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Elipse

Un segundo tipo de cónica se denomina elipse y se define como sigue:

Definición

Una elipse es el conjunto de puntos ( , )x y en un plano tales que la

suma de las distancias de estos puntos a dos puntos fijos distintos

(focos) es constante como se ve en la siguiente figura 1:

Figura 1. Definición de elipse

Figura 2. Descripción de la elipse

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La recta que pasa por los focos intercepta la elipse en dos puntos

denominados vértices. La cuerda que une a los vértices es el eje

mayor y su punto medio es el centro de la elipse. La cuerda

perpendicular al eje mayor en el centro es el eje menor de la elipse,

como se muestra en la figura 2.

Para deducir la forma estándar de la ecuación de una elipse considere

la elipse de la siguiente figura 3:

Figura 3. La Trayectoria trazada por el lápiz es una elipse

Si los dos extremos de una longitud fija de una cuerda se sujetan a las

tachuelas y la cuerda se jala firmemente con un lápiz la trayectoria

trazada por el lápiz es una elipse.

Para deducir la forma estándar de la ecuación de una elipse

consideramos la elipse de la figura 4 con los puntos siguientes: centro

( , )h k , vértices ( , )h a k y focos ( , )h c k . Observe que el centro es el

punto medio del segmento que une los focos.

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Figura 4. Deducción de la ecuación de una elipse

La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los

focos es constante. A partir de un vértice esta suma constante es:

( ) ( ) 2

Longitud del eje mayor

a c a c a

O simplemente la longitud del eje mayor. Ahora si ( , )x y es cualquier

punto de la elipse, la suma de las distancias entre ( , )x y y los focos

también es 2a. Es decir:

2 22 2

2x h c y k x h c y k a

Finalmente en la figura 4, se observa que 2 2 2b a c . En

consecuencia, la ecuación de la elipse es:

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

( ) ( )

1

b x h a y k a b

x h y k

a b

Se obtiene una ecuación similar si el eje mayor es vertical. Los dos

resultados se resumen como sigue.

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Ecuación estándar de una elipse

La forma estándar de la ecuación de una elipse, con centro ,h k y

ejes mayor y menor con longitudes 2a y 2b , respectivamente, donde

0 b a es:

2 2

2 2

2 2

2 2

1

Eje mayor es horizontal

1

El eje mayor es vertical

x h y k

a b

x h y k

b a

Los focos están sobre el eje mayor a c unidades del centro, con 2 2 2c a b . Si el centro está en el origen (0,0) la ecuación adopta una

de las formas siguientes.

2 2

2 2

2 2

2 2

1

El eje mayor es horizontal

1

El eje mayor es vertical

x y

a b

x y

b a

En la figuras 5 y 6 se muestran dos orientaciones horizontal y vertical

para una elipse.

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Figura 5. El eje mayor es horizontal

Figura 6. El eje mayor es horizontal

Nota. Considere la ecuación de la elipse:

2 2

2 21

x h y k

a b

Si a b entonces la ecuación se puede rescribir como:

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2 2 2x h y k a , la forma estándar de la ecuación de una

circunferencia con radio r a . Geométricamente, si en una elipse

a b los ejes mayor y menor tienen longitudes iguales, por tanto, la

gráfica es una circunferencia.

Excentricidad

Una de las razones por lo que fue difícil para los primeros astrónomos

detectar que las orbitas de los planetas son elipses es que los focos

de las orbitas planetarias están, relativamente, cercanos a sus centros

y, por lo tanto, las orbitas son casi circulares. Para medir que tan

alargada esta una elipse, se emplea el concepto de excentricidad.

Definición de excentricidad

La excentricidad e de una elipse esta dada por la razón:

ce

a

Observe que 0 1e para cada elipse

La excentricidad se emplea para describir la forma de una elipse. Los

focos de una elipse están ubicados en el eje mayor, entre los vértices

y el centro.

Entonces

0 c a

Para una elipse que es casi circular, los focos están cerca del centro y

la razón /c a es pequeña, como se muestra en la siguiente figura 7.

Por otro lado, para una elipse alargada, los focos están cerca de los

vértices y la razón /c a se acerca a 1, como se muestra en la figura 8.

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Figura 7. Elipse casi circular

Figura 8. Elipse no circular

x

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La orbita de la Luna tiene excentricidad 0.0549e y las

excentricidades de las nueve orbitas planetarias son como sigue:

Tabla 1. Excentricidades de las nueve orbitas planetarias

Mercurio 0.2056e

Venus 0.0068e

Tierra 0.0167e

Marte 0.0934e

Júpiter 0.0484e

Saturno 0.0542e

Urano 0.0472e

Neptuno 0.0086e

Plutón 0.2488e

Problemas propuestos

Problema 1

Encuentre la ecuación de la elipse con vértices ( 5,0) y excentricidad

3

5e

Planteamiento del problema

Vértices: , ( 5,0) 5h a k a

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Excentricidad:

2 2 2

3 33

5 5

25 9 16

ce c a

a

b a c

Centro:

2 2

2 2

2 2

(0,0) ( , )

1

125 16

h k

x h y k

a b

x y

Tecnología

Se puede emplear algún software matemático en este caso

empleamos el software matemático de la página:

http://www.wolframalpha.com

Y obtenemos:

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Aplicación

Las elipses tienen muchos usos prácticos y estéticos. Por ejemplo, los

engranes de máquinas, los arcos de soporte y los diseños acústicos,

pueden incluir formas elípticas. Las orbitas de satélites y planetas son

elipses.

Para Modelarlo

Problema 2

Orbita de un cometa. El cometa Halley tiene orbita elíptica con el Sol

en un foco. La excentricidad de la orbita es aproximadamente 0.067.

La longitud del eje mayor de la orbita es casi 35.88 unidades

astronómicas (una unidad astronómica es cercana a 149.5 millones de

kilómetros).

a. Encuentre la ecuación de la orbita. Coloque el centro de la orbita

en el origen y el eje mayor en el eje x.

b. Emplee un graficador para trazar la gráfica de la ecuación de la

orbita.

c. Encuentre las distancias mayor (afelio) y menor (perihelio) desde

el centro del Sol hasta el centro del cometa.

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Planteamiento del Problema

Inciso a

2 2 2

2 2

2 2

2 2

35.8817.94

2

17.35

20.82

1

1321.84 20.82

a

c ea

b a c

x y

a b

x y

Inciso b

Se puede emplear algún software matemático en este caso

empleamos el software matemático de la página:

http://www.wolframalpha.com

Para obtener la siguiente gráfica

Inciso c

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El centro del Sol se encuentra en un foco de la órbita, 17.35 unidades

astronómicas del centro de la órbita

Apogeo 1

17.35 35.88 35.29 2

unidades astronomicas

Perigeo 1

35.88 17.35 0.59 2

unidades astronomicas

Problema 3

Identifique la cónica como una circunferencia o una elipse. Después

encuentre el centro, los radios, los vértices, los focos y la excentricidad

de la cónica (si es aplicable y trace su gráfica).

2 29 25 36 50 60 0x y x y

Planteamiento del problema

2 2

2 2

2 2

9( 4 4) 25( 2 1) 60 36 25

9( 2) 25( 1) 1

2 11

1/ 9 1/ 25

x x y y

x y

x y

Elipse

1 1 4, ,

3 5 15a b c

Centro: , 2,1h k

Vértices: 5 7

, ,1 , ,13 3

h a k

Focos: 34 26

, ,1 , ,115 15

h c k

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Excentricidad: 4

5

ce e

a

Gráfica: