I.E.S. HUERTA ALTA. DPTO. MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS. 2º BACH CIENCIAS

CÁLCULO DE DERIVADAS

1) Calcula la derivada de las siguientes funciones:

2b)

3254

a)x

xseny

xx

lny =+

−=

Solución:

( ) ( )325432

54a) +−−=

+−= xlnxlnx

xlny

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )32·54

2332·54542325

322

545

'+−

−=+−−−+−=

+−

−−=

xxxxxx

xxy

34

2 2·2··'b)

xxsenxxcos

xxxsenxxcos

y−=−=

2) Calcula la derivada de las siguientes funciones:

( )13b)12

3a) 2

5

−=−

= xcosyx

y xx

·

Solución:

( )( )

( )[ ]( ) 2

5

2

55

12

23·125·3

12

3·2123·3·5'a)

−−−=

−−−=

x

lnx

x

xlny

xxx

b) y ' = 3x · ln 3 · cos (x2 − 1) − 3x · sen (x2 − 1) · 2x == 3x · [ln 3 · cos (x2 − 1) − 2x · sen (x2 − 1)]

3) Calcula la derivada de las siguientes funciones:

( )3 3 1b)11

a) −=+−= xcosyee

lnyx

x

Solución:

a) y = ln (1 − ex) − ln (1 + ex)

x

x

xx

xxxx

x

x

x

x

ee

eeeeee

ee

ee

y21

2)1(·)1(

)1(·)1(·11

'−

−=+−

−−+−=+

−−

−=

3 32

32

3 32

23

)1(

)1(·

)1(3

3·)1('b)

−

−−=−

−−=xcos

xsenx

xcos

xxseny

1

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4) Calcula la derivada de las siguientes funciones:

( )4b)4a) 23 −== xlogyxcosarcy ·

Solución:

xxxxy

−−=

−

−=

1·

2

12

1·4

'a)

( )4·3

2'b)

2 −=

xln

xy

5) Calcula la derivada de las siguientes funciones:

( ) 3 5 2b)125a) +=−= xyxarctgy ·

Solución:

( ) ( ) 22 121

10

121

2·5'a)

−+=

−+=

xxy

( )3 25

4

2·3

5'b)

+=

x

xy

6) Aplica la derivación logarítmica para derivar y = x cos x

Solución:

f (x) = x cos x

ln f (x) = cos x · ln x

( )( ) x

xcosxlnxsenxfxf 1

··' +−=

( ) ( )

+−=

+−=

xxcos

xlnxsenxxxcos

xlnxsenxfxf xcos ····'

7) Deriva logarítmicamente la siguiente función y = (cos x)x

Solución:

f (x) =(cos x)x

ln f (x) = x · ln cos x

2

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( )( ) xtgxxcosln

xcosxsen

xxcoslnxfxf

··' −=−+=

f' (x) = f (x) · (ln cos x − x tg x) = (cos x)x · (ln cos x − x tg x)

8) Aplica la derivación logarítmica para derivar y = (x + 1)x 2

Solución:

f (x) = (x + 1)x 2

ln f (x) = x2 · ln (x + 1)

( )( ) ( )

11

·1·2' 2

+++=

xxxlnx

xfxf

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

+++=

+

++=1

1·2·11

1·2·'22 2

xx

xlnxxxx

xlnxxfxf x

9) Mediante la derivación logarítmica, calcula la derivada de y = (ln x)x.

Solución:

f (x) = (ln x)x

ln f (x) = x · ln (ln x)

( )( ) ( ) ( )

xlnxlnln

xlnxxxlnln

xfxf 1

1

·' +=+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+=

+=

xlnxlnlnxln

xlnxlnlnxfxf x 1

·1

·'

10)Aplica la derivación logarítmica para derivar:

x

xy

= 2

Solución:

( ) ( )

=→

=

xlnxxfln

xxf

x2

·2

3

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( )( ) 1

22

2

·2' 2

−

=

−

+

=

xln

x

xxx

lnxfxf

( ) ( )

−

=

−

= 1

2·

21

2·'

xln

xxlnxfxf

x

11)Calcula la derivada de la siguiente función implícita: xy − 2x + 3y = 4.

Solución:

y + xy ' − 2 + 3y ' = 0

( )3

2'23·'

+−=→−=+

xy

yyxy

12)Halla la derivada de la siguiente función implícita: x3 + 6xy + y3 = 8.

Solución:

3x2 + 6y + 6xy ' + 3y2 · y ' = 0

3y ' · (2x + y2) = −3 · (x2 + 2y)

( )2

2

22

'yxyx

y++−=

13)Dada la función implícita x2 − 3xy − 2y2 = 4, calcula su derivada.

Solución:

2x − 3y − 3xy ' − 4yy ' = 0

2x − 3y = y ' · (3x + 4y)

yxyx

y4332

'+−=

14)Halla y ' sabiendo que: x2 + y2 = x2 · y2.

Solución:

2x + 2yy '= 2xy2 + 2x2yy '

4

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2yy ' · (1 − x2) = 2x · (y2 − 1)

)1(·

)1(·'

2

2

xy

yxy

−−=

15)Calcula la derivada de la siguiente función implícita: 4x2 + 9y2 = 36.

Solución:

8x + 18yy ' = 0

yx

y188

'−=

16)Sabiendo que la derivada de f (x) = cos x es f' (x) = −sen x, calcula la derivada de f−1 (x) = arc cos x.

Solución:

f' (x) = −sen x

( ) ( )21

1

1

1)(

1

))(('

1'

xxcosarcsenxffxf

−

−=−

== −−

17)Teniendo en cuenta que la derivada de la función f (x) = tg x es f' (x) = 1 + tg2x, halla la derivada de f−1 (x) = arc tg x.

Solución:

( ) ( )221

1

11

))((11

))(('1

'xxgtarctgxff

xf+

=+

== −−

18)Conocida la función f(x) = ln x y su derivada x1

)x('f = , calcula la

derivada de x1 e)x(f =−

Solución:

( ) ( ) x

x

e

exff

xf === −−

11

))(('1

'1

1

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19)Dada la función f (x) = ex y conocida su derivada f' (x) = ex. Halla la derivada de la función f −1 (x) = ln x.

Solución:

( ) ( )xexff

xfxln

11

))(('

1'

11 === −

−

20)Conocida la función f (x) = x5 y su derivada f' (x) = 5x4. Calcula la derivada de 51 x)x(f =−

Solución:

( ) ( )5 41

1

·5

1))(('

1'

xxffxf == −

−

21)Demuestra que todas las derivadas de orden para de la función

=2x

cos)x(f se anulan para el valor x = π.

Solución:

( )

−=22

1I xsenxf

( )

−=24

1II xoscxf

( )

+=28

1III xsenxf

( )

+=216

1IV xoscxf

...

En general, las derivadas de orden par son de la forma:

( ) constante. una es donde ,2

·2 kx

coskxf n

=

.02

pues , en todas anulan se tanto, Por =

ππ= cosx

22)Prueba que la función f (x) = ln cos x, verifica la siguiente igualdad:

6

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( ) ( )xfexf

2

1−=''

Solución:

( ) xtgxcosxsen

xf −=−='

( )xcos

xf2

1'' −=

f (x) = ln cos x → ef (x) = cos x

( ) .1

'' tanto, Por)(2 xfe

xf−=

7