Introducción a la teoría de los cambios de fase:teoremas de Yang y Lee fe5

• Ceros de la función de partición.• Teoremas de Yang y Lee.• Consecuencias. Cambios de fase.

Para q un sist “permanezca en una fase” (estado homogéneo de equilibrio),condición necesaria q ec. de estado satisfaga los criterios de estabilidad

q, para un fluido simple, por ejemplo, establecen q ha de ser:µ∂P

∂v

¶T

< 0 (1)

Si se satisfacen, la homogeneidad del sist es estable tanto frente a perturba-ciones externas como internas.

Pero la naturaleza de algunos sists es tal q estas condiciones dejan deverificarse para ciertos valores de (ej.) T, llegando un momento (al ir variandoel estado del sist) en el q µ

∂P

∂v

¶T

= 0 (2)

Esta situación se detecta experimentalmente con facilidad pues, a partir deese estado, el sist comienza a “separarse en dos fases” q coexisten en equilib-rio, ej, una fase líquida y otra vapor.1

Se dice q el sist sufre un cambio de fase o q hay una transición entrefases.

El estudio experimental de estos cambios de fase nos ha enseñado quevienen asociadas, casi por definición, con discontinuidades, divergencias uotros comportamientos no—analíticos de ciertas magnitudes termodinámicastales como calores específicos y susceptibilidades.

1Recordad la divergencia de las fluctuaciones en el pto. crítico.

1

Por ejemplo, en la transición líquido—vapor diverge la compresi-bilidad isoterma,

KT = −∙v

µ∂P

∂v

¶T

¸−1,

revelando q ya no se cumple (1) sino (2), lo q se manifiesta en laopalescencia crítica.

Y estas situaciones son interesantísima en todas las ramas de la físicaactual (y en otras disciplinas). Pero ahora no interesa fenomenología, sino:

uno puede preguntarse entonces en qué condiciones el formalismo de la ME,sin recurrir a modelo concreto alguno, es capaz de dar cuenta de uncambio de fase (CF), o

más concretamente, cuándo es capaz (si lo es) de reproducir esos compor-tamiento no-analíticos q las caracterizan.

Éste es, esencialmente, el contenido de la teoría de YL de la q vamos a versus puntos más importantes y algunas de sus implicaciones.2

2Véanse los libros de Thompson, Ruelle, Ma, Pathria y Huang.

2

Una duda razonable

Empiezo notando cómo es razonable pensar que el formalismo desarrolladopudiera no ser capaz de reflejar el fenómeno de los CF. De hecho, vamos aver cómo el formalismo más general no las refleja (lo q pondrá en evidenciaq sólo el caso V →∞ es físicamente relevante).

Como ilustración primera, supongamos un sist clásico de N “moléculas”confinadas en V descritas por el hamiltoniano:

H = H0 +Ψ (1, ..., N)

con

• H0 =P

ip2i2mes la e cinética de las moléculas libres

• Ψ es la parte potencial q suponemos sólo depende de posiciones y puedeescribirse Ψ =

Pi<j ϕij con ϕij potenciales (efectivos) entre dos cuer-

pos.

La FP canónica, una vez realizadas las integraciones sobre los momentos,es

QN (V, T ) =1

N !Λ3N

Zd r1...d rN e

−βΨ, Λ =ph2/2πmkBT ,

q tendrá buen comportamiento en sus argumentos y es real y positiva,QN > 0∀N (y tomamos Q0 ≡ 1 por convenio). De aquí puede escribirse la macro-canónica,

Ξ (z, V, T ) =XN≥0

zNQN (V, T ) , z ≡ eµ/kT .

3

La presión y el volumen específico vienen entonces dados por:3

βP =1

VlnΞ (z, V, T )

1

v=

∂

∂ ln z

∙1

VlnΞ (z, V, T )

¸.

Son una ecuación de estado paramétrica del sist con parámetro z.

En este contexto nos preguntamos, desde pto de vista puramente matemáticoy general, por comportamiento de P = P (v) para valor fijo de V.

Empezamos notando q, para moléculas reales en V fijo:

siempre ∃ límite superior para N, Nm, ee, nomáximo q puedeempaquetarse en V, debido al núcleo fuertemente repulsivo de lospotenciales reales.

Se tiene en la práctica Nm ∝ V/σ3,4 donde σ es una medida deese núcleo (ej, el radio de la esfera dura).

En consecuencia,

QN (V, T ) = 0, N > Nm (V )

(ee, esos estados tienen energía infinita) y, a todos los efectos prácticos, Ξ esun polinomio en z de grado máximo Nm (V ) :

Ξ (z, V, T ) =NmXN=0

zNQN (V, T )

cuyos coeficientes son definidos reales y positivos.5

3Notemos q v = V/ hNi es aquí un parámetro independiente de V. La segunda ec sesigue entonces de q hNi = Ξ−1z ∂

∂zΞ y1v = n = hNi /V.

4Es suficiente con q Nm sea creciente con V.5Notemos q estos coeficientes sólo pueden determinarse conociendo ϕ (si sabemos cal-

cular la integral QN). En lo que sigue, determinamos propiedades generales importantessin llegar a determinarlos.

4

Sean

zk = zk (V, T ) , k = 1, 2, ..., Nm

las Nm raices de la ecuación algebraica:

NmXN=0

QN (V, T ) zN = 0. (3)

Se tiene q:

• dependen de V y T, pues las QN tienen esa dependencia;

• son generalmente nos complejos y, si reales, han de ser negativos: nopuede satisfacerse (3) con z real y positivo pues los QN son reales ypostivos;

• han de distribuirse en el plano complejo con simetría respecto del ejereal: han de aparecer necesariamente por parejas, ee, zk y su complejoconjugado z∗k

• podemos escribir Ξ en función de sus ceros:6

Ξ (z, V, T ) =NmYk=1

µ1− z

zk

¶, z > 0,

donde los ceros no pueden estar en la parte positiva del eje real.

6Por ejemplo, si xk = α, β, se tiene:

(x− α) (x− β) = x2 − (α+ β)x+ αβ,

donde αβ = 1 puesto q Ξ (0) = 1. Pero también se tiene si αβ = 1 :³1− x

α

´µ1− x

β

¶=

α− x

α

β − x

β= (x− α) (x− β) .

5

Pero los ceros de Ξ son los ptos singulares del potencial termodinámico,1VlnΞ (z, V, T ) , y, en consecuencia, de P y de 1/v,

luego, tanto P como 1/v, son funciones analíticas de z en una región delplano q incluye el eje real positivo y, en consecuencia,

P es función analítica de v en una región del plano v q incluye el eje realpositivo;

notad q, dado su significado físico, los parámetros v y z = eµ/kT son definidosreales y positivos en Física, luego

la presión

o cualquier otra magnitud, q siempre puede obtenerse a partir de ésta en lacolect macrocanónica,

no puede presentar comportamiento no-analíticos físicamente relevantes,como los q caracterizan a los CF, para un valor finito de Vpues no hay entonces singularidades en el eje real positivo.

6

Algunos comentarios relevantes

Antes de ver en qué condiciones pueden aparecer singularidades, notamos:

• Lo anterior es extensible a sists cuánticos:— las relaciones entre P, v, QN y Ξ son independientes del tipo demecánica q satisfacen los constituyentes;

— forma de QN difiere, pero siguen válidas las prop generales nece-sarias:

∗ el hamiltoniano H es el mismo, salvo q pi se interpreta ahoracomo el ope momento de la molécula i;∗ el núcleo esfera rígida en Ψ requiere ahora q se anule cualquierfunción propia de H si las moléculas se solapan;∗ se tiene (por ejemplo; hay ahora otros formalismos):

QN (V, T ) =

Zd r1... d rN

Xα

ψ∗α (1...N) e−βH ψα (1...N)

q también satisface las propiedades requeridas.

• QN ≥ 0 ∀N y Q0 = 1, luego (∀z real y positivo, el rango físico),Ξ = 1 + ... ≥ 1 y

βP =1

VlnΞ ≥ 0.

• Como consecuencia de la definición de Nm, el volumen específico mín-imo (debido a la impenetrabilidad de las moléculas) es finito:

vm ≡ V

Nm≤ V

N= v <∞.

• Hemos visto en teoría de fluctuaciones qµ∂P

∂v

¶V,T

= −kTV

1

v

hNi2­(N − hNi)2® , (4)

q es necesariamente > 0, como requieren los criterios de estabilidad, y6= 0, como ocurriría en un CF, para valores finitos de V.

• En definitiva,P ≥ 0∂P/∂v < 0ausencia de singularidades

⎫⎬⎭ =⇒¯̄̄̄¯̄ el sist se encuentra en unafase bien definida, siemprela misma por todo el eje real

7

Conclusión:

• Para un sist, sea clásico o cuántico, con V finito, por grande q éste sea,el formalismo general de la ME implica una ec de estado P (v)–o bienH (M) si se trata de un sist magnético, etc.– con buen comportamientoen el eje real positivo.

• Además, el sist ha de encontrarse, para valores dados de V y T, en unafase bien definida a lo largo del eje real positivo, no pudiendo apareceren éste un CF o coexistencia de fases.

• Pero (4) sugiere q podría tenerse ∂P/∂v ∼ O (1/V ) en alguna región deldiagrama termodinámico, de modo q ∂P/∂v sería ciertamente pequeñapara un sistema macroscópico, para el q V ∼ O (1024) típicamente, y seseguiría P prácticamente constante (en escala macroscópica), tal comose observa en una coexistencia de fases en el lab.

• Es decir, se plantea la posibilidad de que el formalismo refleje CFssólo en el caso de sists macroscópicos q, como vimos, requieren serrepresentados en este contexto con la condición V → ∞ (para evitarinfluencia de las condiciones en los límites o efectos superficiles). Másexplícito, los modelos han de considerarse en el LT:

V →∞, N →∞,V

Nfinito e igual al vol específico dado.

• En estas condiciones, la ec de estado paramétrica es:

βP = limV→∞

∙1

VlnΞ (z, V, T )

¸(5)

1

v= lim

V→∞

½∂

∂ ln z

∙1

VlnΞ (z, V, T )

¸¾(6)

donde el límite ha de entenderse en sentido estrictamente matemático;en particular, las operaciones LT y ∂/∂z pueden no conmutar.7

7Aunque luego mostramos cómo la teoría de Yang y Lee concluye q, para el tipo deinteracciones q interesa, estas operaciones conmutan de hecho.

8

¿Cómo es posible que, en el LT, puedan aparecer CFs?

Supongamos q, para V finito, los ceros de Ξ (z, V, T ) están distribuidos en elplano complejo (sin caer en el eje real positivo):

Sabemos q, para potenciales muy generales, Nm ∝ V/σ3 o, al menos, crececon V, y q los ceros son zk = zk (V, T ) , de modo q se moverán continuamentepor el plano z al variar V.

Ee, al crecer V, la distribución inicial de ceros se va haciendo más densa.En estas condiciones, puede ocurrir q, para V → ∞, acabe eventualmentehaciéndose continua, de modo q aparezca un pto z0 de acumulación de cerosen el eje real, es decir, una singularidad esencial aislada:8

q se correspondería con un CF a temperatura TC tal q z0 = eµ/kTC .

8Ver comentario en página siguiente.

9

• Sea una región R en el plano z q contiene un segmento del eje realpositivo libre de ceros de Ξ (z, V ) para cualquier valor de V. En conse-cuencia, P ≥ 0 y ∂P/∂v < 0 en R, de modo q el sist se encuentra enuna fase homogénea única por todo R.

• Si admitimos la posibilidad indicada en la transparecia anterior, po-dríamos definir varias regiones R, R0, ... de este tipo, sin solapamientoentre ellas, cada una correspondiente al sistema en cada una de susposibles fases:

• y los CF se corresponderían al paso de una región a la otra, de modoq para estudiarlos sólo tenemos q analizar la ec de estado (5) + (5) alvariar z a lo largo del eje z pasando de una región a otra.9

Ésta es la idea fundamental de la teoría de Yang y Lee, idea q está contenidaesencialmente en dos teoremas:

9Un pto de acumulación de ceros sólo puede conducir a:

— una función idénticamente nula, q no es nuestro caso, o

— una singularidad esencial aislada como, por ejemplo, la función sen (1/z) , para la qz = 0, es el límite de la sucesión de ceros z = 1/nπ (n = ±1,±2, ...)

(Por el contrario, tan (1/z) tiene polos en los ptos z = 2/nπ, n = ±1,±3, ..., y, por tanto,z = 0, pto de acumulación de la sucesión de polos, es un pto singular esencial no aislado.)

10

Primer Teorema YL, que tiene dos partes:

Primera parte:

Existe la función límite

F∞ (z, T ) ≡ βP (z, T ) = limV→∞

µ1

VlnΞ

¶(7)

∀z real y positivo, y este límite es independiente de la forma del sist (porsupuesto, excluyendo casos patológicos en los q la sup crece más rápidamentecon el V q V 2/3).

Este resultado ya ha sido demostrado en estos mismos términos en otralección bajo condiciones muy generales sobre el potencial, así q admitimos elteorema.

Notad q, de hecho, esto se ha demostrado por etapas:

para potenciales estables y moderados, ∃ la energía libre a (v, T )en el LT y es convexa en v;

como corolario, se sigue q ∃ presión canónica P = − (∂a/∂v)T enel LT;

independientemente, se ha establecido la igualdad entre las fun-ciones canónicas y las macrocanónicas en el LT.

Se sigue así la existencia de F∞ y su independencia de la forma.

Segunda parte:

F∞ (z, T ) es una función continua no-decreciente de z (además de ser real ydefinida positiva)

El q F∞ (z) sea creciente en z es consecuencia de la definición (7) y de qla relación

Ξ (z, V ) =NmXN=0

zNQN (V )

es válida, por definición, ∀V.

11

Para q F∞ (z) sea función continua de z sólo nos falta probar q su derivada(logarítmica) permanece acotada ∀V :

z∂Ξ

∂z= z

∂

∂z(1 + zQ1 + z2Q2 + ...) = zQ1 + 2z

2Q2 + ... =NmPN=1

NzNQN

QN>0

≤ Nm

NmPN=1

zNQN < Nm

µ1 +

NmPN=1

zNQN

¶= NmΞ

∂

∂ ln z

µ1

VlnΞ

¶=1

V

1

Ξz∂Ξ

∂z<

Nm

V

por ej=

1

Vconst

V

σ3= const

1

σ3<∞.

Segundo Teorema YL:

Sea una región R del plano complejo z, tq incluya un segmento del eje realpositivo y no contenga ceros para cualquier V (incluyendo V →∞).

Se sigue que, ∀z ∈ R, la función

F (z, V ) ≡ 1

VlnΞ (z, V ) (8)

converge uniformemente para V →∞ hacia un límite q es funciónanalítica en R.

• Establecido el primero, éste es consecuencia inmediata (o casoparticular) del teorema de convergencia de Vitali.10

• En efecto, sea círculo D, dentro de R, con radio finito y centro eneje real positivo.Primero, probamos el teorema en D : (8) forma una secuenciade funciones para V creciente que satiaface el teorema de Vitali,puesto q:

— ∀V finito, F (z, V ) es analítica en D.

— Para cualesquiera V y z ∈ D, |F (z, V )| está acotada pornoindependiente de V y z :En efecto, por ser QN ≥ 0, se tiene:

|F (z, V )| ≤ 1

Vlnh1 + |z|Q1 (V ) + · · ·+ |z|Nm QNm (V )

i.

10Ej.: E.C. Titchmarsh, “The Theory of Functions”, Oxford Univ. Press, p. 168.

12

Pero, en el círculo D, es |z| < ξ = noreal, luego:

|F (z, V )| ≤ 1

Vln£1 + ξQ1 + · · ·+ ξNmQNm

¤.

Ahora bie, la derecha de esta expresión está acotada pues loestá para cualquier V finito y, por el primer teorema, tienelímite para V →∞.

— Por último, el primer teorema implica q F (z, V ) tiene unlímite en D q es precisamente F∞ (z) .

• Pero éstas son las condiciones del T de Vitali q implica q, en estascondiciones, se verifica el segundo T (convergencia uniforme haciauna función analítica) en D.

• A continuación, podemos contruir en R otro círculo D0 con centroen D, las condiciones de Vitali también se verifican en D0;así, sucesivamente, puede extenderse la validez del teorema a todala región R.

13

Algunas consecuencias:

Para acabar de entender el alcance de estos teoremas, recordemos q

una fase del sist puede definirse como colección de estados correspondientesa valores de z contenidos en una región R como la del 2oT

para esta fase, el T nos dice que F (z, V ) converge uniformemente paraV →∞ hacia F∞ (z) , y esto implica q uno puede intercambiar las opelímite y derivada en la ec. (6) para 1/v, y

se sigue q la ec. de estado paramétrica del sist es:

P (z) = kTF∞ (z) ,1

v (z)=

∂

∂ ln zF∞ (z)

∀z ∈ R, ee, para la fase en consideración.

La continuidad analítica de estas funciones en R implica evidentemente q elsist ha de encontrarse en toda esa región en una fase única.

Pero ∃ la posibilidad de que ocurran CFs, ee, de q aparezcan singularidadesen esas funciones, si movemos la variable z más allá de los límites de R (enparticular, siguiendo el eje real positivo para ceñirnos a valores físicos de z)y nos encontramos con un punto de acumulación de los ceros zk.

Veamos las posibilidades más sencillas de este tipo q pueden presentarse:

• Eje real positivo limpio de ceros para R finito, luego puede q no sepresenten singularidades para V → ∞, y podamos tomar R como seindica:

14

— Como vimos, esto quiere decir q el sist se encuentra en una faseúnica ∀z y ∀T q se correspondan con esta situación.

En este caso, P (z) y 1/v (z) tienen un buen comportamiento y,eliminando z, se tendrán isotermas con pendiente negativa:

Experimentalmente, esto ocurre para T > TC , donde la T críticapuede coincidir con 0oK si el sist no presenta CF.

• Pero puede ocurrir q uno de los ceros zk (V ) se aproxime a z0 en el ejereal positivo para V →∞. En este caso, hay q distinguir dos regionesR1 y R2 si no pueden contener ceros:

15

— Se sigue de los teoremas Y—L q el sist puede presentarse en dosfases, para z < z0 y z > z0, respectivamente.

— P (z) ha de ser continua en z = z0, como consecuencia del 1er T,pero su primera derivada, 1/v, puede ser discontinua:11

— Eliminando z entre las dos ecs se sigue P (v) con la forma indicadaen el gráfico anterior.

— A este tipo de CF se le llama de primer orden, con una región(vL, vG) de coexistencia de las fases.

— Esta situación la presentan típicamente los fluidos para T < TC .

11Problema: Si hay cambio en el volumen específico, tal como se implica en este caso,ha de ser tq 1/v (z) crezca cuando z aumenta pasando por z0.En efecto, de relaciones discutidas al estudiar el formalismo macrocanónico, se tiene:

∂

∂ ln z

∙1

v (z)

¸=

∂

∂ ln z

∙∂

∂ ln z

µ1

VlnΞ

¶¸=

D(N − hNi)2

EV

≥ 0

luego, si esta derivada es positiva, ha de ser:

1

v (z0 + 0)≥ 1

v (z0 − 0) .

16

• Puede también ocurrir q la singularidad entre R1 y R2 sea de tal nat-uraleza que 1/v, 1aderivada de P (v) , permanezca continua pero lasegunda, ∂2P/∂z2, presente discontinuidad:

— No hay entonces valor alguno de v que corresponda a coexistenciade fases, como indica el tercer gráfico en la figura anterior, y

— se tiene un CF de los llamados de segundo orden o continuo.

• También puede ocurrir en la práctica q alguna de las derivadas de P (v)diverja en z0 sin problemas en la derivada previa(ej, aparición de un denominador z − z0):

— sería entonces ambiguo clasificar el CF por su orden (quiero decirsegún las ideas de Ehrenfest).

— Una situación de este tipo puede presentarse en la transición λ delHe4.

17

• Otra posibilidad algo complicada consistiría en la presencia de dos (omás) puntos de acumulación de ceros:

— Habrá q definir varias regiones, R1, R2, R3,... correspondientes adistintas fases del sistema;

— z0 corresponderá a la coexistencia de dos fases, z00 a la de otrasdos, etc.

• Notemos también q la distribución de ceros zk (V, T ) depende de la Tdel sist y, por tanto, otro tanto ocurrirá con las singularidades en el ejereal para V →∞.En consecuencia,

— puede ocurrir que z0 y z00 en el ejemplo anterior lleguen a con-fundirse en algunos sists para cierta T

— tendremos entonces la coexistencia de tres fases (ej, vapor, líquidoy sólido) en z = z0 = z00, de modo que éste es un punto triple.

18

En definitiva, hemos mostrado q:

• el formalismo general de laME , en particular, la ec de estado paramétrica(5)—(6) puede denunciar el interesante fenómeno de los CF, incluso apartir de un hamiltonianoH = H0+Ψ tan general como el considerado;

• los CF están asociados con singularidades en el eje real positivo en ellímite termodinámico;

• la naturaleza de la transición está íntimamente realcionada con la nat-uraleza de la singularidad.

• Notemos q no puede demostrarse q las posibilidades q hemos enumer-ado sean las únicas,

— ej, podría ocurrir q al acercarse los ceros al eje real para V →∞no lo hicieran hacia un pto único, sino hacia un segmento;

— todavía se tendría un CF desde un pto de vista matemático eneste caso, aunque la interpretación física de tal anomalía seríacomprometida;

• pero los resultados conocidos se acomodan bien al esquema anterior.

19

La teoría de Y—L, q data de 1952,12 no puede decirse q haya tenido undesarrollo espectacular, a pesar de su generalidad y sencillez, pero es útil yha tenido interesantes consecuencias:

Utilidad:

• En principio, es capaz de determinar la forma de disgramas termod-inámicos, lo q tiene gran interés teórico y práctico. Por ejemplo,recordemos el diagrama del He4 :

— Se sigue de lo anterior q esas curvas de coexistencia son el lugargeométrico de las singularidades esenciales aisladas z0 (T ) o, másconcretamente, P (z0), al variar T.

12Su importancia histórica se hace evidente al notar q no se contaba entonces con evi-dencia rigurosa y general alguna en ME del fenómeno de los CFs.

20

— En consecuencia, del conocimiento de la función z0 (T ) se seguiráinformación muy completa acerca de los CFs en el sist.

∗ Por ejemplo, al variar T para q z0 (T ) describa la curva depresión de vapor, llegará un momento en el q la singularidaddesaparecerá, indicándonos q se ha sobrepasado un puntocrítico,∗ mientras q nunca desaparece la singularidad cuando z0 (T ) de-scribe la curva de fusión, indicando q la transición líquido—sólido no tiene punto crítico.

• Lamentablemente, no es fácil en la práctica determinar z0 (T )–puedeser tan complicado como calcular la f de partición–, pero puede hacerseen algunos casos:

— Problema: Calculad la distribución de ceros para el modelo fer-romagnético de Ising en una dimensión. (Usad, al menos, la colec-tividad macrocanónica para campo nulo e interacciones entre ve-cinos próximos.)13

— Teorema de Lee: Si la energía de la interacción entre dos ele-mentos es +∞ cuando ocupan el mismo nudo de la red y es ≤ 0en otro caso, todos los ceros de la f de partición se encuentran enun círculo, en el plano complejo, con centro en z = 0.

13Se llega con facilidad a que los ceros se encuentran en

z = η2 eiθ½

η ≡ e−2βJcos θ = −η2 + ¡1− η2

¢cos (2k−1)πN

con k = 1, 2, ..., N, N ≡ noespines en sist, y J ≡ magnitud de la interacción entre ellos.Para N →∞, esta distribución se hace continua formando una especie de herradura:

q sólo se cierra sobre el eje real para η = 0, ee, para T = 0oK, lo q implica q este sist uni-dimensional sólo presenta transición desde un estado paramagnético a otro ferromagnéticoen el cero absoluto..

21

Consecuencias:

• Elijo mencionar ciertos resultados14 q relacionan la forma de la dis-tribución de ceros con el comportamiento observable del sist.Me refiero –para seguir de cerca a Fisher–

a la FP canónica (no la macro), Q (H) ,

en función de campo sin dimensiones q juega papel de la fugacidad,

q es complejo, H = H 0 + iH 00,

de modo q la parte real H 0 se corresponde en casos de interés conel campo magnético sobre el sist.

• Se ha demostrado q, en estas condiciones, para muchos sistemas deinterés, incluyendo:

— modelo ferromagnético de Ising

— modelo de Heisenberg,

— modelos esféricos y de campo medio,

los ceros sólo aparecen en el eje imaginario:

14Obtenidos desde 1978 por Fisher y otros, incluido Miracle. Ved, por ejemplo,M.E. Fisher, Supl. Progr. Theor. Phys. 69, 14 (1980)D.A. Kurtzl & M.E. Fisher, Phys. Rev. B 20, 2785 (1979)

22

• Puede entonces definirse una función de distribución p tq

Np (H”) dH” = node ceros entre iH” y i (H” + dH”)

• Cálculos exactos y técnicas del GR implican entonces q, con gran gen-eralidad, una parte del eje imaginario, alrededor del origen, q es funciónde T, suele encontrarse libre de ceros, ee,15

p (H”)

½> 0, H” > H0 (T )

+

= 0, H” < H0 (T )− ,

donde H0 (T )+ → 0 para T → TC .

• Más concretamente, Griffiths y otros muestran q, para N →∞ :

p (H”) ∼ ¯̄H”−H0 (T )+¯̄σ, H”→ H0 (T )

+ ,

de manera q el inicio de esa zona tiene gran similitud con el compor-tamiento en el pto crítico; de hecho –al involucrar una sola variable–viene llamándose punto proto—crítico.

• También se descubre así q las singularidades correspondientes a losceros más próximos al eje real tienen una gran influencia sobre el com-portamiento físico del sistema:

— de hecho, llegan a dominar la ec de estado cerca del pto crítico.

15Nótese cómo recuerda el comportamiento de un parámetro de orden!

23

— Se ha visto q la energía libre puede escribirse:

F (T,H) = −kTZdH” p (H”) ln (H − iH”)

en analogía con la forma del potencial electrostático bi—dimensionaldebido a una distribución de cargas positivas en el eje imaginariocon densidad p (H”) ;

— la magnetización juega entonces papel análogo al del campo eléc-trico, y viene dada por

M ∝µ∂F

∂H

¶T

=

ZdH”

p (H”)

H − iH”∼ ¯̄H”−H0 (T )

+¯̄σ;

— y se sigue también el comportamiento de otras magnitudes ob-servables, incluyendo la susceptibilidad:

χ ∝µ∂M

∂H

¶T

.

En definitiva, el conocimiento de algunas prop de la distribución deceros puede conducir a las propiedades más importantes del CF,16 conlo q la teoría de Y—L pasa a ser herramienta fundamental en el estudiode fenómenos críticos.

16Notamos, como ejemplo, que la ec para M arriba puede combinarse con la definicióndel exponente δ, ee,

M (H) ∼ H1/δ,

de modo q σ = 1/δ, y δ se sigue del conocimiento de σ.

24