UNIDAD IIMiguel A. Rios FavelaInstituto Tecnolgico Superior de LerdoITSL / 2008

Aproximaciones Los mtodos numricos dan slo una aproximacin de una solucin analtica exacta. Y debido a que en muchos de los problemas de aplicacin de ingeniera no es posible obtener la solucin analtica, es decir no se puede calcular con exactitud los errores con mtodos numricos debemos usar aproximaciones o estimaciones de errores.

**

Error de Aproximacin El error de aproximacin o error numrico es una medida del ajuste de la medida o clculo de una magnitud con respecto al valor real o terico que dicha magnitud tiene.

Un aspecto importante de los errores de aproximacin es su estabilidad numrica. Dicha estabilidad se refiere a como dentro de un algoritmo de anlisis numrico el error de aproximacin es propagado dentro del propio algoritmo

**

Cifras Significativas

1.- Los mtodos numricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.

2.- Aunque ciertos nmeros representan nmero especficos, no se pueden expresar exactamente con un nmero finito de cifras. Por ejemplo: o e

**

*

Cifra o dgito significativo se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numrico.

Las cifras significativas de un nmero son aquellas que pueden utilizarse en forma confiable. Se trata del nmero de dgitos que se ofrecen como certeza, mas uno estimado.

**

Cuntas cifras significativas hay?**

Errores Anlisis Numrico Ya se han mencionado en otras asignaciones la probabilidad de ocurrencia de errores al resolver problemas complejos. Cuando se realiza anlisis numricos hay varias fuentes de errores posibles adems de aquellos debidos a la aritmtica inexacta de la computadora.

Error aqu no quiere decir un disparate, equivocacin u omisin, sino ms bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los nmeros o frmulas

**

Los errores numricos surgen del uso de aproximaciones:

Errores de truncamiento que resultan del empleo de aproximaciones como un procedimiento matemtico exacto.

Errores de redondeo que se producen cuando se usan nmeros que tienen un lmite de cifras significativas para representar nmeros exactos.

**

Formulas para el Error**Valor verdadero = Valor aproximado + error

EJEMPLO: Clculo de errores**Suponga que tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9,999 y 9 cm respectivamente. Si los valores verdaderos son 10,000 y 10 cm calcule:

el error verdadero

b) el error relativo porcentual verdadero en cada caso.

Solucin:**El error en la medicin del puente es:

y en la del remache es de:El error relativo porcentual para el puente es:

y para el remache es de:

Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber ms la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este.

Lo que importa es el valor absoluto de este error, y este debe ser menor que una tolerancia porcentual prefijada , por lo tanto es til emplear el valor absoluto de las ecuaciones. En tales casos, los clculos se repiten hasta que

**

Estimacin de error por mtodos iterativos**

Formulas**

Solucin:**3. Se calcular las estimaciones.1. Calcular el valor de

Clculo de Estimaciones**1. 2.

Tabla de Clculos**

TrminosResultados1139.321.59.0233.331.6251.447.6941.6458333330.1751.2751.6484375000.01720.15861.6486979170.001420.0158

Aritmtica de Punto Flotante**Es necesario comprender como las cantidades numricas se presentan en las computadoras. En casi todos los casos los nmeros se almacenan como cantidades de punto flotante que se parecen mucho a la notacin cientfica.Por ejemplo el numero de punto fijo 13.524 que en punto flotante es: en la computadora se representa como:

Las diversas computadoras manejan tcnicas generalmente diferentes, pero el procedimiento general es semejante. En las computadoras los nmeros de punto flotante tienen 3 partes.

El signo(requiere un bit)Parte fraccional (mejor caracterizada como parte significativa)Parte Exponencial. Las 3 partes poseen una longitud total fija igual a 32 o 64 bits, la mayor parte de estos bits la ocupa la parte fraccionaria.

**

Las computadoras representan sus nmeros de punto flotante en la forma general.Donde: d,= Dgitos o valores desde 0 hasta B 1.B= Numero de la Base que se utiliza.P= Numero de dgitos (bits) significativos; es decir la precisin.e= Exponente entero que varia de e mnima negativa hasta e mxima positiva.

**

**Calcular 1.37 + .0269 =

Error Por TruncamientoLa expresin error por truncamiento se refiere a los errores producidos por el mtodo en si, normalmente los mtodos numricos pueden compararse con una serie de Taylor.

**

**ex podra aproximarse a la cbicaSin embargo, se sabe que para calcular ex se requiere una serie infinitamente larga y se observa que al aproximar ex con la formula se obtiene una respuesta inexacta.

Ejemplo:**=1+3+4.5+4.5=13 El error se debe al truncamiento de la serie y no tiene nada que ver con la computadora o con la calculadora, para mtodos iterativo, este error puede reducirse mediante un numero mayor de iteraciones

Error PropagadoPor error propagado se entiende una falla en pasos sucesivos de un procedimiento debido a la ocurrencia de un error previo de alguna manera es semejante a los errores en las condiciones inciales.En ejemplos de mtodos numricos tratados en unidades posteriores el error propagado es de suma importancia si los errores son ampliados continuamente a medida que avanza el procedimiento, a la larga eclipsara el valor verdadero destruyendo su validez, un mtodo as se denomina inestable.En un mtodo estable, los errores cometido en puntos anteriores se extinguen a medida que continua el mtodo.

**

**

NOTA.- Cada uno de estos errores, aunque interactan en cierta medida, pueden presentarse incluso en ausencia de los dems.

Teorema de Taylor

**

Series de McLauring**

Utilice expansiones de la serie de Taylor con n desde 0 hasta 6 para aproximar f(x) = cos x en con base

y sus derivadas en . Donde: **

*