Geometría - 4to Sec.

Capítulo

3Triángulos

OBJETIVOS:

a Comprender el concepto de triángulo.

a Saberclasificarlostriángulos.

a Reconocer la utilidad de los teoremas en la solución de los problemas.

Introducción

El estudio de los triángulos es el más importante en el curso de Geometría. Los egipcios conocían muy bien esta figura y la plasmaron en la construcción de sus pirámides. En el curso constantemente se verá la aplicación de triángulos y sus diversas propiedades.

Definición

Es la figura geométrica formada por la unión de tres puntos no colineales mediante segmentos de recta, a dichos puntos se les denomina vértices y a los segmentos de la recta se les denomina lados del triángulo.

Región exterior relativa a AB β

θαx

y

z

B

A C

ac

b

Regióninterior

Elementos

Vértices : A, B, CLados : AB, BC, ACm s internos : α, β, θm s externos : x, y, z

1. SEgúN la MEDIDa DE SuS ÁNguloS

Clasificación

1.1. Triángulo acutánguloLos ángulos internos son agudos.

B

A Cα

β

θ

0° < α , β , θ < 90°

Uno de sus ángulos internos mide 90°.

1.2. Triángulo rectángulo

α + β = 90°

B C

Aα

β

1.3. Triángulo obtusángulo

Uno de sus ángulos internos es obtuso.

90° < α < 180°

A

Bα

C

Geometría - 4to Sec.

Todos sus lados son diferentes.

AB ≠ BC ≠ AC

A b C

c a

B

Dos lados de igual medida, el tercer lado se denomina base.

b: base

A C

θθb

B

2. SEgúN SuS laDoS

2.1. Triángulo Escaleno

2.2. Triángulo Isósceles

2.3. Triángulo Equilátero

Los tres lados son de igual medida.

θ = 60°

A C

θθ

B

θ

Ejemplo:

Calcule “x”.

Resolución:

A C

B

80° 80°

6 x

Como ∆ ABC es isósceles:Debido a:

m BAC = m BCA = 80°

Luego: ∴ x = 6

1. TEorEMa I

propiedades

La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

A

B

Cα

β

θ

α + β + θ = 180°

2. TEorEMa II

Un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes a él.

B

A Cxφ

δ φ + δ = x

La suma de las medidas de los ángulos externos de un triángulo es 360°.

B

Ax

y

zC

x + y + z = 360°

En todo triángulo un lado siempre es menor que la suma y mayor que la diferencia de los otros dos lados.

A b C

c a

B

b – c < a < b + ca – c < b < a + cb – a < c < b + a

3. TEorEMa III

4. TEorEMa IV (propIEDaD DE ExISTENCIa)

Geometría - 4to Sec.

Ejemplo:

Resolución:

Calcule “θ” si AB = BC y AD = AC.

B

A C

D30°

5°θ

Del dato: AB = BCm BAC = m BCA = 75°

Pero: m ACD = 75° + 5° m ACD = 80°

Luego: m ACD = m ADC = 80°

∴ m DAC = 20°

Pero: θ + m DAC = m BAC θ + 20° = 75° θ = 55°

Demostración:

Resolución:

En la figura que se muesta:

a + b + c + d + e = 180°

propiedades adicionalesI.

x = a + b + c

b

a cx

y + x = a + b

a

b

y

x

x + y = a + bx y

a

b

II.

III.

IV.

x = a + b - 180°

x

a

b

a

b

c

de

Luego:

Por propiedad

a c

b+e+d

⇒ a + b + c + d +e = 180°

e

b

db+e+d

1. Calcule θ si: AE = ED = BD = BC

A B

C

D

E

Geometría - 4to Sec.

Resolución:

⇒ 4θ = 90°

θ = 22°30’

⇒3θ

θ

Resolución:

2. Calcule θ si CD = 2(AD).

θ2θ

A D C

E

B

2θ = 60° θ = 30°

⇒n2θ

2n

E BA

D

C3θ

3θ

2θ 2θ

θ

θ

n 2n2θθ

θn

90 –

θ

θ90–2θ

Resolución:

3. Calcule α en la figura, si AB = BC = BD.

A B

α+ω

Dαω

ωω+90° = α+ω+α α = 45°

⇒

ω

α

α+ω

A B

C

Dα

Resolución:

5. Calcle x

10x + 90° = 360° x = 27°

90°+2x

3x

3x

2x

2x

x x

2x90°+2x

3x3x

2x

xx

Resolución:

4. Calcule x si: ∆ABC es equilátero.

B

A C

x

αα80°

60°80°

140°

140°α

x 180°-α

140° + x = α+ 180° - α x = 40°

α

60°

x

α80°140°

60° 60°

Geometría - 4to Sec.

59

x

1) Calcula : xmáx + xmín.

4αα4β β

x

2) Calcula “x”.

3) Si AB = AC = CD = DE, halla “x’’.

C

B

EDA80° x

4) Calcula: “x’’ si BD = BC.

A D Cθ

x

θ60°E

θ

B

2α α

8 x

5) Calcula el mayor valor entero de “x”.

2αα

x

2ββ

30°

6) Calcula “x’’.

1) Calcula : xmáx + xmín.

A 6 C

B

x 4

2x

3x+612

2) En la figura, calcula la suma de los valores enteros que puede tomar “x”.

M A R

B

L

60°θ

3) Calcula “θ’’ si LR = RB = BA = MA.

4) Si AB = BD, calcula “x’’.B

M

A D C

x

α

α

6α–120°

α

2θ θ

4 x

5) Calcula el mayor valor entero de “x”.

3αα

x

3θθ

60°

6) Del gráfico, calcula “x’’.

Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

Rpta.: ____

Rpta.: ____

Rpta.: ____

Rpta.: ____

Rpta.: ____

Rpta.: ____

Rpta.: _____ Rpta.: _____

Rpta.: _____Rpta.: _____

Rpta.: _____ Rpta.: _____

Geometría - 4to Sec.

PROBLEMAS PARA CLASE N° 3

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

α

2a

x

α

θ θ

b

Calcula “x” si a + b = 50°.

a) 120° b) 40° c) 50° d) 80° e) 60°

Calcula “x’’ si m + n = 130°.

a) 80° b) 25° c) 10° d) 65° e) 45°

α

m

n

α

β β

x

2x φφ

3xδ δ

Calcula 7x.

a) 45° b) 90° c) 70° d) 60° e) 140°

Calcula el valor de “x” si a + b = 250°.

a) 100° b) 130° c) 120° d) 140° e) 105°

b

a

x

ab

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Geometría - 4to Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Calcula m ANB si α- β= 46°.

a) 120° b) 100° c) 90° d) 136° e) 80°

B C

AM

N

αβ

P N Qθδ

S

L R

Calcula m QSR si θ- δ = 30°.

a) 120° b) 60° c) 130° d) 100° e) 80°

Si α + θ = 30°, calcula “x’’.

a) 40° b) 60° c) 10° d) 80° e) 30°

2θ θ

b

x

α 2α

aab

2ββ

2θθ

m nn

m

x

Calcula “x’’.

a) 30° b) 60° c) 80° d) 10° e) 40°

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Geometría - 4to Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

En la figura, CB = CD. Halla m ACE.

a) 90° b) 75° c) 60° d) 45° e) 15°

En la figura mostrada: m BAC = 64°, m ACB = 42°; AD es altura y BE bisectriz. Halla x.

a) 111° b) 127° c) 112° d) 138° e) 145°

BA

DE

C

x

75°A D

E

CB60°

θ

β

α

2x

x

En la figura, calcula “x” si α + β + θ = 130°.

a) 10° b) 18° c) 20° d) 22° 30’ e) 25°

Halla “x” en el gráfico.

a) 20° b) 18° c) 15° d) 16° e) 30°

α α

θθ 100°

x°

30°

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Geometría - 4to Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Dos lados de un triángulo miden 3 y 4. Determina el máximo valor entero del tercer lado si el ángulo interior opuesto es agudo.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

En un triángulo escaleno, dos lados miden 2 y 5. Calcula la suma de los valores enteros que puede asumir el tercer lado.

a) 10 b) 15 c) 12 d) 16 e) 18

Halla “x” en la figura.

a) 10° b) 12° c) 8° d ) 15° e) 6°

40°

10x 12x

84°

2θθ

2αα

x Halla “x” en la figura.

a) 24° b) 28° c) 30° d) 42° e) 21°

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución: