TITULO: Pndulo Fsico y teorema de Steiner OBJETIVO:Determinar experimentalmente los periodos de oscilacin de un pndulo fsico y a partir de ellos calcular los momentos de inercia.

EQUIPOS Y MATERIALES:*Barra metlica de longitud L con 21 huecos. *Soporte de madera con una cuchilla. *Dos mordazas simples *Un cronmetro digital *Una regla milimetrada *Un vernier

FUNDAMENTO TERICO:

RECTA MINIMO CUADRADA

Sea: F (xi) = (xi) + Si: Ei (error)= ( (xi) + Sea tambin: = - yi ) ; xi , yi (datos experimentales) (sumatoria de todos los errores al cuadrado)

(Se le utiliza como un error global, ya que introduce a todos los datos obtenidos experimentalmente). Para hacer el mejor ajuste de la ecuacin y tener un error global mnimo se utilizan las derivadas parciales respecto a cada uno de los coeficientes y se igualan a cero, llegando a un conjunto de ecuaciones. Se lleg al siguiente sistema de ecuaciones: + = ( )

+

n

=

(

)

Luego se obtienen los parmetros ( , ) por el mtodo de determinantes o regla de cramer.

MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA DE UN PARALELEPPEDO DE MASA M Y LADOS A, B, C.

Los tres momentos de inercia han de tener, por razones de simetra, una estructura anloga, y serian iguales solamente si las tres aristas fueran iguales, es decir, si se tratara de un cubo, o bien de un paraleleppedo de caras iguales. Utilizaremos el momento de inercia de una cara rectangular con respecto a un eje contenido en ella y aplicaremos a continuacin el teorema de Steiner

El momento de inercia de la cara bc (oscurecida en la figura), es con respecto al eje de simetra contenido en ella que atraviesa el lado b por su punto medio. Es tambin , por lo cual, aplicando Steiner:

Por tanto, ser:

Por analoga, es

Momento de inercia de un cilindroVamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotacin. El elemento es una capa cilndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e

PENDULO FISICO Un pndulo fsico es un slido rgido de forma arbitraria que puede oscilar en un plano Vertical alrededor de un eje perpendicular a un plano que contenga a su centro de masas. El punto de interseccin del eje con dicho plano es el punto de suspensin. La posicin de equilibrio es aquella en que el centro de masas se encuentra en la misma vertical y por debajo del punto de suspensin. En la figura se presenta esquemticamente un slido plano de pequeo espesor utilizado como pndulo fsico.

Se producen oscilaciones como consecuencia de desviaciones de la posicin de equilibrio, ya que entonces el peso del cuerpo, aplicado en su centro de masas, produce un momento respecto del punto de suspensin que tiende a restaurar la posicin de equilibrio. El momento respecto del punto de suspensin O es: = d m.g 1

Frecuencia para amplitudes de oscilacin pequeasLa frecuencia angular del pndulo fsico para pequeas amplitudes de oscilacin est dado por la expresin 1:

mgd I

donde I es el momento de inercia de pndulo respecto del centro de rotacin (punto de suspensin), m la masa del mismo, g la aceleracin de la gravedad del lugar y d la distancia del centro de masa del pndulo al centro de rotacin.

PROCEDIMIENTO:a) Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor, se sujeta el soporte de madera con las mordazas simples. b) Localizamos el centro de masa de la barra, suspendindola horizontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en equilibrio ser el centro de gravedad de la barra. c) Suspendemos la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y la hacemos oscilar separndola ligeramente de su posicin de equilibrio (15 como mx.), tomando nota del tiempo que emplea en 10 oscilaciones para los 6 primeros agujeros y 3 oscilaciones para los 4 agujeros ms cercanos al C.G. d) Repetimos la operacin anterior 3 veces para disminuir el % de error. e) Medimos las dimensiones de la barra y hallamos su masa.

CALCULOS Y RESULTADOS:Tabla con los datos tomados en el laboratorio: L: distancia del punto de oscilacin al centro de gravedad (c.g) # de hueco 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L(cm) 50,8 45,8 40,8 35,8 30,8 25,8 20,8 15,8 10,8 5,8 T1(s) 16,23 16,01 15,83 15,66 15,46 15,57 4,47 4,91 5,62 7,63 T2(s) 16,56 16,02 15,73 15,65 15,50 15,91 4,67 5,00 5,51 7,61 T3(s) 16,52 16,03 15,84 15,62 15,51 15,62 4,56 4,96 5,83 7,45 #oscilaciones T(promedio)(s) 10 10 10 10 10 10 3 3 3 3 1,64 1,62 1,58 1,56 1,54 1,57 1,52 1,65 1,88 2,52

En los cuatro agujeros ms cercanos al C.M solo hemos considerado 3 oscilaciones ya que las oscilaciones casi no son tan notables. Masa de la barra = 1.811 kg (real o terica)

DIMENSIONES DE LA BARRA METALICA

A partir de la siguiente frmula se calcular el momento de inercia(I) para cada posicin de la barra (L):

Resultado de todos los momentos de inercia : # de hueco 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L(cm) 50,8 45,8 40,8 35,8 30,8 25,8 20,8 15,8 10,8 5,8 T2(s2) 2,68 2,62 2,49 2,43 2,37 2,46 2,31 2,72 3,53 6,35 I(momento de inercia)(kg.m2) 0,612 0,539 0,457 0,391 0,328 0,285 0,216 0,193 0,171 0,165 L2(cm2) 2580,64 2097,64 1664,64 1281,64 948,4 665,4 432,4 249,64 116,64 33,64

Grfica de x vs y0.7 I(momento de inercia)(Kg.m2) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.05 0.1 LxL(metros 0.15 0.2 0.25 0.3 cuadrados)(m2)

A continuacin por el teorema de Steiner se cumple que: I(L) = ML2 + I(G) ; Asumiendo: I(L) = F(x) , L2 =X , M= , I(G) = = Constante Ahora podremos empezar a realizar un ajuste lineal con los datos experimentales obtenidos: F(x) = x + Por mnimos cuadrados se obtienen las siguientes ecuaciones: 1.007068 1.007068 + 10 = 3.357 I(G) : Momento de inercia de la barra respecto a su C.G

+ 0.170796699 = 0.463963052

De aqu: = 1.8145 Kg ; = 0.1529 Kg.m2 Donde se obtiene: = M = 1.8145 Kg .. (forma experimental)

%error respecto a la masa :

= 0,19 %

= I(G) = 0.1529 Kg.m2 ..(forma experimental)

F(x) = 1.81x + 0.152925 I(momento de inercia)(Kg.m2) 20 15 10 5 0 -4 -2 -5 0 2 4 6 8 10 12 14 LxL(metros cuadrados)(m2)

Hallando el I(G) de la barra en forma terica:

Primero hallaremos el momento de inercia de toda la barra asumiendo q no tenga agujeros : Por la demostracin vista en el fundamento terico: I(barra maciza) = ( ); M0 = (Vb) = (0,000259) = 1,9533 Kg

a = 0.038 m , b = 1.1m I(barra maciza) = ( )

I(barra maciza) = 0.162775 (0.001444 + 1.21) = 0.19719 Kgxm2 .(1) Luego hallaremos los momentos de inercia de todos los agujeros (cilindros) con respecto al C.G.

Por la demostracin vista en el fundamento terico: Ii = Ic + (L.i)2 m .(teorema de steiner) , para: L = 0.05 m

Momento de inercia total de todos los agujeros(cilindros): 2 = 2[ (10)Ic + m2

]

Ic= Ic=

(r2) ;

pero: m =

(vc)=

(.(0,007)2.0,0062) = 0,007080

(0,007)2 = 0,0000001 Kgxm22

= L2.

2

= (0.05)2(10)(10+1)(20+1)/6 = 0,9625 m2

Por lo tanto : 2 2 =2 [ (10).0,0000001 + 0,007080(0,9625) ] = 0,0136314 Kgxm2 ..(2)

Por ltimo, restaremos el momento de inercia de los agujeros(cilindros) al momento de inercia de la barra maciza y obtendremos el momento de inercia de la barra. (1) - (2)I(G) = 0,19719 - 0,0136314 =0,1835 Kgxm2 .(forma terica)

%error respecto al I(G) :

= 16,6 %

COCLUSIONES Y ANALISIS DE LAS GRAFICAS:

De las 2 tablas descritas con anterioridad se deduce q para el agujero #7 hubo un periodo mnimo, esto se debe a lo pequeo que es el cociente en dicho punto.

Con la grfica ajustada tambin pudimos hallar un % de error con respecto a la masa. Se sabe que los pequeos % de error se deben a la resistencia del aire y a que no siempre oscila en un plano xy solamente, pero exitosamente solo fueron muy pequeos. El periodo de oscilacin del pndulo fsico para cada posicin no depende nunca de su masa. En la grfica #2 la pendiente de la recta representa el valor de la masa de la barra. En la grfica #1 los valores experimentales asemejan una recta, demostrando que el experimento se realiz con mucha sutileza. Mientras ms pequeos hubieran sido los agujeros de la barra se hubiera trabajado con mayor precisin en los clculos, ya que habra mayor oposicin al deslizamiento en el momento de la oscilacin. Se trabaj con ngulos de oscilacin pequeos, pues eso requiere la frmula del pndulo fsico.

BIBLIOGRAFIA:

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FISICA II Serway

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FISICA II TEORIA DE ALONSO FINN FISICA PARA EL ESTUDIANTE DE CIENCIA E INGENIERIA Mc. Kelvig R. A. SERWAY & J. W. JEWETT, "Fsica" (vol. 2), 3 ed., Thomson Paraninfo

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D. HALLIDAY, R. RESNICK & K. S. KRANE, "Fsica" (Vol. 2), 3 ed., Ca. Ed. Continental. P.A. TIPLER, "Fsica" Vol. II, 3 ed., Ed. Revert. F. W. SEARS & M. W. ZEMANSKY, "Fsica Universitaria", 9 ed., Addison Wesley. Una coleccin de problemas resueltos: "Fsica General", Cuadernos Schaum, Ed. McGraw-Hill.

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1. Fsica para estudiantes de ciencias e ingeniera, Halliday, Resnick y Krane, 4ta. Ed., Vol. II, Ca. Editorial Continental, S.A. Mxico, (1985).