1. Teoremas válidos para triángulos rectángulos

Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces:

hipotenusa

cateto

cate

to

El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado “HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”.

1.1 Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.

a2 + b2 = c2

(cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2

ó

De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide

Ejemplo:

(Aplicando teorema de Pitágoras)

(Desarrollando)

(Restando)

(Aplicando raíz)

152 + (QR)2 = 252

225 + (QR)2 = 625

(QR)2 = 625 - 225

(QR)2 = 400

QR = 20

(Despejando (QR)2 )

• Números pitagóricos:

Son aquellos tríos de números que cumplen el teorema de Pitágoras.

Los más utilizados son: 3, 4 y 5 5, 12 y 13

Estos tríos, además de satisfacer el teorema de Pitágoras, generan “familias” de números pitagóricos, que corresponden a todos los tríos formados al multiplicar el trío inicial por cada número natural. Por ejemplo:

3, 4 y 5

6, 8 y 10

9, 12 y 15

12, 16 y 20. . . .

5, 12 y 13

10, 24 y 26

15, 36 y 39 20, 48 y 52

. . . .

8, 15 y 17

Todos los tríos proporcionales a: 3, 4 y 5, satisfacen el Teorema de Pitágoras.

32 + 42 = 52

62 + 82 = (10)2

92 + 122 = (15)2

Consideremos los siguientes casos:

1. Cuando un cateto es el doble del otro

2. Cuando un cateto es el triple del otro

Ejemplo:

Ejemplo:

1.2 Teorema de Euclides

Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces se cumple que:

Además, se cumple que:

∙hc2 = p q

a2 = c q ∙

b2 = c p ∙

hc = a·b c

∙p: proyección del cateto AC sobre la hipotenusa

q: proyección del cateto BC sobre la hipotenusa

De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:

Ejemplo:

Aplicando Teorema de Euclides:

CD2 = AD DB∙ (Reemplazando)

CD2 = 4 3∙ (Aplicando raíz)

CD = 4 3∙

CD = 2 3

Además, por Euclides se cumple que:

AC2 = AB AD ∙ (Reemplazando)

(Aplicando raíz)

AC = 2 7

AC2 = 7 4 ∙

2 7

2 3

2. Relaciones Métricas en el triángulo rectángulo

2.1 Triángulo de ángulos interiores: 30°, 60° y 90°

En el triángulo rectángulo, con ángulos agudos de 30° y 60° se cumple que:

Ejemplo:

Determinar el área del triángulo ABC de la figura.

∠ BAC = 30° ⇒

El área del triángulo ABC es:

CB = 5 y AB = 5 3

= 25 3

2

5

5 3

Área = 5 5 3

2

∙

30°

Los triángulos con ángulos interiores de 30°, 60° y 90°, corresponden a la “mitad” de un triángulo equilátero.

2.2 Triángulo rectángulo isósceles

A

C

B

En el triángulo rectángulo isósceles de lado “a” de la figura, se cumple que:

Ejemplo:

∠ CBA = 45°

A

C

BBC = 4 2⇒

Solución:

45°

4 24⇒ AC = 4 y

En la figura, determinar la medida del lado BC (hipotenusa).

AM = MB = CM

2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad

Si M es punto medio de AB, entonces:

tc : transversal

Ejemplo:

Completando los ángulos, ∠ CBA = 40°

Solución:

⇒ AD = DB = CD

⇒ D es punto medio

⇒ ∠ CBA = ∠ DCB

Por lo tanto, ∠ DCB = 40°

40°

40°

Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el ∠ DCB.

Si CD es transversal de gravedad,

⇒ El triángulo CDB es isósceles de base BC

2.4 Área de un triángulo rectángulo

A = a ∙ b2

A = cateto 1 ∙ cateto 2 2

En la figura:

3. Triángulo Equilátero3.1 Definición

Polígono regular, ya que tiene sus tres lados y sus tres ángulos congruentes.

AB = BC = CA

3.2 Propiedades

• Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales, son iguales.

ha = hb= hc ba = bb= bcta = tb= tc Sa = Sb= Sc

Además:

ha = ta= ba = Sa hb = tb= bb = Sb hc = tc= bc = Sc

Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden.

Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide 3 3.

• Área y altura de un triángulo equilátero:

Sea ABC un triángulo equilátero de lado “a”, entonces su área y altura se expresan como:

A = a2 34

h = a 32

Ejemplo:

Para determinar el área, basta conocer el lado del triángulo.

A partir de la altura determinaremos el lado.

Sea x la medida del lado, entonces:

h = x 32

3 3 = x 32

3 = x2

6 = x

Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será:

A = 36 34

⇒ A = 9 3⇒ cm2A = 62 34

• Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita:

h = r + r2

⇒ h = 3r2

• Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia inscrita:

h = 3r

4. Triángulo Isósceles4.1 Definición

Es aquel que tiene dos lados congruentes y un lado distinto llamado “base”.

Los ángulos basales son congruentes.

4.2 Propiedades

a) La altura, transversal, bisectriz y simetral que cae en la base, coinciden.

Ejemplo:

⇒ x= 50°

⇒ ∠DBA = 40° y ∠ADB = 90°

40°

90°

= 50°

En la figura, el triángulo ABC isósceles en B y D punto medio de AC. Determine la medida del ángulo x.

Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC.

Si D: punto medio, entonces BD es transversal.

⇒ BD es altura, bisectriz y simetral.

b) Las alturas, transversales y bisectrices que se trazan desde los vértices congruentes, miden lo mismo.

ha = hb

ta = tb

ba = bb

Sa = Sb

Además: