Geometría Rectas Paralelas -...

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New Jersey Center for Teaching and Learning

Iniciativa de Matemática Progres iva®

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www.njctl.org

Rectas Paralelas

Geometría

2015-06-15

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Tabla de ContenidosClick sobre el tema para ir a la sección

Rectas intersecantes, paralelas e inclinadas

Construcción de rectas paralelas

Rectas y transversales

Preguntas de muestra PARCC

Rectas paralelas y demostración

Propiedades de las rectas paralelas

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Vídeos de Contrucción. Tabla de Contenidos

Click sobre el tema para ver ese video

Rectas Paralelas Ángulos correspondientes

Rectas Paralelas Ángulos Interiores Alternos

Rectas Paralelas Ángulos Exteriores Alternos

Rectas Paralelas Usando el Menú Opciones

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A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.

MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas .MP6: Ser preciso.MP7: Buscar y hacer uso de la estructuraMP8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.

En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.

Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.

Slide 5 (Answer) / 207

A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.

MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas .MP6: Ser preciso.MP7: Buscar y hacer uso de la estructuraMP8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.

En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.

Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.

[This object is a pull tab]

Prác

tica

de

mat

emát

ica

http://www.njcrl.org






http://www.njctl.org



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Rectas Intersecantes, paralelas e inclinadas

Volver a la Tabla de Contenidos

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Quinto Postulado de Euclides

El Quinto Postulado de Euclides es probablemente el más famoso.

Esto molestó a los matemáticos por miles de años

Quinto Postulado: Que si una recta al incidir sobre dos líneas rectas hace los ángulos internos menores que dos ángulos

rectos, las dos rectas al prolongarse indefinidamente se encontrarán en el lado sobre el cuál están los dos ángulos

menores que los dos ángulos rectos.

rSlide 8 / 207

Esto pareció tan natural que los geómetras griegos pensaron que ellos serían capaces de demostrarlo y no necesitarían que sea un

postulado.

Ellos se resistieron a usarlo por años.

Sin embargo, se dieron cuenta que lo necesitaban.

Y no pudieron probarlo.

Sólo tuvieron que postularlo.


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Dice que existen dos casos posibles si una recta corta a otras dos rectas.

1 2

3 4


Slide 10 / 207

Los pares de ángulos sobre ambos lados, (ó ∠1 y ∠3 ó ∠2 y ∠4) juntos suman 180º, dos ángulos rectos, y las dos rectas rojas nuca se encuentran.

Como esto....

1 2

3 4


Slide 11 / 207

O como ésto.

1 2

3 4

O, ...


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/ 207

Estos forman un ángulo menor a 180º en un lado (ángulos ∠2 y ∠4), y más que 180º sobre el otro lado (ángulos∠1 y ∠3), en este caso las rectas se juntan sobre el lado que tienen los ángulos de menor medida.

Como éste...

1 2

3 4


Slide 13 / 207

Ó como este.

1 2

3 4


Slide 14 / 207

Ellos no lo podían demostrar desde los otros axiomas y postulados. Pero sin esto hubo un gran cantidad de importantes partes de la

geometría que no podían demostrar.

De manera que dieron por hecho que sea el postulado definitivo de la Geometría Euclidiana. Por los siguientes miles de años, los

matemáticos lo sintieron así. Se mantuvieron intentanto demostrar por qué este postulado no era necesario.

No tuvieron éxito.


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En 1866, Bernhard Riemann tomó la otra perspectiva.

Para su disertación doctoral diseñò una geometría en la cual los postulados de Euclides no eran verdaderos, más bien que asumir que sí lo eran.

Esto condujo a la Geometría No Euclidiana donde las rectas paralelas siempre se encuentran, mientras que en la otra geometría nunca se encuentran.


Slide 16 / 207

Pero unos cincuenta años después la geometría no Euclidianase convirtió en la base matemática de la Relatividad General De Einstein. en base al rechazo del quinto postulado.

Esto creo la idea del espacio-

tiempo curvado. Esta es la teoría aceptada ahora para la forma de nuestro universo.


Slide 17 / 207

Las rectas que están en el mismo plano y nunca se encuentran se llaman paralelas.

Las rectas que se cortan se llaman no paralelas ó intersecantes.

Todas las rectas que se cortan están

en un plano común.


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Las rectas que están en diferentes planos y nunca se encuentran se llaman inclinadas.

m

n

P

Q

Las rectas m y n en en la figura están inclinadas.


Slide 19 / 207

B

a

Postulado de las Paralelas

Una manera de afirmar el Quinto Postulado de Euclides es decir que las rectas paralelas nunca se encuentran.

Una extensión de esto es el Postulado de las Paralelas: dada una, recta y un punto que no esté sobre la recta, existe uno y sólo una recta que puede ser dibujada pasando por ese puntoy que sea paralela a la recta.

¿Puedes estimar donde estaría ubicada la recta?


B

a


Una manera de afirmar el Quinto Postulado de Euclides es decir que las rectas paralelas nunca se encuentran.

Una extensión de esto es el Postulado de las Paralelas: dada una, recta y un punto que no esté sobre la recta, existe uno y sólo una recta que puede ser dibujada pasando por ese puntoy que sea paralela a la recta.

¿Puedes estimar donde estaría ubicada la recta?


Prác

tica

de

mat

emát

ica

La pregunta en esta diapositiva direcciona a MP2

Slide 20 / 207

B

a

¿Puedes imaginar alguna otra recta que podría ser trazada pasando por el punto B y aún ser paralela a la recta a?



B

a

¿Puedes imaginar alguna otra recta que podría ser trazada pasando por el punto B y aún ser paralela a la recta a?



Prác

tica

de

mat

emát

ica


Slide 21 / 207

Las Rectas Paralelas son dos rectas en un plano que nunca se encuentran.

Podemos decir que las rectas DE y FG son paralelas.

Ó, simbólicamente:

Paralelas, Intersecantes e Inclinadas

DE FG║

D E

F G


(Answer) / 207

Las Rectas Paralelas son dos rectas en un plano que nunca se encuentran.

Podemos decir que las rectas DE y FG son paralelas.

Ó, simbólicamente:


DE FG║

D E

F G



Prác

tica

de

mat

emát

ica

MP6

Recuerde a los estudiantes a lo largo de la lección sobre el papel de la notación y el orden de las letras (si es necesario), para nombrar segmentos semirrectas y rectas.

También enfatice la notación para las rectas paralelas.

Slide 22 / 207

No se puede asumir que las rectas sean paralelas a menos que esté indicado que lo son. Ver que son paralelas no es suficiente. Existen dos maneras de indicar que las rectas son paralelas.

La primer manera es como se muestra en la diapositiva anterior:

Símbolo para rectas paralelas

D E

F G

DE FG║

Slide 23 / 207

m

k

La otra manera para indicar que las rectas son paralelas es indicarlas con flechas como se muestra abajo.

Las rectas que comparten la flecha (en rojo para que sean más visibles) son paralelas.

Si dos diferentes pares de rectas son paralelas las que coinciden en el número de flechas son paralelas como se muestra abajo.



m

k

La otra manera para indicar que las rectas son paralelas es indicarlas con flechas como se muestra abajo.

Las rectas que comparten la flecha (en rojo para que sean más visibles) son paralelas.

Si dos diferentes pares de rectas son paralelas las que coinciden en el número de flechas son paralelas como se muestra abajo.



Prác

tica

de

mat

emát

ica

MP6


También enfatice la notación para las rectas paralelas.

Slide 24 / 207

m

k

a

b

Esto indica que las rectas k y m son paralelas entre sí.

Y, las rectas a y b son paralelas entre sí.

Pero las rectas k y m no son paralelas con a y b.


Slide 25 / 207

Si dos diferentes rectas en el mismo plano que no son paralelas se cortan, son rectas intersecantes en un punto.

Sabemos que se forman cuatro ángulos.


D

E

F G

/ 207

A partir de esos cuatro ángulos, exiten cuatro pares de ánguloslineales o pares lineales.

Los Pares Lineales son ángulos adyacentes formados por rectas intersecantes; los ángulos son suplementarios.

∠ 1 y ∠ 3 son un par lineal

D

E

F G

1 23 4

Enumera los otros pares lineales.



A partir de esos cuatro ángulos, exiten cuatro pares de ánguloslineales o pares lineales.

Los Pares Lineales son ángulos adyacentes formados por rectas intersecantes; los ángulos son suplementarios.

∠ 1 y ∠ 3 son un par lineal

D

E

F G

1 23 4

Enumera los otros pares lineales.



Res

pues

ta

∠ 1y∠ 2, ∠ 2 y∠ 4, ∠ 3y∠ 4

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Si los ángulos adyacentes formados por rectas intersecantes son congruentes, las rectas son perpendiculares.

Rectas perpendiculares

D

E

F G

DE FG⊥Symbolicamente se escribe como


Si los ángulos adyacentes formados por rectas intersecantes son congruentes, las rectas son perpendiculares.

Rectas perpendiculares

D

E

F G

DE FG⊥Symbolicamente se escribe como


Prác

tica

de

mat

emát

ica

MP6


También enfatice la notación para rectas perpendiculares.

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Si dos rectas se intersecan, definen un plano, de modo que son co-planares.

Rectas inclinadas

m

n Q

PLas rectas m y n en la figura son inclinadas.

Dos rectas que no se intersecan pueden o ser paralelas si están en el mismo plano o inclinadas si están en planos diferentes.


Si dos rectas se intersecan, definen un plano, de modo que son co-planares.

Rectas inclinadas

m

n Q

PLas rectas m y n en la figura son inclinadas.

Dos rectas que no se intersecan pueden o ser paralelas si están en el mismo plano o inclinadas si están en planos diferentes.


Prác

tica

de

mat

emát

ica

Se pueden usar ejemplos adicionales de rectas inclinadas:la línea recta entre el techo y la pared frontal y la línea recta entre el piso y el lado de la pared son inclinadas (MP2 y MP4)

/ 207

Usando el siguiente diagrama, nombra una recta que esté inclinada con respecto a la recta HG: una recta que no está en un plano común.

A B

CD

E F

GH

Rectas inclinadas

∠ 1y∠ 2, ∠ 2 y∠ 4, ∠ 3y∠ 4


Usando el siguiente diagrama, nombra una recta que esté inclinada con respecto a la recta HG: una recta que no está en un plano común.

A B

CD

E F

GH

Rectas inclinadas

∠ 1y∠ 2, ∠ 2 y∠ 4, ∠ 3y∠ 4[This object is a pull tab]

Res

pues

ta

Recta BC, Recta AD, Recta AE, Recta BF

Este ejemplo direcciona a MP2

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1 ¿Están inclinadas las rectas a y b?

Yes

No

a

b

G


1 ¿Están inclinadas las rectas a y b?

Yes

No

a

b

G

[This object is a pull tab]R

espu

esta

Sí, las rectas a y b son inclinadas. Las rectas a y b son no coplanares y no se

intersecan.

Slide 31 / 207

2 ¿Cuántas rectas se pueden dibujar pasando por C y que sean paralelas a la recta AB?

B

AC


2 ¿Cuántas rectas se pueden dibujar pasando por C y que sean paralelas a la recta AB?

B

AC[This object is a pull tab]

Res

pues

ta

Una rectaB

AC

/ 207

A B

CD

E F

GH3 Nombra todas las rectas paralelas a EF.

A ABB BCC DCD HDE HG

Res

pues

ta

Slide 33 / 207

4 Nombra las rectas inclinadas a EF.

A BCB DCC HDD ABE GC

A B

CD

E F

GH

Res

pues

ta

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5 Dos rectas intersecantes siempre son coplanares.

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 35 / 207

6 Dos rectas inclinadas son coplanares.

Verdadero

Res

pues

taFalso

Slide 36 / 207

7 Completa esta afirmación con la palabra más apropiada:

Dos rectas inclinadas son __________ paralelas.

A siempreB nuncaC algunas veces R

espu

esta

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Rectas y Transversales

Volver a la tabla de contenidos

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/ 207

12

3 4

56

7 8

k

m

n

Transversales

(Este es el nombre de la recta que Euclides usó para intersecar dos rectas en su quinto postulado).

En la imagen se muestra la recta n, transversal, intersecando a la recta k y a la recta m.

Una Transversal es una recta que intersea dos o más rectas coplanares.

La recta k y la recta m pueden o no ser paralelas.

Slide 39 / 207

Los ángulos Interiores son los 4 ángulos que están entre las dos rectas.

Cuando una recta transversal interseca dos rectas, se forman ocho ángulos. A esos ángulos se les da nombres especiales.

3 4

56

k

m

n

Ángulos formados por una Transversal

Slide 40 / 207

Ángulos Exteriores son los 4 ángulos que están afuera de las dos rectas.

Cuando una transversal interseca dos rectas, se forman ocho ángulos. A esos ángulos se le da nombres especiales.

12

7 8

k

m

n

Ángulos formados por una Transversal

Slide 41 / 207

8 Nombra todos los ángulos interiores.

A ∠ 1

B ∠ 2

C ∠ 3

D ∠ 4

E ∠ 5

F ∠ 6

G ∠ 7

H ∠ 8

123 4

567 8

k

m

n

Res

pues

ta

Slide 42 / 207

9 Nombra todos los ángulos exteriores.

A ∠ 1

B ∠ 2

C ∠ 3

D ∠ 4

E ∠ 5

F ∠ 6

G ∠ 7

H ∠ 8

123 4

567 8

k

m

n

Res

pues

ta

Slide 43 / 207

Los ángulos correspondientes son pares de ángulos que están en la misma posición relativamente transversal como se muestra arriba.

Ángulos Correspondientes

123 4

567 8

k

n

m

Existen cuatro pares de ángulos correspondientes formados cuando se intersecan dos rectas.

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10 ¿Qué ángulo es correspondiente con ∠ 1?

123 4

567 8

k

m

n

Res

pues

ta

Slide 45 / 207


123 4

567 8

k

m

n

Res

pues

ta

Slide 46 / 207


123 4

567 8

k

m

n

Res

pues

ta

Slide 47 / 207


123 4

567 8

k

m

n

Res

pues

ta

Slide 48 / 207

Existen dos pares formados por la transversal; se muestran en rojo y azul.

Ángulos Interiores Alternos

3 4

56

k

m

n

Los ángulos interiores alternos son ángulos interiores que están en lados opuestos de la transversal.


Existen dos pares formados por la transversal; se muestran en rojo y azul.

Ángulos Interiores Alternos

3 4

56

k

m

n

Los ángulos interiores alternos son ángulos interiores que están en lados opuestos de la transversal.


Prác

tica

de

mat

emát

ica

MP6Enfatiza separar las palabras para entender el significado.

Alterno significa "opuesto"Interior significa "dentro de"

Así que ángulos interiores alternos están en los lados opuestos de la transversal y adentro de las otras 2 rectas.

/ 207

Ángulos Exteriores Alternos

12

7 8

k

m

n

Existen dos pares formados por una transversal; se muestran arriba en rojo y azul.

Los ángulos exteriores alternos son ángulos exteriores que están en lados opuestos de una transversal.


Ángulos Exteriores Alternos

12

7 8

k

m

n

Existen dos pares formados por una transversal; se muestran arriba en rojo y azul.

Los ángulos exteriores alternos son ángulos exteriores que están en lados opuestos de una transversal.


Prác

tica

de

mat

emát

ica

MP6Enfatiza separar las palabras para entender el significado.

Alterno significa "opuesto"Exterior significa "dentro de"

Así que ángulos exteriores alternos están en los lados opuestos de la transversal y afuera de las otras 2 rectas.

Slide 50 / 207

14 ¿Cuál es el ángulo interior alterno que se aparea con ∠ 3?

A ∠1B ∠2C ∠3D ∠4

E ∠5F ∠6G ∠7H ∠8

123 4

567 8

k

m

n

Res

pues

ta

Slide 51 / 207

15 ¿Cuál es el ángulo exterior alterno que se aparea con ∠ 7?

123 4

567 8

k

m

nA ∠1B ∠2C ∠3D ∠4E ∠5F ∠6G ∠ 7H ∠8

Res

pues

ta

Slide 52 / 207

123 4

567 8

k

m

n

16 ¿Cuál es el ángulo exterior alterno que se aparea con ∠ 2?

A ∠1B ∠2C ∠3D ∠4E ∠5F ∠6G ∠7H ∠8

Res

pues

ta

Slide 53 / 207

123 4

567 8

k

m

n

17 ¿Cuál es el ángulo interior alterno que se aparea con ∠ 6?

A ∠1B ∠2C ∠3D ∠4E ∠5F ∠6G ∠7H ∠8

Res

pues

ta

/ 207

Ángulos interiores del mismo lado

Hay dos pares de ángulos formados por la transversal, se muestran en rojo y en azul.

3 4

56

k

m

n

Los ángulos interiores del mismo lado son ángulos que están en el mismo lado de la transversal.


Ángulos interiores del mismo lado


3 4

56

k

m

n

Los ángulos interiores del mismo lado son ángulos que están en el mismo lado de la transversal.


Prác

tica

de

mat

emát

ica

MP6Enfatiza separar las palabras para entender su significado.

Igual lado significa "sobre el mismo lado", Interior significa

"adentro de"Así que los ángulos interiores del mismo lado están sobre el mismo lado de la transversal y adentro de las otras 2 rectas.

Nota: conocidos como ángulos interiores consecutivos

Slide 55 / 207

Ángulos Exteriores del mismo lado

12

7 8

k

m

n

Los ángulos exteriores del mismo lado son ángulos que están en el mismo lado de la transversal.



Ángulos Exteriores del mismo lado

12

7 8

k

m

n

Los ángulos exteriores del mismo lado son ángulos que están en el mismo lado de la transversal.



Prác

tica

de

mat

emát

ica

MP6Enfatiza separar las palabras para entender su significado.

Igual lado significa "sobre el mismo lado", Interior significa

"adentro de"Así que los ángulos interiores del mismo lado están sobre el mismo lado de la transversal y adentro de las otras 2 rectas.

Nota: conocidos como ángulos interiores consecutivos

Slide 56 / 207

123 4

567 8

k

m

n

18 ¿Cuál es el ángulo interior del mismo lado que se aparea con ∠ 6?

A ∠1B ∠2C ∠3D ∠4E ∠6F ∠7G ∠ 8

Res

pues

ta

Slide 57 / 207

123 4

567 8

k

m

n

19 ¿Cuál es el ángulo exterior del mismo lado que se aparea con ∠ 7?

A ∠ 1B ∠ 2C ∠ 3D ∠ 4E ∠ 6F ∠ 7G ∠ 8

Res

pues

ta

/ 207

123 4

567 8

k

m

n

b. ∠ 1 y ∠ 3

c. ∠ 1 y ∠ 5

d. ∠ 3 y ∠ 6

e. ∠ 3 y ∠ 5

f. ∠ 3 y ∠ 8

Desliza cada palabra dentro del recuadro apropiado para clasificar cada par de ángulos.

Clasificando ángulos

Exteriores alternos

Interior Igual Lado VerticalCorrespondiente

igual lado Interiores Alternos

Par lineal

a. ∠ 1 y ∠ 2

Res

pues

ta

Slide 59 / 207

1 23 4

5 67 8

kj

t

20 ∠ 3 y ∠ 6 son...

A Ángulos correspondientesB Ángulos exteriores alternosC Ángulos exteriores del mismo ladoD Ángulos verticalesE Ninguno de esos

Res

pues

ta

Slide 60 / 207

1 23 4

5 67 8

kj

t

21 ∠ 1 y ∠ 6 son ____.


Res

pues

ta

Slide 61 / 207

1 23 4

5 67 8

kj

t

22 ∠ 2 y ∠ 7 son ____.


Res

pues

ta

Slide 62 / 207

1 23 4

5 67 8

kj

t

23 ∠ 4 y ∠ 8 son ____.

A Ángulos correspondientesB Ángulos exteriores alternosC Ángulos exteriores del mismo ladoD Ángulos verticalesE Ninguno de esos R

espu

esta

Slide 63 / 207

1 23 4

5 67 8

kj

t

24 ∠ 1 y ∠ 7 son ____.

A Ángulos correspondientesB Ángulos exteriores alternosC Ángulos exteriores del mismo ladoD Ángulos verticalesE Ninguno de esos R

espu

esta

/ 207

1 23 4

5 67 8

kj

t

25 ∠ 5 y ∠ 8 son ____.


Res

pues

ta

Slide 65 / 207

1 23 4

5 67 8

kj

t

26 ∠ 2 y ∠ 5 son ____.


Res

pues

ta

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Rectas paralelas y demostraciones


Laboratorio- Comenzando un negocio-Hoja de trabajo

Laboratorio- Comenzando un negocio- Diapositivas para el profesor


Rectas paralelas y demostraciones


Laboratorio- Comenzando un negocio-Hoja de trabajo

Laboratorio- Comenzando un negocio- Diapositivas para el profesor [This object is a pull tab]

Prác

tica

de

mat

emát

ica

Este laboratorio direcciona a MP1, MP3, MP4, MP6 y MP7

Slide 67 / 207

Además de los postulados y teoremas usados hasta ahora, hay tres propiedades esenciales de congruencia en las que

nos vamos a basar a medida que avancemos.

Existen también cuatro propiedades de igualdad, tres de las cuales están muy cercanamente relacionadas para coincidir

con las propiedades de congruencia.

Propiedades de congruencia e igualdad

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Todas ellas representan una suerte de sentido común que Euclides habría descripto como una Comprensión Común y

los que ahora llamamos Axioma.

Las propiedades de congruencia son ciertas para todas las cosas congruentes: segmentos, ángulos y figuras.

Las propiedades de igualdad son ciertas para todas las medidas de cosas incluyendo longitudes de rectas y medidas

de ángulos.

Propiedades de congruencia e igualdad

page1svg

http://www.njctl.org/courses/math/geometry-2015-16/parallel-lines/starting-a-business-lab-2/

http://www.njctl.org/courses/math/geometry-2015-16/parallel-lines/starting-a-business-lab-slides-2/

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http://www.njctl.org/courses/math/geometry-2015-16/parallel-lines/starting-a-business-lab-2/

http://www.njctl.org/courses/math/geometry-2015-16/parallel-lines/starting-a-business-lab-slides-2/

/ 207

Una cosa siempre es congruente a sí misma.

Aunque esto es obvio será usado como una razón para demosstrar teoremas.

Por ejemplo, cuando un segmento sirve como lado para dos triángulos diferentes, podemos decir que los lados de aquellos triángulos son congruentes con la razón:

Propiedad Reflexiva de Congruencia

Propiedad Reflexiva de Congruencia

A B

CD

En el diagrama, AC ≅ AC

Slide 70 / 207

Las medidas de ángulos o longitudes de lados pueden ser tomadas como que son iguales a sí mismas, incluso si

hay partes de diferentes figuras,

con la razón:

Propiedad Reflexiva de Igualdad

Propiedad Reflexiva de Igualdad

A B DC

El Postulado de la suma de segmentos nos dice que

AC = AB + BC y BD = CD + BC

La Propiedad Reflexiva de la Igualdad indica que la logitud BC es igual a sí misma en ambas ecuaciones.

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Propiedad Simétrica de Congruencia

Si una cosa es congruente a otra, la segunda cosa también es congruente a la primera.

De nuevo, esto es obvio pero permite reversar el orden de las afirmaciones sobre las propiedades congruentes con la razón:

Propiedad Simétrica de Congruencia

Por ejemplo:

∠ABC es congruente a ∠DEF que ∠DEF es congruente a ∠ABC,

Slide 72 / 207

Propiedad Simétrica de Igualdad

Si una cosa es congruente a otra, la segunda cosa también es igual a la primera.

De nuevo, esto es obvio pero permite reversar el orden de las afirmaciones sobre las propiedades de la igualdad con la razón:

Propiedad Simétrica de Igualdad

Por ejemplo:

Si m∠ ABC = m∠ DEF, entonces m∠ DEF = m∠ ABC,

Slide 73 / 207

Si dos cosas son congruentes a una tercera cosa, entonces ellas también son congruentes entre sí.

De manera que si ΔABC es congruente a ΔDEF y ΔLMN también es congruente a ΔDEF, entonces podemos decir que ΔABC es congruente a ΔLMN debido a

con la razón:

Propiedad Transitiva de Congruencia

Propiedad Transitiva de la Congruencia

Slide 74 / 207

Si dos cosas son iguales a una tercera cosa, entonces son también iguales entre sí.

Si m∠A = m∠B y m∠C = m∠B, entonces m∠A = m∠C

Esto es idéntico a la propiedad transitiva de la congruencia excepto si trata con las medidas de cosas en lugar que con

las cosas.

Propiedad Transitiva de Igualdad

Propiedad Transitiva de Igualdad

/ 207

Si una cosa es igual a otra, entonces puede ser sustituída por otra.

Este es un paso común en una demostración donde una cosa es probada igual a otra y reemplazada por otra en una expresión usando la razón:

Propiedad de Sustitución de la Igualdad

Por ejemplo si x + y = 12, y x = 2y

Podemos sustituir 2y por x para obtener

2y + y = 12

y usar la propiedad de la división para obtener y = 4

Propiedad de Sustitución de la Igualdad

Slide 76 / 207

123 4

567 8

k

m

n

Teorema de los ángulos correspondientes

De acuerdo a los ángulos correspondientes, ¿cuál de los ángulos de arriba son congruentes?

Si las rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.

Res

pues

ta

Slide 77 / 207

Podríamos elegir cualquier par de ángulos correspondientes: ∠2 y ∠6; ∠3 y ∠7; ∠1 y ∠5; o ∠4 y ∠8.

Juntos vamos a probar que ∠2 y ∠6 son congruentes.

Para clarificar el argumento, vamos a comprobar que un par de aquellos ángulos son iguales. Puedes seguir el mismo enfoque para demostrar los otros tres pares de ángulos iguales.

123 4

567 8

k

m

n

Demostración de ángulos correspondientes

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Dado: que la recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n

Demostar: m∠2 = m∠6


123 4

567 8

k

m

n

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Afirmación 1 La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n

Razón 1Dado


123 4

567 8

k

m

n



Razón 1Dado


123 4

567 8

k

m

n


Prác

tica

de

mat

emát

ica

MP7Deje en claro que para

cualquier demostración el primer paso es comenzar con lo "Dado". Luego, se

usan las propiedades de la primer afirmación para hacer preguntas y continuar para

resolver la demostración

/ 207

Quinto Postulado: Que si una recta al incidir sobre dos líneas rectas hace los ángulos internos menores que dos ángulos

rectos, las dos rectas al prolongarse indefinidamente se encontrarán en el lado sobre el cuál están los dos ángulos

menores que los dos ángulos rectos.

Recuerda el Quinto Postulado de Euclides. El que no gustó pero que igual necesitan.



123 4

567 8

k

m

n

Slide 81 / 207


1 2

3 4

Recuerda que anteriormente en esta unidad hemos aprendido que esto significa que...

Si los pares de ángulos interiores sobre ambos lados de la

transversal, (tanto ∠1 y ∠3 o ∠2 ∠4) suman 180º, las dos rectas rojas son paralelas...y nunca se juntan.

Slide 82 / 207

123 4

567 8

k

m

n

27 De modo que, en este caso, ¿qué ángulos deberán sumar 180º en base al quinto postulado de Euclides?

A ∠1 y ∠4

B ∠6 y ∠8

C ∠4 y ∠5

D ∠3 y ∠6

E Todos los de arriba

Res

pues

ta

Slide 83 / 207

Razón 2Quinto Postulado de Euclides

Afirmación 2 ∠3 y ∠6 son suplementarios∠4 y ∠5 son suplementarios

¿Qué otros ángulos son suplementarios a ∠3, debido a que juntos forman un ángulo recto? ¿Qué podemos decir sobre ∠6?


123 4

567 8

k

m

n


Razón 2Quinto Postulado de Euclides

Afirmación 2 ∠3 y ∠6 son suplementarios∠4 y ∠5 son suplementarios

¿Qué otros ángulos son suplementarios a ∠3, debido a que juntos forman un ángulo recto? ¿Qué podemos decir sobre ∠6?


123 4

567 8

k

m

n


Prác

tica

de

mat

emát

ica Las preguntas en esta

diapositiva direccionan a MP2 y MP3.

Slide 84 / 207

Razón 3Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

Afirmación 3 ∠2 & ∠3 son suplementarios

¿Qué sabemos sobre los ángulos suplementarios?

123 4

567 8

k

m

nDemostración de ángulos correspondientes

(Answer) / 207

Razón 3Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

Afirmación 3 ∠2 & ∠3 son suplementarios

¿Qué sabemos sobre los ángulos suplementarios?

123 4

567 8

k

m



Prác

tica

de

mat

emát


diapositiva direccionan a MP2 y MP4..

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Razón 4Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales

Afirmación 4 m∠2 = m∠6

123 4

567 8

k

m


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Afirmación Razón

1La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n

Dado

2 ∠4 y ∠5 son suplementarios ∠3 y ∠6 son suplementarios


3 ∠3 & ∠2 son suplementariosLos ángulos que forman un par lineal son suplementarios

4 m∠2 = m∠6 Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales

Dado: La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n

Prueba: m∠2 = m∠6

123 4

567 8

k

m


Slide 87 / 207

Propiedades de las Rectas Paralelas

Este es un resultado importante, que fue sólo hecho posible por el Quinto Postulado de Euclides.

Esto lleva a otros importantes resultados. Nos permite probar algunos otros pares de ángulos suplementarios.

Y, funciona en reversa, si se encuentra cualquiera de esas condiciones podemos comprobar que las rectas son paralelas.

123 4

567 8

k

m

n

Slide 88 / 207

Demostración de las Rectas Paralelas Opuestas

Hemos demostrado que si dos rectas son paralelas, sus ángulos correspondientes son iguales.

El opuesto debería también ser cierto:

Si dos rectas son cortadas por una transversal y sus ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.



Hemos demostrado que si dos rectas son paralelas, sus ángulos correspondientes son iguales.

El opuesto debería también ser cierto:

Si dos rectas son cortadas por una transversal y sus ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.


Teac

her N

otes

You might need to explain the difference between an original if-then statement and its converse, which is formed by switching the hypothesis & conclusion.Ex: Original: If it is 3pm in New Jersey, then it is 1pm in Colorado.Converse: If it is 1pm in Colorado, then it is 3pm in New Jersey.

/ 207

Para cada caso se usa la misma razón: los ángulos correspondientes de las rectas paralelas son iguales.

Demostrar la relación entre ciertos ángulos si sabemos que las rectas son paralelas.

O

Probar que las rectas son paralelas si sabemos la relación entre aquellos ángulos.


Slide 90 / 207

Este patrón será cierto de cada teorema demostramos sobre los ángulos formados por la intersección transversal de las rectas paralelas.

Esto prueba la relación entre las rectas sabiendo que son paralelas, o prueba que las rectas son paralelas.


Slide 91 / 207

123 4

567 8

k

m

n

Teorema de los Ángulos Interiores Alternos

De acuerdo al Teorema de los Ángulos Interiores Alternos, ¿cuál de esos ángulos son congruentes?

Si rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes.

Res

pues

ta

Slide 92 / 207

Dado: La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n

Probar: ∠ 3 ≅ ∠ 5 y ∠ 4 ≅ ∠ 6

Demostración de Ángulos Interiores Alternos

123 4

567 8

k

m

n

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Razón 1Dado

De acuerdo al Teorema de los Ángulos Correspondientes, ¿cuál de los ángulos de arriba son congruentes?

123 4

567 8

k

m

n




Razón 1Dado

De acuerdo al Teorema de los Ángulos Correspondientes, ¿cuál de los ángulos de arriba son congruentes?

123 4

567 8

k

m

n



Prác

tica

de

mat

emát


diapositiva direccionan a MP3 y MP6.

/ 207

Razón 2Cuando dos rectas paralelas están cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes son congruentes.

Afirmación 2 ∠1 ≅ ∠5 ∠2 ≅ ∠6

¿Qué otro ángulo es congruente a ∠ 1? ¿Qué otro ángulo es congruente a ∠ 2? ¿Por qué esos ángulos son congruentes?

123 4

567 8

k

m

n



Razón 2Cuando dos rectas paralelas están cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes son congruentes.

Afirmación 2 ∠1 ≅ ∠5 ∠2 ≅ ∠6

¿Qué otro ángulo es congruente a ∠ 1? ¿Qué otro ángulo es congruente a ∠ 2? ¿Por qué esos ángulos son congruentes?

123 4

567 8

k

m

n



Prác

tica

de

mat

emát


diapositiva direccionan a MP3, MP6 y MP7.

Slide 95 / 207

Razón 3Los ángulos verticales son congruentes

¿Qué sabemos de los ángulos que son congruentes al mismo ángulo? Explica tu respuesta.

Afirmación 3 ∠1 ≅ ∠3 ∠2 ≅ ∠4

123 4

567 8

k

m

n



Razón 3Los ángulos verticales son congruentes

¿Qué sabemos de los ángulos que son congruentes al mismo ángulo? Explica tu respuesta.

Afirmación 3 ∠1 ≅ ∠3 ∠2 ≅ ∠4

123 4

567 8

k

m

n



Prác

tica

de

mat

emát


diapositiva direccionan a , MP2, MP3 y MP6.

Slide 96 / 207

Razón 4Propiedad Transitiva de Congruencia

Afirmación 4 ∠3 ≅ ∠5 ∠4 ≅ ∠6

Pero aquellos son los pares de ángulos interiores alternos que tenemos que demostrar que son congruentes. Así que nuestra prueba esta completa: los Ángulos Alternos Interiores de las Rectas Paralelas son congruentes.

123 4

567 8

k

m

n


Slide 97 / 207

Afirmación Razón


Dado

2 ∠1 ≅ ∠5 y ∠2 ≅ ∠6

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son ≅

3 ∠1 ≅ ∠3 y ∠2 ≅ ∠4 Los ángulos verticale son ≅

4 ∠3 ≅ ∠5 y ∠4 ≅ ∠6Propiedad Transitiva de la Congruencia

Dado: La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas con la recta n

Probar: ∠3 ≅ ∠5 ∠4 ≅ ∠6

123 4

567 8

k

m

nDemostración de Ángulos Interiores Alternos

/ 207

Teorema de los Ángulos Interiores Alternos

Si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos interiores alternos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

Slide 99 / 207

123 4

567 8

k

m

n

Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos exteriores son congruentes.

De acuerdo al Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos ¿con qué ángulos son congruentes?

Res

pues

ta

Slide 100 / 207

Ya que la demostración para el Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos es muy similar al Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos se completará esta demostración como una parte del trabajo en la casa para esta lección.

Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos

Slide 101 / 207

Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos Opuestos

Si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos exteriores alternos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

Slide 102 / 207

123 4

567 8

k

m

n

Teorema de los Ángulos Interiores del mismo lado

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios.

De acuerdo al Teorema de los Ángulos Interiores del mismo lado ¿qué pares de ángulos son suplementarios?

Res

pues

ta


123 4

567 8

k

m

n

Teorema de los Ángulos Interiores del mismo lado

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios.

De acuerdo al Teorema de los Ángulos Interiores del mismo lado ¿qué pares de ángulos son suplementarios?

Res

pues

ta[This object is a pull tab]

Ans

wer

According to Same-Side Interior Angles Theorem:m<3+m<6=1800

m<4+m<5=1800

/ 207

Demostración de Ángulos Interiores del mismo lado

Dado: Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n

Prueba: ∠3 y ∠6 son suplementarios y ∠4 y ∠5 son suplementarios

123 4

567 8

k

m

n

Slide 104 / 207

28 ¿Qué razón aplica al paso 1?

Afirmación Razón

1Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n

?

2m∠ 3 + m∠ 6 = 180ºm∠ 4 + m∠ 5 = 180º

?

3 ? Definición de ∠ s suplementarios

123 4

567 8

k

m

nA Definición de suplementarioB Quinto Postulado de EuclidesC DadoD Los ∠s Interiores Alternos son ≅E Los ∠s Correspondientes are ≅

Res

pues

ta

Slide 105 / 207


Afirmación Razón

1 La recta m y k son paralelas e intersecados por la recta n ?

2m∠ 3 + m∠ 6 = 180ºm∠ 4 + m∠ 5 = 180º

?

3 ? Definición de ∠ s suplementario

123 4

567 8

k

m

n

A Definición de suplementarioB Quinto Postulado de EuclidesC DadoD Los ∠s Interiores Alternos son ≅E Los ∠s Correspondientes are ≅

Res

pues

ta

Slide 106 / 207

30 ¿Qué afirmación sería la del paso 3?

ABCDE

Afirmación Razón


?

2 Las sumas de m∠3 y m∠6 y de m∠4 y m∠5 son 180º.

?

3 ? Definición de ángulos suplementarios

123 4

567 8

k

n

m

∠3 y ∠6 son suplementarios∠6 y ∠5 son suplementarios∠2 y ∠6 son suplementarios∠4 y ∠5 son suplementarios∠3 y ∠5 son suplementarios

Res

pues

ta

Slide 107 / 207

Afirmación Razón

1 Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n Dado

2m∠ 3 + m∠ 6 = 180ºm∠ 4 + m∠ 5 = 180º


3∠ 3 y ∠ 6 son suplementarios∠ 4 y ∠ 5 son suplementarios

Definición de ∠ s suplementarios

Demostración de ángulos interiores del mismo lado

Dado: La recta m y la recta k sonparalelas e intersecadas por la recta n

Prueba: ∠3 y ∠6 son suplementariosy ∠4 y ∠5 son suplementarios

123 4

567 8

k

m

n

Slide 108 / 207

Teorema de los ángulos interiores opuestos del mismo lado

Si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

/ 207

123 4

567 8

k

m

n

Teorema de los Ángulos Exteriores del mismo lado

Si dos rectas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos exteriores del mismo lado son suplementarios.

De acuerdo al Teorema de los Ángulos Exteriores del mismo lado ¿qué ángulos son suplementarios?

Res

pues

ta

Slide 110 / 207

Demostración de Ángulos Exteriores del mismo lado

Dado: Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n

Prueba: ∠2 y ∠7 son suplementarios

Demostrando que ∠2 y ∠7 son suplementarios estamos probando además que ∠1 y ∠8 son suplementarios ya que el mismo argumento aplica a ambos pares de ángulos.

123 4

567 8

k

m

n

Slide 111 / 20731 ¿Qué razón aplica al paso 1?A Definición de ∠s suplementariosB Propiedad de Sustitución de la IgualdadC DadoD ∠s que forman un par lineal son

suplementarios

Afirmación Razón


?

2 ? Los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios

3 ? Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

4 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7 ?

5 ∠2 y ∠7 son suplementarios ?

E ∠s suplementarios al mismo ∠ are ≅

123 4

567 8

k

m

nR

espu

esta

Slide 112 / 207

Afirmación Razón


?

2 ? Ángulos Interiores del mismo lado son suplementarios

3 ? Ángulos que forman un par lineal son suplementarios

4 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7 ?


32 ¿Qué afirmación se hace en el paso 2?

A ∠2 y ∠1 son suplementariosB ∠7 y ∠8 son suplementariosC ∠3 y ∠6 son suplementariosD ∠4 y ∠5 son suplementariosE ∠5 y ∠8 son suplementarios

123 4

567 8

k

m

n

Res

pues

ta

Slide 113 / 207

33 ¿Que afirmación se hace en el paso 3?ABCDE

∠2 y ∠3 son suplementarios∠1 y ∠3 son suplementarios ∠6 y ∠8 son suplementarios∠6 y ∠7 son suplementarios∠7 y ∠1 son suplementarios

Afirmación Razón

1 La rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n ?

2 ? Ángulos interiores del mismo lado son suplementarios


4 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7 ?


123 4

567 8

k

m

n

Res

pues

ta

Slide 114 / 207

Afirmación Razón


?

2 ? Ángulos del mismo lado interior son suplementarios


4 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7 ?


34 ¿Qué razón aplica al paso 4?A Definición de ∠s suplementariosB Propiedad de Sustitución de la IgualdadC DadoD ∠s que forman un par lineal

son suplementarios E ∠s suplementarios al mismo ∠ son ≅

123 4

567 8

k

m

n

Res

pues

ta

/ 207


Afirmación Razón

1Las rectas m y k son paralelas e intersecadas a la recta n

?

2 ? Ángulos interiores del mismo lado son suplementarios


4 ∠ 2 ≅ ∠ 6 y ∠ 3 ≅ ∠ 7 ?

5 ∠ 2 y ∠ 7 son suplementarios ?

123 4

567 8

k

m

nA Definición de ∠s suplementariosB Propiedad de Sustitución de la IgualdadC Dado

D ∠s que forman un par lineal son suplementarios

E ∠s suplementarios al mismo ∠ son ≅

Res

pues

ta

Slide 116 / 207Demostración de ángulos exteriores del mismo lado

Afirmación Razón


Dado

2 ∠3 y ∠6 son suplementarios Ángulos interiores del mismo lado son suplementarios

3 ∠2 y ∠3 son suplementarios∠6 y ∠7 son suplementarios

´Ángulos que forman un par lineal son suplementarios

5 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7 Ángulos suplementarios al mismo ángulo son congruentes

6 ∠2 y ∠7 son suplementarios Propiedad de sustitución de la igualdad

Dado: La rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n

Prueba: ∠2 y ∠7 son suplementarios(y así que ∠1 y ∠8 lo son también)

123 4

567 8

k

m

n

Slide 117 / 207

Teorema del Ángulo Exterior del mismo lado

Si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos exteriores del mismo lado son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

Slide 118 / 207


Volver a la Tabla de Contenidos

Slide 119 / 207


Existen varios teoremas y postulados relacionados a las rectas paralelas. Vaya, por favor al laboratorio "Propiedades de las Rectas Paralelas".

Click aquí para ir al laboratorio "Propiedades de las Rectas Paralelas"



Existen varios teoremas y postulados relacionados a las rectas paralelas. Vaya, por favor al laboratorio "Propiedades de las Rectas Paralelas".

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Prác

tica

de

mat

emát

ica

Este laboratorio direcciona a MP1, MP3, MP4, MP5, MP6, MP7

y MP8

page1svg

https://njctl.org/courses/math/geometry/parallel-lines/properties-of-parallel-lines/

https://njctl.org/courses/math/geometry/parallel-lines/properties-of-parallel-lines/

/ 207

123 4

567 8

k

n k ║m

m

Ejemplo: si m∠4 = 54º, calcula la m∠8.

Explica tu respuesta.


Res

pues

ta

Slide 121 / 207



123 4

567 8

k

n k ║m

m


Res

pues

ta

Slide 122 / 207



123 4

567 8

k

m

n k║m

Propiedades de las Rectas ParalelasR

espu

esta

Slide 123 / 207

Ejemplo: si m∠3 = 163º, calcula m∠6. Explica tu respuesta.

123 4

567 8

k

m

n k ║m


Res

pues

ta

Slide 124 / 207

Nombra todos los ángulos congruentes con ∠1.

123 4

567 8

k

m

n k ║m


Res

pues

ta

Slide 125 / 207

Nombra todos los ángulos suplementarios a ∠1.

123 4

567 8

k

m

n k ║m


Res

pues

ta

/ 207

36 Encuentra todos los ángulos congruentes a ∠ 5.A ∠1B ∠4C ∠8D todos los de arriba

1 23 4

5 687

j ║ m

j

m

k

Res

pues

ta

Slide 127 / 207

37 Calcula el valor de x.

j

m5x+30

120º

j ║m

k

Res

pues

ta

Slide 128 / 207


j

m1.5x+40

110º

j ║ mk

Res

pues

ta

Slide 129 / 207

39 Si la m∠ 4 = 116º entonces m∠ 9 = _____º?

k ║m

n ║p

n p

2 13 4

567 8

91011 12

1314 15 16

k

m

Res

pues

ta

Slide 130 / 207

40 Si la m∠ 15 = 57º, entonces la m∠ 2 = _____º.

A 57B 123C 33D ninguno de los de arriba

k ║m

n ║p

n p

2 13 4

567 8

91011 12

1314 15 16

k

m

Res

pues

ta

Slide 131 / 207

Con el diagrama dado, existen no transversales, pero podemos extender una de las rectas para armar una transversal.

Extendiendo rectas para armar transversales

131º

1

41º

Calcula m∠1.

/ 207

Luego completa el ángulo que es correspondiente al ángulo de 131º. ¿Qué ángulo corresponde a 131º?

131º

1

41º

Calcula m∠1.


Res

pues

ta

B

Slide 133 / 207

Luego completa la medida del ángulo adyacente a 131º que está dentro del triángulo. ¿Cuál es la medida de este ángulo? Explica tu respuesta.

131º

1

41º

131º

Calcula m∠1.


Res

pues

ta

Slide 134 / 207

Como se recordará, el tercer ángulo en el triángulo debe hacer que la suma de los ángulos sea igual a 180º. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo del triángulo?

131º

1

41º

131º49º

Calcula m∠1.

Extendiendo rectas para armar transversalesR

espu

esta

Slide 135 / 207

Y, finalmente el ángulo 1 es suplementario al ángulo de 90º. ¿Cuál es la m∠ 1?

131º

1

41º

131º49º

90º

Calcula m∠1.



Y, finalmente el ángulo 1 es suplementario al ángulo de 90º. ¿Cuál es la m∠ 1?

131º

1

41º

131º49º

90º

Calcula m∠1.



Prác

tica

de

mat

emát

ica La pregunta en esta

diapositiva direcciona a MP2.

Slide 136 / 207

m∠1 = 90º

131º

1

41º

131º49º

90º

Calcula m∠1.


/ 207

Calcula los valores de x e y.

Transversales dobles

132º

xº

(4y+12)º

Res

pues

ta

Slide 138 / 207

(14x+6)º 66º

2zº

(3y-6)º

Calcula los valores de x, y, z.

Rectas Transversales y Perpendiculares

Res

pues

ta

Slide 139 / 207

41 Calcula la m∠1.

1

126º

110º

Res

pues

ta

Slide 140 / 207


(3x)º

54º

A 12B 54C 42D 18

Res

pues

ta

Slide 141 / 207


(2x-3)º

(4x-61)º

Res

pues

ta

Slide 142 / 207

122º

(16x+10)º


Res

pues

ta

/ 207

Si m∠3 = 56º, calcula la m∠7 que hace que la rectas k y m sean paralelas.


123 4

567 8

k

m

n

Demostración de Rectas Paralelas

Res

pues

ta

Slide 144 / 207

Si m∠4 = 110º, calcula la m∠6 que hace que las rectas k y m sean paralelas.


123 4

567 8

k

m

n


Res

pues

ta

Slide 145 / 207



123 4

567 8

k

m

n

Demostración de Rectas ParalelasR

espu

esta

Slide 146 / 207



123 4

567 8

k

m

n


Res

pues

ta

Slide 147 / 207

45 ¿Qué afirmación demostraría que las rectas k y m son paralelas?

12

3 4

567 8

k

m

n

A m∠2 = m∠4B m∠5 + m∠6 =180ºC m∠3 = m∠5

D m∠1 + m∠5 =90º Res

pues

ta

Slide 148 / 207

46 En este diagrama, ¿qué opción de las siguientes es correcta?

123º64º 57º

132º

e f g

h

i

A e║fB f║gC h║i

D e║gR

espu

esta

/ 207

47 Si las rectas a y b son cortadas por una transversal, ¿cuál de las siguientes No probaría que son paralelas?

A Los ángulos correspondientes son congruentes.B Los ángulos interiores alternos son congruentes.C Los ángulos interiores del mismo lado

complementarios.

D Los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios.

E Todas las de arriba.

Res

pues

ta

Slide 150 / 207

48 Calcula el valor de x para el que a║b.

a

bxº

115º

d Res

pues

ta

Slide 151 / 207

49 Calcula el valor de x que hace a║b.

(6x-20)º

2xº

a

b

cd

Res

pues

ta

Slide 152 / 207

50 Calcula el valor de x para el cual m║n.

m

n

(14x - 10)º

(5x)º

Res

pues

ta

Slide 153 / 207

51 Si a║b, ¿cómo podemos probar que m∠ 1 = m∠ 4?

A Teorema de los ángulos correspondientesB Teorema de los ángulos correspondientes opuestosC Teorema de los ángulos interiores alternosD Teorema de los ángulos interiores alternos

opuestos

ab

c1 4

32

Res

pues

ta

Slide 154 / 207

52 Si m∠ 1 = m∠ 3, ¿cómo podemos demostrar a║b?

A Teorema de los ángulos correspondientesB Teorema de los ángulos correspondientes opuestosC Teorema de los ángulos interiores alternosD Teorema de los ángulos interiores alternos

opuestos

ab

c1 4

32

Res

pues

ta

/ 207

53 Dado m∠ 1 = m∠ 2, m∠ 3 = m∠ 4, ¿qué podemos probar? (elige todas las que aplican)A a║bB c║dC la recta a es perpendicular a la recta cD la recta b es perpendicular a la recta d

ab

d

12

3

4 5 c

Res

pues

ta

Slide 156 / 207

54 Dado a║b, ¿qué podemos probar?

A m∠1 = m∠2B m∠1 = m∠4C m∠2 = m∠3D m∠1 + m∠3 = 180º

ab

c1 4

32

Res

pues

ta

Slide 157 / 207







Prác

tica

de

mat

emát

ica La lección entera con

construcciones direcciona a MP5

Slide 158 / 207

Construcción de Rectas Paralelas

Construir figuras geométrica significa construir rectas, ángulos y figuras con herramientas básicas adecuadas.

Podemos usar un compás, una regla para construcciones, pero también podemos usar técnicas de plegado de papel.

Click aquí para ver una animación de la construcción de una recta

paralela a otra que pasa a través de un punto

Construction by: MathIsFun

Slide 159 / 207

Dado: La recta AB y un punto C, que no está sobre la recta, dibuja una segunda recta que sea paralela a AB y que pase por el punto C.Hay tres diferentes métodos para lograr esto.

Método 1: Ángulos correspondientes

A

C

B

Construcción de Rectas Paralelas

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http://www.mathsisfun.com/geometry/construct-paranotline.html

/ 207

La teoría de esta construcción es que los ángulos correspondientes formados por una transversal y las rectas paralelas son iguales.

Para usar esta teoría, dibujaremos una transversal a través de C que forma un ángulo agudo con la recta AB.

Entonces formaremos un ángulo congruente a C sobre el mismo lado de la transversal como el ángulo agudo formado con la recta AB.

Ya que esos son ángulos correspondientes congruentes, las rectas son paralelas.

A

C

B

Construcción de Rectas Paralelas: Método 1

Slide 161 / 207

Paso 1: Dibuja una transversal a AB pasando por el punto C y que corte a AB en el punto D. Se forma un ángulo agudo con el punto D como vértice (la medida del ángulo no es importante)

A

C

BD

El ángulo CDB es el ángulo que replicaremos en el punto C sobre el mismo lado de la transversal.


Slide 162 / 207

A

C

BD

F

E

Paso 2: Centra el compás en el punto D y dibuja un arco que corte a ambas rectas. Usando el mismo radio del compás, haz centro en el punto C y dibuja otro arco. Coloca el nombre F al punto de intersección sobre el segundo arco.

Estamos siguiendo el procedimiento que usamos previamente para construir un ángulo congruente.

Este paso es marcar las mismas distancias desde D y desde C.


Slide 163 / 207

Paso 3: ubica el radio del compás a la distancia entre los dos puntos de intersección del primer arco.

A

C

BD

F

Esto replica la distancia entre donde el arco corta a los dos catetos del ángulo a la misma distancia desde el vértice.

Cuando eso es replicado en C el ángulo construido será congruente con el ángulo original.


Slide 164 / 207

Paso 4: Centra el compás en el punto F donde el segundo arco corta la recta DC y dibuja un tercer arco.

A

C

BD

FEsto asegura que la longitud del arco para cada ángulo sea idéntica.


Slide 165 / 207

Paso 5: Marca la intersección del arco con el punto E y usa el lado de una escuadra para unir C y E.

A

C

BD

F

E


∠CDB ≅ ∠FCE así que AB║CE

/ 207

Aquí están las rectas paralelas construidas sin las líneas auxiliares de construcción.

A BD

C E


Slide 167 / 207

Video de demostración de construcción de rectas paralelas con ángulos

correspondientes usando el Software de Geometría Dinámica

Click aquí para ver el video

Slide 168 / 207

La teoría de esta construcción es que los ángulos interiores alternos formados por una transversal y las rectas paralelas son iguales.

Para usar esta teoría, dibujaremos una transversal a través de C que forma un ángulo agudo con la recta AB.

Luego armaremos un ángulo congruente en C, sobre el lado opuesto de la transversal como el ángulo formado con la recta AB.

Ya que existen ángulos interiores alternos congruentes las rectas son paralelas.

A

C

B


Slide 169 / 207

A B

C

Método 2: Ángulos Interiores AlternosDado AB y el punto C, fuera de la recta, dibuja una segunda recta que sea paralela a AB y que pase por el punto C.

Slide 170 / 207

A B

C

D

Método 2: Ángulos Interiores AlternosPaso 1: Dibuja una transversal a la recta AB pasando por el punto C que corte a la recta AB en el punto D. Se forma un ángulo agudo con el punto D como vértice.

El ángulo CDB es el ángulo que replicaremos en el punto C sobre el lado opuesto de la transversal.

Slide 171 / 207

A B

C

D

F

E

Paso 2: Centra el compás en el punto D y dibuja un arco que corte ambas rectas en los puntos E y F.

Estamos siguiendo el procedimiento que usamos previamente para construir un ángulo congruente.

Este paso es marcar la misma distancia igual desde D sobre ambas rectas.

Método 2: Ángulos Interiores Alternos

http://youtu.be/OZwIX9kVp0M

/ 207

A B

C

D

F

E

G

Paso 3: Usando el mismo radio, centra el compás en el punto C y dibuja un arco que pase a través de la recta DC y el punto G.

Esto replica la misma distancia entre la transversal y la nueva recta que se dibujará desde C como fue hecha para la distancia desde D.


Slide 173 / 207

A B

C

D

F

E

G

H

Paso 4: De nuevo, con el mismo radio, centra el compás en el punto G y dibuja un tercer arco que corte al anterior en H.

Calcula ahora la misma distancia desde donde el arco corta a la transversal y la nueva recta como fue para el caso de la transversal y la recta original.


Slide 174 / 207

A B

C

D

F

E

G

H

Paso 5: Dibuja la recta CH, que será paralela a la recta AB ya que sus ángulos interiores alternos son congruentes.

Ya que los ángulos HCG y BDF son congruentes y son ángulos interiores alternos, las rectas son paralelas.


Slide 175 / 207

A B

C

D

H

Aquí están las rectas construidas sin los pasos de construcción mostrados.


Slide 176 / 207

Video de demostración de la construcción de Rectas Paralelas con Ángulos Interiores Alternos usando el Software de Geometría

Dinámica


Slide 177 / 207

A B

C

Método 3: Ángulos Exteriores AlternosDado la recta AB y el punto C, fuera de la recta dibuja una segunda recta que sea paralela a la recta AB y que pase por el punto.

http://youtu.be/p2iPjRX3LOM

/ 207

B

C

DA

Paso 1: Dibuja una transversal a la recta AB a que pase a través del punto C que corte a la recta AB en el punto D. Se forma un ángulo agudo con el punto D como vértice.

Método 3: Ángulos Exteriores Alternos

Slide 179 / 207

A B

C

D

E

Paso 2: Centra el compás en el punto D y dibuja un arco para cortar las rectas AB y DC sobre el lado opuesto del punto C en A y E.


Slide 180 / 207

A B

C

D

F

E

Paso 3: manteniendo el mismo radio dibuja un arco centrado sobre C que corte a la recta DC arriba de C, en F.


Slide 181 / 207

A B

C

D

F

E

G

Paso 4: manteniendo el mismo radio dibuja un arco con centro en F que corte al arco con centro en C en el punto G.


Slide 182 / 207

A B

C

D

F

E

G

Paso 5: Dibuja la recta CE, que es paralela a la recta AB ya que los ángulos exteriores alternos formados por la transversal son congruentes.

∠ ADG ≅ ∠ ECF por lo tanto AB║CE


Slide 183 / 207

A B

C E

Aquí se muestran las rectas sin las líneas auxiliares de construcción.


/ 207

Video de demostración de la construcción de los ángulos exteriores alternos usando

el Software de Geometría Dinámica


Slide 185 / 207

Construcción de Rectas Paralelas Usando Papel Plegado

Paso 1: Dibuja una recta en el papel de plegal. Colocale nombre como recta g. Dibuja un punto fuera de la recta g y colocale como nombre B.

gB

Slide 186 / 207

gB

Paso 2: Pliega tu papel de mota g están exactamente una arriba de la otra y el punto B esté en el pliegue.


Slide 187 / 207

Paso 3: Abre el papel plegado y dibuja una recta sobre el pliegue. Colocale el nombre como recta h.

gB

h


Slide 188 / 207

Paso 4: A través del punto B, haz otro pliegue que sea perpendicular a la recta h.

gB

h


Slide 189 / 207

Step 5: Open the patty paper and draw a line on the crease. Label this line i.

Debido a que las rectas i y g son perpendiculares a la recta h son paralelas entre sí. De modo que la recta i ║recta g.

gB

h

i


http://youtu.be/GnZ5E7i3qaQ

/ 207

Video de demostración de construcción de Rectas Paralelas usando el Menú Opciones

del Software de Geometría Dinámica

Click aquí para ver el video 2

Click aquí para ver el video 1

Slide 191 / 207

C

A B

E

D

F

G

55 Las rectas en el diagrama de abajo son paralelas debido al:

A Teorema de los Ángulos Interiores Alternos B Teorema de los Ángulos Exteriores AlternosC Teorema de los Ángulos del mismo lado D Postulado de los Ángulos Correspondientes R

espu

esta

Slide 192 / 207

56 Las rectas de abajo se muestran paralelas debido a:

A Teorema de los Ángulos Interiores AlternosB Teorema de los Ángulos Exteriores AlternosC Teorema de los Ángulos del mismo ladoD Postulado de los Ángulos Correspondientes

C

A

E

D

F

G

Res

pues

ta

Slide 193 / 207

57 Las rectas de abajo se muestran paralelas debido a:

C

AD

F

G

E

A Teorema de los Ángulos Interiores AlternosB Teorema de los Ángulos Exteriores AlternosC Teorema de los Ángulos del mismo ladoD Postulado de los Ángulos Correspondientes

Res

pues

ta

Slide 194 / 207

Preguntas de muestra para la prueba PARCC

Las restantes diapositivas en esta presentación contienen preguntas tomadas de las preguntas de muestra para la prueba PARCC. Después de terminar con la unidad 3, deberías ser capaz de responder esas preguntas.

Buena Suerte!


Slide 195 / 207

Preguntas para la Prueba- PARCC

PARCC Preguntas de lanzamiento (EOY)

Tema: Rectas Paralelas y demostraciones

http://youtu.be/sBJBWp-61l0

http://youtu.be/KiURcVkRGx0

page1svg

http://parcc.pearson.com/practice-tests/math/

/ 207

58 ∠CBD ≅ ∠BFE

A Dado B Definición de ángulos congruentes C Los ángulos verticales son conngruentes D Propiedad reflexiva de congruencia E Propiedad simétrica de congruencia F Propiedad transitiva de congruencia

BA

D

E

F

G

C

H

En la figura de abajo, la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente.

Dado: ∠CBD ≅ ∠BFEPrueba: ∠ABF ≅ ∠BFE R

espu

esta

Slide 197 / 207

59 ∠CBD ≅ ∠ ABF

BA

D

E

F

G

C

H


En la figura mostrada, la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente.

Dado: ∠CBD ≅ ∠BFEPrueba: ∠ABF ≅ ∠BFE

Res

pues

ta

Slide 198 / 207

BA

D

E

F

G

C

H

En la figura mostrada, la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente.


Demostración completada abajo.

Afirmación Razón

1 ∠CBD ≅ ∠ BFE Dado

2 ∠CBD ≅ ∠ ABF Los ángulos verticales son congruentes

3 ∠ ABF ≅ ∠ BFE Propiedad transitiva de la congruencia

Slide 199 / 207

Marca con círculo la razón que soporta cada recta de la demostración. PARCC pregunta de lanzamiento (EOY)

Tema: Rectas paralelas y demostraciones

Preguntas de muestra para la prueba PARCC

Slide 200 / 207

60 m∠CBD = m∠ BFEA Dado B Ángulos que forman un par lineal son suplementariosC Ángulos que son adyacentes son suplementariosD Propiedad reflexiva de la igualdadE Propiedad de sustitución de la igualdad F Propiedad transitiva de la igualdad

BA

D

E

F

G

C

H

En la figura mostrada la recta CF intersecta las rectas AD y EH en los puntos B y F respectivamente.

Dado: m∠CBD = m∠BFEPrueba: m∠BFE + m∠DBF = 180º

Res

pues

ta

Slide 201 / 207

61 m∠CBD + m∠DBF = 180º

BA

D

E

F

G

C

H

En la figura mostrada la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente


A Dado B Ángulos que forman un par lineal son suplementariosC Ángulos que son adyacentes son suplementariosD Propiedad reflexiva de la igualdadE Propiedad de sustitución de la igualdad F Propiedad transitiva de la igualdad

Res

pues

ta

http://parcc.pearson.com/practice-tests/math/

/ 207

62 m∠ BFE + m∠DBF = 180º

BA

D

E

F

G

C

H

En la figura mostrada la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente.


A Dado B Ángulos que forman un par lineal son suplementariosC Ángulos que son adyacentes son suplementariosD Propiedad reflexiva de la igualdadE Propiedad de sustitución de la igualdad F Propiedad transitiva de la igualdad

Res

pues

ta

Slide 203 / 207

BA

D

E

F

G

C

H

En la figura mostrada la recta CF interseca a las rectasAD y EH en los puntos B y F, respectivamente.


Afirmación Razón

1 m∠CBD = m∠BFE Dado

2 m∠CBD + m∠DBF = 180º Ángulos que forman un par lineal son suplementarios

3 m∠BFE + m∠DBF = 180º Propiedad de sustitución de la igualdad

Slide 204 / 207

63 PARTE A Considera la construcción parcial de una recta paralela a r y pasando por el punto Q. ¿Cuál sería el paso final de la construcción?

A Dibuja una recta a través de P ySB Dibuja una recta a través de Q y SC Dibuja una recta a través de T y SD Dibuja una recta a través de W y S

La figura muestra la recta r los puntos P y T sobre la recta r y el punto Q fuera de la recta r. También se muestra la semirrecta PQ.

r

TP

Q

r

TP

Q

W

S

PARCC preguntas de lanzamiento (EOY)

Res

pues

ta

Slide 205 / 207

64 PARTE B Una vez que se completa la construcción, ¿cuál de las razones mencionadas contribuye a proveer la validación de la construcción?

A Cuando dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos correspondientes son congruentes, las rectas son paralelas.

B Cuando dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos verticales son congruentes, las rectas son paralelas.

C Definición de mediatriz (bisectriz de un segmento)D Definición de bisectriz

La figura muestra a la recta r y los puntos P and T sobre la recta r y el punto Q fuera de la recta r. También se muestra la semirrecta PQ.

r

TP

Q

r

TP

Q

W

S

Res

pues

ta

Slide 206 / 207

65 El diagrama .representa una parte de una ciudad pequeña. Las calles Maple y Pine corren exactamente de este a oeste. La avenida Oak corre exactamente de norte a sur. Todas las calles permanecen derechas.

A Las calles Birch y Elm se cortan en ángulos rectos

B Las calles Maple y Pine son paralelas.

C Si se mostrara más del mapa, La calle Elm y la avenida Oak Avenue no se cortan.

D La calle Pine corta tanto a la calle Birch como a la calle Elm.E La avenida Oak y la calle Maple son perpendiculares

Pregunta 1/7

PARCC Preguntas de lanzamiento (PBA)

Temas: Rectas intersecantes, paralelas e inclinadas

¿Qué afirmaciones son ciertas respecto a la información dada? Selecciona todas las que aplican.

Res

pues

ta

Slide 207 / 207

66 ∠ ABF ≅ ∠ BFE

BA

D

E

F

G

C

H

En la figura mostrada, la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente



Res

pues

ta

http://parcc.pearson.com/#

http://parcc.pearson.com/#

Geometría Rectas Paralelas -...

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