CURVAS EN EL PLANO: CIRCUNFERENCIAS, ELIPSES,HIPERBOLAS Y PARABOLAS

En el espacio, si dos rectas se cortan en un punto V y una recta gira en torno a la otra, seobtiene una superficie conica. La recta que gira recibe el nombre de generatriz y la otra sedenomina eje de giro. El punto de interseccion de ambas rectas se llama vertice.

La interseccion de una superficie conica con un plano que no pasa por su vertice, da lugar alas curvas llamadas conicas. Las circunferencias son las curvas que se obtienen cortandouna superficie conica con un plano perpendicular al eje. Las elipses son las curvas que seobtiene cortando una superficie conica con un plano que no es paralelo a ninguna de susgeneratrices. Las hiperbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie conicacon un plano que es paralelo a dos de sus generatrices. Las parabolas son las curvas que seobtienen al cortar una superficie conica con un plano paralelo a una sola generatriz.

Nosotros vamos a estudiar estas curvas como lugares geometricos.

La CIRCUNFERENCIA de centro O y radio r > 0 es el lugar geometrico de los puntosdel plano, P , tales que la distancia a O es r. Es decir, d(P,O) = r.

Si el centro es O = (0, 0) y el radio es r > 0 la ecuacion cartesiana de la circunferenciaes x2 + y2 = r2, mientras que las ecuaciones parametricas son

{x = r cos αy = r sen α α ∈ [0, 2π]

En general, si el centro es O = (a, b) y el radio es r > 0 su ecuacion cartesiana es(x− a)2 + (y − b)2 = r2, mientras que las ecuaciones parametricas son

{x = a + r cos αy = b + r sen α α ∈ [0, 2π]

1. Halla la ecuacion de la circunferencia de centro (−3, 0) y que pasa por (3,−8).

2. Halla la ecuacion de la circunferencia que pasa por (3, 0), (−1, 0) y (0, 3).

3. Halla los valores de k para que la ecuacion x2 + y2 − 4x + 6y + k = 0 represente:

a) una circunferencia, b) un punto, c) ninguna lınea.

4. Sea considera la circunferencia C : x2 + y2 + 2x + 4y + 1 = 0. Determina los valores dek para que la recta y = 2x + k sea:

a) exterior a C, b) tangente a C, c) secante a C.

5. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2+y2+4x+6y−12 = 0en los puntos de abscisa 2.

6. Encuentra la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos (−1,−2) y (3, 2)cuyo centro esta en la recta y = −2x.

7. Halla la ecuacion de la circunferencia de centro (1, 2) y tangente a la recta 4x+3y = 35.Halla el punto de contacto.

8. Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la circunferencia x2 +y2 = 1 trazadasdesde el punto (2, 0).

9. Halla los puntos de interseccion de las dos circunferencias. x2 + y2 + 6x − 16 = 0,x2 + y2 − 6x− 6y + 8 = 0, y la longitud de la cuerda comun.

La ELIPSE es el lugar geometrico de los puntos P del plano tales que la suma de lasdistancias a dos puntos fijos F y F ′, llamados focos, es constante. Si llamamos 2a a esaconstante, los puntos P cumplen d(P, F ) + d(P, F ′) = 2a.

Consideremos la recta que une los focos F y F ′ y O su punto medio. En O situamosel origen de coordenadas y en la recta que une los focos el eje OX. A los puntos A y A′,interseccion de la elipse con la recta que pasa por F y F ′, se les llama vertices de la elipse.Observa que OA = a, ya que d(A,F ) + d(A, F ′) = 2a. Tambien se llama vertices a lospuntos B y B′ que son interseccion de la mediatriz del segmento FF ′ con la elipse. ComoB es un punto de la elipse BF ′ + BF = 2a y, como BF ′ = BF , se tiene que BF = a.Llamando b a OB y c a la mitad de la distancia entre los focos, se tiene que a2 = b2 + c2.Se llama excentricidad al cociente e = c

a. En la elipse e < 1. La ecuacion reducida de la

elipse respecto de sus ejes esx2

a2+

y2

b2= 1. Las ecuaciones parametricas de la elipse son:

{x = a cos αy = b sen α α ∈ [0, 2π]

1. Dada la elipse 4x2+9y2 = 900, encuentra la longitud de los semiejes y su excentricidad.

2. Inscribe un rectangulo de lados paralelos a los ejes y perımetro 12 en la elipse x2+2y2 =6

3. Dada la elipse 3x2+2y2 = 21, halla los valores de n para los cuales la recta x−2y−n = 0es:

a) secante a la elipse, b) tangente a la elipse, c) exterior a la elipse.

4. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la elipsex2

9+

y2

16= 1,

en el punto de abscisa 1 situado en el primer cuadrante.

5. Dada la elipse x2 + 4y2 = 100 y uno de sus puntos (6, 4), comprueba la propiedadgeometrica siguiente (valida en cada punto): la tangente y la normal en ese punto sonlas bisectrices de los angulos formados por los radios vectores del punto. [Observacion:√

127± 60√

3 = 10± 3√

3].

La HIPERBOLA es el lugar geometrico de los puntos P del plano tales que la diferenciade sus distancias a dos puntos fijos F y F ′, llamados focos, es constante. Si llamamos 2a aesa constante, son los puntos P tales que |d(P, F )− d(P, F ′)| = 2a.

Los puntos A y A′ se llaman vertices de la hiperbola. Consideremos el segmento queune F y F ′ y sea O su punto medio. En O situamos el origen de coordenadas y en la rectaque une los focos el eje OX: es decir para cierto c > 0, F = (c, 0), F ′ = (−c, 0). Se llamaexcentricidad al cociente e = c

a> 1. Si, ademas, para b > 0 se cumple que a2 + b2 = c2, la

ecuacion reducida de la hiperbola esx2

a2− y2

b2= 1. Las rectas y = ± b

ax se llaman asıntotas

de la hiperbola.Cuando a = b, la hiperbola se dice que es equilatera y su ecuacion reducida es x2 − y2 =

λ 6= 0. En este caso, las asıntotas son las rectas y = ±x y la ecuacion de la hiperbolaequilatera referida a sus asıntotas es xy = k, siendo k una constante.

1. Encuentra los vertices y los focos de la hiperbolax2

9− y2

16= 1.

2. Inscribe un triangulo equilatero en la hiperbola x2 − 7y2 = 4, que tenga un vertice enun vertice de la hiperbola.

3. Dada la hiperbola x2 − 4y2 = 36 y uno de sus puntos (10, 4), comprueba la propiedadgeometrica siguiente (valida en cada punto): la tangente y la normal en este punto sonlas bisectrices de los angulos formados por los radios vectores del punto. [Observacion:√

161± 60√

5 = 5√

5± 6].

4. Representa la familia de hiperbolas equilateras definida por la ecuacion xy = k, paralos valores de k > 0. Comparala con la familia xy = k′, con k′ < 0.

La PARABOLA es el lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de un puntofijo F llamado foco, y de una recta fija r, llamada directriz. Se llama eje de la parabola ala recta perpendicular a la directriz trazada desde el foco. Se llama vertice de la parabolaal punto interseccion de esta con el eje. Si la directriz es la recta x = −p

2y el foco es el punto

F = (p2, 0), la ecuacion de la parabola es y2 = 2px. La excentricidad de una parabola siempre

es 1.

1. Encuentra la ecuacion de la parabola que tiene por directriz la recta x = 5 y el focoen el punto F = (−4, 0)

2. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la parabola y2 = 8x en los puntosde abscisa x = 2.

3. Dada la parabola y2 = 4x, y uno de sus puntos P = (4, 4), comprueba la propiedadgeometrica (valida en cada punto): la tangente a la parabola en P es la bisectriz delangulo formado por la recta PF y la perpendicular por P a la directriz.