1
1 1
12 0
2
n n nn nj j jj j
u u u h hg
t x
++ −
+ −− + −
+ =∆ ∆
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosSistemas Hiperbólicos
26/40
Estabilidad
co s( ) ( ) ( ) co s( )
n x isH seno xG
isg seno x xκ κ
κ κ∆ − ∆
= − ∆ ∆
1,2 co s( ) ( )x is gH seno xλ κ κ= ∆ ± ∆
xtgH∆
∆ ≤
tsx∆
=∆
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosSistemas Hiperbólicos
27/40
Problema Base
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas Bidimensionales
0x yu u uc ct x y
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
28/40
Esquema de Lax-Wendroff (1/2)
( )1/ 21/ 2, 1/ 2 1 1, 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
14
/ 212
1 02
n n n n ni j ij ij i j i j
n n n ni j ij i j ij
x
n n n nij ij i j i j
y
u u u u u
tu u u u
cx x
u u u uc
y y
++ + + + + +
+ + + +
+ + + +
− + + +
∆ − −
+ + ∆ ∆ − −
+ + = ∆ ∆
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas Bidimensionales
29/40
Esquema de Lax-Wendroff (2/2)1
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
12
1 02
n nij ij
n n n ni j i j i j i j
x
n n n ni j i j i j i j
y
u ut
u u u uc
x x
u u u uc
y y
+
+ + + ++ − − − + + − +
+ + + +− + − − + + + −
−∆
− −+ + ∆ ∆
− −+ + = ∆ ∆
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas Bidimensionales
30/40
Estabilidad
2 2 max ,x y
xtc c
∆∆ ≤
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas Bidimensionales
31/40
Problema Base
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosEcuación de Segundo Orden
2 22
2 2 0, 0 , 0u uc x L tt x
∂ ∂− = < < >
∂ ∂
( , 0) ( )u x t f x= =
( 0, ) ( )u x t h t= =
( , 0) ( )u x t g xt
∂= =
∂
( , ) ( )u x L t i t= =
32/40
Explícito Centrado1 1
1 122 2
2 20,
0 , 0
n n n n n nj j j j j ju u u u u u
ct x
j N n
+ −+ −− + − +
− =∆ ∆
< < ≥
0 ( )j ju f x= 0 ( )n nu h t= ( )n nNu i t=
21 0 2( ) ''( )
2j j j jtu u tg x c f x∆
= + ∆ +
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosEcuación de Segundo Orden
33/40
Estabilidad
Criterio de Courant:
xtc∆
∆ ≤
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosEcuación de Segundo Orden
34/40
Problema Base
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
0u uut x
∂ ∂+ =
∂ ∂
u u dX u dTx d t dτ τ τ
∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂u u dT u dXn x d t dτ τ∂ ∂ ∂
= −∂ ∂ ∂
Sobre curva característica:
35/40
Curvas Características
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
0
1 001 0
dX dT u ud d xdT dX ud d tu u
n
τ τ τ
τ τ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − = ∂ ∂ ∂
dT dXud dτ τ
∆ = − + 0 dX udT
∆ = ⇒ =
36/40
Formulaciones Alternativas
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
0u ft x
∂ ∂+ =
∂ ∂
2
( )2
uf u =
1 0 0dI f fdt
+ − =1( )
o
x
xI t udx= ∫
Formulación conservativa:
Formulación débil:
37/40
Onda de Choque
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
[ ][ ]
c c c
c c
dx f f fsdt u u u
+ −
+ −
−≡ = =
−
1( )
( )( ) c
o c
x t x
x x tI t udx udx= +∫ ∫
Relación de Rankine-Hugoniot
38/40
Unicidad
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
( ) ( )( )
2 223
c c c c
c c
u u u us
u u
+ + − −
+ −
+ +=
+
La Física define la correcta
2 3
02 3
u ut x ∂ ∂
+ = ∂ ∂
39/40
Onda de Rarefacción
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
Cumple ecuación diferencial
y continua en extremos
dx xdt t
= izq deru t x u t≤ ≤características para
xut
= para izq deru t x u t≤ ≤
Emanando de x = 0, t = 0:
40/40
Cálculo Numérico de Discontinuidades
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
•Métodos de “seguimiento” de la discontinuidad:
Basados en la formulación característica
•Métodos de “captura” de la discontinuidad:
Basados en la formulación conservativa
1/27
DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico IIDiferencias finitas – Problemas Elípticos
• Esquema de los cinco puntos• Métodos Seudoevolucionarios• Dominios Arbitrarios• Ecuación Autoadjunta• Esquema de integración en caja• Derivadas cruzadas• Estabilidad
2/27
Problema Base
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de los cinco puntos
2 2
2 2 0, 0 , 0x yu u x L y L
x y∂ ∂
+ = < < < <∂ ∂
1( , 0) ( )u x y f x= =
1( 0, ) ( )u x y g y= =2( , ) ( )yu x y L f x= =
2( , ) ( )xu x L y g y= =
3/27
Discretización
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de los cinco puntos
1 1 1 12 2
2 20,
0 , 0
i j ij i j ij ij ij
x y
u u u u u ux y
i N j N
+ − + −− + − ++ =
∆ ∆< < < <
0 1( )i iu f x=
0 1( )j ju g y=
2 ( )yiN iu f x=
2 ( )xN j ju g y=
4/27
Condición de Borde de Neumann
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de los cinco puntos
2( , ) ( )yu x y L f xy∂
= =∂
( )1 122
y yiN iNi
u uf x
y+ −−
=∆
1 1 1 12 2
2 20,
0 , 0
i j ij i j ij ij ij
x y
u u u u u ux y
i N j N
+ − + −− + − ++ =
∆ ∆< < < ≤
5/27
Solución
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de los cinco puntos
Sistema algebraico lineal:
•Métodos directos (Eliminación Gauss)
•Métodos iterativos (Gauss-Seidel)
6/27
Problema Parabólico
Diferencias finitas – Problemas ElípticosMétodos Seudoevolucionarios
2 2
2 2 , 0 , 0 , 0x yu u u x L y L t
x y t∂ ∂ ∂
+ = < < < < >∂ ∂ ∂
1( , 0, ) ( )u x y t f x= =
1( 0, , ) ( )u x y t g y= =2( , , ) ( )yu x y L t f x= =
2( , , ) ( )xu x L y t g y= =
( , , 0 ) ( , )u x y t h x y= =
7/27
Relación
Diferencias finitas – Problemas ElípticosMétodos Seudoevolucionarios
( , , ) : u x y t
solucion del problema eliptico→∞
8/27
Solución Numérica
Diferencias finitas – Problemas ElípticosMétodos Seudoevolucionarios
• La (seudo)evolución temporal funciona como unmétodo iterativo para el problema elíptico, pero conbase física
• No interesa precisión ⇒ ∆t grande ⇒ métodosimplícitos adecuados, con técnicas de pasosalternados o de desdoblamiento
9/27
Primera Alternativa:Rectificación Dominio
Diferencias finitas – Problemas ElípticosDominios Arbitrarios
10/27
Segunda Alternativa:Molécula No Rectangular
Diferencias finitas – Problemas ElípticosDominios Arbitrarios
x y h∆ = ∆ ≡
0E E N N W W S S o ou u u u uβ β β β β+ + + − =
2 EE
E W
ss s
β =+
2 SS
N S
ss s
β =+
2 NN
N S
ss s
β =+
2 WW
E W
ss s
β =+
oE
N
S
WsS h
sN h
sW h sE h
o E N W Sβ β β β β= + + +
11/27
Tercera Alternativa:Coordenadas Adaptadas Al Contorno
Diferencias finitas – Problemas ElípticosDominios Arbitrarios
• Definición de coordenadas adaptadas al contorno
• Transformación de la ecuación diferencial
12/27
Problema Base
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEcuación Autoadjunta
( , ) ( , ) ( , ) ( , ),
, 0, ( , ) 0
u ua x y b x y f x y u g x yx x y y
a b f x y
∂ ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ ∂ ∂ > ≥
13/27
Discretización
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEcuación Autoadjunta
x y h∆ = ∆ ≡
21 1 1 1E i j N ij W i j S ij o ij iju u u u u h gα α α α α+ + − −+ + + − =
1/ 2E i jaα += 1/ 2N ijbα += 1/ 2W i jaα −= 1/ 2S ijbα −=
2o E N W S ijh fα α α α α= + + + +
14/27
Distribución
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEcuación Autoadjunta
2 2
2 2
u a u u b ua b fu gx x x y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Si gradientes de a ó b altos ⇒problemas de estabilidad numérica
15/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de Integración en Caja
( , ) ( , ) ( , ) ( , ),
, 0, ( , ) 0
u ua x y b x y f x y u g x yx x y y
a b f x y
∂ ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ ∂ ∂ > ≥
Ecuación Autoadjunta
16/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de Integración en Caja
Integración
/ 2
/ 2 / 2 / 2
N
S E W
B
s h
s h x s h x s h
ua dxdyx x
u ua a dyx x− = =−
∂ ∂ = ∂ ∂
∂ ∂ − ∂ ∂
∫∫
∫
/ 2E
E o
Ex s h
u uuax s h=
−∂ ≈ ∂
E
N
S
WsS h
sN h
sW h sE h
17/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de Integración en Caja
Discretización
21 1 1 1E i j N ij W i j S ij o ij iju u u u u h gα α α α α+ + − −+ + + − =
/ 22 E
N SE i s j
E
s s as
α ++
=/ 22 N
E WN ij s
N
s s bs
α ++
=
/ 22 W
N SW i s j
W
s s as
α −+
=/ 22 S
E WS ij s
S
s s bs
α −+
=
( )( )2
4E W N S
o E N W S ij
s s s sh fα α α α α
+ += + + + +
18/27
Problema Base
Diferencias finitas – Problemas ElípticosDerivadas Cruzadas
2 2 2
2 2
2
( , ) 2 ( , ) ( , ) 0,u u ua x y b x y c x yx x y y
b ac
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
<
19/27
Discretización
Diferencias finitas – Problemas ElípticosDerivadas Cruzadas
( )
( )( )( )
2
2
1 [
]
E NE N E o
N N NW o W
W o W S SW
S E o SE S
ux y
u u u uh
u u u u
u u u u
u u u u
α
α
α
α
∂≈
∂ ∂
− − +
+ − − +
+ − − +
+ − − +4
11i
iα
=
=∑
E
N
S
W
NE
SE
NW
SW
o
20/27
Selección de Coeficientes
Diferencias finitas – Problemas ElípticosDerivadas Cruzadas
( ) ( ) 0E W N Sα α α α− − − =
1) 0 : , 02E W N SI b α α α α> = = = =
( ) ( ) 0E W N Sα α α α− + − =
Aproximación de segundo orden:
1) 0 : 0, 2E W N SII b α α α α< = = = =
, 0 :Supongase a c >
21/27
Problema Base
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
2 2
2 2
u u u uU Vx y x y
ν ∂ ∂ ∂ ∂
+ = + ∂ ∂ ∂ ∂
22/27
Simplificación
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
2
2 , 0 ,
(0) , ( )o L
d u duU x Ldx dxu u u L u
ν = < <
= =
Solución cerrada:
( ) 11
xPeL
oPe
L o
u x u eu u e
− −=
− −ULPeν
=
23/27
Esquema Centrado
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
1 1 1 12
22
i i i i iu u u u uUx x
ν + − + −− + −=
∆ ∆
Solución cerrada:
1 / 211 / 2
1 / 211 / 2
i
i oN
L o
PgPgu u
u u PgPg
+− −− =
− +− −
U xPgν∆
=
24/27
Estabilidad
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
10020
5
PeN
Pg
==
⇒ =
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
x
u re
lativ
o
Analítica Esquema centrado
25/27
Estabilidad
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
100100
1
PeN
Pg
==
⇒ =
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0x
u re
lativ
o
Analítica Esquema centrado
26/27
Esquema con Upwinding
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
1 1 12
2i i i i iu u u u uUx x
ν + − −− + −=
∆ ∆Solución cerrada:
( )( )
1 11 1
ii o
NL o
Pgu uu u Pg
− +−=
− − +U xPgν∆
=
27/27
Estabilidad
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
10020
5
PeN
Pg
==
⇒ =
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0x
u re
lativ
o
Analítica Esquema con upwinding
1/13
RESIDUOS PONDERADOSPROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico IIResiduos Ponderados – Problemas Elípticos
• Formulación Ponderada• Residuos Ponderados• Métodos
2/13
Problema Base
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosFormulación Ponderada
2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω
1( , ) u x y u sobre= Γ
2( , ) u x y q sobren∂
= Γ∂
Formulación diferencial:
u clase C2
3/13
Versión 1D
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosFormulación Ponderada
2
2 0 (0,1)d u u x endx
+ + =
(0) 0 (1)duu qdx
= =
Problema particular:
(0 )0 (1) 0u u= =Primer problema:
Segundo problema:
4/13
Soluciones Problema 1D
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosFormulación Ponderada
( )( ) (1 )cos(1)sen xu x q x= + −
Primer problema:
Segundo problema:
( )( )(1)
sen xu x xsen
= −
5/13
Solución en Diferencias Finitas
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosFormulación Ponderada
1 12
- 20j j j
j
u u uu j x
x+ −+
+ + ∆ =∆
Primer problema:
Método u1 u2
Dif. finitas 0,05609 0.06891
Analítico 0,05550 0,06820
1/ 3x∆ =
6/13
Formulación Ponderada
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosFormulación Ponderada
( ) ( )
1
2
2
0
u f wd u u wd
u q wdn
Ω Γ
Γ
∇ + Ω+ − Γ
∂ + − Γ = ∂
∫ ∫
∫
7/13
Funciones Aproximantes
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosResiduos Ponderados
αi son las incógnitas; método modal
( )2 0u f wdΩ
∇ + Ω =∫
1( , )
N
i ii
u x yα φ=
=∑φi satisfacen exactamente condiciones de borde
8/13
Funciones de Peso
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosResiduos Ponderados
1( , )
N
j jj
w x yβ ψ=
=∑
1
N
ji i ji
a bα=
=∑
( )2 0, 1, 2...ju f d j NψΩ
∇ + Ω = =∫2
ji i ja dφψΩ
≡ ∇ Ω∫j jb f dψ
Ω
≡ − Ω∫
9/13
Limitaciones
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosResiduos Ponderados
La determinación de φi sólo puede hacerse para problemas muy particulares
La elección de ψi determina el método
10/13
Métodos
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosMétodos
1 1( , ) j kjk x y x yψ − −=Momentos:
( , ) ( , )j jx y x yψ φ=Galerkin:
11/13
Primer Problema 1D
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosMétodos
( ) (1 )ii x x xφ = −
21 2( ) (1 ) (1 )u x x x x xα α= − + −
2
2
2 2 31 2( 2 ) (2 6 )
d u u xdx
x x x x x x
ε
α α
≡ + +
= − + − + − + − +
12/13
Primer Problema 1D
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosMétodos
1( ) , 1, 2jj x x jψ −= =Momentos:
1
01 0dxε =∫
1
00xdxε =∫
1
2
11 11 16 12 2
11 1932 20
αα
=
13/13
Resultados
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosMétodos
Método u1 u2
Dif. finitas 0,05609 0,06891
RP-Momentos 0,05433 0,06888
RP-Galerkin 0,05540 0,06805
Analítico 0,05550 0,06820
Primer problema: 1/ 3x∆ =
1/46
ELEMENTOS FINITOSPROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico IIVolúmenes Finitos – Problemas Elípticos
2/46
ELEMENTOS FINITOSPROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico IIElementos Finitos – Problemas Elípticos
• Formulación Débil• Discretización• Formulación Variacional• Método de Ritz• Discretización del Funcional• Problemas de Capa Límite
3/46
Problema Base
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil
2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω
1( , ) u x y u sobre= Γ
2( , ) u x y q sobren∂
= Γ∂
Formulación diferencial:
u clase C2
4/46
Formulación Ponderada
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil
( ) ( )
1
2
2
0
u f wd u u wd
u q wdn
Ω Γ
Γ
∇ + Ω+ − Γ
∂ + − Γ = ∂
∫ ∫
∫
5/46
Integración por Partes
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil
10 w u u sobre= = Γ
( )
1 2
1 2
.
0
uu wd fwd w dn
uu u wd q wdn
Ω Ω Γ +Γ
Γ Γ
∂− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ
∂
∂ + − Γ + − Γ = ∂
∫ ∫ ∫
∫ ∫
w w= −
6/46
Formulación Débil
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil
2
. 0u wd fwd qwdΩ Ω Γ
− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ =∫ ∫ ∫
u clase C1
(Soluciones débiles o generalizadas)
7/46
Discretización del Dominio
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
Elementos finitos triangulares
8/46
Numeración de Nodos
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
n: numeración global , 1≤ n ≤ N
K = 3
k: numeración local, 1≤ k ≤ K
n = 57
n = 42
n = 58
k = 3
k = 1
k = 2
N: cantidad total de nodos
K: cantidad de nodos por elemento
9/46
Conectividad
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
m: numeración de elemento , 1≤ m ≤ M
# nodo global de nodo local k de elemento m
n = 57
n = 42
n = 58
k = 3
k = 1
k = 2
M: cantidad total de elementos
( ) :mkG
27(1) 57G =
m=27
27(2) 58G =27(3) 42G =
10/46
Discretización de la Función
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
:nu
( ) :mkn G= ( )
mn ku u≡
valores nodales (incógnitas)
Método nodal
m
11/46
Función Interpolante
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
1( , ) ( , )
Mm
mu x y u x y
=
=∑( ) ( )
1( , ) ( , )
( , )0 ( , )
Km m mk km
kN x y u si x y e
u x ysi x y
=
∈=
∈
∑me
funciones de forma( ) :mkN m
(k)
1
12/46
Funciones de Peso
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
:nw tantas como incógnitas
( ) ( , ) ( , )( , )
0 ( , )
l l
l
m mk
nN x y si x y e
w x ysi x y
∈=
∈ lme
ml: elementos que contienen nodo n, 1≤ l ≤ Ln
Ln: cantidad de elementos
Método de Bubnov-Galerkin:
( )l
l
mkn G=
13/46
Ecuaciones Discretas
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ) ( , ) ( , )( , )
0 ( , )
l l
l
m mk
nN x y si x y e
w x ysi x y
∈=
∈ lme
2
. 0n n nu w d fw d qw dΩ Ω Γ
− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ =∫ ∫ ∫
1( , ) ( , )
Mm
mu x y u x y
=
=∑
14/46
Primer Término
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ) ( )1 1
. .n
l l l
ml
L Km m m
n k k nl k e
u w d u N N d= =Ω
− ∇ ∇ Ω = − ∇ ∇ Ω∑∑∫ ∫( )
l
l
mkn G=
( ) .l l
ml
m mnp k n
e
a N N d≡ ∇ ∇ Ω∫ ( )lm
kp G=
1 1.
nL K
n np pl k
u w d a u= =Ω
− ∇ ∇ Ω = −∑∑∫
15/46
Ensamble
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ')mkn G=
( ) ( ').m
m mk k np
e
N N d a∇ ∇ Ω→∫( )mkp G=
Elemento m: 1≤ k,k’ ≤ K
16/46
Desagregado
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ')mkn G=
( ) ( ')
m
m mk k
npe
N Nd
x xα
∂ ∂= Ω
∂ ∂∫
( )mkp G=
np np npa α β= +
( ) ( ')
m
m mk k
npe
N Nd
y yβ
∂ ∂= Ω
∂ ∂∫
17/46
Normalización Integrales
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
1
1
(1)
0
0(2)
(3)
( )( )( )
(1)
(2)
(3)
, 1, ,
NNN
ξ η ξ ηξ η ξξ η η
= − − = =
( ) ( )
( ) ( ), ,m
m mk k
ee
F N x y d J F N dξ η Ω = Ω ∫ ∫
( )( ) ,m
mk
e
F N x y d Ω ∫
( )3
( ) ( )1
, mk k
kx N xξ η
=
=∑
( )3
( ) ( )1
, mk k
ky N yξ η
=
=∑
18/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( )( )
12 13
12 13
,,
m mx xmm my y
x xl lx y
Jl ly y
ξ ηξ η
ξ η
∂ ∂∂ ∂ ∂
≡ = =∂ ∂∂∂ ∂
12 (2) (1)
13 (3) (1)
12 (2) (1)
13 (3) (1)
m m mx
m m mx
m m my
m m my
l x x
l x x
l y y
l y y
≡ −
≡ −
≡ −
≡ −
Normalización Integrales
19/46
Cálculo de Integrales
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ) ( ')
m
m mk k
npe
N Nd
x xα
∂ ∂= Ω
∂ ∂∫
( ) 1 3 ( ) 1 2 ( )m m mk y k y k
m m
N l N l Nx ξ η
∂ ∂ ∂= −
∂ ∆ ∂ ∆ ∂
(1) (1)
(2) (2)
(3) (3)
1; 1
1; 0
0; 1
N N
N N
N N
ξ η
ξ η
ξ η
∂ ∂= − = −
∂ ∂∂ ∂
= =∂ ∂∂ ∂
= =∂ ∂
( ) ( ') ( ) ( ')
2
m m m mmk k k km
npe
N N N NJJ dx x x x
α∂ ∂ ∂ ∂
= Ω =∂ ∂ ∂ ∂∫
12 13
12 13
m mx xm mm my y
l lJ
l l∆ ≡ =
20/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( )2
213 1212 13
12 2
m mmy y m m
np y ym m m
l lJ l lJ
α
= − + = − ∆ ∆
(1) 13 12m m m
y ym m
N l lx
∂= − +
∂ ∆ ∆
(2) 13m m
ym
N lx
∂=
∂ ∆(3) 12m m
ym
N lx
∂= −
∂ ∆
(1)mn G=
(1)mp G=
Cálculo de Integrales
21/46
Segundo Término
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ) ( ) ( ) ( )( , , )m m m mk k k kf f x y u≡
1( , , ) ( , , )
Mm
mf x y u f x y u
=
=∑
( ) ( )1
( , ) ( , )( , , )
0 ( , )
Km m mk km
kN x y f si x y e
f x y usi x y
=
∈=
∈
∑me
22/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( )l
l
mkn G=
( )l l
ml
m mnp k n
e
N N dγ ≡ Ω∫( )
lmkp G=
1 1
nL K
n np pl k
fw d fγ= =Ω
Ω =∑∑∫
Segundo Término
23/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ) ( )( ) ( , )b b b
r rrq q x y≡
1( , ) ( , )
B b
bq x y q x y
=
=∑
( ) ( )1
( , ) ( , )( , )
0 ( , )
R bb bb r r
rN x y q si x y g
q x ysi x y
=
∈=
∈
∑bg
Tercer Término
24/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( )l
l
bkn G=
( )l l
bl
b bnt r n
g
N N dγ ≡ Ω∫( )
lbrt G=
2 1 1
nS R
n nt ts r
qw d qγ= =Γ
Γ =∑∑∫
Tercer Término
25/46
Resultados
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
Método u1 u2
Dif. finitas 0,05609 0,06891
RP-Momentos 0,05433 0,06888
RP-Galerkin 0,05540 0,06805
EF-Galerkin 0,05494 0,06751
Analítico 0,05550 0,06820
Primer problema: 1/ 3x∆ =
26/46
Problema Base
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional
2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω
1( , ) u x y u sobre= Γ
2( , ) u x y q sobren∂
= Γ∂
Formulación diferencial:
u clase C2
27/46
Formulación Ponderada
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional
( ) ( )
1
2
2
0
u f wd u u wd
u q wdn
Ω Γ
Γ
∇ + Ω+ − Γ
∂ + − Γ = ∂
∫ ∫
∫
28/46
Formulación Débil
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional
2
. 0u wd fwd qwdΩ Ω Γ
− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ =∫ ∫ ∫
(caso particular)
Variación débil:w uδ= 10 u sobreδ = Γ
( , , ) ( , )f u x y u g x y= +
1( , ) u x y u sobre= Γ
29/46
Formulación Variacional
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional
( ) ( ) ( ) ( )2
2 21 1 02 2
u u ug d qu dδ δ δ δΩ Γ
− ∇ + + Ω+ Γ = ∫ ∫
Funcional:
0Iδ =
( )
2
2 21 1( )2 2
I u u u ug d qudΩ Γ
= ∇ − − Ω− Γ ∫ ∫
1( , ) u x y u sobre= Γ
30/46
Función Aproximante
Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz
( )
2
2 21 1( )2 2
I u u u ug d qudΩ Γ
= ∇ − − Ω− Γ ∫ ∫
1( , ) u x y u sobre= Γ
1( , )
N
i ii
u x yα φ=
=∑Aproximación:
(satisface condiciones de borde geométrica)
31/46
Planteo
Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz
0Iδ =
αi son las incógnitas; método modal
0, 1, 2...i
I i Nα∂
= =∂
32/46
Segundo Problema 1D
Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz
2
2 0 (0,1)d u u x endx
+ + = (0) 0 (1)duu qdx
= =
212
0
1 1( ) (1)2 2
duI u u ux dx qudx
= − − −
∫
( )
2
2 21 1( )2 2
I u u u ug d qudΩ Γ
= ∇ − − Ω− Γ ∫ ∫
1( , ) u x y u sobre= Γ
(0) 0u =
33/46
Solución
Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz
0 ( ) ( )x sen xφ = 1( )x xφ =
1 2( ) ( )u x sen x xα α= +
1 2
0I Iα α∂ ∂
= =∂ ∂
( )( ) (1 )cos(1)sen xu x q x= + − (solución exacta)
34/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
Se procede en forma análoga al caso de partida desde la
formulación débil
Segundo Problema 1D
35/46
Función Interpolante
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
1( , ) ( , )
Mm
mu x y u x y
=
=∑
( ) ( )1
( , ) ( , )( , )
0 ( , )
Km m mk km
kN x y u si x y e
u x ysi x y
=
∈=
∈
∑me
funciones de forma( ) :mkN
36/46
Planteo
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
1 2( , ... )NI u u u
0, 1, 2..n
I n Nu∂
= =∂
37/46
Primer Término
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
( )2( ) ( ') ( ) ( ')
' 1 1
1 1 .2 2m m
K Km m m mk k k k
k ke e
u d u u N N d= =
∇ Ω = ∇ ∇ Ω∑∑∫ ∫
( )l
mkn G=
( ) .m
m mnp k n
e
a N N d≡ ∇ ∇ Ω∫
( )mkp G=
( )2
1
12 m
K
np pkn e
u d a uu =
∂∇ Ω =
∂ ∑∫
( )21( )2
I u u dΩ
→ ∇ Ω ∫
38/46
Sistema Discreto
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
Resulta idéntico al obtenido desde la formulación débil con el método de Bubnov-Galerkin
39/46
Problema Base
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
2 2
2 2
u u u uU Vx y x y
ν ∂ ∂ ∂ ∂
+ = + ∂ ∂ ∂ ∂
. . 0, ( , )n nu w d U u wd U U VνΩ Ω
∇ ∇ Ω+ ∇ Ω = =∫ ∫
40/46
Función Interpolante
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
1( , ) ( , )
Mm
mu x y u x y
=
=∑
( ) ( )1
( , ) ( , )( , )
0 ( , )
Km m mk km
kN x y u si x y e
u x ysi x y
=
∈=
∈
∑me
funciones de forma( ) :mkN
41/46
Funciones de Peso
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
( ) ( ) ( , )( , )
0 ( , )
l l l
l l
m m mk k
nN h N si x y e
w x ysi x y
α+ ∇ ∈=
∈ lme
Método de Petrov-Galerkin: SUPG
( )l
l
mkn G=
42/46
Caso 1D
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
2
2 , 0 ,
(0) , ( )o L
d u duU x Ldx dxu u u L u
ν = < <
= =
Solución cerrada:
( ) 11
xPeL
oPe
L o
u x u eu u e
− −=
− −ULPeν
=
43/46
Formulación Débil
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
0
0L
nn
dwdu duU w dxdx dx dx
ν + = ∫
1(2)1
(2)
(1)(1)
( )
nn
n
n nn
n
dNN x si x x
dxw xdN
N x si x xdx
α
α
−−+ ∆ <=
+ ∆ >
44/46
Funciones de Forma
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
1(2)1
(2) 1 1(2) (1)
( )n
nn n
x xN x
x x
−−
− −
−=
−(2)
(1)(2) (1)
( )n
nn n
x xN x
x x−
=−
1 1(2) (1)
1 1(2) (1)
1
1
nn nn
nn n
si x xx xdw
dx si x xx x
− −
− −
< −= − > −
(igual que Bubnov-Galerkin)
45/46
Ecuación Ensamblada
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
( ) ( )1 1 1 112 2 0n n n n nu u u u u
Pgα + − + −
+ − + − − =
U xPgν∆
=
Si α = 0: método centrado → inestabilidad
Si α = 1/2: upwinding (U > 0)
46/46
Valor Óptimo del Parámetro
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
1 1 1 coth( ) : 2 coth( )2
Si Pg PgPg Pg
α α
= − + =
1 / 211 / 2
1 / 211 / 2
n
n oN
L o
PgPgu u
u u PgPg
+− −− =
− +− −
(solución numérica exacta)
1/5
ELEMENTOS FINITOSPROBLEMA EVOLUCIONARIOS
Análisis Numérico IIElementos Finitos – Problemas Evolucionarios
2/5
Problema Base
Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosProblema Base
2 ( , , ) , 0uS u f u x y en tt
∂= ∇ + Ω >
∂
3/5
Discretización Espacial
Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosDiscretización Espacial
[ ]
[ ] duC K u rdt
= +
K: matriz de rigidez
C: matriz de atenuación
2 ( , , )uS u f u x yt
∂= ∇ +
∂
4/5
Discretización Temporal
Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosDiscretización Temporal
Método explícito de diferencias finitas:
[ ]
[ ] duC K u rdt
= +
[ ] [ ]
1n nn nu u
C K u rt
+−
= +∆
5/5
Despeje
Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosDespeje
[ ] [ ] [ ]( ) 1n n nC u K t C u t r+= ∆ + + ∆
Todavía acopladas!!!
Concentración de masa:
1
N
ij iij
c c=
→∑ 0 ijc si i j→ ≠
C diagonal ⇒ desacoplada
(pérdida de consistencia)
1/22
VOLUMENES FINITOSPROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico IIVolúmenes Finitos – Problemas Elípticos
2/22
VOLUMENES FINITOSPROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico IIVolúmenes Finitos – Problemas Elípticos
• Discretización• Elección del Volumen de Control• Capa Límite
3/22
Discretización del Dominio
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
Igual que con elementos finitos
4/22
Discretización de la Función
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ) :mkn G= ( )
mn ku u≡
:nu valores nodales (incógnitas)
Método nodal
Conduce a “esquemas del vértice de celda”
5/22
Función Interpolante
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
1( , ) ( , )
Mm
mu x y u x y
=
=∑
( ) ( )1
( , ) ( , )( , )
0 ( , )
Km m mk km
kN x y u si x y e
u x ysi x y
=
∈=
∈
∑me
funciones de forma( ) :mkN
6/22
Función de Peso
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
:nw tantas como incógnitas
1 ( , )( , )
0 ( , )
n
nsi x y
w x ysi x y
∈Ω=
∈ n
Ω
ml: elementos que contienen nodo n, 1≤ l ≤ Ln
Ln: cantidad de elementos
Ωn: constituye nueva subdivisión del dominio
7/22
Primer Término
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
.n
nuu w d dnΩ Γ
∂− ∇ ∇ Ω = Γ
∂∫ ∫Se convierte en el flujo de la cantidad u
a través de la frontera de Ωn
Entonces, se garantiza la conservación de la cantidad u
1
N
nn=
Ω = Ω
Si y cada segmento de Γncomún a dos elementos
8/22
Segundo y Tercer Término
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
n
nfw d fdΩ Ω
Ω = Ω∫ ∫
2 2n
nqw d qdΓ Γ
Γ = Γ∫ ∫
9/22
Volumen de Control
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosElección del Volumen de Control
1
nl
Lm
nl
e=
Ω =
nu discontinuo sobren∂
Γ∂
10/22
Cálculo de la Derivada
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosElección del Volumen de Control
( )( )
1m mn n
mm Kk m
kkin
Nu u un n n=Γ Γ
∂∂ ∂= =
∂ ∂ ∂∑
( )( )
1m mn n
ll Kk l
kkex
Nu u un n n=Γ Γ
∂∂ ∂= =
∂ ∂ ∂∑
12
n in ex
u u un n nΓ
∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂
11/22
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosElección del Volumen de Control
( )( )
( )
1
1 2
mn
mkmm
nk
mkm
n
si G nhN
n si G nh
Γ
− =∂ = ∂ ≠
( )( )
( )
1
1 2
mn
lkll
pk
lkl
p
si G phN
n si G ph
Γ
=∂ = ∂ − ≠
Cálculo de la Derivada
12/22
Desventaja del Volumen de Control
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosElección del Volumen de Control
• Involucra nodos no vecinos a n:• Aumenta el ancho de banda• Elimina posibilidad de ensamble
13/22
Otro Volumen de Control
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosElección del Volumen de Control
1
nl
Lm
nl
e=
Ω ⊂
nu continuo sobren∂
Γ∂
n
n
n
14/22
Cálculo de la Derivada
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosElección del Volumen de Control
( )( )
1m m mn n n
mm Kk m
kk
Nu u un n n=Γ Γ Γ
∂∂ ∂= =
∂ ∂ ∂∑
Involucra sólo nodos vecinos a n
( )( )
( )
1
1 2
r
mnr
r
mkmm
nk
mkm
n
si G nhN
n si G nh
Γ
− =∂ = ∂ ≠
1,2r =
15/22
Primer Término
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosElección del Volumen de Control
( )r
mnr
mk m
n np
Ns a
nΓ
∂→
∂ ( )mkp G=
1.
N
n np pp
u w d a u=Ω
− ∇ ∇ Ω =∑∫
.n
nuu w d dnΩ Γ
∂− ∇ ∇ Ω = Γ
∂∫ ∫
( )( )
1r r
mm mnrnr nr
mKkm m m
n n kk
Nu ud s s un n n=ΓΓ Γ
∂∂ ∂Γ = =
∂ ∂ ∂∑∫
16/22
n
Normalización de Integrales
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosElección del Volumen de Control
1
1
(1)
0
0(2)
(3)
( )( )( )
(1)
(2)
(3)
, 1, ,
NNN
ξ η ξ ηξ η ξξ η η
= − − = =
m mn nr r
x yu u ud n n dn x y
Γ Γ
∂ ∂ ∂Γ = + Γ ∂ ∂ ∂
∫ ∫
13 12m my yl lu u u
x ξ η∂ ∂ ∂
= −∂ ∆ ∂ ∆ ∂
13 12m mx xl lu u u
y ξ η∂ ∂ ∂
= − +∂ ∆ ∂ ∆ ∂
12 13 13 12m m m mx y x yl l l l∆ ≡ −
12 13m m
x y yn d l d l dξ ηΓ = +
12 13m m
y x xn d l d l dξ ηΓ = − −
12 (2) (1)m m mxl x x= −
13 (3) (1)m m mxl x x= −
12 (2) (1)m m myl y y= −
13 (3) (1)m m myl y y= −
17/22
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosElección del Volumen de Control
3( )
( )1
3( )
( )1
k mk
k
k mk
k
Nu u
Nu u
ξ ξ
η η
=
=
∂∂=
∂ ∂∂∂
=∂ ∂
∑
∑
(1) (1)
(2) (2)
(3) (3)
1; 1
1; 0
0; 1
N N
N N
N N
ξ η
ξ η
ξ η
∂ ∂= − = −
∂ ∂∂ ∂
= =∂ ∂∂ ∂
= =∂ ∂
[ ] [ ] [ ] [ ]2 (2) 3 (3) 2 3 (1)mn
m m m mm m mn n n n
u d a u a u a a un
Γ
∂ Γ = + − + ∂∫
[ ]2 123 13m m mn n n
a ξ ηα α ≡ Ψ + Ψ
n
ndξ ξ
Γ
Ψ ≡ ∫
nn
dη ηΓ
Ψ ≡ ∫
( )2 212 12 12
1m m mx yl lα = +
∆
[ ]3 12 123m m mn n n
a ξ ηα α ≡ − Ψ − Ψ
( )2 213 13 13
1m m mx yl lα = +
∆
( )123 12 13 12 131m m m m m
x x y yl l l lα = +∆
Normalización de Integrales
18/22
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosElección del Volumen de Control
(1) (2)
(3)
nI nIIn
d dξ ξ ξΓ Γ
Ψ = + ∫ ∫
nI nIIn
d dη η ηΓ Γ
Ψ = + ∫ ∫
(1)mn G=
1/ 2 1/3
1/3 0
12n
d dξ ξ ξ Ψ = − − = − ∫ ∫1/ 2 1/3
1/3 0
12n
d dη η η Ψ = + = ∫ ∫
(2)mn G=
(3)mn G=
1/ 2 1/ 2
1/3 1/3
0n
d dξ ξ ξ Ψ = − + = ∫ ∫1/ 2 1/3
1/3 0
12n
d dη η η Ψ = − − = − ∫ ∫1/3 1/ 2
( ')0 1/3
12k n
d dξ ξ ξ Ψ = + = ∫ ∫1/ 2 1/ 2
1/3 1/3
0n
d dη η η Ψ = − + = ∫ ∫
Normalización de Integrales
19/22
Problema Base
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosCapa Límite
2 2
2 2
u u u uU Vx y x y
ν ∂ ∂ ∂ ∂
+ = + ∂ ∂ ∂ ∂
. . 0, ( , )n nu w d U u wd U U VνΩ Ω
∇ ∇ Ω+ ∇ Ω = =∫ ∫
20/22
Término Advectivo
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosCapa Límite
( )
. .
.n
n
n
nU u wd U ud
Uu d
U ud
Ω Ω
Ω
⊥Γ
∇ Ω = ∇ Ω
= ∇ Ω
= Γ
∫ ∫
∫
∫
21/22
Discretización Centrada
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosCapa Límite
( ) ( )1
mr nrmnr
Km m mn k k
kud s N u
Γ=Γ
Γ = ∑∫
( ) m rnr
m mk n npU N s a⊥ Γ
→ ( )mkp G=
( ) ( ) ( , )m r rnr
m m m mk k n nN N x y
Γ=
22/22
Upwinding
Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosCapa Límite
( ) ( )1
( ) ( )1
0
0
mr nr
mnr
r
Km m mn k k
kK
m m mn k kn
k
s N u si Uud
s N u si U
+ ⊥Γ=
Γ⊥
=
>Γ = <
∑∫
∑
( ) ( ) ( , )m r rnr
m m m mk k n nN N x y
+ +
+Γ
=
( ) ( ) ( , )m mk k n nn
N N x y=
1/29
ELEMENTOS DE CONTORNOPROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico IIElementos de Contorno – Problemas Elípticos
2/29
ELEMENTOS DE CONTORNOPROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico IIElementos de Contorno – Problemas Elípticos
• Formulación Integral• Discretización• Formulación Indirecta• Discretización de Formulación con fuentes
3/29
Problema Base
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω
1( , ) u x y u sobre= Γ
2( , ) u x y q sobren∂
= Γ∂
Formulación diferencial:
u clase C2
4/29
Formulación Ponderada
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
( ) ( )
1
2
2
0
u f wd u u wd
u q wdn
Ω Γ
Γ
∇ + Ω+ − Γ
∂ + − Γ = ∂
∫ ∫
∫
5/29
Integración por Partes
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
1
0
w
u u sobre Formulacion debil
w w
=
= Γ
= −
( )
1 2
1 2
.
0
uu wd fwd w dn
uu u wd q wdn
Ω Ω Γ +Γ
Γ Γ
∂− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ
∂
∂ + − Γ + − Γ = ∂
∫ ∫ ∫
∫ ∫
6/29
Segunda Integración por Partes
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
wwn
w w
∂=∂
= −
( )
1 2 1 2
1 2
2
0
w uu wd fwd u d w dn n
uu u wd q wdn
Ω Ω Γ +Γ Γ +Γ
Γ Γ
∂ ∂∇ Ω+ Ω− Γ + Γ
∂ ∂
∂ + − Γ + − Γ = ∂
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
7/29
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
1 2
1 2
2
0
uu wd fwd w d wqdn
w wu d u dn n
Ω Ω Γ Γ
Γ Γ
∂∇ Ω+ Ω+ Γ + Γ
∂
∂ ∂− Γ − Γ =
∂ ∂
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Segunda Integración por Partes
8/29
Formulación Integral
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
Caso particular: ( , , ) ( , )f u x y u g x yα= +
( )
2
2
u wd fwd
u w w d gwdαΩ Ω
Ω Ω
∇ Ω+ Ω
= ∇ + Ω+ Ω
∫ ∫
∫ ∫
2 α∇ +Operador:
9/29
Solución Fundamental
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
(2)* 0
1( , ; , ) ( )4P Pu x y x y H ri
α=
2* * ( , )P Pu u x x y yα δ∇ + = − − −
2 2( ) ( )P Pr x x y y= − + −
* 0 u para r→ →∞
10/29
Función de Peso
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
*w u=
( )2* *
( , ) si interior a 1 ( , ) si sobre 2
0 si exterior a
P P
P P
u x y P
u u u d u x y P
P
αΩ
− Ω∇ + Ω = − Γ
Ω
∫
11/29
Formulación Integral Directa
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
1 2
2 1
**
** *
1 ( , )2 P P
u uu x y u d u dn n
ugu d u qd u dn
Γ Γ
Ω Γ Γ
∂ ∂− + Γ − Γ
∂ ∂
∂= − Ω− Γ + Γ
∂
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Ecuación integral para u sobre Γ2y ∂u/∂n sobre Γ1
12/29
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
** *( , )P P
u uu x y g ud u d u dn nΩ Γ Γ
∂ ∂= Ω+ Γ − Γ
∂ ∂∫ ∫ ∫
Solución en el interior de Ω:
Formulación Integral Directa
13/29
Función de Green
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
2 ( , )P PG G x x y yα δ∇ + = − − −
1( , ) 0 G x y sobre= Γ
2( , ) 0 G x y sobren
∂= Γ
∂
2 1
( , )P Pu Gu x y gGd G d u dn nΩ Γ Γ
∂ ∂= Ω+ Γ − Γ
∂ ∂∫ ∫ ∫
Punto P en el interior de Ω
14/29
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
1 2
2 1
**
** *
1 ( , )2 P P
u uu x y u d u dn n
ugu d u qd u dn
Γ Γ
Ω Γ Γ
∂ ∂− + Γ − Γ
∂ ∂
∂= − Ω− Γ + Γ
∂
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Ecuación integral para u sobre Γ2y ∂u/∂n sobre Γ1
Formulación Integral Directa
15/29
Discretización del Dominio
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
Método panel:• Elementos: segmentos de recta• Valores de u y ∂u/∂n constantes sobre cada
elemento
16/29
Discretización de la Ecuación
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
**
1 1
*
12
0,
j j
N N
i j jj j
uu u d q d un
ugu d qn
= =Γ Γ
Ω
∂ − + Γ − Γ ∂
∂+ Ω = ≡
∂
∑ ∑∫ ∫
∫
1≤ i ≤ N, N : cantidad de elementos
17/29
Ecuaciones Algebraicas
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
1 10
N N
ij j ij j ij j
G q H u B= =
− + =∑ ∑
( )*
j
ij ijG u r dΓ
= Γ∫
( )* 12
j
ij ij ijuH r dn
δΓ
∂= Γ +
∂∫
( )*i iB gu r dΩ
= Ω∫
18/29
Incognitas
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
1 10
N N
ij j ij j ij j
G q H u B= =
− + =∑ ∑
uj sobre Γ2 y qj sobre Γ1
19/29
Solución en el Interior
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
1 1
N N
kjk kj j j ij j
u G q H u B= =
= − +∑ ∑
( )*
j
kj kjuH r dnΓ
∂= Γ
∂∫
20/29
Cálculos
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
0iiH =
( )1 ln
:
iii i
i
rG d
d semi longitud de segmento iπ
= −
−
( )*1 m
M
i im
B gu r d= Ω
= Ω
∑ ∫
21/29
Problema Exterior
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Indirecta
2 ' ' 0u uα∇ + = ', en exterior aΩ Ω
( )2
'
'' ' 0' '
u wu w w d w d u dn n
αΩ Γ Γ
∂ ∂∇ + Ω+ Γ − Γ =
∂ ∂∫ ∫ ∫
2u u gα∇ + = − en Ω
*w u= P sobre Γ
**
1 ''( , ) ' 02 ' 'P P
u uu x y u d u dn nΓ Γ
∂ ∂− + Γ − Γ =
∂ ∂∫ ∫
' 0 u para r→ →∞
22/29
Formulación con Fuentes
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Indirecta
Distribución de elementos sobre Γ para representar efecto del exterior Ω’
u continuo a través de Γ
∂u/∂n discontinuo a través de Γ
23/29
Ecuación Integral
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Indirecta
**
1 ''( , ) ' 02 ' 'P P
u uu x y u d u dn nΓ Γ
∂ ∂− + Γ − Γ =
∂ ∂∫ ∫
1 2
2 1
**
** *
1 ( , )2 P P
u uu x y u d u dn n
ugu d u qd u dn
Γ Γ
Ω Γ Γ
∂ ∂− + Γ − Γ
∂ ∂
∂= − Ω− Γ + Γ
∂
∫ ∫
∫ ∫ ∫
* *( , )P Pu x y u d g udσΓ Ω
− + Γ = − Ω∫ ∫'u u
n nσ ∂ ∂= −∂ ∂
24/29
Sistema de Ecuaciones Integrales
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Indirecta
Incógnita: σ sobre Γ
* *( , )P Pu x y u d g udσΓ Ω
− + Γ = − Ω∫ ∫* *( , ) 1 ( , )
2P P
P PP P P
u x y u ud x y g dn n n
σ σΓ Ω
∂ ∂ ∂− + Γ − = − Ω
∂ ∂ ∂∫ ∫
P sobre Γ1
P sobre Γ2
25/29
Solución en el Interior
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Indirecta
** *( , )P P
u uu x y g ud u d u dn nΩ Γ Γ
∂ ∂= Ω+ Γ − Γ
∂ ∂∫ ∫ ∫
**
' ' 0' '
u uu d u dn nΓ Γ
∂ ∂Γ − Γ =
∂ ∂∫ ∫
* *( , )P Pu x y g ud u dσΩ Γ
= Ω+ Γ∫ ∫
26/29
Formulación con Fuentes
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización de Formulación con Fuentes
Ecuación integral para σ sobre Γ
* *( , )P Pu x y u d g udσΓ Ω
− + Γ = − Ω∫ ∫* *( , ) 1 ( , )
2P P
P PP P P
u x y u ud x y g dn n n
σ σΓ Ω
∂ ∂ ∂− + Γ − = − Ω
∂ ∂ ∂∫ ∫
P sobre Γ1
P sobre Γ2
27/29
Discretización del Dominio
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización de Formulación con Fuentes
Método panel:• Elementos: segmentos de recta• Valores de σ constantes sobre cada
elemento
Análogo que para formulación directa
28/29
Ecuaciones Algebraicas
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización de Formulación con Fuentes
10
N
ij j i ij
G B uσ=
+ − =∑
( )*
j
ij ijG u r dΓ
= Γ∫ ( )* 12
j
ij ij ijP
uF r dn
δΓ
∂= Γ −
∂∫
( )*i i
P
uC g r dnΩ
∂= Ω
∂∫
10
N
ij j i ij
F C qσ=
+ − =∑
( )*i iB gu r dΩ
= Ω∫
i sobre Γ1
i sobre Γ2
29/29
Solución en el Interior
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización de Formulación con Fuentes
1
N
k kj j ij
u G Bσ=
= +∑