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Triángulos. Problemas de Capitulo

Clasificación de triángulos por sus lados o sus ángulosTrabajo en clase

En los problemas 1-10, elige la descripción más apropiada para el triángulo dado. (Equilátero, Escaleno, Isósceles, Obtuso, Agudo, Recto, Equiángulo)

1. Longitud lados: 3 cm, 4 cm, 5 cm2. Longitud lados: 3 cm, 3 cm, 4 cm3. Longitud lados: 2 cm, 3 cm, 2 cm4. Longitud lados: 5 cm, 5 cm, 5 cm5. Longitud lados: 2 cm. 3 cm, 4 cm6. Medida ángulos: 30°, 60°, 90°7. Medida ángulos: 60°, 60°, 60°8. Medida ángulos: 92°, 37°, 51°9. Medida ángulos: 88°, 67°, 25°10. Medida ángulos 37°, 39°, 104°

Completa las afirmaciones usando SIEMPRE, ALGUNAS VECES, y NUNCA.

11.Un triángulo isósceles ___________es un triángulo escaleno 12.Un triángulo equilátero _________ es un triángulo isósceles.13.Un triángulo isósceles ___________ es un triángulo equilátero.14.Un triángulo acutángulo ___________es un triángulo equiángulo. 15.Un triángulo isósceles __________ es un triángulo rectángulo.

Para 16-20, clasifica los triángulos por sus lados y ángulos.

135°

20.19.

106°

37°

37°18.

43°

22°

115°

17.16.64°

58°58°

Geometría: Triángulos ~1~ NJCTL.org

Clasifica los triángulos por sus lados y ángulosTrabajo en casa

En los problemas 21-30, elige la descripción más apropiada para el triángulo dado. (Equilátero, Escaleno, Isósceles, Obtuso, Agudo, Recto, Equiángulo)

21. Longitud lados: 5 cm, 6 cm, 7 cm22. Longitud lados: 2 cm, 2 cm, 3 cm23. Longitud lados: 3 cm, 3 cm, 3 cm24. Longitud lados: 3 cm, 4 cm, 4 cm25. Longitud lados: 4 cm, 3 cm, 2 cm26. Medidas ángulos: 60°, 60°, 60°27. Medidas ángulos: 60°, 30°, 90°28. Medidas ángulos: 33°, 52°, 95° 29. Medidas ángulos: 37°, 43°, 100°30. Medidas ángulos: 25°, 67°, 88°

Completa la afirmación usando SIEMPRE, ALGUNAS VECES, y NUNCA.

31.Un triángulo escaleno ___________ es un triángulo equilátero.32.Un triángulo equilátero __________ es un triángulo obtuso.33.Un triángulo isósceles ___________ es un triángulo agudo.34.Un triángulo equiángulo ___________ es un triángulo rectángulo. 35.Un triángulo rectángulo__________ es un triángulo isósceles

Para 36-40, clasifica los triángulos por sus lados y ángulos.

46°46°

40.39.

106°

47°27°

38.

36°

36°

108°

37.36.

51°

51°78°


Suma de Triángulos y Teorema de los Ángulos ExterioresTrabajo en claseEn los triángulos dados, resuelve para la variable que falta.

z°y°x°

21°39°

65°

x°

(3x-18)°

(4x-13)°

2x° (3x+23)°

49.

47.

z°

x°

(y+10)°

65° 36°

>>

>>

46.

x°

65°85°

45.44.

(4x+21)°

(x-10)°(2x+8)°

43.

x°

57°42.

x°

93°29°

41.

Suma de Triángulos y Teorema de los Ángulos ExterioresTrabajo en claseEn los triángulos dados, resuelve para la variable que falta

z°

34°y°x°

23°

62°19° 47°z°

26° y°

35°

x°66°

58.

z°

y°x°

(x+4)°(3x-22)°

(3x-18)°

(2x+27)° (6x-23)°

57.56.

z°

x°

(y-13)°

55° 29°

>>

>>55.

54.53.

(3x-14)°

(x-7)°(2x+15)°

52

(x-9)°

62°51.

x°

87°32°

50.


Preguntas tipo PARCC 59. Demostración del Teorema de la Suma de Triángulos: completa la demostración completando las razones que faltan del “banco de razones” de la derecha. Algunas razones pueden usarse más de una vez y algunas no se usarán.

Dado: j || k, ∠DBE es un ángulo rectoPrueba: m∠1+m∠4+m∠7=180 °

Afirmaciones Razones1. j || k ∠DBE es un ángulo recto

1.

2. m∠DBE=180 ° 2.3. m∠3+m∠ 4+m∠5=m∠DBE

3.

4. m∠3+m∠ 4+m∠5=180 ° 4.5. ∠3≅∠1 ,∠5≅∠7 5.6. m∠3=m∠1 ,m∠5=m∠7 6.7. m∠1+m∠4+m∠7=180 ° 7.

Desigualdades en TriángulosTrabajo en ClasePara cada triángulo lista los lados de mayor a menor. 60-62.60. 61. 62.

Para cada triángulo lista los lados de mayor a menor 63-65.63. 64. 65.


Banco de Razones

a) Postulado de la Suma de Ángulosb) Propiedad de Sustitución de la Igualdadc) Si 2 rectas paralelas son cortadas por

una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes.

d) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes

e) Dadof) Definición de ángulos congruentes.g) Definición de ángulo recto.

¿Se podrá armar un triángulo con las tres longitudes dadas?66. 2, 3, y 467. 1, 3, y 468. 5, 6, y 769. 16, 8, y 770. 20, 10, y 1071. 8x, 7x, y 14xDadas las longitudes de dos lados de un triángulo, ¿qué longitudes podría tener el tercer lado, x? 72. 12 y 1473. 15 y 674. 22 y 2275. 9 y 1276. 8y y 10y

Desigualdades en TriángulosTrabajo en casaPara cada triángulo lista los lados de mayor a menor 77-79.77. 78. 79.

Para cada triángulo lista los lados de mayor a menor 80-82. 80. 81. 82.


Lista los lados del más corto al más largo 83-84.83. 84.

¿Se podrá armar un triángulo con estos tres lados dados?85. 21, 34, y 4986. 11, 31, y 4487. 8, 6, y 588. 12, 5, y 789. 20, 30, y 1190. 9x, 17x, y 26x

Dadas las longitudes de dos lados de un triángulo, ¿qué longitud podría tener el tercer lado x? 91. 10 y 2192. 19 y 893. 30 y 3094. 5 y 1595. 4y y 14y

Triángulos semejantesTrabajo en clase

96.Determina si los triángulos son semejantes. Si lo son, escribe una afirmación de semejanza y establece el Postulado o Teorema de Semejanza.


a.

b. c.

Preguntas tipo PARCC: Completa la demostración completando en las razones que faltan con el “banco de razones” de la derecha. Algunas razones podrían no ser usadas en absoluto.

97. Dado: Prueba: ∆ DEH ∆GEF

Afirmación Razones1. 1.2. ∠D≅∠G 2.3. ∠DEH ≅∠GEF 3.4. ∆ DEH ∆GEF 4.

98. Dado: , , , , y Prueba: ∆QPR ∆BCA

Afirmaciones Razones1. , , ,

, and

1.


Banco de Razones

a) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes.

b) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.

c) Dadod) Los ángulos verticales son congruentese) AA~f) SAS~g) SSS~

Banco de Razones

a) Si los factores de escala son iguales, entonces los lados son proporcionales.

b) Dadoc) AA~d) Cálculo del factor de escala entre los

lados de los triángulos.e) SAS~f) SSS~

2. PRCA

=96=3

2, QRBA

=7.24.8

=32

2.

3. PRCA

=QRBA

3.

4. ∆QPR ∆BCA 4. 99. Dado: , Prueba: ∆ ABC ∆≝¿

A

B

C D

E

F

Afirmaciones Razones1. , 1.2. ∆ ABC ∆≝¿ 2.

100. Dado: FDCA

EFBC

DEAB

Prueba: ∆ ABC ∆≝¿

A

B

C D

E

F

Afirmaciones Razones

1. FDCA

EFBC

DEAB

1.

2. ∆ ABC ∆≝¿ 2.

En los problemas 101-103, determina si .101. 102.


Banco de Razones

a) AA~b) SAS~c) SSS~d) Dado

Banco de Razones


103.

Preguntas tipo PARCC:Resuelve para y.

104. 105.

Preguntas tipo PARCC: Completa la demostración completando las razones que faltan con el “banco de razones” de la derecha. Algunas razones podrían no ser usadas en absoluto. 106. Demuestra el Teorema del Lado Divisor

Dado BD║ AE

Prueba CECD

CACB

Afirmaciones Razones1. BD║ AE 1.2. ∠C≅∠C 2.3. ∠CBD≅∠CAE 3.4. ∆CBD ∆CAE 4.


A E

C

B D

Banco de Razones



c) Dadod) Propiedad Reflexiva de Congruenciae) AA~f) SAS~g) Si dos triángulos son semejantes,

entonces sus lados correspondientes son proporcionales.

h) SSS~

5. CECD

CACB

5.

Triángulos SemejantesTrabajo en clase

107. Determina si los triángulos son semejantes. Si lo son, escribe una afirmación de semejanza y establece el Postulado o Teorema de Semejanza. a. b.

c.


Preguntas tipo PARCC: Completa la demostración llenando en las razones que faltan con el “banco de razones” de la derecha. Algunas razones podrían no ser usadas en absoluto.

108. Dado: Prueba: ∆ ACE ∆BCD

Afirmaciones Razones1. BD║ AE 1.2. ∠C≅∠C 2.3. ∠CDB≅∠CEA 3.4. ∆ ACE ∆BCD 4.

109. Dado: , , , Prueba: ∆ PQR ∆ ABC

Afirmaciones Razones1. , ,

,

1.

2. m∠R=77 ° 2.3. ∠Q≅∠B ,∠R≅∠C 3.4. ∆ PQR ∆ ABC 4.

110. Dado: FDCA

DEAB

,

Prueba: ∆ ABC ∆≝¿

A

B

C D

E

F


1. FDCA

DEAB

,

1.


Banco de Razones


b) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes

c) Dadod) Propiedad Reflexiva de Congruenciae) AA~f) SAS~g) SSS~

Banco de Razones

a) Teorema de la Suma de Triángulosb) Dadoc) AA~d) SAS~e) Definición de ángulos congruentesf) SSS~

Banco de Razones


2. ∆ ABC ∆≝¿ 2.En los problemas 111-113, determina si .

111. 112.

113.

Preguntas tipo PARCC:Resuelve para y.

114. 115.

116.


Preguntas tipo PARCC:117. Prueba el Teorema del Lado Divisor Opuesto: Completa la demostración llenando con las razones que faltan del “banco de razones” de la derecha. Algunas razones podrían no ser usadas en absoluto.

Dado CECD

CACB

Prueba BD║ AE


1. CECD

CACB

1.

2. ∠C≅∠C 2.3. ∆CBD ∆CAE 3.4. ∠CBD≅∠CAE 4.5. BD║ AE 5.

AplicacionesTrabajo en clase

118. Quieres saber la altura aproximada del edificio de tu escuela. Ubicas un espejo sobre el piso y te paras donde puedes ver la parte más alta del edificio en el espejo. ¿Qué altura tiene tu escuela? El espejo está a 30 pies desde la base de la escuela. Estás a 36 pulgadas desde el espejo y tus ojos están a 5 pies arriba del piso. Redondea tu respuesta al número entero más cercano.

119. Quieres saber la altura aproximada de un árbol de pino muy alto. Ubicas un espejo en


A E

C

B D

Banco de Razones

a) Si 2 rectas son cortadas por una transversal y los ángulos interiores alternos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

b) Si 2 rectas son cortadas por una transversal y los ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

c) Dadod) Propiedad Reflexiva de Congruenciae) AA~f) SAS~g) SSS~h) If two triangles are similar, then the

el piso y te paras donde puedes ver la parte de arriba del árbol en el espejo. ¿Qué altura tiene el árbol? El espejo está a 24 pies desde la base del árbol. Tú estás a 24 pulgadas desde el espejo y tus ojos están a 6 pies sobre el piso. Redondea tu respuesta a la décima más cercana..

120. Para calcular la distancia d cruzando un lago, ubicas los puntos como se muestra. Calcula el valor de d. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

AplicacionesTrabajo en casa

121. Quieres saber la altura aproximada de tu casa. Ubicas un espejo sobre el piso y te paras donde puedes ver la parte más alta de tu casa en el espejo. ¿Qué altura tiene tu casa? El espejo está a 25 pies de la base de la casa. Tú estás a 60 pulgadas desde el espejo y tus ojos están a 5 pies 6 pulgadas sobre el piso. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

122. Quieres saber la altura aproximada de un árbol de roble. Ubicas un espejo en el piso y te paras donde puedes ver la base más alta del árbol en el espejo. ¿Qué altura tiene el árbol? El espejo está a 24 `pies de la base del árbol. Tú estás a 36 pulgadas del espejo y tus ojos están a 5 pies sobre el piso. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

123. Para calcular la distancia d cruzando un lago, ubicas los puntos como se muestra. Calcula el valor de d. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.


Revisión de TriángulosOpción Múltiple

1. Identifica el por sus lados y ángulos a. escaleno, acutángulo b. isósceles, obtusac. escaleno, obtusod. equilátero, equiángulo

2. Se dan las medidas de un triángulo, calcula el valor de x. a. 24 A los ángulos del triángulo son:b. 28 m∠ A=¿ 2x - 1c. 32 m∠B=¿ x + 9d. 30 m∠C=¿ 3x + 4

3. Clasifica el triángulo por sus lados y ángulos.a. escaleno, obtusob. isósceles, acutánguloc. escaleno, acutángulod. isósceles, obtuso

4. Usando la figura a la derecha, lista los segmentos de menor a mayor. a. BC , AC , BC , AD ,DCb. AB ,BC , AC , AD, DCc. AD, DC , AC , AB ,BCd. no se puede determinar

5. Usa el diagrama para calcular el valor de x. a. 130b. 125c. 120d. 110

6. ¿Cuál de los siguientes valores no puede ser el tercer lado de un triángulo si dos de sus lados son 14 y 20?

a. 18b. 20c. 32.5 d. 34


8

12

10

7. Decide si los triángulos son semejantes. Si lo son, escribe una afirmación de semejanza.

a. Si, b. Si, c. Si, d. Los triángulos no son semejantes.

8. Determina si los triángulos son semejantes. Si lo son establece el teorema o postulado de semejanza.

a. Sí, por AA~b. Sí, por SSS~c. Sí, por SAS ~d. Los triángulos no son semejantes

9. Determina si los triángulos son semejantes. Si lo son establece el teorema o postulado de semejanza.

a. Sí, por AA~b. Sí, por SSS~c. Sí, por SAS ~d. Los triángulos no son similares

10.Resuelve para y

a. 8b. 4.5c. 6


d. 1211.Resuelve para x

a. 4b. 4.8c. 10d. 12.8

Respuestas de construcción corta – Escribe la respuesta correcta para cada pregunta. No se dará crédito parcial.

12.Calcula los valores de x y z.

13. ∆ JKL ∆NPM . Calcula los valores si x e y


2x-10

x

40

z

14. Para calcular la distancia d que cruza un arroyo, ubicas los puntos como se muestra. Calcula el valor de d.

Respuestas de construcción extendida – Escribe la respuesta correcta para cada pregunta. Se dará crédito parcial.

15. Completa la demostración llenando las razones que faltan con el “banco de razones de la derecha”. Algunas razones podrían no ser usadas en absoluto. Dado BD║ AEPrueba ∆ BCD ∆ ACE

Afirmaciones Razones1. BD║ AE 1.2. ∠C≅∠C 2.3. ∠CBD≅∠CAE 3.4. ∆ BCD ∆ ACE 4.


A E

C

B D

Banco de Razones



c) Propiedad Reflexiva de Congruenciad) AA~e) SAS~f) Dadog) SSS~

Respuestas1. Escaleno2. Isósceles3. Isósceles4. Equilátero 5. Escaleno6. Rectángulo7. Equiángulo y acutángulo8. Obtuso9. Acutángulo10.Obtuso11.Nunca12.Nunca13.Algunas veces14.Algunas veces15.Algunas veces16.Lados: Isósceles, Ángulos: Agudo17.Lados: Escaleno, Ángulos: Obtuso18.Lados: Isósceles, Ángulos: Obtuso19.Lados: Escaleno, Ángulos:

Rectángulo20.Lados: Isósceles, Ángulos: Obtuso21.Escaleno22. Isósceles23.Equilátero 24. Isósceles25.Escaleno26.Equiángulo y acutángulo27.Rectángulo28.Obtuso29.Obtuso30.Agudo31.Nunca32.Nunca33.Algunas veces34.Nunca35.Algunas veces36.Lados: Escaleno, Ángulos:

Rectángulo37.Lados Escaleno, Ángulos: Obtuso38.Lados Isósceles, Ángulos: Obtuso39.Lados Isósceles, Ángulos:

Acutángulo40.Lados Isósceles, Ángulos:

Acutángulo41.X=58°42.X=33°

43.X=23°44.X=30°45.X=79°, z=144°, y=55°46.X=1247.X=2748. (PROBLEMA FALTANTE)49.X=76°, y=104°, z=55°50.X=61°51.X=3152.X=3753.X=2754.X=3255.X=96°, z=151°, y=6856.X=66°, z=88°, y=79°57.Z=90°, y=43°, x=71°58.X=95°, y=51°, z=39°

59.Afirmaciones Razones1. j || k ∠DBE es un ángulo recto

1. e

2. m∠DBE=180 ° 2. g3. m∠3+m∠ 4+m∠5=m∠DBE

3. a

4. m∠3+m∠ 4+m∠5=180 °

4. b

5. ∠3≅∠1 ,∠5≅∠7 5. c6. m∠3=m∠1 ,m∠5=m∠7

6. f

7. m∠1+m∠4+m∠7=180 °

7.b

60.

61.

62. 63. <K, <L, <J64. <N, <M, <O65. <P, <Q, <R66. sí67. no68. sí69. no70. no71. sí72. 2 < x < 26


73. 9 < x < 2174. 0 < x < 4475. 3 < x < 2176. 2y < x < 18y

77.

78.

79. 80. <H <I, <G81. <K, <J, <L82. <N, <M, <O

83.

84. 85. sí86. no87. sí88. no89. sí90. no91. 11< x < 3192. 11 < x < 2793. 0 < x < 6094. 10 < x < 2095. 10y < x < 18y96.a. no semejante

b. sí por SASc. no semejante

97. Afirmaciones Razones

1. 1. c

2. ∠D≅∠G 2. a3. ∠DEH ≅∠GEF 3. d4. 4. e

98.Afirmaciones Razones1. , ,

, , y

1. b

2. PRCA

=96=3

2, QRBA

=7.24.8

=32

2. d

3. PRCA

=QRBA

3. a

4. 4. e

99.Afirmaciones Razones1. , 1. d2. 2. a

100.Afirmaciones Razones

1. FDCA

EFBC

DEAB

1. d

2. 2. c101. yes 102. no103. no104. 12105. 11.36106.

Afirmaciones Razones1. BD║ AE 1. c2. ∠C≅∠C 2. d3. ∠CBD≅∠CAE 3. b4. ∆CBD≅ ∆CAE 4. e

5. CECD

CACB

5. g

107. a. sí por AA~ ó SAS~b. no similarc. sí por SSS~

108.Afirmaciones Razones1. BD║ AE 1. c2. ∠C≅∠C 2. d3. ∠CDB≅∠CEA 3. b4. ∆CBD≅ ∆CAE 4. e

109.Afirmaciones Razones1. ,

, ,

1. b

2. m∠R=77 ° 2. a3. ∠Q≅∠B ,∠R≅∠C 3. e4. 4. c

110.Afirmaciones Razones

1. FDCA

DEAB

,

1. d

2. 2. b


111. sí112. sí113. no114. 10115. 11.25116. 10117.


1. CECD

CACB

1. c

2. ∠C≅∠C 2. d

3. ∆CBD≅ ∆CAE 3. f4. ∠CBD≅∠CAE 4. h5. BD║ AE 5. b

118. 50 pies119. 72 pies120. 90 pies121. 27.5 pies122. 40 pies123. 45 pies

Respuestas Revisión de Unidad

1. c2. b3. c4. b5. b6. d

7. c8. c9. a10. a11. d

12. x = 50 y z = 9013. x = 18 e y = 22.514. 150 pies15.Afirmaciones Razones1. BD║ AE 1. f2. ∠C≅∠C 2. c3. ∠CBD≅∠CAE 3. b4. ∆ BCD ∆ ACE 4. d


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