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EUCLIDES DE ALEJANDRÍA. LOS ELEMENTOS. LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA Euclides vivió, probablemente, entre 330 y 275 a.C. Aunque su obra es extensa y abarcó diferen- tes disciplinas (Matemáticas, Óptica, Música, etc.), se le recuerda principalmente por su tratado Los Elementos. Está compuesto por trece pequeños libros y contiene un total de 465 proposiciones sobre geometría del plano, geometría del espacio y teoría de números. La materia que aborda Los Elementos era conocida, en su mayor parte, con anterioridad. La prin- cipal contribución de Euclides consistió en la organización y disposición lógica de todo el mate- rial, construyendo un gran sistema deductivo fuertemente cohexionado. Euclides comienza cada libro con las definiciones de los conceptos que desarrollará. Además, en el primer libro expone cinco postulados y una serie de nociones comunes llamadas también axiomas. Mediante estos axiomas y definiciones, demuestra los teoremas, vertebrando, de esta manera, la teoría. A la construcción del edificio que propuso Euclides y a su manera de razonar en Los Elementos se la denomina geometría clásica o geometría euclídea. LA GEOMETRÍA NO EUCLÍDEA Entre los postulados que propuso Euclides hubo uno que llamó poderosamente la atención: el quinto postulado. Decía así: Matemáticos de todas las épocas hicieron intentos serios y profundos en dos direcciones: la pri- mera fue tratar de reemplazar el axioma por un argumento más autoevidente, la segunda fue tra- tar de deducirlo de los otros axiomas. Ninguno de ellos tuvo éxito, pero sus trabajos llevaron a la aparición de las llamadas geometrías no euclídeas. Se considera a Lobachevsky (1793-1856), a Bolyai (1802-1860) y a Gauss como los autores de la creación de la geometría no euclídea. Sus conclusiones fueron similares, pero el primero en publicarlas fue Lobachevsky en 1829 (Gauss no las difundió por “temor al escándalo que podía producir” y Bolyai publicó resultados parecidos a los de Lobachevsky en 1832). Sus resultados fueron básicamente dos: — El V postulado no se deduce de los anteriores. — Si suponemos un axioma contrario al V postulado, es posible también desarrollar una geometría completamente lógica. V. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una parale- la, es decir, una y solo una recta que no corte a la primera. Pág. 1 de 3 Notas históricas BLOQUE II Geometría
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EUCLIDES DE ALEJANDRÍA. LOS ELEMENTOS. LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA
Euclides vivió, probablemente, entre 330 y 275 a.C. Aunque su obra es extensa y abarcó diferen-tes disciplinas (Matemáticas, Óptica, Música, etc.), se le recuerda principalmente por su tratado Los Elementos. Está compuesto por trece pequeños libros y contiene un total de 465 proposicionessobre geometría del plano, geometría del espacio y teoría de números.
La materia que aborda Los Elementos era conocida, en su mayor parte, con anterioridad. La prin-cipal contribución de Euclides consistió en la organización y disposición lógica de todo el mate-rial, construyendo un gran sistema deductivo fuertemente cohexionado.
Euclides comienza cada libro con las definiciones de los conceptos que desarrollará. Además, enel primer libro expone cinco postulados y una serie de nociones comunes llamadas tambiénaxiomas. Mediante estos axiomas y definiciones, demuestra los teoremas, vertebrando, de estamanera, la teoría.
A la construcción del edificio que propuso Euclides y a su manera de razonar en Los Elementos sela denomina geometría clásica o geometría euclídea.
LA GEOMETRÍA NO EUCLÍDEA
Entre los postulados que propuso Euclides hubo uno que llamó poderosamente la atención: el quinto postulado. Decía así:
Matemáticos de todas las épocas hicieron intentos serios y profundos en dos direcciones: la pri-mera fue tratar de reemplazar el axioma por un argumento más autoevidente, la segunda fue tra-tar de deducirlo de los otros axiomas. Ninguno de ellos tuvo éxito, pero sus trabajos llevaron a laaparición de las llamadas geometrías no euclídeas.
Se considera a Lobachevsky (1793-1856), a Bolyai (1802-1860) y a Gauss como los autores de lacreación de la geometría no euclídea.
Sus conclusiones fueron similares, pero el primero en publicarlas fue Lobachevsky en 1829 (Gaussno las difundió por “temor al escándalo que podía producir” y Bolyai publicó resultados parecidosa los de Lobachevsky en 1832). Sus resultados fueron básicamente dos:
— El V postulado no se deduce de los anteriores.
— Si suponemos un axioma contrario al V postulado, es posible también desarrollar una geometríacompletamente lógica.
V. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una parale-la, es decir, una y solo una recta que no corte a la primera.
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GEOMETRÍA RIEMANNIANA
Las ideas de Riemann (1826-1866) aparecieron después delpaso decisivo de Lobachevsky. Básicamente eran tres:
— Posibilidad de una geometría distinta de la euclídea; es de-cir, que no cumpliera el V postulado.
— Concepto de geometría intrínseca de una superficie; porejemplo, la geometría esférica, que tratamos a continua-ción.
— Concepto de espacio con un número arbitrario de dimen-siones.
La geometría riemanniana encontró aplicaciones en Mecánicay en Física, siendo la más brillante la que se produjo en la teoría de la relatividad.
GEOMETRÍA ESFÉRICA
Si consideramos la superficie de una esfera como espacio en sí misma, esta tiene su propia geome-tría. Las circunferencias máximas de la esfera son las líneas que nos dan las distancias más cortas(llamadas líneas geodésicas); por tanto, estas circunferencias en la esfera son las “equivalentes” alas rectas en el plano.
Así, nos encontramos que, en esta superficie, no existen paralelas (esta geometría no cumple el V postulado).
Considerando nuestro planeta esférico, esta geometría encuentra aplicaciones en campos como lanavegación, por ejemplo.
GEOMETRÍA ANALÍTICA
En la primera mitad del siglo XVII aparece una nueva forma de abordar problemas geométricos,propuesta por René Descartes (1596-1650). Este procedimiento, el método de coordenadas, con-siste en utilizar recursos algebraicos para resolver problemas geométricos, definiendo las curvas ysuperficies mediante ecuaciones algebraicas. Esta idea supuso un gran impulso al desarrollo de lageometría.
La geometría analítica del espacio fue desarrollada por Euler, Lagrange y, fundamentalmente, porMonge. El tratamiento vectorial de esta le dio nuevo impulso: Bellavitis (álgebra de vectores) yGrassmann (espacios n-dimensionales) son personajes clave en el enfoque de la geometría.
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Riemann
GEOMETRÍA FRACTAL
A finales del siglo XIX y principios del siglo XX, algunos mate-máticos, como Sierpinski, Cantor, Koch o Peano, se encon-traron con una serie de conjuntos y figuras geométricas “dife-rentes” (curvas que no tenían tangente en ninguno de suspuntos, curvas que rellenaban el plano…). Se les dio el califi-cativo de “monstruos geométricos” y fueron considerados du-rante años como meras curiosidades.
Fue Mandelbrot quien, en 1967, estudiando estos “monstruosgeométricos” los denominó fractales y descubrió que podíanresultar muy útiles en el análisis de una enorme variedad defenómenos físicos (las nubes, las montañas, las líneas costeras,las grietas tectónicas, los capilares sanguíneos…).
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Mandelbrot
