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Facultad de Ingeniería - UNA
Clase 10
Flexión oblicua: Tensiones. Fórmula referida a: los ejes principales de inercia, a dos ejes cualesquiera baricéntricos, a un sistema de ejes baricéntricos uno de ellos coincidente con la línea neutra, sistema de ejes baricéntricos uno de ellos coincidente con la carga. Problemas principales. Sección más conveniente. Flexión oblicua: Línea elástica plana – Línea elástica alabeada.
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Flexión desviada
+
Plano de carga
P5P4P3P2P1
DMF +DMF
q
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
+
-P
q
DMF
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
My
a
z
zy
y
c
0
P
zI
My
I
M
y
y
z
zc
zI
Mseny
I
M
yzc
cos
P Pcosa
Psena
z2
y2
(z1;y1)
Flexión oblicua: Método de superposición
Zona doblemente traccionada
Zona traccionada debido a My
Zona traccionada debido a Mz
Zona doblemente comprimidaMz
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
a
z
zy
y
c
0
b
L
N
P
y1m
ax
y2m
ax
P Pcosa
Psena
z2
y2
(z1;y1)
0 zI
My
I
M
y
y
z
z
Posición de la Línea Neutra
0cos
zI
Mseny
I
M
yz
y
z
I
Isen
z
y
cos
y
z
I
Itgtg z
I
Itgy
y
z
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
a
z
zy
y
-
+
c
0
b
L
N
P
s1max
s2max
y1m
ax
y2m
ax
P Pcosa
Psena
z2
y2
(z1;y1)
Tensiones máximas
y
z
I
Itgtg
22max2z
I
My
I
M
y
y
z
z
11max1z
I
My
I
M
y
y
z
z
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
dx
L
N
A
y
A
z
A
dAzM
dAyM
dA
..
..
0.
a)
b) Observación de laboratorio
dxzcybadxx 1111
c) Si se cumple la ley de Hooke
zcyba 1111
zEcyEbEa
E
x
x
111
.
dx
FLEXIÓN OBLICUA – Método General
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
A
y
A
z
A
dAzM
dAyM
dA
..
..
0.
c) Reemplazando en (a)
0A
dAczbyaE
A
z dAyczbyaEM .
A
y dAzczbyaEM .
a)
)..( zyzz IcIbEM
)..( yzyy IcIbEM
0..... gg zAcyAbAa
0 AAA
zdAcydAbdAa
)( 2 A AA
y dAzcdAyzbzdAaEM
)( 2 A AA
z dAzycdAybydAaEM
0a
z
z
EI
Mb
y
y
EI
Mc
zI
My
I
M
y
y
z
zx
)( czbyaEx
Si el par de ejes centroidales es además un eje principal: Izy; yg; zg son iguales a cero. El área A no puede ser cero.
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VERIFICACION DE TENSIONES
ty
y
z
zt
cy
z
z
yc
I
zM
I
yM
I
zM
I
yM
22
11
..
..
a
s1m
ax
s2m
ax
1
2
Facultad de Ingeniería - UNA
Línea elástica plana
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Flexión desviada
+
Plano de carga
P5P4P3P2P1
DMF +DMF
q
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IE
senM
dx
d
IE
M
dx
d
.
.
.
cos.
2
2
2
2
a
Plano de carga
M
L
N
n
h
Dir
ecci
ón
del
des
pla
zam
ien
to
b
Dn = desplazamiento vertical
Dh
D tota
l
90º
Dtotal = Dn cos b + Dh sen b
0
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¿Porqué el desplazamiento es perpendicular a la L.N.?
=n
=hEIn
f(x). cosa
f(x). sena
EIh
h n
= tg a = - tg bIhIn
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
a
Plano de carga
M
L
N
m
h
Dir
ecci
ón
del
des
pla
zam
ient
o
b
Dv = desplazamiento vertical
Dh
D tota
l
90º
Dv = Dt cos b
LN
N
IE
M
dx
d
.2
2
uDh = Dt sen b
Mn = M cosgg
0
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Ejemplo: (Elástica plana) Calcular las dimensiones mas conveniente de la viga de la
figura Determinar la posición de la L.N. de la sección más
peligrosa y La magnitud y dirección del desplazamiento del extremo
libre
2a a
P = 150 kg
h
b
= a 30ºP
y
z
Datos¨a = 1,00 m
s = 100 kg/cm2
E = 105 kg/cm2
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
bh2
6
My
Mz
M cosa
M sena
1
tga
hb2
6
Dimensión más conveniente
s = +
My
Mz
Wz
Wy
Wy
Mz
Wz
My
=óptimo =
bh2
6=
h
b
= = = 1,73 =h
b
h
b
= a30ºy
z
s = Wz
2 Mymax Mymax = M cos = a 300 . 3/2 = 260 kgm
Wz = = = = 520 cm32 Mymax 52.000
s 100
De la tabla de W: 539 7” x 4” ; relación = 1,75 7
4
2a a
P = 150 kg
-M = 300 kgcm DMF
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W =bh2/6 “b” y “h” en pulgadas
h b
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3 133 207 300 407 520 667 819 992 1186
4 177 274 398 539 698 884 1092 1314 1571
5 220 341 495 671 870 1100 1365 1636 1956
6 265 411 597 808 1051 1325 1639 1971 2357
7 308 478 695 940 1203 1542 1912 2283 2733
8 352 544 792 1072 1393 1749 2185 2616 3133
9 392 612 890 1203 1565 1975 2458 2935 3500
10 440 683 991 1341 1744 2201 2731 3272 3912
11 482 747 1085 1468 1909 2408 3004 3581 4282
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bh3
12
hb3
12
tgb = tga = tgaIy
Iz
=
b60º
y
z0
b
L
hN
= a30º
tgb = tga =b2 42 3
h2 72 3
tgb = 1,7681 b = 60º
Posición de la Línea Neutra
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre =
b
60º
y
z0
b
L
h
N
= a30º
b = 60º
ddy
dz
2a a
P = 150 kg
M = 300 -
Mz = M sena
-
-
EIy dz = ½ Mz 2a ( 2/3 . 2a) +a
dz = 2,22 cm
EIz dy = ½ My 2a ( 2/3 . 2a) +a
My = M cosa
dy = 1,26 cm
d = dz senb + dy cosb
d = 2,55 cm
dz Iz
dy Iy
= tg = a tgb
Cálculo del desplazamiento
= b 90º
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Línea elástica alabeada
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
+
-P
q
DMF
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
MM2
P2
P1
222
2
2
2
2
.
.
total
v
v
u
u
vu
IE
M
dx
ud
IE
M
dx
vd
0
n
u
n
Mu = M cos a
Mv = M sen a
1
1
2
2
m m
n
n
u
a
n
u
Dtotal
u
M1
MM2
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
222
2
2
2
2
.
.
total
v
v
u
u
vu
IE
M
dx
ud
IE
M
dx
vd
0
n
u
n
M
Mu = M cos a
Mv = M sen a
1
1
2
2
m m
n
n
q
u
a
n
u
Dtotal
Para calcular Dvertical
a lo largo de la elástica
d2n Mu cosq Mv senq
u
dx2 Eiu EIv
= +
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EIz dv = ( 2/3 . ½ L + ½ L )
P2
P1
½ L ½ L½ P2L
P1L
Ejemplo: Calcular el desplaza-miento resultante del extremo libre
(Elástica alabeada)
½ P2L . ½½ L .
EIy dh = P1L . ½ L . 2/3 L
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P2
P1
½ L ½ L
dh
dv
dt
Desplazamiento del extremo libre
d2t = d2
v + d2h
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Deflexión de una viga sometida a flexión
asimétrica
En el análisis anterior se supuso que las deflexiones eran causadas por flexión respecto de uno de los ejes principales de una viga. Sin embargo, si se tiene flexión asimétrica, las deflexiones se calculan en cada uno de los planos principales y las deflexiones halladas se suman vectorialmente. Un ejemplo se muestra en la figura para una sección Z. Los ejes “y” y “z” son aquí los ejes principales que pasan por el centroide, así como por el centro de corte de la sección transversal. Una deflexión positiva v1 se muestra para la deflexión de la viga que tiene lugar en el plano “xy” y, similarmente w1 corresponde a una deflexión en el plano “xz”. Su suma vectorial AA´ es la deflexión total de la viga.
DEFLEXIONES EN FLEXIÓN ASIMÉTRICA1/2
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Deflexión de una viga sometida a flexión
asimétrica
Para prevenir la torsión, las fuerzas aplicadas deben actuar en el centro de corte de la sección transversal. Si no, los esfuerzos y deformaciones torsionantes tratados antes deben también ser considerados.
Si las vigas tienen magnitudes considerablemente diferentes a sus momentos de inercia con respecto a los dos ejes principales, son muy sensitivas a la alineación de la carga. Como se ve en la figura, incluso una pequeña inclinación de la fuerza aplicada respecto de la vertical causa grandes desplazamientos laterales (y también altos esfuerzos).
DEFLEXIONES EN FLEXIÓN ASIMÉTRICA2/2