CONTENIDOS (Programa Analítico Física II)

• Energía electrostática de una carga puntual. • Diferencia de potencial y potencial eléctrico. • Potencial de cargas puntuales, de un dipolo y de distribuciones continuas de cargas

• El campo eléctrico como gradiente de potencial eléctrico.

• Superficies equipotenciales. • Ecuaciones de Poisson y de Laplace. • Energía potencial de un grupo de cargas puntuales.

UT II- Energía Electrostática. Potencial Eléctrico

Designaremos a la energía potencial eléctrica por la le letra U.Recordemos previamente el concepto de fuerza conservativa, y su relación con la energía potencial.

Energía Potencial Eléctrica

Fuerzas conservativas: Son aquellas que cuando actúan sobre un cuerpo que realiza una trayectoria cerrada, su trabajo es nulo.

Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza entre dos puntos arbitrarios es independiente de la trayectoria que se emplea para unirlos.

En el curso de Física I vimos que la fuerza gravitatoria y la fuerza recuperadora elástica son fuerzas conservativas.

Existe una relación entre el trabajo realizado por una fuerza conservativa y la variación de la energía potencial como consecuencia de dicho trabajo;

Si las fuerzas actuantes son conservativas, la variación de la energía potencial del cuerpo como consecuencia de dicho trabajo es igual al trabajo realizado por las mismas cambiado de signo.

Sea una fuerza conservativa, el trabajo que realiza la misma entre los puntos i y f arbitrarios esta dado por:

F

f

i

f

f i i

W F dl

U U U W F dl

Demostraremos que la fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, lo que nos permitirá obtener la variación de energía potencial eléctrica en términos del trabajo que realiza la misma.

El trabajo realizado por la fuerza eléctrica para llevar la carga q0 desde el punto a con posición ra hasta el punto b con posición rb esta dado por:

0 0

b b b

ab a a aW F dl q E dl q E cos( ) dl

Sea q la fuente de campo y consideremos un camino radial centrado en q (Fig. izquierda).

00 2

04

b

a

b r

ab a r

q q drW q E dl

r 0

0

1 1

4aba b

q qW

r r

20

1, =0 y

4

qE dl dr

r

090 0dl E E dl

Consideremos ahora que el camino es un arco circular centrado en q (Fig. izquierda arriba). En cada punto de esta trayectoria es

0 0b

ab aW q E dl

Si consideremos una combinación de ambos casos (Fig. izquierda abajo).

0

b i j b

ab a a i jW F dl q E dl E dl E dl

La integral entre i y j (arco circular) se anula, quedando solo el aporte de las trayectorias radiales

0 0

0 0

1 1 1 10

4 4aba i j b

q q q qW

r r r r

teniendo en cuenta que i jr r

0

0

1 1

4

b

ab aa b

q qW F dl

r r

Cualquier camino curvilíneo arbitrario puede descomponerse en una superposición sucesiva de pequeños tramos radiales más tramos de arcos circulares centrados en la carga q . Si bien esto aproxima el camino real, para un numero N de tramos es rigurosamente exacto.

El trabajo realizado por la fuerza eléctrica para llevar una carga desde a hasta b solo depende de los extremos de la trayectoria.

Otra demostración más directa:

0 0 02 2

0 02

1 1

b b b b

a a a a

b

a

r r r r

r r r r

r

a br

r̂ dl dl cosW F dl q E dl kqq kqq

r r

drkqq W kqq

r rr

dl cos( dr

Por tanto la fuerza eléctrica es conservativa, y la variación de la energía potencial eléctrica entre dos puntos y es igual al trabajo realizado por la fuerza, cambiado de signo, y podemos escribir:

0

0

1 1

4

b

b a a b ab a

q qU U U W F dl

r r

Aunque solo tienen significado físico las diferencias de energía potencial, es conveniente definir una posición para la cual U = 0, que tomaremos para r = .

0a ar U yb bU U r r

0

0

1

4

q qU( r )

r ( )

rU r F dl

Energía potencial de la carga q0 debida al campo de q.

La energía potencial eléctrica U es una magnitud escalar. Si tenemos N cargas electicas qi (i=1, 2, . . . N), la energía potencial total será la suma de las contribuciones de cada carga.

11

0 0

1 10 0

... ...

4 4

N

i N ii

N Ni i

i ii i

U U U U U

q q q qU

r r

0

04

q dqU

r

Para una distribución continua de carga

Definiremos un nuevo campo que es muy útil, dado que como veremos es escalar, lo que simplifica la matemática asociada a la hora de resolver problemas. La energía potencial U depende de la carga de prueba q0. Dividiendo por q0 obtenemos una magnitud que es independiente de la misma.

Potencial Eléctrico

0

UV

q Potencial eléctrico

V es la energía potencial por unidad de carga. Es un campo, pues esta definido en cada punto del espacio, y es un escalar puesto que q0 y U lo son.

Unidades en el SI: [ V ] = [ U ] / [ q ] = J / C = V ( Voltio = Joule / Coulomb )

11

... ...N

i N ii

V V V V V

0

1

4

dqV

r

El potencial eléctrico V es una magnitud escalar. Si tenemos N cargas qi , el potencial resultante será la suma de las contribuciones de cada carga.

Para una distribución continua de carga

1 10 0

1 1

4 4

N Ni i

i ii i

q qV

r r

Determinado o medido el potencial, es posible obtener la energía potencial eléctrica de una carga mediante U(r) = q V(r)

Definimos la diferencia de potencial a partir de la diferencia de energía potencial

0

b ab a

U UV V

q

0

b

b a ab aU U U W q E dl

b

b a aV V E dl

Diferencia de potencial

Vimos que

Por tanto [V]=[E] [L]Volt= (N/C) m=J/C

00

UV U q V

q

Definición de una nueva unidad de energía: el electronvoltio (eV)

Electronvoltio: energía que gana o pierde un sistema carga-campo cuando se desplaza una carga de magnitud e (electrón o protón) a través de una diferencia de potencial de 1 Volt.

19 19

carga elemental e

1eV 1 6010 C 1V=1 6010 J. .

Relación entre el campo eléctrico E y el potencial V

Si 0

y ( )

PaP

b P

a V VV E dl

b P V V P V

Conocido el campo eléctrico E , podemos calcular el potencial V (en principio) utilizando esta expresión. Veamos el problema inverso:

¿Es posible conocido V, determinar el campo eléctrico E?

Como V es la integral de línea del campo E , es de esperar que E sea alguna forma de derivada de V (operación inversa de la integración) con signo cambiado.

La diferencia de potencial entre dos puntos próximos Pa(x, y, z) y Pb(x+x, y, z) esta dada por:

( , , ) ( , , )

x x

xV x x y z V x y z E d l

( ) ( 0 0 )x y z xE dl E i E j E k dx i j k E dx

( , , ) ( , , )

x x

xxV x x y z V x y z E dx

Si Δx es pequeño, Ex es prácticamente constante dentro del intervalo de integración (rigurosamente cierto en el límite Δx→0

( , , ) ( , , ) xV x x y z V x y z E x

0

( , , ) ( , , )xx

V x x y z V x y zLim E

x

El termino de la izquierda de la igualdad es la derivada parcial de V con respecto a x, por lo que

x

VE

x

De manera similar obtenemos para los ejes y y z las relaciones:

x

y

z

VE

xV

Ey

VE

z

El operador es el Gradiente. Si hay simetría esférica, V =V(r) solo depende de r, y E tendrá solamente componente radial dada por

r

dVE

dr

x y zE E i E j E k

V V Vi j k V

x y z

E V

Ejemplo: Campo homogéneo E0 en la dirección x

0

0

x

y

z

VE

xE

E

0

0 0

0( )

x

dVE E

dx

V E dx E x Cte

V x E x Cte

V es constante para x constante

V es constante en los planos perpendiculares al eje x

Superficies equipotenciales.

Una superficie equipotencial es aquella en la que el potencial tiene el mismo valor en todos sus puntos.

Por esto cuando una partícula se mueve sobre una superficie equipotencial la fuerza eléctrica no realiza trabajo.

0 0 0

1 bb a ab

b a a

U U WV V F dl

q q q

0 0b

b a ab aV V W F d l

Ejemplos de superficies equipotenciales

Campo uniforme Esfera cargada

Las líneas azules son cortes del plano que conforman las superficies equipotenciales.

Las líneas de campo eléctrico son perpendiculares a las superficies equipotenciales

Ejemplos de superficies equipotenciales

Líneas de campo eléctrico y superficies equipotenciales

b

b a aV V V E dl

Ejemplo

b

aV E dl E l

cos( )V E l E d

( )b c b

b a a a c

c c c

a a a

V V V E dl E dl E dl

V E dl E dl E dl E d

Campo eléctrico homogéneo

i

i i

q q qV( r ) k k

r x a x a

2

1si 2x a V( x ) k q a

x

2 2

12V( x ) k q a

x a

3

14x

dVE E ( x ) k q a

dx x

Dipolo. Potencial y campo eléctrico a lo largo del eje del dipolo

1 2

2 1

i

i i

r r a cos( ) r r a cos( )

q q qV k k

r r r

2si 2

cos( )r a V( r ) k q a

r

Dipolo. Potencial en un punto arbitrario del plano que lo contiene.

2 2 2

1 1

2

V( r, ) k qr a cos( ) r a cos( )

cos( )V( r, ) k q a

r a cos ( )

3

3

21

1

r

V k q acos( )E ( r, )

V V r rE rV k q a sin( )r r

E ( r, )r r

Ejemplo

dqV k

r

x

dVE

dx

0 2 2

Q dqV k

x a

2 2

kQV

x a

2 2 3 2x /

kQxE

( x a )

Ejemplo: Disco de radio a con carga uniformemente distribuida. : densidad superficial de carga.

2 2

0 02 2 2 2

2 2

1 2

0 0

1 2 2 2 1 2

0 0

2

2 2

2

2 2

a a

a a /

a a/ /

kdqdV con dq r dr

r xk r dr r dr

V dV kr x r x

u r x du r dr

duV k k u du

u

V k u k ( r x )

2 2 1 2

2 22 2 1/

x x

dV xV k ( x a ) x E E k

dx x a

Ecuaciones de Poisson y de Laplace.

V V VE i j k V

x y z

2

0

V

Ecuación de Poisson

Ecuación diferencial de Gauss

Si en la zona de trabajo la densidad de carga es nula, queda:

2 2 22

2 2 20

V V VV

x y z

Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas

0

E

0 0

V V

2 2 22

2 2 2

V V VV V

x y z