5. FLEXION

5.1 INTRODUCCION.

Los elementos sometidos a cargas de flexión reciben el nombre de vigas. Una viga es un elemento

estructural largo sobre el que actúan cargas perpendiculares al eje (estas cargas pueden ser

fuerzas o momentos). La barra de las pesas de la figura 5.1 puede modelarse como una viga, ya

que su longitud es mucho mayor que su anchura y espesor y tanto el peso de las ruedas que se

está levantando como las reacciones en los apoyos, (las manos de la pesista) son perpendiculares

al eje longitudinal de la barra.

Figura 5.1 Barra sometida a flexión.

Los elementos horizontales del puente grúa mostrado en la figura 5.2 también se modelan como

vigas, que transmiten la acción del peso que se está levantando a las columnas verticales en las

que se apoyan.

Las vigas son elementos estructurales muy comunes y constituyen las estructuras de soporte en

autos, aviones y edificios.

5.2 CLASIFICACION DE LAS VIGAS.

Una viga que está sostenida en sus dos extremos por un pasador, rodillo o superficie lisa fig. 5.3a

y que tiene un solo claro se denomina viga simple. Si uno o ambos extremos de la viga se extiende

más allá de sus apoyos se dice que es una viga simple con uno o dos voladizos fig. 5.3b. Una viga

en cantiliver es una en la cual un extremo está empotrado en un muro o en otro apoyo de modo

Fig. 5.2 Vigas en un puente grua.

que el extremo empotrado no puede moverse transversal mente ni rotar fig. 5.3c. Una viga con

más de dos apoyos simples se llama una viga continua fig. 5.3d.

Fig. 5.3a Viga simple.

Fig. 5.3b Viga simple con dos voladizos.

Fig. 5.3c Viga empotrada o cantiliver

Fig. 5.3d Viga Continua

5.3 PANORAMA EN EL ANALISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN VIGAS.

En el análisis de una viga se parte de la viga con sus apoyos y la carga externa aplicada, Fig. 5.4

Fig. 5.4 Inicio del análisis de una viga.

Luego se hace le diagrama de cuerpo libre para el análisis estático, teniendo en cuenta el tipo de

viga que se tenga, y se determinan las reacciones, para así completar la carga externa Fig. 5.5.

Fig. 5.5 Diagrama de cuerpo libre.

Seguidamente se pasa un corte por la sección de interés que se quiera analizar y con las

ecuaciones de equilibrio para uno cualquiera de los lados del corte se determinan las fuerzas

internas necesarias para mantener el equilibrio. En el caso de la flexión se observa que para

mantener el equilibrio se necesita una fuerza interna vertical V (La cual es una fuerza cortante ya

que es paralela a la sección transversal), y un momento interno M (El cual es un momento flector

ya que su dirección es perpendicular al eje longitudinal de la viga). Fig. 5.6

Fig. 5.6 Carga interna en una sección de interés.

Habiendo determinado los valores de estas cargas internas se procede al cálculo de los efectos

internos que estas producen; como ya se sabe estos efectos internos son dos: esfuerzos y

deformaciones.

ESFUERZOS.

Como en este caso hay dos cargas internas entonces habrá dos esfuerzos. Como V es una fuerza

cortante es obvio que ésta producirá esfuerzos cortantes τ. Por su parte el momento M es el

responsable de que la viga tienda a doblarse, esto hace que las fibras superiores se

compriman y las inferiores se tensionen es decir el momento produce esfuerzos normales

σ. La curva que toma el eje de la viga al flectarse se llama la elástica de la viga. Fig. 5.7

Fig. 5.7. Viga flectada.

DEFORMACIONES.

La fig. 5.8 representa el diagrama de deformaciones en flexión, la cual muestra la posición inicial

del eje de la viga (línea horizontal) Y la posición final después de flectarse (elástica). Al observar lo

ocurrido al punto Q ubicado sobre el eje de la viga en la posición inicial, se ve que este se desplaza

al punto Q’ ubicado sobre la elástica (posición final). Comparando los dos punto Q Y Q’ se

observan dos cosas: 1. Al trazar la tangente en Q (posición inicial) se ve que ésta es horizontal;

mientras al trazar la tangente en Q’ (sobre la elástica) se ve que esta tiene un inclinación, esto es

que el punto sufrió una rotación θQ (La cual se llama rotación absoluta de Q). 2. El punto Q al

pasar de Q a Q’ sufrió un desplazamiento YQ La cual se llama flecha o deflexión de Q.

En resumen en el análisis de flexión contempla:

CRAGA EXTERNA CARGA INTERNA. EFECTOS INTERNOS

F y M al eje V y Mi Esfuerzos: τ y σ

Deformaciones: θ y Y

5.4 DETERMINACION DE LA FUERZA CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR.

METODO DE LAS SECCIONES.

Como se mencionó en el apartado 5.3 el valor de la fuerza cortante V y del momento flector M

en una determinada sección a lo largo de la viga se puede determinar por medio de las ecuaciones

de equilibrio estático haciendo un corte en la sección de interés y aplicando las ecuaciones de

equilibrio a uno cualquiera de los dos tramos que se forman. Este método es comúnmente

conocido como el método de las secciones y se utiliza normalmente cuando se desea hacer el

análisis en un punto específico determinado de la viga; tiene la desventaja de que hay que repetir

el mismo procedimiento tantas veces como puntos se requiera analizar.

Ejemplo 5.1 : Para la viga de la figura 5.5 determinar la fuerza cortante interna V y el momento

flector interno M para una sección Q ubicada a una distancia x=L/4 del apoyo izquierdo. Siendo L

la longitud total de la viga y la carga P ubicada en el punto medio.

Fig. 5.9 corte de la viga para determinar la carga interna

Haciendo un corte de la viga a la distancia x=L/4 Y estableciendo las ecuaciones de equilibrio en

el tramo izquierdo se tiene:

0y 02 2

P PV V

0QM .

. 0 . 02 2 4 8

P P L P Lx M M M

CONVENCION DE SIGNOS PARA LAS VIGAS.

Antes de presentar el otro método para determinar la fuerza cortante y el momento flector como

funciones de x y trazar sus respectivas gráficas (método de los diagramas de corte y momento),

es necesario primero establecer una convención de signos que permita definir fuerzas cortantes y

momentos flectores internos positivos y negativos. Aunque la selección de una convención de

signos es arbitraria, aquí se usará la frecuentemente utilizada en la práctica de la ingeniería y

mostrada en la figura 5.10 y 5.11. La convención es la siguiente: Las cargas externas se

consideran positivas si su sentido es hacia arriba; Las opuestas se consideran negativas.

Las fuerzas cortantes internas V son positivas si generan una rotación horaria del segmento sobre

el cual actúa. Por ejemplo en la fig. 5.10ª. la fuerza cortante V en el lado izquierdo genera una

rotación horaria del tramo izquierdo y de igual manera la fuerza cortante V en el lado derecho

genera una rotación horaria del tramo derecho por lo tanto el cortante mostrado en esa sección

visto por la izquierda o por la derecha es positivo, obsérvese que esta convención no tiene nada

que ver con el sentido de la fuerza de corte V respecto del eje cartesiano Y. Las fuerzas de corte

contrarias a estas se consideran negativas.

V(+)

a)

V(-)

b)

Fig. 5.10 Convención de signos para la fuerza cortante V

Los momentos internos M se consideran positivos si generan esfuerzos normales de compresión

en las fibras superiores (Fib. 5.11ª) y negativos en caso contrario. (Fig. 5.11b), obsérvese que esta

convención no tiene nada que ver con el sentido del vector de M respecto del eje cartesiano Z.

M(+)

a)

M(-)

b)

Fig. 5.11 Convención de signos para el momento flector.

METODO GRAFICO: DIAGRAMA DE CORTANTE Y MOMENTO.

En los casos en que una viga está sometida a varias fuerzas concentradas y distribuidas, además

de momentos externos aplicados, y si se requiere (como generalmente sucede) hacer el análisis en

la sección crítica y en otras secciones; el método de las secciones resulta muy tedioso y poco útil.

Ahora se estudiará un método más simple que permite construir los diagramas de fuerza cortante

y momento flector basado en dos relaciones diferenciales que existen entre la carga distribuida, la

fuerza cortante y el momento flector.

REGIONES DE CARGA DISTRIBUIDA.

Considérese la viga mostrada en la fig. 5.12ª que está sometida a una carga arbitraria. En la fig.

5.12b se muestra un diagrama de cuerpo libre para un pequeño segmento ∆x , como este

segmento se ha escogido en una posición x a lo largo de la viga donde no existe una fuerza o un

momento concentrado, los resultados que se obtengan no serán aplicables en esos puntos de

carga concentrada.

El cortante y el momento flector en la cara izquierda del segmento ∆x , se denotan por V y M

respectivamente, y se supondrán positivos; además, tanto la fuerza como el momento internos

resultantes que actúan sobre la cara derecha deben incrementarse por una pequeña cantidad

finita para mantener el segmento en equilibrio. La carga distribuida ha sido reemplazada por una

fuerza concentrada w(x) .∆x que actúa a una distancia k. ∆x del extremo derecho, donde x<k<1,

(por ejemplo si w(x) es uniforme, k=½). Aplicando las ecuaciones de equilibrio al segmento se tiene:

0y : ( ). ( ) 0x xV w V V

( ).x xV w

0OM ( ). . .( . ) ( ) 0x x x xV M w k M M

2

( ). . .( )x x xM V w k

Dividiendo entre ∆x y tomando el límite cuando ∆x → 0 se obtiene:

( )x

dvw

dx 5.1

( )x

dMV

dx 5.2

La ecuación 5.1 expresa que la pendiente del diagrama de fuerza cortante en cualquier punto es

igual a la intensidad de la carga distribuida en dicho punto.

Similarmente, la ecuación 5.2 expresa que la pendiente del diagrama de momento flector en

cualquier punto es igual a la intensidad de la fuerza cortante en dicho punto.

Estas dos ecuaciones proporcionan un medio adecuado para trazar rápidamente los diagramas de

fuerza cortante y momento flector; por ejemplo considérese la viga de la fig. 5.13ª. en la cual la

carga distribuida es negativa y va desde 0 hasta wB. (En este texto, cualquier carga distribuida que

vaya dirigida hacia abajo se considera negativa y en su gráfica no se colocará ninguna indicación,

sólo si va dirigida hacia arriba se indicará en su gráfica con flechas dirigidas en dicho sentido). Por

lo tanto el diagrama de fuerza cortante será una curva de pendiente negativa, dicha pendiente va

variando con x desde 0 en el punto A hasta wB en el punto B, en la fig. 5.13c, se muestran las

pendientes específicas del diagrama de fuerza cortante en distintos puntos.

De manera similar para trazar el diagrama de momento flector teniendo en cuenta la ec. 5.2, se

observa que el diagrama de fuerza cortante de la fig. 5.13c, comienza en +VA , decrece a 0 y luego

se vuelve negativa, decreciendo hasta VB, por tanto el diagrama de momento flector tendrá

entonces una pendiente inicial de +VA que decrece hasta 0 en el punto Q, luego se vuelve negativa

y decrece hasta VB en el punto B, como se muestra en la fig. 5.13d, en la cual se muestran

pendientes específicas del diagrama de momentos en distintos puntos.

Las ecuaciones 5.1 y 5.2 pueden escribirse en la forma dV = w(x).dx y dM = V(x).dx, haciendo la

integral en estas ecuaciones entre dos puntos cualesquiera 1 y 2 se puede escribir:

2

1

2 1 ( ) .

x

x

x

V V w dx y

2

1

2

( )

1

.

xM

x

M x

dM V dx

Las cual quedan:

2

1

2 1 ( ).

x

x

x

V V w dx 5.3

2

1

2 1 ( ).

x

x

x

M M V dx 5.4

Con las ecuaciones 5.3 y 5.4 y conociendo la función w(x) de la carga se pueden hallar las

funciones de V(x) y M(x) y con ellas hallar el cortante y momento para cualquier valor de x y trazar

sus correspondientes diagramas. Dado que w(x) debe integrarse para obtener V(x), si w(x) es una

curva de grado n, entonces V(x), será una curva de grado n+1 y M(x), será una curva de grado

n+2; por ejemplo, si w(x) es uniforme, entonces el cortante será lineal y el momento será

parabólico. O si no hay cargas distribuidas sobre la viga en un determinado tramo de esta,

entonces, la pendiente del cortante será 0 y el valor del cortante se mantendrá constante en

dicho tramo y el momento será lineal.

Obsérvese además que w(x).dx representa el diferencial de área del diagrama de carga distribuida

y que V(x).dx representa el diferencial de área del diagrama de fuerza cortante por tanto las

ecuaciones 5.3 y 5.4 quedan:

2

1

2 1 ( ).

x

x w

x

V V w dx dA

2

1

2 1 ( ).

x

x v

x

M M V dx dA

Integrando se tiene:

2 1

1 2

V VwA

5.5

2 1

1 2

M MvA

5.6

Las ecuaciones 5.5 y 5.6 permiten la construcción de los diagramas de cortante y de momento

sin necesidad de hacer las integrales ya que por lo general las áreas bajo estas curvas son

conocidas y fáciles de hallar.

La interpretación de estas ecuaciones es como sigue.

La fuerza cortante en cualquier punto 2 es igual al valor de la fuerza cortante en el punto anterior

1, más el área bajo la carga distribuida entre los dos puntos.

El momento flector en cualquier punto 2 es igual al momento flector en el punto anterior 1, más

el área bajo la curva del diagrama de cortante entre los dos puntos.

De esta manera se pueden hallar los valores de la fuerza cortante y del momento flector punto a

punto desde el extremo izquierdo de la viga hasta el extremo derecho.

Para la aplicación de las ecuaciones 5.5 y 5.6 es necesario conocer el valor del cortante V y del

momento M en un primer punto, es decir en el extremo izquierdo de la viga; estos dos valores se

hallan fácilmente por el método de las secciones, haciendo un corte inmediatamente después del

extremo izquierdo (es decir en A) y con las ecuaciones de equilibrio estático para el tramo

izquierdo hallar los valores de VA y MA. (Fig. 5.14).

0y 0A AR V

A AV R Signo de VA (+)

0AM

.0 0A AR Mi

0AMi

Obsérvese que si en A hubiese un momento externo aplicado M entonces MiA = M

De lo anterior, puede deducirse entonces, que el primer cortante (en A) es igual en valor y en

signo a la carga concentrada externa aplicada en dicho punto; y que el valor del momento interno

es igual al valor del momento externo aplicado en dicho punto y su signo de acuerdo con la

convención anteriormente establecida. Nótese que si la viga está en el plano x-y, las fuerzas

cortantes van en la dirección del eje y, y la dirección del vector del momento flector será la del eje

z, se dice entonces que lo cortantes son Vy y los momentos son Mz.

EJEMPLO. 5.1 Para la viga empotrada de la figura 5.15, trace los diagramas de cortante,

momento y la elástica.

Procedimiento.

Hacer el diagrama de cuerpo libre y con las ecuaciones de equilibrio determinar las reacciones en

el empotramiento.

0Fy 0BR P BR P

+ 0BM . 0BM P L .BM P L .

Diagrama de cortante:

Teniendo en cuenta lo anteriormente dicho, el cortante empieza en el extremo izquierdo

A, con el valor de la carga concentrada que haya en ese punto y conforme a la convención

de signos anteriormente establecida el cortante en dicho punto en este caso será

negativo, por eso este diagrama empieza con un valor de -P. Al trazar el diagrama de

corte el siguiente punto a examinar será aquel en el que la fuerza externa distribuida

tenga un cambio o donde exista una carga concentrada externa aplicada, en este punto

ese es el punto B. De acuerdo con la ecuación 5.5 el cortante en B es: B A

A B

V VwA

Como en este caso : 0A B

wA

VA=VB=-P Además se sabe que la pendiente a la curva

del cortante en cualquier punto es igual al valor de la carga distribuida en dicho punto,

como en este caso no hay carga distribuida en toda la viga entonces la pendiente es 0, por

lo tanto el cortante permanece constante desde A hasta B en un valor de –P, al llegar al

punto B, se encuentra la reacción RB cuyo valor es P por tanto el diagrama que está en –P

Sube P y cierra. Todo diagrama debe cerrar, de lo contrario significa que la solución de

estática está mal, o que se cometió algún error en el cálculo de los valores del cortante.

Diagrama de momentos.

De igual manera, teniendo en cuenta lo explicado anteriormente, el diagrama de momentos

empieza en el extremo izquierdo de la viga A, con el valor del momento externo concentrado en

dicho punto y conforme a la convención de signos establecida anteriormente para el momento.

Así que en este caso el diagrama de momentos empieza en 0.

Al trazar el diagrama de momentos, el siguiente punto a considerar es aquel donde se registre un

cambio en el cortante o donde exista un momento externo aplicado, en este caso se va

directamente al punto B. Para calcular el valor del momento en este punto se tiene en cuenta la

ecuación 5.6 iB iA

A B

M MvA

_ _ : 0 ( . )iBEn este caso M P L

.iBM P L

Se sabe que la pendiente a la curva del momento en cualquier punto es igual al valor del cortante

en dicho punto; en este caso ese valor es constante de –P, por lo tanto la gráfica del momento es

una recta que une el punto 0 en A hasta el punto –P.L en B, con pendiente -P, como se muestra

en la fig. 5.15; al llegar al punto B se encuentra el valor de la reacción momento MB cuyo valor es

P.L y con el sentido mostrado en el diagrama de cuerpo libre de la fig. 5.15, el cual según la

convención de signos establecida es positivo, de modo que en B el diagrama parte de –P.L y sube

el valor P.L y por lo tanto queda en 0 es decir el diagrama cierra.

TRAZADO DE LA ELASTICA.

En las vigas empotradas, la elástica se traza a partir del empotramiento (B) y dirigida hacia el

otrextremo (A). En el empotramiento en B se generan dos reacciones; una fuerza y un momento

flector. La fuerza se encarga de restringir el desplazamiento del punto B de la viga, por tanto la

flecha o deflexión de dicho punto es 0. El momento flector se encarga de restringir la rotación de

la viga en ese punto; por tanto la pendiente a la elástica en B (o la rotación en dicho punto es:

θB) = 0; sabiendo esto y notando que el diagrama de momentos es negativo desde A hasta B, se

traza la curva de deflexión de la viga (elástica), partiendo de 0 y con pendiente 0 en B y flectando

hacia abajo y con la concavidad hacia abajo como se muestra en la fig. 5.15.

EJEMPLO. 5.2

Para la viga de la figura 5.16ª, trazar los diagramas de cortante, momento flector y la

elástica.

ESTÁTICA.

En la fig. 5.16b, se muestra el diagrama de cuerpo libre (D.C.L) de la viga para la aplicación

de las ecuaciones de equilibrio:

0Fy RA+w.a-w.a=0 RA=0

0AM -MA-w.a.½a+w.a.2a=0 MA=-1.5wa²

El signo negativo de MA indica que su sentido es al contrario del supuesto en D.C.L.

Habiendo resuelto la estática del problema, ahora se procede al trazado de los diagramas.

DIAGRAMAS.

Para el trazado de los diagramas, se procede ordenadamente, colocando una figura

debajo de la otra con el fin de poder visualizar bien los valores y los cambios de cada uno a

lo largo de la viga y cómo influyen estos cambios en el trazado del diagrama que le sigue.

Primero se coloca el dibujo de la viga con sus apoyos y sus cargas externas. Luego se

coloca el diagrama de cuerpo libre para el análisis de resistencia. Nótese que este D.C.L

difiere un poco del D.C.L de la estática. Las diferencias son: 1). Las reacciones se colocan

con su valor y sentidos correctos, de acuerdo con los resultados obtenidos en la estática.

2). Las fuerzas distribuidas hay que dibujarlas tal como son, sin concentrarlas como en la

estática. Tal como se muestra en la fig. 5.17.

DIAGRAMA DE CORTANTE:

Como la reacción en A resultó ser 0, entonces el cortante en ese punto es 0, (VA=0).

Observando el D.C.L (fig. 5.17), se ve que en B ocurre un cambio en la fuerza externa, por

lo cual este debe ser el siguiente punto a evaluar. De la ecuación 5.5, se deduce que:

B A

A B

V VwA

Reemplazando valores se tiene: VB=0+(-w.a) VB=-w.a

El signo negativo del cortante es debido a que la carga distribuida va hacia abajo. Por otra

parte, como la pendiente a la gráfica del cortante en cualquier punto es el valor de la

carga en dicho punto y como en este caso entre A y B, la carga distribuida es uniforme

esto significa que la pendiente del cortante entre estos puntos es constante y por lo tanto

la gráfica del corte es una línea recta entre los valores 0 en A y –w.a en B.

El siguiente punto a evaluar es C debido al cambio producido ahí en la fuerza externa;

como entre los puntos B y C no existe carga distribuida, entonces la pendiente del

cortante entre estos dos puntos es 0 y por lo tanto el valor del cortante permanece

constante en –w.a. Al llegar al punto C con este valor, se encuentra la fuerza externa

w.a aplicada hacia arriba, con lo cual el diagrama regresa a 0, es decir cierra.

DIAGRAMA DE MOMENTOS.

De igual manera, teniendo en cuenta lo explicado anteriormente, el diagrama de momentos

empieza en el extremo izquierdo de la viga A, con el valor del momento externo concentrado en

dicho punto y conforme a la convención de signos establecida anteriormente para el momento.

Así que en este caso el diagrama de momentos empieza en: MiA= 1.5w.a², con signo positivo ya

que dicho momento producirá compresión en las fibras superiores de cualquier sección a la

derecha de A.

Al trazar el diagrama de momentos, el siguiente punto a considerar es aquel donde se registre un

cambio en el cortante o donde exista un momento externo aplicado, en este caso se va al punto

B, debido al cambio que se presenta en el cortante en dicho punto. Para calcular el valor del

momento interno en este punto se tiene en cuenta la ecuación 5.6 iB iA

A B

M MvA

2 .( . )_ _ : 1.5 .

2iB

a w aEn este caso M w a

2.iBM wa

Se sabe que la pendiente a la curva del momento en cualquier punto es igual al valor del cortante

en dicho punto; en este caso ese valor va variando linealmente con x, por lo tanto la gráfica del

momento es una parábola que une el punto 1.5wa2 en A hasta el punto wa2 en B, como se

muestra en la fig. 5.17; entre los puntos B y C, se ve en el diagrama de cortante que este

permanece constante por lo tanto la pendiente del momento entre B y C es esa constante lo cual

hace que el diagrama de momentos entre los dos puntos sea lineal. Aplicando nuevamente la

ecuación 5.6 se calcula el valor del momento en C:

iC iB

B C

M MvA

2. .( . ) 0iCM wa a wa Con lo cual el diagrama cierra.

TRAZADO DE LA ELASTICA.

En el empotramiento en A se generan dos reacciones; una fuerza y un momento flector. La

fuerza se encarga de restringir el desplazamiento del punto A de la viga, por tanto la flecha o

deflexión de dicho punto es 0. El momento flector se encarga de restringir la rotación de la viga en

ese punto; por tanto la pendiente a la elástica en A (o la rotación en dicho punto θA) es de 0;

sabiendo esto y notando que el diagrama de momentos es positivo desde A hasta C, se traza la

curva de deflexión de la viga (elástica), partiendo de 0 y con pendiente 0 en A y flectando hacia

arriba y con la concavidad hacia arriba como se muestra en la fig. 5.17.

EJEMPLO. 5.3

Para la viga de la figura 5.18ª, trazar los diagramas de cortante, momento flector y la

elástica.

ESTÁTICA.

En la fig. 5.18b, se muestra el diagrama de cuerpo libre (D.C.L) de la viga para la aplicación

de las ecuaciones de equilibrio:

0Fy RB+RD-½w.a-2w.a=0 RB+RD= 5/2.w.a 1

0BM -w.a² - ½.w.a.(a/3)+2w.a.a=RD.2a RD=(5/12)w.a

Reemplazando RD en 1 se tiene: RB=(25/12)w.a

DIAGRAMA DE CORTANTE:

En este ejercicio se supone que ya la metodología y el procedimiento se conocen, de

modo que simplemente se practicará lo aprendido; solo se aclararán las cosas nuevas que

aparezcan.

Se inicia en el punto A con VA=0. Siguiente punto a evaluar: B B A

A B

V VwA

VB=0+(-w.a)/2 VB=-½w.a Como la carga entre A y B es lineal, trazar el

diagrama de corte entre los dos puntos con una parábola con pendiente 0 en A.

desde el valor VA =0 en A hasta el valor VB=-½w.a en B. Fig. 5.19c., Al llegar a B se

encuentra la reacción RB = (25/12).w.a hacia arriba, entonces el diagrama sube este valor

y queda por encima con un valor de (19/25)w.a, este es el valor del cortante

inmediatamente después de B. La carga externa vuelve a tener una variación en D, por lo

tanto este es el siguiente punto a evaluar.

D B

B D

V VwA

19. ( .2 )

12DV w a w a

5.

12DV w a

Luego sube la reacción RD = (5/12).w.a con lo cual el diagrama cierra.

Para el diagrama de momentos es necesario determinar el valor del cortante en C, el cual

aplicando el mismo procedimiento da Vc=(7/12).w.a. También es necesario determinar la

posición del punto en donde el diagrama de cortante pasa por 0, decir el punto Q.

Llamando XQ, la posición de Q respecto del punto C; se tiene:

0Q C

C Q

V VwA

7. ( . ) 0

12Q QV w a w x

7

12Qx a

Entonces la distancia desde Q hasta D queda de (5/12)a.

DIAGRAMA DE MOMENTOS.

Este empieza en A con un valor de MA=0, y el siguiente punto a evaluar es B. iB iA

A B

M MvA

El área bajo el diagrama de cortante entre A y B es el área de la parábola que tiene como base a y

altura –w.a² , y cuyo vértice es el punto A (punto de pendiente 0).

El área bajo cualquier curva de la forma y=kXn y cuyo vértice (punto de pendiente 0) está en el

punto de inicio de la porción que se va a calcular (Fig. 5.20) es igual a:

.

1

b hA

n

.( ½). .0

3iB

a w aM

. ²

6iB

w aM

El diagrama de momentos pues, parte de un valor de 0 en A y desciende a un valor de –wa2/6 en

B y la curva que une estos dos puntos es una cúbica con pendiente 0 en A como se muestra en la

fig. 5.19.

El siguiente punto a evaluar es C, debido al momento externo aplicado en dicho punto.

iC iB

B C

M MvA

22

19 71112 12 .

6 2 12iC

wa wawa

M a wa

El momento interno inmediatamente antes de C tiene un valor de (11/1 2)w.a2 . Entre B y C

entonces el diagrama de momentos parte de un valor de –wa2/6 en B y llega a un valor de

(11/1 2)w.a2 en C, la curva que une estos dos puntos es una parábola debido a que el cortante en

esta zona es lineal, y tiene la forma mostrada en la fig. 5.19 ya que el valor de la pendiente en este

tramo es decreciente. Pero en el punto C se encuentra aplicado el momento externo w.a2 como

se muestra; este momento producirá tensión en las fibras superiores en cualquier sección a la

derecha de C. De acuerdo con la convención de signos fijada este momento es negativo por lo

tanto el valor del momento interno en C descenderá w.a2 así, el valor del momento interno

inmediatamente después de C es de.

22211

12 12

wa waa

El siguiente punto a evaluar es Q, debido al cambio en el diagrama de cortante.

iQ iC

C Q

M MvA

2 2

7 7 ..

25 .12 12

12 2 288iQ

a w awa w a

M

Ahora en el tramo Q-C el diagrama parte de –w.a2/12 en C y llega a 25w.a2/288 y sigue siendo

parabólico debido a la forma del cortante en este tramo.

El punto D sirve de comprobación ya que el diagrama debe cerrar.

iD iQ

Q D

M MvA

2

5 ( 5 . ).

25 . 12 12 0288 2

iQ

a w aw a

M

el diagrama cierra.

TRAZADO DE LA ELASTICA.

Se muestra en la fig. 5.19 teniendo en cuenta la forma del diagrama de momentos.

EJEMPLO. 5.4

Para la viga de la figura 5.21ª, trazar los diagramas de cortante, momento flector y la

elástica.

El cortante entre B y Q es parabólico con valor de w.a/6 en B y pendiente 0.

0Q B

B Q

V VwA

1 1. ( . ) 0

6 2Q Q QV w a w x

3.

Q

Q

w

a x

.

3

Q

Q

x

a

.1 1. . . ) 0

6 2 3

Q

Q

w xw a x

a

Qx a

Como el cortante en Q es 0 y es una función de x2, entonces el diagrama de momentos entre B y Q

es una cúbica que empieza en B con un valor de w.a2 y con pendiente w.a/6 y termina en Q con

un valor de (10/9)w.a2 y pendiente 0.

De acuerdo con lo dicho acerca de la figura 5.20, el área bajo la porción del diagrama de cortante

entre B y Q es (2/3)b.h donde b=xQ=a, y h=w.a/6

iQ iB

B Q

M MvA

2 2. .

3 6iQ

waM a a 210

9iQM a .

El diagrama debe cerrar con el área bajo el diagrama de cortante entre Q y C. Nótese que

en este caso no se puede decir que dicha área sea b.h/3, ya que el punto Q no es vértice

de esta porción de la parábola, en este caso hay que dividir toda el área del cortante entre

B y C y con esta descomposición calcular el área entre Q y C.

TRAZADO DE LA ELASTICA.

Como el diagrama de momentos es positivo desde A hasta C, la forma de la elástica será

una curva que pasa por los apoyos y tiene la concavidad hacia arriba como se muestra en

la fig. 5.21e.

5.5 ANALISIS DE ESFUERZOS POR FLEXION.

Como se analizó en el apartado 5.3, en el caso de la flexión, en cualquier sección transversal

hay dos cargas internas (V y Mi); entonces habrá los dos tipos de esfuerzos.

Como V es una fuerza cortante es obvio que ésta producirá esfuerzos cortantes τ. Por su parte

el momento Mi es el responsable de que la viga tienda a doblarse, esto hace que las fibras

superiores se compriman y las inferiores se tensionen Fig. 5.22, es decir el momento

produce esfuerzos normales σ de tensión y compresión en la misma sección transversal.

Fig. 5.22. Flexión de la viga.

5.5.1 ESFUERZOS NORMALES.

En este apartado se analizarán los esfuerzos normales, no se tendrán en cuenta por ahora

los esfuerzos cortantes.

Las magnitudes de los esfuerzos normales pueden ser calculadas si se conoce el momento

flector interno Mi en la sección transversal que se quiera analizar y si se logra establecer la

ley que rige la variación del esfuerzo normal en la sección transversal es decir si se logra

establecer como es la distribución de dicho esfuerzo sobre la sección transversal. Para la

mejor comprensión de este problema, se presentará ahora un breve resumen de la

historia de la evolución de las teorías del esfuerzo normal.

La primera hipótesis conocida sobre la distribución de los esfuerzos normales es la de

Galileo Galilei (1564 – 1642) quien, posiblemente observando que las vigas de piedra

cuando se sometían a cargas de flexión se rompían de manera semejante a la mostrada en

la fig. 5.23, sacó la conclusión de que el material en el punto A actuaba como si allí

hubiese un punto de apoyo y que la resultante de los esfuerzos de tensión estaba en el

centro de la sección transversal (como en las cargas axiales). Esta teoría conduce al

diagrama de distribución de esfuerzos de la figura 5.24ª en la que FT es la resultante de los

esfuerzos de tensión y Fc es la reacción del supuesto apoyo de la fibra superior propuesto

por Galileo.

Al cabo de 50 años después de la hipótesis de Galileo, El físico francés E. Mariotte (1620 –

1684), aun mantenía el concepto del supuesto punto de apoyo de Galileo en la superficie

del lado de compresión de la viga, pero observaba que los alargamientos de los elementos

longitudinales de la viga (fibras) era proporcional a la distancia a dicho punto de apoyo,

sugiriendo que la distribución de esfuerzos era lineal como se observa en la fig. 5.24b.

Mariotte, después desestimó el concepto del punto de apoyo y observó que parte de la

viga en el lado de compresión estaba sometida a esfuerzo de compresión, con una

distribución triangular; pero, su expresión para la carga última continuaba aun basada en

su concepto original y así fue aceptada por famosos científicos como Jacob Bernoulli,

Leonard Euler y otros, Hasta que el ingeniero militar francés C. A. Coulomb (1736 – 1806),

en una memoria publicada en 1773, desechó el concepto del punto de apoyo y propuso la

distribución triangular que se muestra en la Fig. 5.24c, en la que tanto los esfuerzos de

tensión como los de compresión tienen la misma distribución lineal.

A continuación se demostrará que la teoría propuesta por Coulomb es correcta y con base

en ella se deducirá la ecuación para el cálculo de los esfuerzos normales.

La correcta teoría de Coulomb puede ser demostrada como sigue: Un segmento de la viga

de la Fig. 5.22 entre los planos a-a y b-b se muestra en la fig. 5.25 con la deformación

muy exagerada. Se hace la hipótesis de que una sección plan antes de la flexión

permanece plana después de ella. Para que esto sea estrictamente cierto, es necesario

que la viga sea curvada solamente por momentos (que no haya esfuerzo cortante en los

planos transversales); La viga debe tener sus proporciones de manera que no se produzca

plegado y las cargas deben estar aplicadas de manera que no haya torsión (esta última

condición quedará satisfecha si las cargas se aplican en un plano de simetría – que es una

condición suficiente pero no necesaria). Se observa en la fig. 5.25 que a alguna distancia c

medida desde la cara inferior de la viga, los elementos longitudinales (llamados también

fibras) no experimentan cambio en su longitud. La superficie curva que forman estos

elementos recibe el nombre de superficie neutra o plano neutro, ya que las fibras de este

plano ni se tensionan ni se comprimen y la intersección de esta superficie con cualquier

plano transversal se denomina eje neutro de la sección. Se hace la hipótesis de que todos

los elementos longitudinales (fibras) tienen la misma longitud. Esta hipótesis impone la

condición de que la viga sea inicialmente recta y de sección transversal constante; sin

embargo, en la práctica a menudo se admiten considerables desviaciones con relación a

estas últimas restricciones.

En la figura 5.25 se trazó el plano e-e’ paralelo al plano a-a por lo que para todas las

fibras la distancia entre estos dos planos es igual a ∆x . Se observa que:

.....y yic

i

ctey c y

La deformación total de cualquier fibra es igual a su deformación unitaria multiplicada por

su longitud inicial ∆x. δyi = εyi.∆x. Puesto que todos los elementos tienen la misma

longitud inicial ∆x, reemplazando queda:

. ..

.....y x yi xc x

i

ctey c y

o sea: .....

y yic

i

Ctey c y

Asumiendo que se cumple la ley de Hooke: ε=σ.E, la relación anterior queda:

. .......

y y yi ic c

i

E EECte

y c y

Finalmente se asume que el material es isotrópico y homogéneo, por lo tanto el módulo

de elasticidad E es igual en todas las fibras y en todas las direcciones de modo que

multiplicando por E la anterior expresión se tiene:

.....y yic

i

ky c y

y despejando el esfuerzo sobre cualquier fibra (y), se tiene:

.y k y , lo cual significa que el esfuerzo en cualquier fibra es directamente

proporcional a la distancia desde dicha fibra al plano neutro; que es precisamente lo que

proponía Coulomb en su teoría.

Para establecer una ecuación que permita el cálculo de los esfuerzos normales por flexión,

es necesario pues, determinar la ubicación del eje neutro y el valor de la constante K.

En la figura 5.26 se ha supuesto que el eje neutro se encuentra sobre la mitad de la altura

de la viga y σy es el esfuerzo normal producido sobre la viga a una altura y.

Multiplicando σy por el diferencial de área sobre el que actúa se obtiene el diferencial de

fuerza dF que actúa sobre el diferencial de área a la altura y. Sobre la altura total de la viga

actúan infinito número de fuerzas internas dF las cuales deben equilibrarse entre si ya que

sobre la viga no hay fuerzas externas aplicadas en la dirección x y debe satisfacerse la

ecuación de equilibrio Σx=0. Por tanto:

1

0 . . . .yA A A

dF dF dA k y dA k y dA

de modo que:

. . . 0A

k y dA k A y . En esta expresión el único término que puede ser 0 es y , por tanto:

0y . Lo cual significa entonces que el eje neutro es el eje centroidal z’ y la distribución

del esfuerzo normal es como se muestra en la figura 5.27.

En la figura 5.27, multiplicando dF por su distancia ‘’y’’ al eje neutro se tiene:

2. ( . ). . . . .ydF y dM dA y k y dA y ky dA 2

. .A

dM k dAy

La expresión ∫y2.dA es conocida como el segundo momento del área respecto del eje de

referencia; en este caso el eje centroidal z’, que es el eje neutro. También se conoce esta

expresión como momento de inercia Iz’

Integrando se obtiene: M=K.Ix’

De modo que 'z

Mk

I ; El valor de M es conocido del diagrama de momentos e Iz’ como ya

se dijo es el momento de inercia de la sección transversal de la viga con respecto al eje

neutro.

Se deduce pues que el esfuerzo normal σy para cualquier fibra ubicada a una distancia

``y’’ del eje neutro es.

'

.y

z

M y

I ………… (5.7)

La cual se conoce como la fórmula de la flexión.

El esfuerzo máximo corresponde al de la fibra más lejana, ubicada a la distancia ``c’’ del

eje neutro, como se muestra en la figura 5.27.

max

'

.

z

M c

I ……… (5.8)

5.5.2 ESFUERZOS CORTANTES.

Para el análisis de los esfuerzos cortantes se tomará como base la viga de la figura 5.28, en

la cual se ha tomado la porción de ella comprendida entre las secciones transversales (1) y

(2), separadas una distancia ∆x como se muestra, dicha porción se ha separado y se

muestra en la figura 5.29, bajo la acción del esfuerzo normal y la fuerza de corte en cada

sección (1) y (2). En esta figura se ha supuesto que la viga está formada por tres tablones

colocados uno sobre el otro y que inicialmente no hay ningún tipo de pegante ni ningún

medio que impida el deslizamiento entre ellos.

A una altura ``y’’ medida desde el eje neutro, y ubicada en el tablón superior, es decir,

entre s y c, se ha definido el diferencial de área dA .

La fuerza dF2, es la fuerza normal que actúa sobre este diferencial dA, y es igual a σy2.dA,

la resultante de estas fuerzas diferenciales es F2 (no mostrada) 2 2.yF dA , integrada

en toda el área del tablón superior, es decir entre s y c, en donde σy2 es el esfuerzo

normal por el lado de la sección (2) a una distancia ``y ‘’ del eje neutro y está dado por la

expresión 2

2

.y

M y

I .

Por lo tanto: 2. . . .2

c c

ss

bQ y dA b y dy y

De la misma manera, la fuerza resultante en el lado izquierdo del elemento, sección (1),

es:

1 11 . . .

c

s

M MF y dA b y dy

I I .

Como M2>M1, (Figura 5.28), entonces F2>F1, lo que hará que el tablón se deslice sobre el

otro hasta que encuentre una posición de equilibrio y por consiguiente no se cumplirá la

condición de que una sección plana antes de la flexión debe permanecer plana después de

ella. Para evitar este deslizamiento será necesario algún medio que haga que los dos

tablones permanezcan unidos, por ejemplo, aplicar una capa de pegante a la superficie

entre los dos tablones, con lo cual el esfuerzo sobre el pegante genera una fuerza

horizontal que establece el equilibrio. Como se muestra en la figura 5.30.

Establecido pues, el equilibrio, se cumple entonces que: ΣFx = F1+ζ.b.∆x-F2=0, donde ζ

es el esfuerzo cortante medio longitudinal (horizontal) y reemplazando los valores de F1 y

F2 anteriormente establecidos queda:

2 1 2 1. . . . . .m x

M M M M Mb y dA y dA y dA y dA

I I I I

Despejando el valor del esfuerzo cortante, se tiene:

.. .

m

x

My dA

b I

; en el límite cuando ∆x tiende a 0, se obtiene el esfuerzo cortante en el

punto: 0

1 1. . . .

. .lim

x x

M dMy dA y dA

b I dx b I

; y de acuerdo con lo establecido en el

apartado 5.4 en la ecuación 5.2, se sabe que: dM

Vdx

, y además .y dA , representa el

primer momento del área de sección transversal que tiende a deslizarse sobre el plano de

fibras en el que se está calculando el esfuerzo cortante; en este caso sobre el pegante; y

se representa por Q=A._

y , reemplazando se deduce que:

.

.

v Q

I b ……………. (5.9)

A causa de que la fórmula de la flexión, Ec. (5.7), fue utilizada en la deducción, la Ec. (5.9)

está sujeta a las mismas hipótesis y limitaciones. Aun cuando el esfuerzo dado por la Ec.

(5.9) está asociado con un punto particular en una viga, se promedia en todo el espesor,

b, y de aquí que solamente sea preciso si b no es demasiado grande. Para una sección

rectangular que tenga un peralte el doble de la anchura, el máximo esfuerzo cortante

calculado por el método más riguroso de Saint-Venant es aproximadamente 3% superior

al dado por la Ec. (5.9). Si la viga es cuadrada, el error es aproximadamente del 12%, y si la

anchura es de cuatro veces el peralte, el error es de casi el 100%, por lo cual se puede

concluir que, si la Ec. (5.9) fuese aplicada a un punto en el patín de una viga con sección

transversal en T, el resultado sería prácticamente inservible. Además si la Ec. (5.9) se

aplica a secciones en las que los lados de la viga no son paralelos, tales como en una

sección trapezoidal como la de la viga de la figura 5.27, el esfuerzo medio está sujeto a un

error adicional a causa de que la variación transversal del esfuerzo es mayor cuando los

lados no son paralelos.

Fig. 5.31

En la sección 5.5.1, se demostró que el esfuerzo normal varía directamente proporcional

con la distancia ``y ’’ medida desde el eje neutro, en términos geométricos se dice

entonces que el fuerzo normal tiene una distribución triangular como se ve en la figura

5.26.

El esfuerzo cortante transversal varía según .

.

v Q

I b , en la cual los términos v, I y b, no

dependen de y, por lo tanto, la variación del esfuerzo cortante con la distancia al eje

neutro depende de la forma como varíe Q, como 2. . . .2

c c

ss

bQ y dA b y dy y , se

deduce que la variación del esfuerzo cortante es parabólica, siendo c la distancia desde el

eje neutro a la fibra más lejana, y s la distancia desde el eje neutro hasta la fibra en donde

se quiere evaluar el esfuerzo, de este modo, si se desea evaluar el esfuerzo sobre la fibra

más lejana, el valor de s sería c y los límites de la integral serían entre c y c y por tanto el

valor de dicha integral es 0. Por otra parte el valor de esta integral es máximo cuando el

límite inferior es 0 es decir cuando s es 0, por consiguiente el esfuerzo cortante será

máximo en el eje neutro. En la figura 5.32, se muestra la distribución del esfuerzo normal

comparada con la distribución del esfuerzo cortante sobre una sección transversal

rectangular. Se puede ver como en la fibra más lejana el esfuerzo normal es máximo y el

esfuerzo cortante 0, y en el eje neutro el esfuerzo cortante es máximo mientras el

esfuerzo normal es 0.

Como se ha hecho notar anteriormente, en cada punto

de un elemento estructural o de máquina, los

esfuerzos cortantes horizontal (longitudinal) y vertical

(transversal) τyx y τxy tienen la misma magnitud; de

aquí que la Ec. (5.9) proporcione el esfuerzo cortante

vertical en un punto de la viga (promediado en la

anchura).

La figura 5.33 muestra la variación del esfuerzo cortante en una viga en T, se ve que la

distribución del esfuerzo cortante tiene una discontinuidad en la unión del patín con el

alma, a causa de que el espesor de la sección cambia bruscamente. Como se ha señalado

anteriormente, la distribución del esfuerzo en el patín es ficticia, puesto que el esfuerzo

en la parte inferior del patín debe ser 0, por ser una superficie libre. También a causa del

brusco cambio de la sección, existirá una concentración de esfuerzos y el máximo esfuerzo

cortante en la unión del patín con el alma será superior al esfuerzo medio.

Se puede deducir que, en general, el máximo esfuerzo cortante longitudinal y transversal

se presenta en la superficie neutra y en una sección en donde la fuerza de corte

transversal V, sea máxima.

5.5.3 FLUJO CORTANTE EN MIEMBROSCOMPUESTOS.

A veces en la práctica de la ingeniería los miembros se ensamblan a fin de lograr una

mayor resistencia a las cargas. En la figura 5.34 se muestran algunos ejemplos.

Si las cargas provocan que los miembros se flexionen, probablemente se requieran

sujetadores tales como clavos, pernos, soldadura o un pegamento, a fin de evitar que las

partes componentes se deslicen una con respecto a la otra, para diseñar estos sujetadores

es necesario conocer la fuerza cortante que ha de ser resistida por el sujetador a lo largo

de la longitud del miembro. Esta carga cundo se mide como fuerza por unidad de longitud,

se denomina flujo cortante q. La magnitud del flujo cortante a lo largo de cualquier

sección longitudinal de una viga se puede obtener mediante un desarrollo similar al que se

utilizó para hallar el esfuerzo cortante en la viga. Para mostrarlo, se considerará la

determinación del flujo cortante a lo largo de la junta donde la parte compuesta de la

figura 5.35a se conecta al patín de la viga. Como se muestra en la figura 5.35b, tres fuerzas

horizontales deben actuar sobre esta parte. Dos de esas fuerzas, F y F+dF, son

desarrolladas por esfuerzos normales generadas por los momentos M y M+dM,

respectivamente. La tercera que por equilibrio es igual a dF, actúa en la junta y tiene que

ser soportada por el sujetador. Si se tiene en cuenta que dF, es el resultado de dM,

entonces, del mismo modo que en el caso de la fórmula del esfuerzo cortante, se tiene:

'

'A

dMdF ydA

I

La integral representa a Q, es decir el primer momento del área sombreada A’ en la figura

5.35b respecto al eje neutro de la sección transversal. Como el segmento tiene una

longitud dx, el flujo de corte, o fuerza por unidad de longitud, a lo largo de la viga, es

q=dF/dx. Por consiguiente, dividiendo ambos miembros por dx y viendo que v= dM/dx,

entonces queda:

''

. A

dF dMydA q

dx dx I Por Tanto:

.V Qq

I ………. (5.10)

Aquí:

Q = flujo de corte, medido como fuerza por unidad de longitud a lo largo de la viga.

V = Fuerza cortante interna resultante, la cual se puede obtener del diagrama de corte.

I = momento de inercia de la sección transversal respecto del eje neutro.

Q = '. 'A y , donde A’ es el área de la sección transversal del segmento conectado a la viga

en el pegue donde se desea calcular el flujo de corte y 'y es la distancia del eje neutro al

centroide de A’.

Es muy importante identificar correctamente el valor adecuado de Q cuando se va a

calcular el flujo de corte en una junta particular de la sección transversal. Unos cuantos

ejemplos servirán para ilustrar como se hace esto. Considerando las secciones

transversales de las vigas mostradas en la figura 5.36 en la que las partes sombreadas

están conectadas a la viga por medio de sujetadores de tal modo que el flujo de corte q

para la ecuación (5.10) se determina usando un valor de Q calculado por medio de A’ y

'y tal como se indica en cada figura. Nótese que este valor de q será resistido por un solo

sujetador en las figuras 5.36ª y 5.36b, por dos sujetadores en la figura 5.36c, y por tres

sujetadores en la figura 5.36d. En otras palabras, el sujetador en las figuras 5.36ª y 5.36b

soporta el valor calculado de q y en las figuras 5.36c y 5.36d, el valor calculado de q es

dividido en 2 y 3 respectivamente.

El flujo cortante es una medida de la fuerza por unidad de longitud a lo largo de un eje

longitudinal de una viga. Este valor se halla a partir de la fórmula del esfuerzo cortante y

se usa para determinar la fuerza cortante desarrollada en sujetadores y pegante que

mantienen unidos entre si a varios segmentos de una viga.